Giao An on tap toan 8

c. Gäi O lµ giao ®iÓm cña AN vµ EC.. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ l hinh b×nh hµnh.. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ l hình bình h nh. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ l hình bình h nh.. A[r]

Tr

êng THCS Thanh liªn Tài liệu ôn tập giáo án ôn tập toán 8

Buổi : Nhân đơn thức với đa thức nhân đa thức với đa thức

I/ Mục tiêu

- RÌn kĩ nh©n đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức - TÝnh cẩn thận, chÝnh x¸c thu gọn, chó ý dấu cho học sinh

- Bắt đầu thực nh©n đa thức l m xuà ất đẳng thức học II/ Nội dung «n tập

1 Ổn định tổ chức Kiểm tra

GV lồng v o b i hà ọc Bài ôn tập

I- Kiến thức bản

1- Nhân đơn thức với đa thức A.(B + C -D) = A.B + A.C -A.D

2- Nhân đa thức với đa thức

(A + B)(C + D -E) = A.C + A.D -A.E + B.C + B.D -B.E II- B i tà ập

Bài 1: Thực phép tính, rút gọn a/ 2x( x2 -5x -1) + (3x -1)x

b/ ( 2x3yz -7x2yz)(- 5xyz) + (x2y2z + xy2z)4x2z c/ (x -y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4

) d/ (x+ y)( x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4)

e/ (A -B)(Ak-1 +Ak-2.B +Ak-3.B2 + …………+ A.Bk-2 + Bk-1)

HD: Các câu a,b,c,d em áp dụng b ình thường nh ân đ ơn thức với ®a thøc, nhân đa thức với đa thức

Riêng câu e GV cho HS thấy quy luật dãy số giới thiệu hằng đẳng thức hiệu hai lập phờng mà em đợc học

A3 -B3 = (A -B)(A2 + AB + B2) Bài 2:Tìm x biết

a/ 4(3x -1)- 2(5x -3) = -12 Kq: x = 1/9

b/ 2x(x -1) -3(x2 -4x) + x(x +2) = -3 Kq: x= -1/4

c/ (x -1)(2x -3) -(x + 3)(2x -5) = Kq: x = 7/3

d/ (6x -3)(2x +4) + (4x -1)(5 -3x) = -21 Kq: x =- 4/41

HD: HS biến đổi vế trái để đa loại tốn tìm x quen thuộc Bài 3: Rút gọn tính giá trị biểu thức

(x -y)(x2 + xy + y2) - (x + y)(x2 -y2) Víi x = -2, y = -1

Bµi 4: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào t (3t +2)(2t -1) + (3 -t)(6t +2) -17(t -1)

Bài 5: Tính giá trị cđa ®a thøc

a/ P(x) = x7 -80x6 + 80x5 -80x4 + 80x3 -80x2 + 80x +15 t¹i x =79

b/ Q(x) = x10 -15x9 + 15x8 -15x7 +……….+ 15x2 -15x +15 t¹i x =14 HD:

a/ Tách 80 = 79 +1 sau nhân thu gọn Kq: P(79) = 94

b/ Tách 15 =14 + sau nhân thu gọn Kq: Q(14) =

Bµi 6: Rót gän biÓu thøc

xn -2 (x2 -1) -x(xn -1 - xn -3) Víi n∈N , n ≥3

HD: HS áp dụng kiến thức nhân đơn thức với đa thức tích hai luỹ thừa để thực rút gọn

Kq:

HD: n(2n -3) -2n(n + 1) = 2n2 -3n -2n2 -2n = -5n ⋮5 ( §PCM) Hớng dẫn nhà

Làm BT: 1,2,4,5,6,7,8,9 SBT/3,4

Buæi 2,3

MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG VỀĐƯỜNG TRUNG BÌNH TRONG TAM GI C Á

I. Mục đích

- Cung cấp thªm cho Hs kiến thức mở rộng đường TB tam gi¸c

- Rèn luyện kĩ phân tích toán mở rộng, khái quát toán HH

II. Nội dung

1 Cung cấp kiến thức bổ sung

Định lí : Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền

Định lí : Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh ấy tam giác tam giác vng.

* Việc chứng minh hai định lí khơng khó (dựa vào tính chất đường trung bình tam giác) vấn đề nảy sinh định lí phát biểu cách khác : “Trong tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vng nửa cạnh đối diện với đỉnh đó”

Câu hỏi tơi đặt : Trong tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn (hay đỉnh góc tù) so với cạnh đối diện với đỉnh ? Khơng khó khăn để có trả lời cho câu hỏi

Trường hợp 1 (trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn) :

Cho tam giác ABC có  = 90o M trung điểm BC Ta so sánh AM với BC/2;

Khơng tính tổng quát, giả sử  B < 90o(hình 1) Gọi H hình chiếu vng góc C AB H phải thuộc đoạn thẳng AB (H khác A H khác B) Suy :

 AHM =  AHC +  CHM  AHC = 90o

 H góc lớn tam giác AHM => AM > HM Mặt khác, theo định lí 1 HM = BC/2 nên : AM > BC/2

Trường hợp 2 (trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc tù) :

Cho tam giác ABC có  A > 90o, M trung điểm BC Ta so sánh AM với BC/2 :

Dựng hình bình hành ABDC (hình 2)

Như ta có thêm hai định lÝ sau :

Định lí 1.1 : Trong tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn lớn nửa cạnh đối diện với đỉnh đó.

Định lí 1.2 : Trong tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc tù nhỏ nửa cạnh đối diện với đỉnh đó.

Bằng phương pháp phản chứng ta dễ dàng chứng minh hai định lí khác :

Định lí 2.1 : Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn nửa cạnh góc đối diện với cạnh nhọn.

Định lí 2.2 : Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ nửa cạnh góc đối diện với cạnh tù.

* Tôi vui sướng đem kết khoe với người anh họ Anh khen đặt thêm cho câu hỏi : Với tam giác vuông ABC vuông A, trung tuyến AM Đặt BC = a, AM = ma định lí 1 viết dạng hệ thức : ma = a/2 (*), có hệ thức tổng quát tính độ dài đường trung tuyến ABC tam giác khơng ?

Phải đợi đến học định lí Py-ta-go lớp tơi trả lời câu hỏi này, định lí sau (trong SGK mới, định lí Py-ta-go giới thiệu từ lớp 7)

Định lí : Một tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c độ dài ba đường trung tuyến tương ứng ma, mb, mc :

Chứng minh (**) : Dựng đường cao AH (hình 3), không tổng quát, giả sử H thuộc tia MB Theo định lí Py-ta-go ta có :

AB2 = AH2 + HB2 = AH2 + |MB - MH|2 = AH2 + MH2 + MB2 - 2.MB.MH = AM2 + BC2/4 - 2,MB.MH ;

AC2 = AH2 + HC2 = AH2 + (MC + MH)2 = AH2 + MH2 + MC2 + 2.MC.MH

* Tơi tiếp tục dự đốn v chà ứng minh định lí bao trùm định lí ; 1.1 ; 1.2

Ta có :

Việc dự đoán v chà ứng minh dẫn tơi đến kết (1), (2), l cácà mở rộng định lí Py-ta-go Đảo lại định lí Py-ta-go v kà ết (1), (2)

Chứng minh (1) : Tam giác ABC có A < 90 o Khơng tính tổng qt, giả sử B < 90

 o (hình 4)

Gọi H l hình chià ếu vng góc C AB H phải thuộc đoạn thẳng AB (H khác A v H khác B) Suy :

BC2 = BH2 + CH2 = (BA - AH)2 + AC2 - AH2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AH < AB2 + AC2

=> a2 < b2 + c2

Chứng minh (2) : Tam giác ABC có B < 90 o (hình 5)

Gọi H l hình chià ếu vng góc C AB A phải nằm B v H Suy raà : BC2 = BH2 + CH2 = (BA + AH)2 + AC2 - AH2

= AB2 + AC2 + 2.AB.AH > AB2 + AC2  a2 > b2 + c2



Bi 4,5

Ơn tập: Các đẳng thức đáng nhớ I/ Kiến thức

1 B×nh ph¬ng cđa mét tỉng (A + B )2 = A2 + 2AB + B2 Bình phơng hiệu

(A - B )2 = A2 -2AB + B2 Hiệu hai bình phơng

A2 - B2 = ( A - B )( A +B ) 4.LËp ph¬ng cđa mét tỉng

( A + B )3 = A3 +3A2B + 3AB2 + B3 5.LËp ph¬ng cđa mét hiÖu

( A - B )3 = A3 -3A2B + 3AB2 - B3 Tỉng hai lËp ph¬ng

A3 + B3 = (A +B )( A2 - AB +B2 ) HiƯu hai lËp ph¬ng

II/ Bµi tËp Bµi 1/ TÝnh

a) (x+2y)2 ; b) (x-3y)(x+3y) ; c) (5-x)2

Bµi / rót gän biĨu thøc a) (x+y)2 + (x-y)

b) 2(x-y)(x+y) + (x+y)2 + (x-y)2 c) (x-y+z)2 + (z-y)2 + (x-y+z)(y-z) KÕt qu¶ :

a) 2(x2 + y2) b) 4x2

c) Vì (z -y)2 = (y - z)2 ; biểu thức cho bình phơng tổng ta đợc [(x - y + z) + (y - z)]2 = x2

Bài / Tính giá trị biểu thức sau : a) x2 - y2 x = 87 y = 13

b) x3 - 3x2 + 3x -1 t¹i x = 101 c) x3 + 9x2 + 27x + 27 x = 97 Bài / Chứng minh r»ng :

a) (a+b) (a2 - ab + b2 ) + (a - b) (a2 + ab + b2 ) = 2a3 b) a3 + b3 = [(a-b)2 +ab ]

c) (a2+b2)(c2 +d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2

Bµi / BiÕt sè tù nhiªn a chia cho d Chøng minh r»ng a2 chia cho d 1. HD: Sè tù nhiªn a chia cho d a có dạng nh thÕ nµo?

HS: a = 5k + (k N) Vậy bình phơng số tự nhiên lên

A2 = ( 5k + )2 = 25k2 + 10k + 16 = 5(5k2 +2k +3) + chia cho d Bµi 6/ Chøng minh r»ng

a> (x - y)2 + 4xy = ( x +y)2 b> (a + b)3 = a3 +b3 + 3ab(a + b)

HD: Có thể tuỳ mà ta biến đổi vế tráI hay vế phảI hai vế a VT = x2 -2xy + y2 +4xy = x2 + 2xy + y2 = (x+ y)2 (ĐPCM) b biến đổi hai v

Bài 7/ So sánh

a) A = 2002.2004 vµ B = 20032

b) C = 12(52 +1) (54 +1) (58 +1)… (532 +1) vµ D =564 - 1 HD: A = (2003 + 1)(2003 - 1) = 20032 - < 20032 = B

C = 24/2 (52 +1) (54 +1) (58 +1)… (532 +1) =

= (52 - 1) (52 +1) (54 +1) (58 +1)… (532 +1)/2 = = (564 - 1)/2 < 564 -1 =D

Bµi 8: Cho biÕt x3 + y3 = 95 vµ x2 - xy + y2 = 19 TÝnh giá trị biểu thức x +y ?

HD: x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2) 95 = (x + y) 19

=> x +y = 95/19 = Bài 9: Tìm x biÕt

(x + 3)(x2 -3x + 9) - x(x - 1)(x + 1) = 14 Gi¶i : x3 - 33 - x(x2 - 1) = 14 x3 - 27 - x3 + x = 14

x = 14 + 27 = 41

Buổi 5,6 Một số tốn đờng trung bình của hình thang

I/ Mơc tiªu

- Củng cố kiến thức đờng trung bình hình thang

- Giới thiệu số dạng thuận đảo xuất phát từ tốn cho từ hình thành cho hs t hình học

II/ Néi dung «n tËp

B i tốn th ận : Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N l trung điểm cạnh bên AD, BC Nối MN (đường trung bình) cắt hai đường chéo BD v AC tà ại P v Q tà ương ứng Ta có kết sau :

1) MN song song với hai đáy AB, CD v MN = 1/2 (AB + CD)

2) P, Q l trung điểm hai đường chéo BD, AC v PQ = 1/2.|AB - CD|

3) MP = NQ

Từ đó ta có b i toán à đảo :

Chứng minh :

- Gọi K l trung điểm đường chéo BD, ta có : MK // AB v MK = 1/2.AB

NK // CD v NK = 1/2.CD

=> : MK + NK = 1/2.(AB + CD) = MN (gt)

=> : M, K, N thẳng h ng => AB // MN v CD // MN => AB // CD (à đpcm) B i toán à đảo : Cho tứ giác lồi ABCD (AB < CD) Gọi P, Q l trung điểm đường chéo BD v AC tà ương ứng Chứng minh PQ = 1/2.(CD - AB) ABCD l hình thang

Chứng minh : Gọi M l trung điểm AD, ta có : PM // AB v PM = 1/2.AB ; QM // CD v QM = 1/2.CD

=> : QM - PM = 1/2.(CD - AB) = PQ

=> : M, P, Q thẳng h ng => AB // PQ v CD // PQ => AB // CD (à đpcm)

B i toán à đảo : Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M v N l trung à điểm cạnh AD v BC tà ương ứng Giả sử MN cắt đường chéo BD v AC tà ại P v Q Chứng minh MP = NQ ABCD l hình thang

Chứng minh :

- Tất nhiên AC không song song với BD (1)

- Gọi E, F l trung điểm đường chéo BD v AC tà ương ứng Giả sử P không trùng với E v Q không trùng ới F Ta có ME song song v bà ằng NF (vì song song v bà ằng 1/2.AB) => MENF l hình bình h nh => MN cà EF trung điểm O đoạn hay OM = ON, m MP = NQ => PO = OQ => PEQF l hình bình h nh => PE // QF hay BD // AC, trái ới (1)

Vậy E trùng với P, F trùng với Q hay AB // MP, CD // NQ => AB // MN // CD (đpcm)

Bằng cách suy nghĩ tương tự ta có b i tốn đảo sau m ời giải d nh cho bà ạn :

B i toán à đảo : Cho tứ giác lồi ABCD Gọi P v Q ần lượt l trung điểm hai đường chéo BD v AC Già ả sử đường thẳng PQ cắt cạnh AD v BC tà ại M v N tương ứng Cho biết MP = NQ Hỏi ABCD có l hình thang hay khơng ?à

Tuần 7

3 / Phơng pháp nhóm hạng tư

- Sử dụng tính chất kết hợp phép cộng ta nhóm hạng tử đa thức cần phân tích cách hợp lý để sử dụng phơng pháp đặt nhân tử chung phơng pháp dùng đẳng thức

- VD : Phân tích thành nhân tử a ) 4x2 - 4xy + y2 -

Gi¶i

a ) 4x2 - 4xy + y2 - = (4x2 - 4xy + y2 ) - = ( 2x - y )2 - 32

= ( 2x - y + ) ( 2x - y - )

b ) 27x3 - y2 + y2 - 3y + = 27x3 - ( y3 - 3y2 + 3y - ) = ( x )3 - ( y- )3

= (3x - y + ) [ 9x2 +3x ( y- ) + ( y- )2] = ( 3x - y ) ( 9x2 +3xy + y2 - 3x - 2y + )

4 / Phơng pháp tách hạng tử thành tổng

- Tách hạng tử đa thức thành tổng để sử dụng phơng pháp nhóm hạng tử cho đa thức nhận đợc

VD : Phân tích thành nhân tử a ) x2 - 8xy + 12y2

b ) x2 - 6x + 8 Gi¶i

a ) Tách hạng tử : - 8xy = -2xy -6xy , ta đợc x2 - 8xy + 12 y2 = (x2 – 2xy ) - ( 6xy - 12y2 ) = ( x - 2y ) (x - 6y)

b ) x2 - 6x + = (x2 – 2x ) - (4x- 8) = x( x- 2) - 4( x- 2) = (x-2) (x-4)

5 / Phơng pháp thêm bớt hạng tử VD : Phân tích thành nhân tử

a) x4 + 4y4 b) a4 + a2 + Gi¶i

a) Thêm , bớt hạng tử 4x2 y2 , ta đợc : X4 + 4y4 = x4 + 4x2 y2 + 4y4 - 4x2y2

= (x2 )2 + 2(x2 ) (2y2) + (2y2)2 - (2xy)2 = (x2 + 2y2 ) 2 - (2xy)2

= (x2 + 2y2 + 2xy) (x2 + 2y2 - 2xy) b) Thêm , bớt hạng tử a2 , Ta đựơc: a4 + a2 + = a4 + a2 + a2 + - a2

= (a4 + a2 + 1) - a2 = (a2 + )2 - a2

= (a2 + 1)2 - a2 = (a2 + + a )( a2 + - a)

- Ngoài phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vừa kể nhiều ph-ơng pháp khác Một số phph-ơng pháp ta đề cập phần sau Th-ờng thTh-ờng ngời ta phối hợp nhiều phơng pháp khác toán phân tớch thnh nhõn t

- VD: Phân tích thành nhân tử : x3 - 7x - Giải

x3 - 7x - = x3 - x - 6x - ( Tách hạng tử -7x) = (x3 - x )- (6x + x) ( Nhãm c¸c h¹ng tư )

= x(x2 - ) - (x+ )

= x(x+1) (x- 1) - 6(x+1) (Dùng đẳng thức ) = (x+1)[x(x- 1)- ] (Đặt nhân tử chung )

Bµi tập

Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 6x + 9

b) 9x2 + 6x + 1 c) 25x2 – 9y2 d) x3 – 8

e) (x2 + 4)2 – 16x2 Đáp án:

a) (x - 3)2 b) (3x + 102

c) (5x + 3y)(5x – 3y)

d) (x - 2)(x2 + 2x + 4) e) (x + 2)2 (x - 2)2 Bµi 2: TÝnh nhÈm

a) 762 - 242

b) 1062 + 106.12 + 62 Bài 3: Tìm x biết

a) 9x2 – =0 b) X2 + 12x + 36 =0

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 -2x + xy -2y

b) xy – yz – 2(x + z) c) x2 – xy – x + y d) xy + + y + x Bài 5: Tìm x biết

a) x(x - 1) – 3x + = b) 3x(x - 2) + 10 – 5x = c)

Bài Biết số tự nhiên a chia cho d Chøng minh r»ng a2 chia cho d 1. HD: Sè tù nhiªn a chia cho d a có dạng nh nào?

HS: a = 5k + (k N) Vậy bình phơng số tự nhiên lên

A2 = ( 5k + )2 = 25k2 + 10k + 16 = 5(5k2 +2k +3) + chia cho d Bµi Chøng minh r»ng

a> (x - y)2 + 4xy = ( x +y)2 b> (a + b)3 = a3 +b3 + 3ab(a + b)

HD: Có thể tuỳ mà ta biến đổi vế tráI hay vế phảI hai vế a VT = x2 -2xy + y2 +4xy = x2 + 2xy + y2 = (x+ y)2 (ĐPCM)

Soạn: dạy:

Tuần 8

Ôn tập: Hình bình hành

I Mục tiêu

- Củng cố kiến thức định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình bình hành

- Chứng minh tứ giác hình bình hành, hình thang hình bình hành - Sử dụng tính chất hình bình hành để chứng minh toán khác

II Chuẩn bị

GV: Hệ thống kiến thức hình bình hành HS: Học chuẩn bị theo hớng dẫn

III Ôn tập A/ Kiến thức

- Định nghĩa:

Hỡnh bỡnh hnh l t giác có cạnh đối song song Tứ giác ABCD

Cã AB // CD  H×nh b×nh hµnh ABCD AC // BD

- TÝnh chÊt:

Hình bình hành ABCD có

- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành :

Là hình

Tứ giác có bình hành

Hình thang có hình bình hành

B/ Bµi tËp

A B C D

- Các cạnh đối song song - Các cạnh đối - Các góc đối - Hai đ ờng chéo cắt trung điểm đ ờng

Hai cạnh đáy Hai cạnh bên song song

Các cạnh đối song song Các cạnh đối

Hai cạnh đối vừa song song vừa Các góc đối

Hai đờng chéo cắt trung điểm đờng

4 A B y C x O

Bài 1: Đánh dấu (đ); sai (s) cho thích hợp

1 Tứ giác có hai cạnh đối hình bình hành Tứ giác có bốn cạnh hình bình hành

3 Hình thang có hai cạnh bên hình bình hành Hình thang có hai góc đáy hình bình hành

Chú ý: đỗi với câu sai gv cho hs sinh tìm cách sửa lại cho Bài 2:

Cho tam gi¸c ABC, gäi M,N,P lần lợt trung điểm AB, AC, BC Chứng minh BMNP hình bình hành

HD:

Bài 3:

Cho hình bình hành ABCD, gọi E trung điểm AB, F trung điểm CD a) chứng minh tứ giác ABCF hình bình hành

b) Gọi M giao điểm AF BD, N giao điểm CE BD chøng minh DM = NM = NB

HD:

Bài 4:

Cho hình bình hành ABCD, kẻ AE CF vuông góc với BD, AC cắt BD I Chứng minh I trung Điểm EF

Bµi :

Cho góc xOy, A điểm nằm góc Gọi B điểm đối xứng A qua Ox, C điểm đối xứng A qua Oy

a) Chøng minh tam gi¸c OBC c©n

b) Cho gãc xOy b»ng 600 TÝnh gãc BOC HD:

a) Cã OB = OC ( OA) => tam giác OBC cân

b)

Cã gãc BOx b»ng gãc AOx vµ gãc Aoy b»ng COy nªn

Gãc BOC = gãc AOx + gãc AOy = gãc xOy = 600 = 1200

A M N BP C

F E D C B A d D H C B A

Bµi 5:

Cho đờng thẳng d, A B hai điểm nằm nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng d (A, B không thuộc d) Gọi CD hai điểm đối xứng A, B qua d

Chứng minh tứ giác ABDC hình thang Gọi E giao điểm BC đờng thẳng d F điểm thuộc d (F khác E) Chứng minh BF + FC > BE + EA

Hd: BE + EA = BE + EC = BC < BF = FC (§PCM)

Chú ý: GV Nhắc lại cho hs tính chất đờng trung trực Bất đẳng thức tam giác

Bµi 6:

Cho tam giác nhọn ABC, gọi H trực tâm tam giác, D điểm đối xứng H qua AC

a) Chøng minh tam gi¸c AHC = tam gi¸c ADC

b) Chứng minh tứ giác ABCD có góc đối bù

Cho tam gi¸c ABC nhọn H trực tâm

D i xng với H qua AC

a) CM: Tam giác AHC = tam giác ADC b) góc đối tứ giỏc ABCD bự nhau

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, Phân giác góc Q cắt MN A, Phân giác góc N cắt QP B, céng hoµ x· héi chđ nghÜa viƯt nam øng minh:

a) MAPB hình bình hành

b) MP, AB, NQ đồng quy

P Q N M B A KL GT

a) MAPB lµ hbh

b) MP, AB , NQ đồng quy Hbh MNP

Q1 = Q2

N1 = N2

HD:

a) chứng minh AQ // BN từ => ANBQ hình bình hành

=> AN = QB AM // BP nên tứ giác MAPB hình bình hành

b) Chng minh ba đờng thẳng đờng chéo hình bình hành MAPB, ANBQ

Tuần 9: Ơn tập : Chia đơn thức cho đơn thức

- Củng cố kiến thức chia đơn thức cho đơn thức , chia đa thức cho đơn thức , chia đa thức biến xếp

- rèn kỹ tính tốn nhân chia đơn thức đa thức , rút gọn đơn thức đồng dạng

- Luyện tập toán chia đơn thức , chia đa thức , tốn tìm số d , tìm x , thực phép tính cộng , trừ , nhân , chia đơn thức , đa thức

II / ChuÈn bÞ

GV : Sách tham khảo

HS : Học làm theo hớng dẫn III / Tiến trình ôn tập

A / Kiến thức

1 / Chia đơn thức cho đơn thức

- Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ta chia hệ số đơn thức A cho đơn thức B , chia biến đơn thức A cho biến đơn thức B nhân kết lại với

* Chú ý : Điều kiện để đơn thức A chia cho đơn thức B : - Mọi biến đơn thức B phải có đơn thức A

- Luỹ thừa biến đơn thức B phải nhỏ luỹ thừa biến đơn thức A

VD : 2x2y3 chia hết cho 3xy2 2 / Chia đa thức cho đơn thức

- Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ta chia lần lợt hạn tử đa thức A cho đơn thức B cộng kết lại với

Chó ý : Khi thùc hiƯn chia hạng tử đa thức A cho đa thức B ta ph¶i chó ý kÌm theo c¶ dÊu

VD :

3 / Chia đa thức biến xếp a ) Phép chia hết

- Muốn chia đa thức biến xếp ta chia hạng tử có bậc cao đa thức bị chia cho hạng tử cao đa thức chia đợc kết nhân ngợc trở lại với đa thức chia Trừ đa thức bị chia cho tích vừa tìm đợc , hiệu vừa tìm đợc phần d thứ Tiếp tục chia phần thơng thứ cho đa thức chia làm lần lợt theo bớc nh đến phần d

b ) PhÐp chia cã d

- Khi thực chia phép chia có d ta thực nh nhng đến phần d có bậc nhỏ bậc đa thức chia phép chia khơng thực tiếp đợc * Chú ý : Khi chia đa thức biến xếp ta phải viết hạng tử bậc thẳng cột

Chú ý dấu trừ cho hạng tử có dấu trừ đằng trớc

B./ Bµi tËp

Bµi 1: lµm tÝnh chia:

a) 20x2y3 : 4xy2 b)

2x 5y5:4

5 x 2y2

b) ( - xyz )8 : ( - xyz )5 d) 15x2y5z3 : ( - xyz )2 Bµi 2: Tính giá trị biểu thức sau:

25x5y3z4 : 5x4y2z víI x = 2007; y = ; z = - 1

Bài 3: Tìm n thuộc số tự nhiên để đơn thức A chia hết cho đơn thức B A= 5n - 2 ; B = 3x2

HD: ? Để đơn thức A chia hết cho đơn thức B cần có điều kiện gì? Trả lời đợc câu hỏi học sinh làm tốt

Bµi 4: Lµm tÝnh chia:

a) (12x4 - 3x3 + 5x2) : 2x2 b) (x3 - 3x2y + 2xy) : ( - 2x)

c) (25x3 - 15x2y3 + 35x4y4) : ( - 5x2y2) d) (x2y3z2 - 3xy2z3 ) : ( - xyz)

Bài 5:

Rút gọn tính giá trÞ cđa biĨu thøc:

(9x2y2 - 6x2y3 – 15xy) : 3xy víi x = 5; y = - 2 Bài 6: Tìm x biết

(4x2 2x) : (- 2x) - (x - 3) = 5

Bài 7: Tìm n thuộc số tự nhiên để đa thức

xn-1 – 3x2 chia hết cho đơn thức 2x2 Bài 8: Tính nhanh:

a) (x2 + 6x + 9): (x +3) b) (9x2 - 1) : (3x + 1) c) (8x3 + 1): (2x + 1) d) (x3 - 1) : (1 - x) Bµi 9: Thùc hiÖn phÐp chia

(x3 + 3x2 + x + 5) : (x2 + 1)

Bài 10: Tìm m để đa thức A = x3 + x2 – x + m chia hết cho B = x + 2 Hớng dẫn:

- Để đa thức A chia hết cho đa thức B số d phảI thoả mãn điều kiện gì? - Từ hs phảI thực phép chia để tìm số d cho

x3 + x2 – x + m x3 + 2x2

- x2 – x + m - x2 - 2x x + m x + m -

để đa thức A chia hết cho đa thức B m – =

 m =

- Giáo viên cho hs khác phát triển từ toán cho * x3 + x2 – mx + chia hết cho x + 2

* x3 + mx2 – x + chia hÕt cho x + 2 * mx3 + x2 – x + chia hÕt cho x + 2 * x3 + x2 – x + chia hÕt cho x + m

Tuần10:

Ôn tập: Đối xứng tâm Hình chữ nhật I: Mục tiêu

- Cng c kiến thức hai điểm đối xứng qua điểm, hai hình đối xứng qua điểm, hình cố điểm đối xứng

- Củng cố kiến thức định nghĩa hình chữ nhật , tính chất hình chữ nhật, dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

- Học sinh hiểu đợc, vẽ đợc điểm đối xứng nhau, hình chữ nhật - Vận dụng tốt kiến thức vào giảI tốn hình hc II: Chun b

III: Tiến trình ôn tập A- Kiến thức bản

1 Hai im i xứng qua điểm

A A’ đối xứng qua O O trung điểm AA’ Hai hình đối xứng qua điểm

H H’ gọi đối xứng qua O tồn điểm M thuộc

H đối xứng qua O phảI thuộc H’. Hình có điểm đối xứng

H có điểm đối xứng O điểm M đối xứng qua O cng thuc chớnh hỡnh H.

4 Định nghĩa hình chữ nhật

Tứ giác ABCD có bốn góc vuông hình chữ nhật Tính chất hình chữ nhật

Mang y tớnh cht ca hình thang cân, hình bình hành Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

- Tø gi¸c cã ba góc vuông

- Hình bình hành có góc vuông - Hình thang có góc vuông

- Hình bình hành có hai đờng chéo

B-Bµi tËp

Bµi tËp 1:

Vẽ hình đối xứng với hình sau qua O:

Bµi 2:

Cho tam giác ABC có trung tuyến BD, CE Gọi M điểm đối xứng B qua D, N điểm đối xứng C qua E

Chứng minh M, N đối xứng qua A HD:

Bài:3

Cho hình thang cân ABCD

(AB//CD, AB < CD) Trên CD lấy

điểm E cho BE = BC Gäi I lµ

trung ®iĨm cđa BD Chøng

minh A,E đối xứng qua I

Bµi:4

Cho tam giác ABC vuông A, gọi m, N, P lần lợt trung điểm AB, BC, AC Chứng minh tứ giác AMNP hình chữ nhật

Bài:5

Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH, Gọi

I trung điểm AB, K điểm đối xứng H qua I CXhứng minh tứ giác ABHK hình chữ nhật

Bµi:

Cho tam giác ABC vuông A, đờng

trung tuyến AI, phân giác góc AIB cắt AB D, phân giác góc AIC cắt AC E a) TÝnh gãc DIE

b) Chøng minh tø gi¸c ADIE hình chữ nhật

P N M

C B

A

K

H I

C B

A

E

D I

C B

A

TuÇn 11

Chữa thi giai đoạn 1 I/ Mục tiªu

- Chỉ cho học sinh nhận thấy chỗ sai mắc phải từ có cách khắc phục - Học sinh đánh giá học lực gai đoạn II/ Chuẩn bị

GV: Đề bài- đáp án

HS: bµi thi cđa chÝnh III/ Tiến trình lớp I Trắc nghiệm

Bài 1: khoanh tròn vào chữ đứng trớc câu trả lì

1> Tích đơn thức - 2x đa thức 5x2 + 3x - có kết là: A 10x3 - 6x2 + 4x B - 10x3 - 6x2 + 4x

C 10x3 + 6x2 - 4x D Một kết khác

2> Giá trị x thoả mÃn x2 - = lµ

A x = B x = - C x = D Cả ba câu sai 3> Kết phép chia 18x2y2z : (- 3xyz) lµ :

A - B 6xy C -xy D - 6xy

4> Trong h×nh thang cân tính chất sau: A Hai cạnh bên b»ng

B Hai đờng chéo

C Hai đờng chéo cắt trung điểm đờng

D Đờng thẳng qua trung điểm hai dáy trục đối xứng

Bµi 2: Cho ABCD hinh bình hành ; AH BD, CK BD Chứng minh AKCH hinh bình hành

Hóy in vào ( …) để hoàn chỉnh lời giải Bài giải:

+ Tứ giác ABCD hinh bình hành nên

AD = … K

H

O D

B

C A

AD // …, đó……….(hai góc so le trong) + …………nên góc AHB = 900

………….nen gãc CKB = 900

+ Xét tam giác AHD tam giác CKB cã

Do Δ AHD = Δ CKB (cạnh huyền- góc nhọn ) suy AH = CK + Mặt khác ……… (vì vng góc với BD)

Tø gi¸c AHCK

cã nên hinh bình hành

II Tự luận

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư a 2x2 - 4x + 2

b 4x - 4y + x2(y - x) c 2xz + y2 - x2 - z2

Bµi 4:Cho A = (2x + 1)2 - (x - 2)(x + 2) - 2x(x +1) a Rót gän biĨu thøc A

b Tìm giá trị x để giá trị A = c chứng minh A có giá trị dơng với x Bài 5: Tìm x, y biết

2x2 - 2xy + 6x + y2 + = 0

Bài 6: Cho hinh bình hành ABCD Gọi M,N thứ tự trung điểm cuả AB, BC DA Mn kéo dài cắt E

a chøng minh EM = MN

b Chøng minh tứ giác AENC hinh bình hành

c Gọi O giao điểm AN EC Biết )M = a(cm) tính độ dài DE HD:

Bµi 1:

1-B 2-C 3-D 4-C

Bµi 2:

Bài giải:

+ Tứ giác ABCD hinh bình hành nên AD = BC

AD // BC , ∠ ADB = ∠ CBD (hai góc so le trong) + AH BD nên góc AHB = 900

CK BD nên góc CKB = 900

+ Xét tam giác AHD tam giác CKB có

AD = BC

∠ ADB = ∠ CBD

∠ AHB = ∠ CKB = 900

Do Δ AHD = Δ CKB (cạnh huyền- góc nhọn ) suy AH = CK + Mặt khác AH //CK (vì vng góc với BD)

Tø gi¸c AHCK

có hai cạnh đối song song nên hinh bình hành

Bµi 3:

a 2x2 - 4x + = 2(x - 1)2

b 4x - 4y + x2(y - x) = 4(x - y) - x2(x - y) = (x - y)(2 - x)(2 + x) c 2xz + y2 - x2 - z2 = - (x - z)2 + y2 =(y - x + z)(y + x - z)

Bµi 4:

Cho A = (2x + 1)2 - (x - 2)(x + 2) - 2x(x +1) a Rót gän biÓu thøc A

A = x2 + 2x + 5

b Tìm giá trị x để giá trị A = A =  x = y = -

c chøng minh A có giá trị dơng với x

A = x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x + 1)2 + > x Bài 5: Tìm x, y biÕt

2x2 - 2xy + 6x + y2 + = 0

(x2 - 2xy + y2) + (x2 + 6x + 9) = 0 (x - y)2 + (x + 3)2 = 0

Vì (x - y)2 ∀ x ,y; (x + 3)2 ∀ x nên để (x - y)2 + (x + 3)2 =

(x - y)2 =  x - y =  x = y  x = y = -3 (x + 3)2 = x + = x = - 3

Bµi 6:

a Δ AEM

= Δ BNM

=> ME =

MN

b cã AE = NC ( cïng b»ng BN ) AE // NC ( v× BC // AD)

nên tứ giác AENC hinh bình hành ( tứ giác có cặp cạnh đối vừa sông song vừa nhau)

c MO = 1/2 AE hay AE = 2MO = 2a => NC = 2a hay BC = 4a => AD = 4a VËy ED = EA + AD = 2a + 4a = 6a

O E

M

N

D

B

C A

TUẦN 6,8 Soạn ng y 5/10à

Dạy ng y 12/10à

I. Mục đÝch :

- Biết sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác đặc biệt để chứng minh HH

- Rèn luyn t duy, k nng li gii toán chứng minh hình II Ni dung

B i toán A :à Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q theo thứ tự l trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh t giỏc MNPQ l hinh bình hành (B i 6, trang 24 SGK H×nh hà ọc 8, NXB Giáo dục 2000)

Hướng dẫn

MN l đường trung bình tam giác ABC => MN // AC v MN = 1/2 AC QP l àđường trung bình tam giác ADC => QP // AC v QP = 1/2 AC

Do MN // QP v MN = QP => tà ứ giác MNPQ l hình bình h nh * Câu hà ỏi đặt : Liệu tứ giác ABCD không lồi tứ giác MNPQ có l hình bình à

h nh không ?à

B i toán :à Cho tứ giác ABCD Gọi M, P l trung điểm hai đường chéo AB, DC N, Q l trung điểm cạnh BC, DA Chứng minh tứ giác MNPQ l hình bình h nh.à

B i tốn :à Cho tam giác ABD, C l àđiểm nằm tam giác ABD Gọi M, N, P, Q l trung điểm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ l hình bình h nh à

Từ b i tốn A nhà ận cạnh BC có điểm E, cạnh AD có điểm F (E ≠ N, F ≠ Q) m tà ứ giác MEPF l hình bình h nh cà ũng có tứ giác ENFQ l hình bình h nh, ậy giúp ta giải b i toán hay v khó sau : à B i tốn :à Cho tứ giác ABCD có M, P l trung điểm cạnh AB, CD E v F ần lượt l điểm thuộc cạnh BC v DA (EB ≠ EC, FA ≠ FD) cho tứ giác MEPF l hình bình h nh à

Chứng minh BC // AD

B i toán A giúp ta già ải b i toán sau :

B i toán :à Cho ngũ giác ABCDE, gọi M, N, P, Q l trung điểm cạnh AB, BC, DE, AE H l trung điểm NQ, K l trung điểm MP Chứng minh KH // DC

V nà ếu I, J l trung điểm đường chéo AC, BD, b i toán A v b i à toán giúp ta đến với b i tốn Giec gơn :

B i tốn :à Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo v đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối tứ giác lồi gặp điểm Hơn nữa, ta nhận b i tốn A cịn có :

AC vng góc với BD tương đương MN vng góc với MQ tương đương với MNPQ l hình chà ữ nhật

AC = BD tương đương MN = MQ hay MNPQ l hình thoi Giúp ta đến với b i toán

B i toán :à Gọi M, N, P, Q l trung điểm cạnh tứ giác ABCD Hai đường chéo AC v BD phà ải thỏa mãn điều kiện n o để M, N, P, Q l đỉnh :

a) Hình chữ nhật ? ; b) Hình thoi ? ; c) Hình vng ?

(B i 13, trang 37 SGK Hình hà ọc 8, NXB Giáo dục 2000) Câu c b i tốn giúp ta có ời giải b i tốn Hay v Khó sau : à

B i toán :à Cho tam giác OBC Về phía ngo i tam giác dà ựng hình vng OBIA, OCKD Gọi M, P l tâm cà hình vng OBIA, OCKD V N, Q l trung điểm đoạn thẳng BC, AD Chứng minh tứ giác MNPQ l hình vng

Vẽ hình b i tốn 7, nhà ận M, N, P, Q l trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA tứ giác ABCD

V nhà từ hình cho ta b i tốn mà ới

B i toán :à Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q l trung điểm đoạn thẳng AB, AC, CD, BD Tứ giác ABCD phải thỏa mãn điều kiện n o để M, N, P, Q l bà ốn đỉnh :

a) Hình chữ nhật ? ; b) Hình thoi ? ; c) Hình vng ?

Tương tự từ hình đến với ta b i toán

B i toán :à Cho tam giác ABC, C l điểm nằm tam giác ABD Gọi M, N, P, Q l trung điểm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA

Các điểm A, B, C, D phải thỏa mãn điều kiện n o để M, N, P, Q l bà ốn đỉnh :

a) Hình chữ nhật ? ; b) Hình thoi ? ; c) Hình vng ?

V nhà từ b i toán : A ; ; ; ; ; có b i toán tà quát sau ?

B i toán 10 :à Cho bốn điểm A, B, C, D khơng có ba điểm n o ẳng h ng Gà ọi M, N, P, Q l trung điểm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA Các điểm A, B, C, D phải thỏa mãn điều kiện n o để M, N, P, Q l bà ốn đỉnh :

a) Hình chữ nhật ? ; b) Hình thoi ? ; c) Hình vng ? Lại nhận :

SMNP = 1/2.SMNPQ , SMNPQ = 1/2.SABCD

Do SMNP = 1/4.SMNPQ , đến với b i tốn Hay v Khó sau : à

B i toán 11 :à Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P l trung điểm cạnh AB, BD, CD Chứng minh SMNP = 1/4.SABCD

B i toán :à Từ điểm P đường chéo AC hình bình h nh ABCD, kà ẻ đường thẳng d cắt tia AB, AD M v N

Chứng minh : AB/AM + AD/AN = AC/AP Lời giải : (hình 1)

Từ B v D kà ẻ BB’ // MN, DD’ // MN (B’, D’ thuộc AC) Ta có : AB/AM = AB'/AP ; AD/AN = AD'/AP

Do : AB/AM + AD/AN = (AB' + AD')/AP Vì ΔBOB’ = ΔDOD’ (g.c.g) => B’O = D’O

Nên : AB’ + AD’ = 2AO = AC => AB/AM + AD/AN = AC/AP

* Trong b i toán ta ý rà ằng AO l trung tuyà ến ΔABD Nếu P l trà ọng tâm ΔABD AP = 1/3.AC Từ ta có b i toán sau :

B i toán :à Đường thẳng d qua trọng tâm G ΔABC cắt cạnh AB v AC tà ại M v N

Chứng minh : AB/AM + AC/AN = Lời giải : (hình 2)

Cách : Lấy N’ l trung điểm BC (hình 1), MN’ l đường trung bình

của hình thang ABCD, suy MN’ // AB

Từ giả thiết MN // AB => MN // MN’ => MN ∶ MN’ => N ∶ N’ => N l trung điểm BC

Cách : Gọi P = AC ∩ MN (hình 2)

Từ giả thiết suy MN // CD Xét ∆ADC, M l trung điểm AD, MP // CD nên MP l àđường trung bình tam giác, suy P l trung điểm AC

Xét ∆CAB, tương tự ta có PN l àđường trung bình tam giác nên N l trung điểm BC

Cách : Qua B, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt MN, CD P, Q

(hình 3) Kết hợp với giả thiết, ta suy ABPM v MPQD l hình bình h nhà à

nên AM = PB, MD = PQ Mặt khác, M l trung điểm AD hay MA = MD nên PB = PQ hay P l trung điểm BQ

Xét ∆BQC, tương tự cách ta có PN l àđường trung bình tam giác nên N l trung điểm BC

Cách : Qua B, N kẻ đường thẳng song song với AD, cắt MN, CD

P, Q (hình 4) Dễ thấy ABPM v MNQD l hình bình h nh nên AM = PB, à

MD = NQ => PB = NQ (do MA = MD) Mặt khác, PNB = QNC (  đồng vị),  BPN = NQC (c ạnh tương ứng song song chiều)

Vậy ∆BPN = ∆NQC (g.c.g) => BN = CN => N l trung điểm BC

Cách : (dùng phương pháp diện tích) Lấy điểm E đoạn MN (hình 5)

Vì M l trung điểm AD, MN // AB, AB // CD nên ho n to n có ể chứng minh khoảng cách từ điểm A, B, C, D xuống MN nhau, ta kí hiệu l h

Suy SBEN = SCEN = 1/2.h.EN Mặt khác, hai tam giác n y có chung chià ều cao xuất phát từ E xuống BC nên BN = CN hay N l trung điểm BC

B i tốn :à Cho tứ giác ABCD có AB < CD Gọi M, N, P, Q l trung điểm AB, AC, CD, BD Chứng minh tứ giác MNPQ l hình bình h nh à Hình bình h nh MNPQ sà ẽ có dạng đặc biệt tứ giác ABCD thỏa mãn thêm điều kiện n o

Dễ thấy hình bình h nh MNPQ trà th nh hình thoi v chà ỉ tứ giác ABCD có hai cạnh đối Ta có kết :

Con đường từ b i tốn đến b i tốn l nhà phép đặc biệt hóa Đường chéo QN hình thoi MNPQ l àđáy tam giác cân PQN nên đường thẳng QN cắt AD, BC I, K Đ BKN = Đ PQN v àĐ AIQ = Đ PNQ (các cặp góc so le trong) Do Đ AIQ = Đ BKN (xem hình 2) Ta có thêm kết :

B i tốn :à Cho tứ giác ABCD có AD = BC, AB < CD Gọi N, Q l trungà điểm hai đường chéo AC, BD Chứng minh đường thẳng NQ tạo với AD, BC góc

Tương tự, MP l àđáy tam giác cân NMP nên đường thẳng MP tạo với đường thẳng AD, BC góc Từ ta có b i tốn :

B i tốn :à Cho ∆EDC có ED < EC Lấy A, B ED, EC cho DA = CB Gọi P, M l trung điểm DC, AB PM cắt EC, ED H, G Chứng minh ∆EGH cân E

Các bạn chứng minh xem hình 3

Đến đây, ta nhận thấy Đ DEC l góc ngo i cà ∆EGH (cân E) nên dễ d ng phát hià ện thấy đường thẳng GH song song với đường phân giác Đ DEC Nếu cho E, A, B cố định M l trung điểm AB cố định, phân giác Đ AEB cố định Từ ta kết thú vị

B i toán :à Cho ∆EAB, EA < EB D, C chạy tia đối tia AE, tia BE cho DA = CB Chứng minh trung điểm P DC chạy đường thẳng cố định

Các bạn chứng minh điểm P nằm đường thẳng d qua trung điểm M AB cố định v song song ới đường phân giác cố định Đ AEB Tất nhiên đường thẳng d l đường thẳng cố định (xem hình 3)

Dựa v o kà ết v đọc thêm b i vià ết “Phương tích v b i tốn à Castillon” tác giả Trần Anh Dũng, đăng TTT2 số 16 bạn giải b i toán :

B i toán :à Cho ∆ABC (AB < AC), phân giác AD v trung tuyà ến AM Đường tròn ngoại tiếp ∆ADM cắt AB, AC E, F Gọi I l trung điểm EF, đường thẳng MI cắt AB, AC Q, P Chứng minh ∆APQ cân A Trong trình suy nghĩ để tiếp tục phát triển b i tốn 2, tình cà tơi gặp đề toán 4(7) TS Nguyễn Minh H (trang 32, TTT2 sà ố 7) Nhờ b i toán 2, ta có mà ột cách giải đơn giản đề toán 4(7) v đề xuất kết mở rộng

B i toán 4(7) :à Cho tứ giác ABCD có AD = BC Về phía ngo i cà tứ giác n y, ta dựng hai tam giác l ADE v BCF Chà ứng minh trung điểm đoạn AB, CD, EF thuộc đường thẳng

Lời giải :

Trường hợp AB < CD : Gọi I, K, H, M, N, P, Q l trung điểm AB, EF,

CD, CE, DF, BD, AC (hình 4)

Từ giả thiết ∆ADE = ∆BCF v dà ựa v o tính chà ất đường trung bình tam giác ta dễ d ng có kết :

∆HNP = ∆HMQ (c.c.c)

Suy Đ MHQ = Đ NHP → Đ MHP = Đ NHQ → Đ MHN = Đ PHQ có tia phân giác

Mặt khác, áp dụng b i toán cho hai tà ứ giác ABCD v EFCD, ta có IPHQ v à KMHN l hình thoi Suy HK v HI ần lượt l phân giác cà Đ MHN v àĐ PHQ

Suy H, I, K thẳng h ng

Trường hợp AB = CD : d nh cho bà ạn đọc

Các bạn thử chứng minh kết mở rộng b i toán :

“Cho tứ giác ABCD có AD = BC Về phía ngo i cà tứ giác n y, ta dà ựng hai đa giác l ADMà 1M2 Mn v BCNà 1N2 Nn Chứng minh trung điểm đoạn AB, CD, M1N1, M2N2, , MnNn thuộc đường thẳng.”

Tương tự b i toán :

AB/AM = AC/AN = 2AO/AG = 2.3/2.AG/AG =

* Trong b i toán nà ếu đường thẳng d cắt tia CB P : AC/CN + BC/CP = v AB/BM - BC/BP =

Từ ta có b i toán sau :

B i toán :à Đường thẳng d qua trọng tâm G ΔABC cắt cạnh AB M, cạnh AC N v tia CB tà ại P

Chứng minh :

Lời giải : (hình 3)

BA/BM = BA'/BG ; BC/BP = BC'/BG => BA/BM = BC/BP = (2) (dễ thấy BA’ - BC’ = 3BG)

Từ (1) v (2) => : AB/AM + AC/AN + AC/CN + BC/CP + AB/BM - BC/BP = => : AB.(AM + MB)/(AM.MB) + AC.(AN + NC)/(AN.NC) - BC.(CP - BP)/(BP.PC) =

=> : AB2/(AM.BM) + AC2/(AN.CN) - BC2/(BP.CP) = (đpcm)

* Nếu ΔABC đều, cạnh a AB = AC = BC = a, ta đề xuất b i toán :

B i toán :à Đường thẳng d qua tâm O tam giác ABC, cạnh a, cắt cạnh AB M, cạnh AC N v tia CB tà ại P Chứng minh :

TUẦN 10,12 Soạn ng y : 15/10à

Dạy ng y 22/10à

I. MỤC ĐÍCH:

Biết khai thác tính chất tứ giác đặc biệt để giải toán Rèn luyện cách l m, trình b y b i tốn q à à ỹ tích

II. Nội dung

Cho góc vng xOy Trên tia Ox ta lấy điểm A cố định cho OA = a, tia Oy ta lấy điểm B di động Vẽ góc xOy hình vng ABCD

a) Tính khoảng cách từ D tới Ox

b) Tìm tập hợp (quỹ tích) điểm D B di động

Lược giải :

a) Kẻ DH vng góc với Ox Góc D1 = Đ A1 (phụ với Đ A2 ), DA = AB (cạnh hình vng)

=> ΔDHA = ΔAOB (cạnh huyền, góc nhọn) => DH = AO = a

Giới hạn : Khi B trùng với O hình vng ABCD trở th nh hình vuông AOC’D’ => D trùng với D’

=> tập hợp D l tia đối tia D’C’

* Khi D trùng với D’ hình vng ABCD trở th nh hình vng AOC’D’ Hìnhà vng n y có dià ện tích nhỏ v bà ằng a2 Do thay b i tốn q ỹ tích b i tốn cà ực trị

B i tốn :à Cho góc vng xOy Trên tia Ox lấy điểm A cố định cho OA = a, tia Oy lấy điểm B di động Vẽ góc xOy hình vng ABCD Xác định vị trí đỉnh D để hình vng ABCD có diện tích nhỏ Tìm giá trị nhỏ theo a

* Nếu từ C v D kà ẻ đường thẳng song song với Ox v Oy hình tạo th nh cà ũng l hình vng ngồ ại tiếp hình vng ABCD Ta có b i toán khác B i toán :à Cho góc vng xOy Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B (tùy ý, khác O) Vẽ hình vng ABCD Qua C v D dà ựng đường thẳng song song với Ox v Oy, chúng cà P v ần lượt cắt Oy Q, Ox H

a) Chứng minh tứ giác OHPQ l hình vng

b) Chứng minh tâm đối xứng hai hình vng ABCD v OHPQ trùng * B i toán l trà ường hợp riêng của b i tốn 8, trang 54, SGK Hình hà ọc 8 Giải

được b i 8, tà ức l b i toán à giải

B i toán Sách giáo khoa l :à à

Cho hai hình bình h nh, mà ỗi cạnh hình thứ chứa đỉnh hình thứ hai Chứng minh hai hình bình h nh có tâm đối xứng

* Từ b i toán 1, thêm già ả thiết : H l chân đường vng góc hạ từ D xuống Ox Có thể cho phát liên hệ chu vi tam giác OAB v àđộ d i cà ạnh hình vng ABCD Từ ta có :

B i tốn :à Cho góc vng xOy Trên tia Ox lấy điểm A cố định, điểm B di động tia Oy Vẽ góc xOy hình vng ABCD Gọi H l hình chià ếu D Ox Chứng minh chu vi tam giác OAB < 2m, với m l độ d i đoạn thẳng OH Lược giải :

ΔDHA = ΔAOB => OB = AH => OA + OB = OH = m

Trong ΔOAB : AB < OA + OB = m chu vi ΔOAB : OA + OB + AB < m + m = 2m * Điều xảy chu vi ΔOAB = 2m ? Ta có b i tốn :

B i tốn :à Cho hình vng OHPQ có cạnh m A, B l điểm cạnh OH, OQ cho chu vi ΔOAB = 2m Chứng minh Đ APB = 45o A, B di động

Lược giải : Kẻ PE vng góc với PA, với E nằm tia OQ Ta có Đ P1 = Đ P2 (cùng phụ với góc APQ), PQ = PH ;

=> Đ Q = Đ H = 90o => ΔPQE = ΔPHA (g.c.g) => QE = AH ; PE = PH

Chu vi ΔOAB : OA + OB + AB = 2m = OH + OQ => OA + OB + AB = (OA + AH) + (OB + BQ)

=> ΔBPA = ΔBPE (c.c.c) => Đ BPA = Đ BPE => Đ BPA = 1/2 Đ APE => Đ APB = 1/2 90o = 45o

* Nếu Đ APB = 450 quay xung quanh P, cắt hai cạnh OH v OQ cà hình vng chu vi ΔOAB có ln ln 2m khơng ? Ta có b i tốn ngà ược :

B i toán :à Cho hình vng OHPQ A, B l điểm di động cạnh OH, OQ cho góc APB = 45o Chứng minh chu vi ΔOAB khơng đổi

* Vì ΔPBA = ΔPBE nên đường cao PQ v PI cà hai tam giác Thế PE giá trị khơng đổi Ta có b i tốn :

B i toán :à Cho A v B theo ứ tự di động cạnh OH, OQ hình vng OHPQ, cho Đ APB = 45o Tìm quỹ tích chân đường vng góc hạ từ P xuống AB

* Xét A l trung điểm OH Hình vng OHPQ có xác định khơng, biết A v P Ta có b i tốn : à

B i tốn :à Dựng hình vng, biết đỉnh A v trung điểm cạnh khơng chứa A

Từ b i tốn 7, có ể dẫn đến b i tốn :

B i toán :à Cho A l trung điểm cạnh OH hình vng OHPQ Tia At qua A v vng góc ới PA, cắt OQ B Chứng minh PA l tia phân giác góc BPH Đảo phần giả thiết th nh kà ết luận v àđưa kết luận th nh già ả thiết Ta có b i tốn “ngà ược” :

B i toán :à Cho A l trung điểm cạnh OH hình vng OHPQ Trên cạnh OQ lấy điểm B cho Đ BPA = Đ APH Chứng minh AB vng góc PA

Tuần 12,14

Soạn ng y 20/10à Dạy ng y 3/11à

I. Mục đích

Khai thác b i toán tà ừđơn giản đến nâng cao nhằm phát huy lực tư duy học sinh

II. Nôi dung

* Chúng ta b i toán quen thuà ộc B i tốn :à

Cho ΔABC có Đ B = 90o ; đường cao BH Gọi M v N ần lượt l trung điểm BH v HC Chà ứng minh : AM vng góc với BN

Lời giải :

Từ giả thiết ta có : MN l đường trung bình ΔHBC (hình 1) => MN // BC, mặt khác BC vng góc AB => MN vng góc với AB

Xét ΔABN có MN vng góc với AB ; BM vng góc với AN => M l trà ực tâm ΔABN => AM vng góc với BN (đpcm)

* Có nhiều hướng phát triển b i tốn 1, cho ta nhà ững b i toán mà ới thú vị Từ suy nghĩ tạo đường thẳng song song với AM BN đường thẳng tương ứng vng góc với BN AM, ta cho thêm điểm K m B l à trung điểm KC (hình 2), dễ d ng nhà ận thấy BN l àđường trung bình

ΔCKH => BN // KH => AM vng góc với KH Ta có b i tốn sau : B i tốn :à

Lời giải :

Gọi N l trung điểm HC, theo chứng minh trên, ta có đpcm

* Ho n to n l b i toán nhà à ưng với cách phát biểu khác đi, ta có b i toán B i toán :à

Cho ΔABC cân A, đường cao AH Hạ HI vng góc với AC, M l trung điểm HI Chứng minh BI vng góc với AM

* Tiếp tục phát triển theo hướng : tạo đường thẳng song song với AM, đường thẳng vng góc với BN

B i tốn :à

Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H l hình chià ếu B AC, I v N ần lượt l trung điểm AD v HC Chà ứng minh BN vng góc với IN

Lời giải :

Gọi M l trung điểm BH (hình 3).

Ta có AM vng góc với BN (b i tốn 1) Ta cịn phà ải chứng minh AM // IN, :

Do MN l àđường trung bình ΔHBC nên MN // = 1/2BC , mặt khác, ABCD l hình chữ nhật v I l trung à điểm AD nên IA // = 1/2 BC Do IA // = MN => MNIA l hình bình h nh => AM // IN, b i toán à chứng minh xong

* B i tốn cịn nhià ều cách giải khác Kết hợp b i toán v b i toán ta có b i à à tốn khó chút xíu

B i tốn :à

Cho ΔABC cân A, đường cao AH Dựng hình chữ nhật AHCK ; HI vng góc với AC M v N ần lượt l trung điểm IC v AK Chà ứng minh MN vng góc với BI

Lời giải :

Gọi J l trung điểm HI (hình 4) áp b i tốn ta có BI vng góc ới AJ ; mặt khác, theo chứng minh b i tốn 4, tà ứ giác AJMN l hình bình h nh v AJ // à MN, : MN vng góc với BI (đpcm)

* Tương tự b i tốn (dà ựng hình chữ nhật ABCD tạo AM // IN), ta tạo EF // BN để b i toán sau

B i tốn :à

Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H l hình chià ếu B AC ; E, F, M l trung điểm AB, DH, BH Chứng minh AM vng góc với EF

Gọi N l trung điểm CH (hình 5) áp dụng chứng minh tứ giác AMNI l hìnhà

bình h nh (b i toán 4)à , ta chứng minh tứ giác BEFN l hình bình

h nh, => EF // NB

Mặt khác BN vng góc AM (theo b i tốn 1) Và ậy ta có AM vng góc với EF * Lại kết hợp b i toán v b i toán 6, cho ta mà à ột kết khác

B i tốn :à

Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H l hình chià ếu B AC ; E, F, M, N l trung điểm AB, DH, HC, AD Chứng minh EF vng góc với MN Lời giải :

Gọi I l trung điểm BH (hình 6)

Lần lượt theo b i tốn 1, 4, ta có kà ết sau : AI vng góc với BM, AI // MN, BM // EF => EF vng góc với MN (đpcm)

TUẦN 16,18 Soạn ng y 12/12à

Dạy ng y 20/12à

SỬ DỤNG DIỆN T CH TRONG CHÍ ỨNG MINH HỆ THỨC HÌNH HỌC I. Mục đích :

- Biết sử dụng diện tích để chứng minh hệ thức hình học

- Rèn luyện tư lơ gíc, kỹ tìm lời giải II Nội dung

B i toán :à Cho tam giác ABC Từ điểm M cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AB v AC, ần lượt cắt AC v AB tà ại Q v P Chà ứng minh : AP/AB + AQ/AC =

Nối AM, AB // MQ nên ta có S(AMQ) = S(BMQ) suy S(AMQ) + S(CMQ) = S(BMQ) + S(CMQ) ị S(AMC) = S(BQC), m S(AMC) = S(APC) (do AC // MP) nên S(BQC) = S(APC) Vậy

B i toán :à Lấy tam giác ABC điểm M tùy ý AM, BM, CM cắt cạnh BC, CA, AB A1, B1, C1 Chứng minh :

Lời giải :

a) Ta có

Tương tự ta có :

Suy

b) Ta lại có

Tương tự ta có :

Suy

B i toán à : Cho tam giác ABC Gọi ha, hb, hc l àđộ d i đường cao thuộc cạch BC, CA, AB ; d l khoà ảng cách từ giao điểm đường phân giác đến ba cạnh

Chứng minh :

Hướng dẫn : Gọi I l giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC, dựng IE, IF, ID vng góc với AB, AC, BC Ta có ID = IE = IF = d,

4 Chứng minh đường thẳng song song :

B i toán :à Cho tam giác ABC D v E ần lượt thuộc cạnh AB v AC Chứng minh DE // BC <=> AD/AB = AE/AC

Lời giải :

Ta có DE // BC <=> S(BDE) = S(CDE)

<=> S(BDE) + S(ADE) = S(CDE) + S(ADE)

<=> S(ABE) = S(ACD) <=>S(ABE)/S(ABC) = S(ACD)/S(ABC) <=> AE/AC = AD/AB (đpcm)

Lời bình : Đây l định lí Ta-lét tam giác học lớp 8, ta

chứng minh dễ d ng nhà diện tích tam giác

B i tốn :à Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC D v E Qua D, E ần lượt vẽ đường thẳng song song với AC , AB cắt BE, DC M, N Chứng minh : MN // BC

Lời giải :

Giả sử BE cắt CD O, EN // AB nên :