[r]
(1)Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp Bài tập 1: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với:
.M = a ( a + b ) ( a + c ); N = b ( b + c ) ( b + a ); P = c ( c + a ) ( c + b ) Bài tập Chứng minh đẳng thức sau:
a) ( x + a ) ( x + b ) = x2 + ( a + b ) x + ab;
b) ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x3 + ( a + b + c ) x2 + (ab + bc + ca) x + abc. Bµi tËp 3: Cho a + b + c = 2p
Chứng minh đẳng thức: 2bc + b2 + c2– a2 = 4p ( p – q )
Bµi tËp 4:
Cho biÓu thøc: M = ( x - a ) ( x - b ) + ( x - b ) ( x - c ) + ( x - c ) ( x - a ) + x2 TÝnh M theo a,b,c biÕt r»ng x =
2 a +
1
2 b +
1
2 c
Bµi tËp Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0; Chøng minh r»ng: x =y = z Bµi tËp Cho x + y = a + b, x2 + y2 = a2 + b2;
Chøng minh r»ng: x3 + y3 = a3 + b3.
Bµi tËp Cho a + b = m, a – b = n ; TÝnh ab vµ a3 - b3 theo m vµ n.
Bµi tËp Cho x+ y =
TÝnh giá trị biểu thức: A = x2 + 2xy + y2 -4x - 4y + 1.
Bµi tËp Cho a2 + b2 + c2 = m TÝnh giá trị biểu thức sau theo m: A = ( 2a + 2b - c )2 + ( 2b + 2c - a )2 + ( 2c + 2a - b )2.
Bài tập10 Chứng minh đẳng thức sau:
a) ( a + b + c )2 + a2 + b2 + c2 = ( a + b)2 + ( b + c)2 + ( c + a)2; b) x4 + y4 + ( x + y )4 = ( x2 +_xy + y2 )2
Bµi tËp 11
Cho a2 - b2 = 4c Chứng minh đẳng thức ( 5a – 3b + 8c ) ( 5a – 3b – 8c ) = ( 3a – 5b )2
Bµi tËp 12 Chøng minh r»ng nÕu: ( a2 + b2) ( x2 + y2) = ( a x + by )2 Với x,y khác a
x = b
y
Bµi tËp 13
Chøng minh r»ng nÕu: ( a2 + b2 + c2) ( x2 + y2 + z2) = ( a x + by + cz )2 Víi x,y,z khác a
x = b y =
c z
Bµi tËp 14 Cho ( a + b )2 = 2( a2 + b2 ) Chøng minh r»ng: a = b.
Bµi tËp 15 Chøng minh r»ng a = b = c nÕu cã mét điều kiện sau: a) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca; b) ( a + b + c )2 = ( a2 + b2 + c2 ); c) ( a + b + c )2 = (ab + bc + ca ).
Bài tập 16 Tính giá trị biÓu thøc: a4 + b4+ c4, biÕt r»ng a + b + c = vµ: a) a2 + b2 + c2 = ; b) a2 + b2 + c2 =1.
Bµi tËp 17 Cho a + b + c = Chøng minh a4 + b4+ c4 biểu thức:
a)2 ( a2b2 + b2c2 + c2a2 ); b) 2(ab + bc + ca )2; c)
a2+b2+c2¿2 ¿ ¿ ¿
Bài tập 18.Chứng minh đẳng thức:
a) (a+b +c)3− a3−b3− c3=3(a+b)(b +c)(c+a) ;
(2)Bµi tËp 19 Cho a + b + c = chøng minh r»ng a3
+b3+c3=3 abc
Bµi tËp 20 Cho x + y = 0, x y = b tính giá trị biểu thøc sau theo a, b a
) x
2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4 d) x5 + y5
Bµi tËp 21
a)Cho x + y = Tính giá trị cđa biĨu thøc: x3 + y3 +3xy; b)Cho x - y = Tính giá trị biểu thức: x3 - y3 -3xy;
c)Cho x + y = x2 + y2 = 10 Tính giá trị cđa biĨu thøc: x3 + y3 ;
d) Cho x + y = a vµ x2 + y2 = b Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 theo a, b.
Bµi tËp 22 Cho a + b = Tính giá trị biểu thøc: A = a3 + b3 +3ab(a2 + b2) + a2b2 (a + b)
Bµi tËp 23 Cho a + b + c = TÝnh giá trị biểu thức: B= a3 + b3 + c(a2 + b2) - abc Bµi tËp 24 Chøng minh r»ng ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng nÕu;
a2(b − c)+ b2(c − a)+c2(a − b)
Bµi tËp 25 Chøng minh r»ng nÕu a2 + b2 = 2ab a = b.
Bài tập 25 Chứng minh r»ng nÕu a2 + b2 = 2ab th× a = b.
Bµi tËp 26 Chøng minh r»ng nÕu a3 + b3 + c3 = 3abc vµ a, b, c số dơng a = b = c.
Bµi tËp 27 Chøng minh r»ng nÕu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd vµ a, b, c, d số dơng a = b = c = d.
Bµi tËp 28 Chøng minh r»ng nÕu m=a+b+c th×
c +a¿2
b+c¿2¿
a+b¿2¿
(am+bc)(bm+ac)(cm+ab)=¿
Bµi tËp 29 Cho a2
+b2=1 , c2+d2=1 , ac+bd=0 , chøng minh r»ng: ab+cd=0
Bµi tËp 30 Cho biÕt x, y, z # 0, vµ (ax+ by +cz )
x2
+y2+z2 =a
2+b2+c2
.Chøng minh r»ng: a
x=
b
y=
c
z
Bµi tËp 31 Cho biÕt ax+by +cz=0 tÝnh
x − y¿2 ¿
z − x¿2+ab¿
y − z¿2+ca¿
bc¿
A=¿
Bµi tËp 32 Cho biÕt a+b +c=0 , a, b, c # TÝnh B=ab
a2+b2− c2+ bc
b2+c2− a2+ ca
c2+a2−b2
Bµi tËp 33 Cho biÕt
a+ b+
1
c=2;
1 a2+
1 b2+
1
c2=2 Chøng minh r»ng: a+b +c=abc Bµi tËp 34 Cho biÕt x
a+ y b+
z
c=0 vµ a x+
b y+
c
z=2 Tính giá trị biểu thức: a2
x2+ b2
y2+ c2
z2
Bµi tËp 35 Cho a+b +c¿2=a2+b2+c2
¿ vµ a, b, c # Chøng minh r»ng:
1 a3+
1 b3+
1 c3=
3
abc
Bµi tËp 36 Cho a
b+ b c+
c
a=
b a+
a c+
c
(3)Bài tập 37 Cho a, b, c khác đôi
a+ b+
1
c=0 Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a) M=
a2+2 bc+ b2+2 ac+
1 c2+2ab ;
b) M=bc
a2+2 bc+ ca
b2+2 ac+ ab
c2+2ab ;
c) M= a
2
a2+2 bc+
b2
b2+2 ac+
c❑2
c2
+2ab
Bài tập 38 Cho a, b, c số đôi khác a+b
c =
b+c
a =
c +a
b
Tính giá trị biểu thøc: M = (1+a
b).(1+ b c).(1+
c a)
Bµi tËp 39.Cho a.b c = 1, vµ a+b +c=1
a+ b+
1
c Chøng minh r»ng ba sè a,b,c tån t¹i mét sè b»ng
Bµi tËp 40 Chøng minh r»ng nÕu x+ y+ z=a vµ
x+ y+
1 z=
1
a th× tån t¹i mét ba sè x, y, z b»ng
a
Bài tập 41 Các biểu thức x+ y+ z vµ
x+
y+
z giá trị đợc hay khụng
Bài tập 42 Tính giá trị biểu thøc M=
x+2+
1
y+2+
1
z+2
BiÕt r»ng: 2 a=by +cz , b=ax+cz , c=ax+by vµ a+b +c=0 Bµi tËp 43 a) cho a.b.c = Rót gän biÓu thøc: M= a
ab+a+2+
b
bc+b +1+
2 c
ac+2c +2 ;
b) cho a.b.c = Rót gän biĨu thøc: N= a
ab+a+1+
b
bc+b+1+
c
ac +c +1
Bµi tËp 44 Cho a
c=
a −b
b −c , a # 0, b # 0, a - b # 0, b - c # Chøng minh r»ng: a+
1 a − b=
1 b −c−
1
c
Bµi tËp 45 Cho, a # 0, b # 0, c # Rót gän c¸c biĨu thøc sau: a) A=a
2
bc+ b2 ca +
c2
ab b) B= a2 a2−b2− c2+
b2 b2− c2− a2+
c2
c2− a2−b2 Bµi tËp 46 TÝnh giá trị biểu thức sau, biết a+b +c=0
A=¿ (a −b
c +
b −c
a +
c − a b ).(
c a −b+
a b −c+
b c − a)
Bµi tËp 47 Chøng minh r»ng (a2 bc)(b abc)=(b2ac)(a abc) số a, b, c a b khác a+b +c=1
a+ b+
1
c
Bµi tËp 48 Cho a+b +c=0 , x + y +z=0,a
x+ b y+
c
z=0 Chøng minh r»ng: ax2+bx2+cx2=0
Bµi tËp 49 Cho xy +1
y =
yz+1
z =
xz+1
x Chøng minh r»ng: x = y = z hc x2y2z2 =
Bµi tËp 50 Cho ( a
b+c+
b
c+a+
c
a+b=1) Chøng minh r»ng: ( a
2 b+c+
b2 c+a+
c2
(4)Bµi tËp 51 Cho ( a
b −c+ b c − a+
c
a − b=0) Chøng minh r»ng:
b − c¿2 ¿
c −a¿2 ¿
a −b¿2 ¿
(¿0¿)
¿ ¿
a2 ¿ ¿
Bµi tËp 52 Cho x+1
x=a TÝnh giá trị biểu thức sau theo a:
a) x2+
x2 ; b) x
3
+
x3 ; c) x
4
+
x4 ; d) x
5
+
x5
Bài tập 53 Cho a, b, c thoả mÃn a, b, c # 0, vµ ab+bc+ca=0 TÝnh P=(a+b)(b+c)(c+a)
abc
Bµi tËp 54 Cho a, b, c thoả mÃn (a+b)(b+c )(c +a) # a
a+b+
b2
b+c+
c2
c +a= a2
b +c+ b2
c +a+ c2
a+b
Chøng minh r»ng: a = b = c
Bµi tËp 55 Cho x, y, z # 0, vµ x+ y+ z=xyz vµ
x+ y+
1
z=√3
Tính giá trị biểu thức: P=
x2+ y2+
1 z2
Bµi tËp 56.Rót gän biĨu thøc
a) A=
(a −b)(a− c)+
1
(b − a)(b − c)+
1 (c − a)(c − b)
b) B=
a(a− b)(a − c)+
1
b (b − a)(b −c )+
1 c (c −a)(c −b)
c) C=bc
(a − b)(a −c )+ ac
(b− a)(b − c)+ ab
(c − a)(c −b)
d) D= a
2
(a −b)(a − c)+
b2
(b − a)(b −c )+