ĐỊNH lý KOENIG TRONG các bài TOÁN cơ học vật rắn

Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý cũng như chương trình vật lý đại cương, tôi thấy phần các bài tập cơ học vật rắn là phần kiến thức khó và đặc biệt là phần Định lý Koenig để xác định mô men động lượng và mô men lực đối với một trục quay hay một điểm thì càng khó hơn vì đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng toán học tốt về phần giải tích vec tơ. Đây là phần kiến thức khó nhưng cũng rất cơ bản giúp chúng ta có thể giải quyết các bài toán cơ học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn hơn. Chính vì vậy tôi biên soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng vận dụng các định lý này trong việc giải các bài toán cơ học vật rắn cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia và thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái Bình Dương cũng như Olympic quốc tế. Sau đây là nội dung của chuyên đề: Cơ sở lý thuyết. Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức. Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết. Các bài tập tự luyện tập với đáp số.

ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN LỜI NĨI ĐẦU: Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý chương trình vật lý đại cương, thấy phần tập học vật rắn phần kiến thức khó đặc biệt phần Định lý Koenig để xác định mô men động lượng mô men lực trục quay hay điểm khó phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có kỹ tốn học tốt phần giải tích vec tơ Đây phần kiến thức khó giúp giải toán học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn Chính tơi biên soạn chun đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức bản, rèn luyện kĩ vận dụng định lý việc giải toán học vật rắn cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi cấp đặc biệt học sinh đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái Bình Dương Olympic quốc tế Sau nội dung chuyên đề: - Cơ sở lý thuyết - Các ví dụ đơn giản áp dụng cơng thức - Các tập tổng hợp có lời giải chi tiết - Các tập tự luyện tập với đáp số I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khối tâm a) Đối với hệ chất điểm S trọng tâm điểm M i có khối lượng mi, gọi O điểm tùy ý, ta có (1) với r uuuur r i  OM i Nếu ta chọn O G b) Đối với vật rắn: (2) Động lượng a) Định nghĩa: uu r r rG  r v Các điểm MI cấu tạo nên hệ S chuyển động với vận tốc i hệ quy chiếu R ur Tổng động lượng p S R tổng cộng động lượng chất điểm cấu tạo nên hệ S: (3) Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng hệ chất điểm hệ quy chiếu (HQC) R động lượng R chất điểm giả định khối tâm G có khối lượng khối lượng tổng cộng hệ S ur r p  mvG b) Tổng động lượng HQC trọng tâm R* Theo định nghĩa, điểm G điểm cố định R hệ S R* * , ur* r* v G tổng động lượng p ur* r không: p  (4) Mối liên hệ động lượng lực Định luật II Newton + Lực: (5) Trong tổng ngoại lực tác dụng lên hệ uu r  uuu r uuuu r uuu r X � Fex dt  Fextb t  P + Xung lực: Động hệ, định lý Koenig động Chọn điểm cố định O làm gốc tọa độ, G khối tâm hệ, ta có: (6) Vì động tồn phần hệ hạt khối tâm G, nên ta có: K mv (G )  K * (G ) Định lý Koenig động năng: (7) Mô men động lượng Định lý Koenig mô men động lượng a) Mô men động lượng hệ điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ S HQC R) tổng mô men động lượng tất điểm tạo nên hệ S (8) b) Mô men động lượng hệ khối tâm G S R *, theo định nghĩa là: (9) c) Định lý Koenig mô men động lượng Mô men động lượng O hệ chất điểm S HQC R tổng của: + Mô men động lượng O chất điểm giả định đặt G có khối lượng khối lượng tổng cộng hệ R + Mô men động lượng G hệ S HQC trọng tâm (nghĩa chuyển động quanh G) (10) d) Mơ men động lượng trọng tâm Nếu A điểm đó, ta viết R*: uu r ur* uuuu r ur uuur uuuu r L A  �AM i �mi vi  � AG  GM i �mi vi* uu r uu r uuur uuuu r  AG ��mi vi*  �GM i �mi vi* uu r r ur* p  �mi vi *    Biết , nhận thấy mô men động lượng hệ HQC trọng tâm độc lập với điểm mà ta tính Chúng ta viết mơ men ur ur* u r* mà khơng cần nói rõ số điểm đó: L A  LG  L ur ur* u r* Dùng định lý Koenig ta có: LG  LG  L e) Mô men động lượng điểm trục Giả sử vật rắn S cánh cửa hình vẽ HQC R S (O,xS, yS, zS) gắn với vật rắn, quay với vận tốc góc ur ur ur   ez   ' ez HQC R ur Ta viết biểu thức mô men động lượng L A vật rắn điểm A cố định trục Oz (A điểm cố định HQC gắn với vật rắn) R: ur uuuu r r LA  � AM � � �v(M )dm S Với Từ rút ra: ur uuuu r r uuuu r ur uuuu r LA  � AM � v ( M ) dm   AM � ( e � AM )dm z � � � � � S S ur uuuu r ur uuuu r ur uuuu r L A  � ( AM e  ( AM e ) AM )dm z � � z S Vậy Ta đưa vào điểm H hình chiếu M trục quay: uuuu r uuur uuuur uuuu r ur ur uuuur AM  AH  HM  AM ez ez  HM   Vậy ta được: ur ur uuuu r ur uuuur L A  � HM dm   ( AM � � � � � ez ) HM )dm S S ur 2 (Vì HM  AM  AH ) Như ta phân biệt biểu thức L A hai thành phần: + Một thành phần phương với vec tơ quay, là: + Một thành phần vng góc với vec tơ quay, là: ur ur L AP   � � �HM dm S ur uuuu r ur uuuur L A   � ( AM � � ez ) HM )dm S f) Mô men động lượng trục  - Mơ men qn tính: ur L  Thành phần trục quay L A mô men động lượng gọi mô men động lượng vật rắn trục  ur ur u r ur urur 2 L  L A ez  L AP.ez  ez  � � �HM dm  � � �HM dm S S Theo định nghĩa, L khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A trục  + Khoảng cách HM = r điểm M đến trục quay không đổi vật rắn quay ta định nghĩa mơ men qn tính J  vật rắn trục quay  sau: J  � � �r dm S Mơ men qn tính vật rắn trục quay đặc trưng cho mức quán tính chuyển động quay vật rắn quanh trục (bất biến theo thời gian), phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng vật rắn Mô men lực, định lý Koenig mô men lực uur uuuur ur uur M OM � m a O � i i i M + Mô men lực O điểm O hệ S R có biểu thức là: + Mô men lực G R* (R* tịnh tiến R) uu r uur uu r ur uu r uur * * a  a ( M )  a ( M )  a  a  a i e i C i G i Từ cơng thức cộng gia tốc ta có: Gia tốc Coriolis khơng cịn gia tốc kéo theo khơng phụ thuộc vào số i gia tốc Ta rút ra:  uuuur Vì lực: điểm G r uuur uur uur uuur uuuu r uur uu uur uuuu r M O  �OG �GM i �mi aG  ai*  OG �maG  �GM i �mi ai* �m GM i uur aG i r 0   uu r uur r * * i  F 0 �m a i  nên ta suy định lý Koenig mô men uuuur  uuur uuur M Ox  � M g dt  L0 + Xung mô men lực: Định lý Koenig mô men lực: Mô men lực O hệ chất điểm S HQC R tổng của: + Mô men lực O chất điểm giả định đặt G có khối lượng khối lượng tổng cộng hệ R + Mô men lực G hệ S HQC trọng tâm (nghĩa chuyển động quanh G) (10) Mơ men lực trọng tâm: Cũng mô men động lượng, mô men lực S HQC trọng tâm R * không phụ thuộc vào điểm mà ta tính Chúng ta viết mô men mà không uur uur* uur* cần nói rõ số điểm đó: M A  M G  M uur uur* uur* M  M G G  M Dùng định lý Koenig ta có: Mối liên hệ mơ men động lượng mô men lực Ta xét trường hợp tổng quát, điểm chọn để tính mơ men điểm bất ký P, điểm đứng yên chuyển động điểm cố định O chọn làm gốc tọa độ (hình vẽ) y P O x Theo định nghĩa mơ men động lượng tồn phần hệ điểm P là: Lấy đạo hàm theo thời gian, ta Thay tổng hợp ngoại lực nội lực tác dụng lên hạt I, ta được: r r dLP r r r r r  � ri  rP  �Fi ext  �mi  ri  rP  �aP dt r r �mi ri  mrG Thay tiếp , ta r r dLP r r r r r  � ri  rP  �Fi ex  m  rG  rP  aP dt r r r � ri  rP  �Fi ex Vì theo định nghía mơ men ngoại lực P, nên cuối ta công thức tổng quát: r r dLP r r r  �M Pex   rG  rP  �maP dt (6) Công thức (6) cho thấy mối liên hệ mô men lực mô men động lượng không đơn giản mối liên hệ lực động lượng Có dự khác biệt mơ men động lượng mơ men lực cịn tùy thuộc vào điểm để tính mơ men Bây ta bàn tiếp số hạng thứ hai công thức (6) Số hạng triệt tiêu ba điều kiên sau thỏa mãn: a) r r aP  Điểm P đứng yên (hay chuyển động thẳng đều) r r dLP  �M P dt (P cố định) (7) r r b) rG  rP hay P �G Khi ta có: r r dLG  �M Gex dt r r r aP / /  rG  rP  c) Gia tốc uuur r aG / / PG hay r uuur r dLP r  �M Pex aP / / PG dt  Các ý toán học:  Khi ta có: (9) ur ur A  (ax , a y , az ) B  (bx , by , bz ) Cho hai vec tơ: , ur ur + Tích vô hướng hai vec tơ: A.B  (axbx  a y by  azbz ) ur ur r r r A �B  i(a y bz  az by )  j (az bx  axbz )  k (ax by  a y bx ) + Tích có hướng hai vec tơ: rr r Với i, j , k vec tơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz II BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ Hai chất điểm A B giống hệt nhau, có khối lượng m liên kết với chiều dài b, khối lượng không đáng kể A dịch chuyển vòng tròn tâm O bán kính b AB dao động quanh trục qua A vng góc mặt phẳng hình vẽ Tính tổng động lượng mơ men động lượng O hệ AB theo góc O A B ,  đạo hàm chúng theo thời gian Giải Cách 1: ur r r p  mv ( A )  mv (B) Ta có: uur uuu r r uuu r r LO  OA �mv( A)  OB �mv( B ) uuu r OA  (b cos  , b sin  ,0) Với r uuu r v ( A )  OA '  ( b 'sin  , b ' cos , 0) suy uuu r OB  (b(cos   cos ), b(sin   sin  ), 0) r uuu r v( B)  OB '  (b( 'sin    'sin ), b( ' cos   ' cos ), 0) ur r r Suy p  mv( A)  mv ( B )  m(b(2 'sin    'sin ), b(2 ' cos   ' cos ), 0) uur uuu r r uuu r r ur LO  OA �mv ( A)  OB �mv ( B )  mb (2 '  '  ' cos(   ))ez Và ur ez Với vec tơ đơn vị trục Oz vng góc, ngồi mặt phẳng hình vẽ Cách 2: Chúng ta dùng định lý Koenig cách đưa vào khối tâm G (trung điểm AB) hệ uuur 1 OG  (b(cos   cos ), b(sin   sin  ), 0) 2 Ta có uu r uuur 1 vG  OG '  (b( 'sin    'sin ), b( 'cos    ' cos ), 0) 2 Và vận tốc khối tâm G là: Mô men động lượng hệ khối tâm G: uuu r uuu r r * r * v ( A )   v ( B) GA   GB uuu r 1 GB  ( bcos , b sin  ,0) 2 1 r v ( B )*  (  'sin , b ' cos , 0) 2 Rõ ràng ta tìm ur r p  2mv(G )  m(b(2 'sin    'sin ), b(2 ' cos   ' cos ), 0) Và tổng mơ men động lượng hệ: Ví dụ Một AB đồng nhất, có tâm G, khối lượng m treo hai dây nhẹ giống AA’ BB’ có chiều dài b Thanh dao động mặt phẳng thẳng đứng, hai dây AA’ BB’ song song với A’ a) Tính động theo đạo hàm  ' góc nghiêng  dây thời điểm cho trước b) Tìm chu kỳ dao động nhỏ Giải a) Định lý Koenig động cho ta: K B’ A G mv (G )  K * (G) * Trong HQC R* (G,x,y,z) đứng yên K (G )  nên: K mv (G )  mb 2 '2 2 (1) b) Chọn mốc vị trí thấp trình dao động + Thế là: U  mgb(1  cos ) (2) + Cơ hệ là: E  K U  2 mb  '  mgb(1  cos )  mgb(1  cos )  const (3) Đạo hàm theo thời gian hai vế (3) ta được:  " b  g sin   (4) o Với   10 � sin  � (rad ) B phương trình (4) trở thành:  "    với Vậy chu kỳ dao động nhỏ là: T 2  g b 2 b  2  g Ví dụ Một vịng trịn đồng có tâm O, khối lượng m, bán kính a quay với tốc độ  khơng đổi quanh trục cố định Tính mơ men động lượng vịng trịn O động vịng trịn Giải Điểm M vòng tròn xác định tọa độ cực: r uu r v( M )  a e Vận tốc M là: Từ suy ra: + Mô men động lượng O: uur LO  uuuu r r ur OM � v ( M ) dm  ma  e z � vòng + Mô men lực O: uuur d uur d uuuu r r ur r d M O  LO  OM � v ( M ) dm  ( ma  ) e z 0 � dt dt vòng dt + Động K 1 J   ma 2 2 Ví dụ Chứng minh định lý Huygens cách: a) Dùng định lý Koenig mô men động lượng b) Dùng chứng minh hình học Giải a) Gọi A điểm cố định trục  + Trong R: L  J G  + Theo định lý Koenig: r ur uur uur ur uuur r ur uuu L  LA ez  AG �mv (G ) ez  L*G ez   uuuu r ur OM  aer Từ ta suy ra: ur C r ur p� v( M )dm  mR ' ez  B + Động lượng: + Mô men động lượng: uur C uuuu r uu r ur LO  � OM �v(M )dm  mR ' ez B uur C uuur d L r uu r ur d uuuu M O  O  (� OM �v(M )dm)  mR '' ez dt dt B + Mô men lực: Và động năng: K mR 2 '2 Ví dụ Một AB đồng chiều dài 2b khối tâm G trung điểm AB Thanh tựa lên mặt đất nằm ngang gối lên tường thẳng đứng Vị trí xác định theo uuu r uuur   Ox, OG  góc trượt A B , góc thay đổi r v 1) Xác định thành phần vận tốc (G) điểm G theo  đạo hàm  y + B G O ur 2) Tìm vec tơ quay  Chú ý: cần ý đến dấu biểu thức tính tốn Giải Trong tam giác vng OAB, trung tuyến OG có chiều dài b, từ đó: uuur OG   b cos  , b sin  ,  r d uuur v(G )  OG   b 'sin  , b ' cos ,  dt Vận tốc khối tâm: (1) ur ur ur ez   ez Véc tơ quay hướng theo trục , ta đặt r v Ta viết biểu thức (G) sau: r r ur uuur v(G )  v( A)   �AG x A r r uu r d uuu uuu r uu r v ( A )  OA   b  'sin  e x dt Biết OA  2b cos  ex suy r r ur uuur v ( G )  v ( A )   �AG  (b(  2 ')sin  ; bcos ;0) (2) Từ suy ra: ur ur    ' ez Cho (1) (2) ta Ví dụ Một lắc kép gồm hai OA AB giống nhau, đồng chất, có khối lượng m, chiều dài 2b nối khớp A Hai chuyển động mặt phẳng thẳng đứng Oxy góc nghiêng chúng O G2 A y + G1 B xác định góc ,  so với đường thẳng đứng Ox hướng xuống Tính mơ men động lượng x O động lắc kép Giải Thanh OA quay quanh trục Oz cố định, định lý Huygens cho: J OZ (OA)  mb2  y’ x’ m(2b)  mb 12 Từ ta có mơ men động lượng OA điểm O: uur ur ur LO (OA)  J Oz (OA). ' ez  mb 2 ' ez Động OA: K (OA)  J Oz (OA). '2  mb2 '2 Áp dụng định lý Koenig cho phép tính phần tử động học AB: uur uuuur r ur LO ( AB)  OG2 �mv(G2 )  J G2 z ( AB). ' ez K ( AB)  mv (G2 )  J G2 z ( AB ). '2 2 Biết rằng: 2b cos   b cos  uuuur OG2 2b sin   b sin  Và vận tốc G2 2b 'sin   b 'sin  r d uuuur v(G2 )  OG2  2b ' cos  b ' cos dt J Gz ( AB)  1 m(2b)2  mb  J 12 Và Ta có: Và động năng: Đối với hệ lắc kép: Ví dụ Hai vật khác có khối lượng m trượt không ma sát mặt bàn nằm ngang Thời gian đầu vật thực trượt tịnh tiến( không quay) tâm chúng có vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song Khoảng cách đường thẳng d Tại thời điểm định xảy va chạm đàn hồi lý tưởng vật Sau va chạm, vật thực chuyển động tịnh tiến, quay tiếp tục trượt mặt bàn, vận tốc góc vật thứ 1 , vật thứ hai 2 Mô men quán tính chúng tính theo trụ thẳng đứng qua khối tâm I1 I2 a) Hãy mô men xung lượng vật tính theo điểm xác định mặt bàn tổng mô men xung lượng vật tính theo khối tâm b) Tính khoảng cách d’ đường thẳng dọc theo khối tâm hai vật chuyển động sau va chạm c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc vật thứ thứ hai không quay Hãy xét phụ thuộc d’ vào d Giải: a) Ta cần chứng minh: + uur uur uu r uu r uur uu r uu r LO  LG  (�mi )rG �vG  LG  M rG �vG v vật m i G Xét phần tử mi vật rắn Ta có: O uur uu r u r uu r ur LO  �mi (rG  ri ) �(vG  vi ) uu r uu r u r uu r uu r ur u r ur  (�mi )rG �vG  (�mi ri ) �vG  rG �(�mi vi )  �mi ri �vi u r r � �mi ruri  0r � � �mi vi  � Nhận xét: � uur uu r uu r u r ur LO  (�mi )rG �vG  �mi ri �vi Do uu r uu r uu r uu r � (�mi )rG �vG  M rG �vG � u r ur uur � m r � � i i �vi  LG � Mặt khác, nên b) Gọi uur uur uu r uu r LO  LG  M rG �vG (ĐPCM) v1' vận tốc vật (của G ) sau va chạm m G1 G2 Do hệ kín nên động lượng hệ bảo tồn dó đó: ur uu r uu r r r r ur' ur ' ' ' mv1  mv2  mv  mv  � v1  v2  v ' Ta xét mô men động lượng hệ G2 Do khơng có ngoại lực nên mơ men động lượng trước sau va chạm Ta có, ban đầu LG2  mvd sau Mà L 'G2  mv ' d ' I11  I 22 1; 2 có chiều hình vẽ gọi chiều dương nên mvd  mv ' d ' I11  I 22 �d' c) Với mvd  I11  I 22 mv ' v'  v , 2  � d '  d  d' I11 mv 0 >0 d Theo định luật bảo tồn lượng, ta có: v mv  m( ) 2  I112 2 2 � 2mv  mv  I112 � I112  mv � 1 m I  � �d' d � v I1 m Vậy: a) uur uur uu r uu r LO  LG  M rG �vG d' b) mvd  I11  I 22 mv ' d' d � c) Ví dụ I1 m Xét hình bán trụ D đồng nhất, tâm C, khối tam G, bán kính R khối lượng m Hệ quy chiếu Trái Đất (Oxyz) xem quán tính Tất nằm mặt phẳng thẳng đứng (Oxy) Ta kí hiệu I điểm tiếp xúc mặt đất D Ta xác định vị trí D theo tọa độ x tâm C theo góc uur uuur   (CI , CG ) CG  b  4R 3 Hãy xác định phương trình chuyển động D cách: Cho a) Tính mô men lực đĩa D I b) Vận dụng định lý mô men lực I để tìm phương trình vi phân bậc hai  c) Giả sử  nhỏ Tuyến tính hóa phương trình vi phân có câu b) để từ suy chu kỳ T0 dao động nhỏ D quanh vị trí cân Giải a) Tính mơ men lực D I + Cách Dùng định lý Koenig mô men lực uuur uur r ur M I  IG �ma (G )  J G " ez uuur ur M I   ( J  m( R  2bR cos  )) " mRb '2 sin   ez Ta tìm được: + Cách Dùng định lý Koenig mô men động lượng D I Hay uu r uur r ur ur LI  IG �mv (G )  J G ' ez   J  m( R  2bR cos  )   ' ez uu r ur ur LI  J I  ' ez   J  m( R  2bR cos  )   ' ez uu r uuur d L ur M I  I   ( J  m( R  2bR cos  )) " mRb '2 sin   ez dt Và dùng hệ thức b) Vận dụng định lý mô men lực điểm I, phép chiếu lên trục Oz cho kết (chỉ có mơ men trọng lực I khác không)  ( J  m( R  2bR cos  )) " mRb '2 sin     mgb sin  c) Nếu  nhỏ, phương trình đơn giản thành: ( J  mR  2mbR ) "   mgb Như vật hình bán trụ D thực dao động nhỏ điều hịa quanh vị trí cân  = với chu kỳ: T0  2 J  mR  2mRb mgb Ta có mơ men qn tính D trục qua C vng góc với D Nên T0  2 J mR 2 (9  16 R) 8g Ví dụ 10 Xét khối lăng trụ đáy lục giác đều, dài cứng,  giống bút chì thơng thường Khối lượng M phân bố Tiết diện thẳng hình lục giác đêu cạnh a Mơmen qn tính khối lăng trụ lục giác trục xuyên tâm a) Ban đầu khối lăng trụ nằm yên mặt phẳng nghiêng làm với mặt ngang góc nhỏ  Trục lăng trụ nằm ngang Cho mặt khối lăng trụ lõm chút cho khối trụ tiếp xúc với mặt phẳng nghiêng cạnh Bỏ qua ảnh hưởng lõm mơmen qn tính Khối trụ bị đẩy cho dịch chuyển bắt đầu lăn xuống mặt nghiêng Cho ma sát mà khối trụ không trượt chạm vào mặt nghiêng Vận tốc góc trước cạnh đập vào mặt nghiêng i sau cạnh đập vào mặt nghiêng f Chứng minh ta viết : f = si , tìm s b) Động khối trụ trước sau cạnh đập vào mặt nghiêng Ki Kf Chứng minh : Kf = r Ki Tìm r c) Để có lần va đập K i phải vượt qua giá trị Ki , mà ta viết dạng: Ki = Mga, g = 9,81 m/s2 Tính giá trị  theo góc nghiêng  hệ số r d) Giả sử điều kiện phần c) thỏa mãn, động K i dần tới giá trị không đổi Kio khối trụ lăn xuống mặt phẳng nghiêng Biết giá trị tồn tại, chứng minh K io viết dạng : Kio = kMga, tìm biểu thức k theo  r e) Tính xác đến 0,1o góc nghiêng thối thiểu o trình lăn khởi động, tiếp diễn mãi Giải a) Cách - Trước va đập, khối trụ quay quanh trục I, sau va đập quay quanh trục F Xung lực xuất va chạm qua F, : Mômen động lượng L khối trụ trục F bảo tồn q trình va chạm Ta có : Trước va đập : Li = Mơmen động lượng quanh khối tâm C + Mômen động lượng khối tâm quanh trục quay F (theo định lý Koenig) uur uur uuur uu r LF  LG  ( FC �M vci ) uuu r ur uuur uu r LFi  I Ci ez  ( FC �M vci ) ur ez với vec tơ đơn vị trục hình trụ C  Li = ICi + vci.cos60o.a.M (1)   Vì vci = i.a nên (2) Sau va đập : Suy : Li = Lf  vci  F  lưu ý s không phụ thuộc , a i Cách Khi cạnh khối trụ va đập vào mặt nghiêng (trong thời gian dt) có phản lực N tác dụng lên khối trụ, có ma sát nên N khơng vng góc với mặt nghiêng + Thành phần song song với mặt nghiêng N// + Thành phần vng góc với mật nghiêng N Lấy trục song song với mặt nghiêng hướng từ thấp đến cao, trục vng góc với mặt nghiêng hướng từ lên Ta có: (4) Mặt khác: (định lí biến thiên mơmen động lượng C) Từ (4), (5), (6) loại N// N ta : b) Tốc độ dài khối tâm trước lúc va đập ai sau lúc va đập af + Động toàn phần vật quay : + Trước va đập : Ta thấyđộng tỉ lệ với 2 + Sau va đập : Suy : (8) c) Động Kf sau va đập phải đủ lớn để nâng khối tâm khối trụ lên vị trí cao đường thẳng đứng qua tiếp điểm + góc mà véc tơ uu r rC phải quay : x = 30o -  + lượng để khối tâm nâng lên : (9) ta suy điều kiện : Kf = r.Ki > Eo = Mga(1-cos(30o - ))  r.Ki = Mga =Eo  (10) d) Gọi Ki,n Kf,n động trước sau va đập lần thứ n Ta chứng minh có hệ thức : Kj,n = r.Ki,n r tính (8) Giữa hai va đập liên tiếp, độ cao khối tâm khối trụ giảm di asin, động tăng lên lượng  = Mgasin, Ki, n + = r.Ki +  (11) Ta không cần phải viết biểu thức đầy đủ K i,n hàm theo Ki n để tìm giới hạn Làm chứng minh tồn giới hạn Theo đề bài, giới hạn tồn tại, cho Ki,n +  Ki,n n đủ lớn cách tùy ý Giới hạn Ki,o phải thỏa mãn hệ thức : Ki,o = r.Ki,o +  (12)   Ta giải toán cách tường minh cách viết biểu thức cách đầy đủ : Ki,2 = r.Ki,1 +  Ki,3 = r.Ki,2 +  = r(r.Ki,1 + ) +  = r2.Ki,1 + (1+r) Ki,4 = r.Ki,3 +  = r (r2.Ki,1 + (1+r)) +  = r3.Ki,1 + (1 + r + r2) Ki,n = rn-1.Ki,1 + (1 + r + r2 + + rn-2) = (14) Khi n  , r < 1, nên ta có : Nếu ta tính biến thiên động chu kí nghĩa từ trước lần đập thứ n tới trước lần đập thứ n + 1, ta được: Ki,n = Ki,n+1 – Ki,n = (r – 1)rn-1Ki,1 + rn-1 = rn-1[ - (1 – r)Ki,1] (16) Đại lượng dương giá trị ban đầu K i,1 < Ki,o Ki,n tăng dần tới giá trị giới hạn Ki,o Ngược lại, Ki,1 > Ki,o động trước va đập Ki,n giảm tới giá trị giới hạn Ki,o a) Để khối trụ lăn mãi, giá trị giới hạn K i, phần d) phải lớn giá trị nhỏ để tiếp tục lăn tìm phần c): đặt ta có : Asin > 1- cos(30o - ) = – cos30ocos - sin30osin  (18) Giải phương trình lượng giác ta o  6,58o + Nếu  > o động trước lần va đập đủ lớn nói câu c) ta có q trình lăn liên tục + Chú ý: đầu nói  góc nhỏ nên áp dụng công thức gần đúng: sinx x ; cosx  1- x2/2 để giải bất phương trình (18) III BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Một bánh xe to chỗ chơi ngày lễ hội A có bán kính R quay với tốc độ góc  khơng đổi quanh trục nằm ngang bánh xe Ta xét thùng treo (móc nối tốt A bánh xe) hành khách (mà ta xem hồn tồn khơng động đậy thùng treo), hệ thùng treo hành khách G O b có khối lượng m, có khối tâm G nằm đường thẳng đứng qua điểm A, cách A khoảng b Xác định mô men động lượng O, mô men lực O động hệ thùng treo hành khách Đáp số: uuur r MO  uur uu r LO  mR 2 e y K với vec tơ uu r ey vng góc mặt phẳng hình vẽ mR 2 2 Bài Bốn OD, OE, AC BC có khối lượng khơng đáng kể nối khớp với điểm O, A, B C Điểm O cố định, ống C xem chất điểm khối lượng m trượt theo trục thẳng đứng (Oz) Ở đầu mút D E có hai chất điểm giống nhau, khối lượng m Ta xác định vị trí hệ O x A B C D góc  Hãy tìm tổng động lượng, mô men động + E z lượng O động hệ theo đạo hàm ’ góc  Cho biết: OA = OB = AC = BC = AD = BE = b Đáp số: uu r ur ur uur p  6mb 'sin  ez LO  8mb  ' ey ; 2 K  2mb  ' (2  sin  ) Bài Một AB có khối lượng không kể, chiều dài 4a treo điểm O cố định Ở A b có khớp nối với hai giống CD EF, khối lượng không đáng kể, chiều dài 2a (A điểm CD, B điểm EF) Ở đầu mút C, D, E F có bốn khối F B điểm giống hệt m Tính mơ men động lượng O động hệ phụ + thuộc vào góc ,,  đạo hàm chúng E O D y A x C Đáp số: uur ur LO  2ma (8 '  '  ')ez K  ma (8 '2   '2   '2 ) Bài Thanh thẳng AB đồng chất, tâm C dài b, có khối lượng m treo nằm ngang nhờ hai dây nhẹ, không dãn, chiều dài, treo vào điểm O hình vẽ Góc tạo dây treo  = 60 Hệ quy chiếu Trái Đất xem HQC O  A B o quán tính a) Hệ cân Tìm lực căng dây T0 dây OA A b) Tìm lực căng T dây OA dây OB đột ngột bị đứt (khi mà AB cịn T chưa kịp dịch chuyển) Tính tỉ số T0 Đáp số: a) T0  mg b) T 3mg T  13 ; T0 13 Bài Một hình vng ABCD cạnh L quay xung quanh điểm A mà nằm mặt phẳng (xOy), với tốc độ góc  Ở đỉnh có chất điểm khối lượng m bỏ qua khối y B lượng nối Hãy xác định, HQC R, động lượng, mô men động lượng A độnguu r ur ur uuur p  m  BD ; LA  4m L ez ; K  2mL2 Đáp số: Bài Một đồng tiền xem lý tưởng đĩa trịn đồng chất bán kính a với bề dày không đáng kể khối lượng m lăn khơng trượt đường trịn Khối tâm C đĩa chuyển động đường trịn bán kính b trục nghiêng góc A L G x D θ so với phương thẳng đứng Tìm vận tốc góc Ω tâm đĩa Đáp số:  g tan  6b  a sin  IV KẾT LUẬN Giải toán động lực học vật rắn chuyên đề việc bồi dưỡng Học sinh giỏi THPT Để giải yêu cầu đặt toán chuyển động vật rắn yêu cầu phải nắm vững Định luật chuyển động vật thể, đặc điểm chuyển động vật rắn, đặc điểm va chạm vật rắn Từ phân tích đặc điểm mà vận dụng định luật động lực học cách phù hợp Trong giải tốn vật lý nói chung tốn học vật rắn nói riêng việc phân tích kĩ tượng vật lý xảy quan trọng Từ việc hiểu tượng vật lý để vận dụng ngun lí phù hợp thơng qua định lý, định luật Các biểu thức thể quan hệ đạt dựa vào giả thiết tốn để tìm kết Trong chương trình THPT giải tốn vận dụng phương trình động lực học vật rắn phương trình chuyển động vật rắn Thường gặp tốn biết điều kiện động lực học suy chuyển động ngược lại biết chuyển động để tìm đại lượng động lực học Việc giải toán phức tạp học vật rắn, đặc biệt tốn va chạm vật rắn có mức độ tổng hợp cao đòi hỏi học sinh phải hiểu sâu giải tình phức tạp hơn, học sinh cần phải rèn luyện kĩ vận dụng cao Chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” chuyên đề góp phần hỗ trợ việc giải toán tổng hợp, đặc biệt tốn va chạm vật rắn Các ví dụ ví dụ điển hình minh hoạ phần cho chuyên đề Rất mong đồng nghiệp góp ý, bổ xung để chuyên đề thực bổ ích cơng tác giảng dạy học sinh chuyên công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cấp Tôi xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO Chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Vật lí (Cơ học 2) NXBGD 2012 Tô Giang Mécanique du solide Hachette Supérieur 2003 J.P DURANDEAU Mécanique du ponit Hachette Supérieur 2003 J.P DURANDEAU Bài tập vật lý đại cương tập (cơ học) NXBĐHQGHN 2008 Nguyễn Quang Hậu Các toán Vật lí chọn lọc THPT (Cơ - Nhiệt) NXBGD 2006 Vũ Thanh Khiết Bài tập lời giải học NXBGD 2008 Yung – Kuo Lim Cơ sở vật lý Tập Cơ học David Halliday NXBGD 2002 Các đề thi học sinh giỏi Vật lý (2001 – 2010) NXBGD 2011 Vũ Thanh Khiết, Vũ Đình Túy ... vật rắn, đặc điểm va chạm vật rắn Từ phân tích đặc điểm mà vận dụng định luật động lực học cách phù hợp Trong giải toán vật lý nói chung tốn học vật rắn nói riêng việc phân tích kĩ tượng vật lý. .. dụ Chứng minh định lý Huygens cách: a) Dùng định lý Koenig mô men động lượng b) Dùng chứng minh hình học Giải a) Gọi A điểm cố định trục  + Trong R: L  J G  + Theo định lý Koenig: r ur uur... Giải toán động lực học vật rắn chuyên đề việc bồi dưỡng Học sinh giỏi THPT Để giải yêu cầu đặt toán chuyển động vật rắn yêu cầu phải nắm vững Định luật chuyển động vật thể, đặc điểm chuyển động vật