Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)BÀI TẬP:
A/Chứng minh chia hết
1) a/CMR: n5-n chia hết cho 30 với nỴ N ; b/CMR: n(n2+1)(2n+1) chia hết cho với nỴ Z 2) a/CMR: m.n(m2-n2) chia hết cho với n,mỴ Z ;
b/CMR: n4-10n2+9 chia hết cho 384 với n lẻ nỴ Z
HD: a/ m.n(m2-n2)=m.n(m2-1- n2+1) ; b/ n4-10n2+9 = n4-n2 -9n2+9 =(n2-1)(n2-9) 3)Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 4) a/CMR n số tự nhiên lẻ giá trị biểu thức A = n2+4n-5 bội 6 b)CMR: A =n4+6n3+11n2+6n chia hết cho 24 ,với nỴ Z
5)CMR: 10n +18n -28 chia hết cho 227 với nỴ N ; b/ CMR : 24n-1 chia hết cho 15 với nỴ N B/Tốn cực trị
6)Tìm giá trị NN biểu thức
a/ A = x2-5x +1 ; b/ B = (x2-3x)(x2-11x +28) ; c/ C = (x+3)2+(x-5)2 HD: b/ B = x(x-3)(x-4)(x-7)
7)Tìm giá trị LN biểu thức
a/ A = – x2-6x ; b) B = 1- x2+3x 8) Cho x + 2y = Tìm giá trị LN A = xy
9) a/Tìm giả trị NN A = x2+y2 .Biết x +3y = 10 b/Tìm giả trị NN B = x3+y3+2xy .Biết x +y = 2 10)Tìm giá trị NN LN biểu thức A = 3x
2−2x+3
x2+1 HD: A = 3x
2
−2x+3
x2+1 =
(4x2+4)− x2−2x −1
x2+1 =4−
(x+1)2
x2+1 ≤4 A = 3x
2−2x+3
x2
+1 =
x2−2x+1+2x2+2
x2+1 C/Phân số
11)CM phân số sau tối giản,với nỴ Z a/ n −1
2n+3; .b/
12n+1 30n+2 12)Định n để phân số sau tối giản
a/ n+8 2n−5; .b/
2n+3
n+7
13)CMR: Tổng sau không số tự nhiên A = 1+1 22+
1 32+
1
42+ +
n2 với n ≥ HD:
22≺ 1 2.;
1 32≺
1 3; 14)Rút gọn tìm giá trị NN A= x
4
+2x3+2x2+2x+1
x4+3x2 +2 15)Tính giá trị phân thức A = x − yx
+y Biết x
2-2y2 = xy (x, y ≠0) D/ Bất đẳng thức
16/ a/ a2 +
a2+1≥1 ; b/
a2 +b2 ≥(
a+b )
2
17) a/ a2 +b2 +1≥ ab +a +b ; b/ a2 +b2 +c2+
(2)18) Cho a +b +c = CMR : ab + bc + ca ≤ 19) Cho số dương x,y.z
CM: x+y
z +
y+z
x +
z+x
y ≥6
20) CMR (với a,b,c > 0)
a/ (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc ; b/ (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) ≥ 16abc HD: a/ (a+b)2 ≥ 4ab ; (b+c)2 ≥ 4bc ; (c+a)2 ≥ 4ac.
E/ Sử dụng t/c luỹ thừa:
21) Chứng minh : 1714 > 3111 (HD: 1714 > 1614 ; 3111 < 3211) 22) Tính : 2+2+22+23+24+25+ +22009 23) Số 2100 có chữ số ?
(HD: 2100 = 102410 > 100010 = 1030; Ta lại có: 2100 = 29.291 = 512.213.7=512.81927 < 1000.100007) 24) Hai số 21997và 51997 viết liên tiếp Hỏi có tất chữ số?
HD: Giả sử21997 có k chữ số, và 51997 có m chữ số Tính k +m =? Ta có 10k-1< 21997<10k Và 10n-1< 51997<10n ; (nhân vế theo vế )
25) Tính a/ S = 75(42008 + 42007 + 42006+ + 42 + 5) + 25 b/ S = 1+ 12+1
4+ 8+
1 16+
1 32+
1 64 +
1
128 ( vận dụng đẳng thức an-bn) F/ Số phương:
26)a/Chứng minh tich số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phương b/Chứng minh số lẻ viết dạng hiệucủa hai số phương HD: 4k +1 4k +3 ; *Nếu 4k+1 = 4k2+4k+1- 4k2
* 4k+3 = 4k2+8k+4- 4k2-4k -1
27)CMR: Với x,y Ỵ Z A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phương.
28)CMR: Với n Ỵ N A = (10n+10n-1+ +.10 +1)( 10n+1+5) + số phương. HD: A=10
n+1
−1 10−1 (10
n+1
+5)+1 ; Đặt a = 10n+1 29)CMR số sau số phương
a/ A = 111 1555 56 ( có n số n-1 số 5) b/ B = 11 1.+ 44 + (có 2n số , n số 4)
30) Cho số A = 11 11 ( 2m chữ số 1) ; B = 11 11 ( m+1 số 1) ; C = 66 66 (m số 6) CMR: A +B + C +8 số phương
HD: A = 102m−1 ;B=
10m+1−1
9 ;C=6
10m−1 H/ Tìm nghiệm nguyên:
31)a/ Tìm nghiệm nguyên phương trình x + y = xy HD: x + y = xy < = > xy – x –y +1 = b/Tìm nghiệm nguyên phương trình xy +1 = x + y
32)a/ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình xy +x+y = 30 b/Tìm nghiệm nguyên dương phương trình xy +x -2y = c/Tìm nghiệm nguyên dương phương trình xy - 4x = 35 – 5y ( HD: xy - 4x = 35 – 5y < = > xy – 4x +5y -20 = 15)
33) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau:
a/ x2 – y2 = 1987 b/ x2 -25 = y(y +6) (HD: x2 -25 = y(y +6) < => x2- y2 -6y -9 = 16 ) 34) Tìm nghiệm nguyên phương trình 6x + 15y = 10
(3)