SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN MÔN: TOÁN Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề ---Bài
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
MÔN: TOÁN ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-Bài 1 (2 điểm)
Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: 2x2 + 2mx + m2 – 2 = 0
1 Với giá trị nào của m thì: 1 2
1 + 1 + x + x = 1
2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2x x + x + x - 4 2 2 1 2
Bài 2 (1,5 điểm)
Giải phương trình: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 120
Bài 3 (2 điểm)
Giải hệ phương trình: x y + y x = 62 2
x y + y x = 20
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho M là điểm thay đổi trên đường tròn (O), đường kính AB Đường tròn (E) tâm E tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M và AB tại N Đường thẳng MA, MB cắt đường tròn (E) tại các điểm thứ hai C và D khác M
1 Chứng minh CD song song với AB
2 Gọi giao điểm của MN với đường tròn (O) là K (K khác M) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì điểm K cố định và tích KM.KN không đổi
3 Gọi giao điểm của CN với KB là C và giao điểm của DN với KA là D Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NCD nhỏ nhất
Bài 5 (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2x + 2x + 1+ 2x - 4x + 4 2 2
- Hết
-Đề chính thức
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
MÔN: TOÁN ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1,0 điểm)
Cho hai phương trình: x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + 17 = 0 Biết hai phương trình có nghiệm chung và a + b nhỏ nhấ Tìm a và b
Bài 2 (2 điểm)
Giải phương trình: x + x - 5 + x + x - 5x = 20 2
Bài 3 (2,5 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
x + y = 1
x + y = x + y
2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21
Bài 4 (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O M là điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A Gọi M là điểm đối xứng với M qua O Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM lần lượt tại
E và F
1 Chứng minh tứ giác BCÈ nội tiếp được trong đường tròn
2 Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM
Bài 5 (2 điểm)
1 Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện : 0 a 3, 8 b 11
và a + b = 11 Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab
2 Trong mặt phẳng (P) cho ba tia chung gốc và phân biệt Ox, Oy, Oz Tio
Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = xOt Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P)
- Hết
-Đề chính thức
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
MÔN: TOÁN CHUNG
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2 điểm)
1 Giải phương trình: 7 - x = x - 1
2 Chứng minh phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a0) luôn có hai nghiệm phân biệt Biết rằng 5a – b + 2c = 0
Bài 2 (2,5 điểm)
Cho hệ phương trình: x + y-2 = 2
2x - y = m
(m là tham số)
1 Giải hệ phương trình với m = -1
2 Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 3 (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD Điểm M thuộccạnh AB (M khác A và B) Tia CM cắt tia DA tại N BVẽ tia Cx vuông góc với CM và cắt tia AB tại E Gọi H là trung điểm của đoạn NE
1 Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp được trong đường tròn
2 Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích hình vuông ABCD
3 Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác NAC và tam giác HBC không đổi
Bài 4 (1,5 điểm)
Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD
1 Chứng minh MN vuông góc với AB và CD
2 Với giá trị nào của x thì thể tích hình chóp A.BCD lớn nhất
Bài 5 (1 điểm)
Cho các số dương a, b, c thay đổi và thoả mãn: a + b + c = 4 Chứng minh: 4
a b b c c a
- Hết
-Đề chính thức
Trang 4SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
MÔN: TOÁN ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga, Pháp)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
Cho phương trình: x2 – (m + 1)x + m – 6 = 0
1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
2 Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để: 3x1 + 2x2 = 5 Bài 2: (1,5 điểm)
Cho hai số thực dương x, y thoả mãn điều kiện: 2x2 – 6y2 = xy Tính giá trị của biểu thức: A = 3x + 2yx - y
Bài 3: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
x + + y + =
x + + y + =
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và P là điểm di động trên đường tròn (P
A) sao cho PA PB Trên tia đối PB lấy điểm Q sao cho PQ = PA, dựng hình vuông APQR Tia PR cắt đường tròn đã cho ở điểm C (C P)
1 Chứng minh C là tâm đường tròn ngoại tiếp AQB
2 Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp APB, chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp AQB
3 Kẻ đường cao PH của APB, gọi R1, R2, R3 lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp APB, APH và BPH Tìm vị trí điểm P để tổng
R1 + R2 + R3 đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: (1 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 3
Chứng minh rằng a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3
- Hết
-Đề chính thức
Trang 5SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
MÔN: TOÁN ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho biểu thức: M =
4
x - 1 - 1 x + 1 - x
x - x + 1 x + 1 1 + x
1 Rút gọn M
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Bài 2: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
xy - 4y + x = 0
x y - 8y + x = 0
Bài 3: (2,0 điểm)
1 Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x2 + 5y2 – 4xy – x + 2y – 6 =
0 Chứng minh: 1 x - 2y + 1 4
2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y3 – x3 = 2x + 1
Bài 4: (3,5 điểm)
1 Cho ABC có diện tích là 32 cm2, tổng độ dài hai cạnh AB và BC bằng
16 cm Tính độ dài cạnh AC
2 Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC) có đường cao AM và trung tuyến
BO Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia BO tại điểm D Gọi các điểm N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng
BD, CD
a Chứng minh: NA2 = NP.NM
b Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn Bài 5: (1 điểm)
Tìm các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện:
x + y + z = 4 xyz
x + y + z = 2 xyz
-Hết -Đề chính thức
Trang 6SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
MÔN: TOÁN ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
1 Cho biểu thức P(x) = x +12x + 12 - 3x 2 Gọi x1 , x2 là các nghiểm của phương trình x2 – x – 1 = 0 Chứng minh: P = P x1 x2
2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x2 + 14 y2 + 13xy = 330
Bài 2: (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
x + y + 2xy = 8 2
x + y = 4
Bài 3: (2,0 điểm)
1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x + x + 1 + x - x + 1 2 2
2 Cho ba số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thoả mãn điều kiện:
1 + + = 11 1
x y z Chứng minh rằng: x-2 y-2 z-2 1 Dấu " = " xảy ra khi nào?
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC
CA lần lượt tại các điểm M, N, P
1 Xét trường hợp AB < AC, gọi D là giao điểm của các tia AO và MN Chứng minh AD DC
2 Gọi (T) là tam giác có các đỉnh là M, N, P, Giả sử (T) đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k Tính k?
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD Tiếp tuyến (d1) với đường tròn cắt các cạnh AB, AD lần lượt tại các điểm M, P Tiếp tuyến (d2) với đường tròn cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại các diểm N, Q Chứng minh MN // PQ
-Hết -Đề chính thức