Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi các điểm N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng BD, CD.. Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn..[r]
(1)THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005
MƠN: TỐN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-Bài (2 điểm)
Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: 2x2 + 2mx + m2 – = Với giá trị m thì: 2
1 + + x + x = 1
x x .
2 Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 2x x + x + x - 42 2 . Bài (1,5 điểm)
Giải phương trình: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 120. Bài (2 điểm)
Giải hệ phương trình: 2
x y + y x = x y + y x = 20
.
Bài (3,5 điểm)
Cho M điểm thay đổi đường trịn (O), đường kính AB Đường trịn (E) tâm E tiếp xúc với đường tròn (O) M AB N Đường thẳng MA, MB cắt đường tròn (E) điểm thứ hai C D khác M
1 Chứng minh CD song song với AB
2 Gọi giao điểm MN với đường tròn (O) K (K khác M) Chứng minh M thay đổi điểm K cố định tích KM.KN khơng đổi
3 Gọi giao điểm CN với KB C giao điểm DN với KA D Tìm vị trí M để chu vi tam giác NCD nhỏ
Bài (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y = 2x + 2x + 1+ 2x - 4x + 42
(2)THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005
MƠN: TỐN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài (1,0 điểm)
Cho hai phương trình: x2 + ax + = x2 + bx + 17 = Biết hai phương trình có nghiệm chung a + b nhỏ nhấ Tìm a b
Bài (2 điểm)
Giải phương trình: x + x - + x + x - 5x = 202 Bài (2,5 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
3
7 4
x + y = x + y = x + y
.
2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21. Bài (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O M điểm cung BC khơng chứa điểm A Gọi M điểm đối xứng với M qua O Các đường phân giác góc B góc C tam giác ABC cắt đường thẳng AM E F
1 Chứng minh tứ giác BCÈ nội tiếp đường tròn Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r Chứng minh: IB.IC = 2r.IM
Bài (2 điểm)
1 Cho số a, b thoả mãn điều kiện : a 3, 8 b 11
và a + b = 11 Tìm giá trị lớn tích P = ab
2 Trong mặt phẳng (P) cho ba tia chung gốc phân biệt Ox, Oy, Oz Tio Ot không thuộc (P) xOt = yOt = xOt Chứng minh Ot vng góc với mặt phẳng (P)
(3)THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005
MƠN: TỐN CHUNG
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài (2 điểm)
1 Giải phương trình: - x = x -
2 Chứng minh phương trình: ax2 + bx + c = (a0) ln có hai nghiệm phân biệt Biết 5a – b + 2c =
Bài (2,5 điểm)
Cho hệ phương trình:
x + y-2 = 2x - y = m
(m tham số)
1 Giải hệ phương trình với m = -1
2 Với giá trị m hệ phương trình cho vơ nghiệm Bài (3 điểm)
Cho hình vng ABCD Điểm M thuộccạnh AB (M khác A B) Tia CM cắt tia DA N BVẽ tia Cx vng góc với CM cắt tia AB E Gọi H trung điểm đoạn NE
1 Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp đường trịn
2 Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích hình vuông ABCD
3 Chứng minh M di chuyển cạnh AB tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp tam giác NAC tam giác HBC không đổi
Bài (1,5 điểm)
Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB = x, tất cạnh lại Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD
1 Chứng minh MN vng góc với AB CD
2 Với giá trị x thể tích hình chóp A.BCD lớn Bài (1 điểm)
Cho số dương a, b, c thay đổi thoả mãn: a + b + c = Chứng minh:
a b b c c a .
(4)THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006
MƠN: TỐN (Dành cho học sinh thi vào lớp chun Nga, Pháp) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
Cho phương trình: x2 – (m + 1)x + m – = 0.
1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
2 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm m để: 3x1 + 2x2 = Bài 2: (1,5 điểm)
Cho hai số thực dương x, y thoả mãn điều kiện: 2x2 – 6y2 = xy Tính giá trị biểu thức: A =
x - y 3x + 2y. Bài 3: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2
1
x + + y + =
x y
1 25
x + + y + =
x y
.
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường trịn tâm O đường kính AB P điểm di động đường tròn (P A) cho PA PB Trên tia đối PB lấy điểm Q cho PQ = PA, dựng hình
vng APQR Tia PR cắt đường trịn cho điểm C (C P) Chứng minh C tâm đường tròn ngoại tiếp AQB
2 Gọi K tâm đường tròn nội tiếp APB, chứng minh K thuộc đường tròn
ngoại tiếp AQB
3 Kẻ đường cao PH APB, gọi R1, R2, R3 bán kính
đường trịn nội tiếp APB, APH BPH Tìm vị trí điểm P để tổng
R1 + R2 + R3 đạt giá trị lớn Bài 5: (1 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = Chứng minh a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3
(5)THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006
MƠN: TỐN (Dành cho học sinh thi vào lớp chun Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho biểu thức: M =
2
4
4 2
x - - x + 1 - x x - x + x + 1 + x
.
1 Rút gọn M
2.Tìm giá trị nhỏ M Bài 2: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2 2
xy - 4y + x = x y - 8y + x =
.
Bài 3: (2,0 điểm)
1 Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện: x2 + 5y2 – 4xy – x + 2y – = Chứng minh: 1 x - 2y + 4 .
2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: y3 – x3 = 2x + Bài 4: (3,5 điểm)
1 Cho ABC có diện tích 32 cm2, tổng độ dài hai cạnh AB BC
16 cm Tính độ dài cạnh AC
2 Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC) có đường cao AM trung tuyến BO Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia BO điểm D Gọi điểm N, P hình chiếu vng góc A lên đường thẳng BD, CD
a Chứng minh: NA2 = NP.NM
b Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn Bài 5: (1 điểm)
Tìm số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: 2
x + y + z = xyz x + y + z = xyz
(6)THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006
MƠN: TỐN (Dành cho học sinh thi vào lớp chun Tốn)
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
1 Cho biểu thức P(x) =
x +12x + 12 - 3x. Gọi x1 , x2 nghiểm phương trình x2 – x – = Chứng minh: P = P x1 x2
2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x2 + 14 y2 + 13xy = 330. Bài 2: (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
x + y + 2xy = x + y =
Bài 3: (2,0 điểm)
1 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x + x + + x - x + 12 Cho ba số thực x, y, z lớn thoả mãn điều kiện:
1 1
+ + =
x y z Chứng minh rằng: x-2 y-2 z-2 1 Dấu " = " xảy nào?
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC CA điểm M, N, P
1 Xét trường hợp AB < AC, gọi D giao điểm tia AO MN Chứng minh AD DC
2 Gọi (T) tam giác có đỉnh M, N, P, Giả sử (T) đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k Tính k?
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD Tiếp tuyến (d1) với đường tròn cắt cạnh AB, AD điểm M, P Tiếp tuyến (d2) với đường tròn cắt cạnh CB, CD diểm N, Q Chứng minh MN // PQ
(7)