CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ :PHƯƠNG TRÌNH.. BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH.[r]
(1)CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ :PHƯƠNG TRÌNH.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH. CHÚ Ý : 1) Nếu f(x) có GTLN GTNN K :
ff(x)<m ,∀x∈K⇔maxf(x)<m
(x)>m,∀x∈K⇔minf(x)>m
f(x)=m có nghiệm ∀x∈K⇔minf(x)≤m ≤maxf(x)
f(x)<m có nghiệm x K ⇔ minf(x)<m
f(x)>m có nghiệm x K ⇔ minf(x)<m
ff(x)<m,vô nghiêm∀x∈K⇔minf(x)≥ m
(x)>m ,vô nghiêm∀x∈K⇔maxf(x)≤ m
2) Nếu f(x) không tồn GTLN GTNN K ta sử dụng tương giao đồ thị: Xét (C) : y = f(x) đường thẳng d : y = m TXĐ K
f(x)<m ,∀x∈K⇔(C) nằm hồn tồn phía d
f(x)≤m ,∀x∈K⇔(C) khơng có điểm nằm phía d
f(x)>m ,∀x∈K⇔ (C) nằm hồn tồn phía d
f(x)≥m ,∀x∈K⇔ (C) khơng có điểm nằm phía d
f(x)<m có nghiệm x K ⇔ ∃x∈K để có điểm M(x;f(x)) nằm phía d
f(x)>m có nghiệm x K ⇔ ∃x∈K để có điểm M(x;f(x)) nằm phía d
(Nếu hai trường hợp sau có dấu điểm M(x;f(x)) nằm d
I )HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 1: Giải hệ phương trình :
¿
3
√x − y=√x − y
x+y=√x+y+2
¿{
¿
((1;1)(3
2;
2)) (Khối B-2002) HD: Dùng hai ẩn phụ u = x – y ; v = x + y
BÀI 2: Giải hệ phương trình:
¿
x −1 x=y −
1
y
2y=x3+1
¿{
¿
((1;1);(−1+√5
2 ;
−1+√5
2 );(
−1−√5
2 ;
−1−√5 ))
HD: (xy≠0) Xét hàm số f(t) = t −1
t ∀t ≠0 có f ‘(t)>0 nên f(t) hàm số đồng biến PT đầu xảy
khi
(2)BÀI 3: Giải hệ phương trình:
¿ 3y=y
2
+2
x2
3x=x
2
+2
y2
¿{
¿
((1 ;;1)) (Khối B – 2003 )
HD: + Từ ĐK (xy≠0) VP >0 nên x > , y >
+ Qui đồng hệ đối xứng loại II BÀI 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm :
¿
√x+√y=1
x√x+y√y=1−3m
¿{
¿
(0≤ m≤1
4) HD: + Đặt ĐK x ≥0; y ≥0 (Nhận xét hệ đối xứn loại I)
+ (Do ĐK x y nên ⇒1−3m≥0⇔m ≤1
3 ) + Đặt ẩn phụ đưa hệ đa thức đối xứng loại I
BÀI 5: Giải hệ phương trình :
¿
x3− y3=7(x − y)
x2+y2=x+y+2
¿{
¿
((1;2);(2;1)(1+√5
2 ; 1+√5
2 );( 1−√5
2 ; 1−√5
2 ))
BÀI 6: Giải hệ phương trình :
¿
x+
1
y=−
1
x2+y2=5
¿{
¿
((2;−1);(−1;2))
HD: Dạng hệ đối xứng loại I
BÀI 7: Giải hệ phương trình :
¿ 2x2 y+xy2=15
8x3
+y3=35
¿{
¿
((1;3);(3
2;2)) HD: Các vế tái hai PT có nhân tử (2x + y)
BÀI 8: Giải hệ phương trình :
¿ 2x2− y2
=3x −2
2y2− x2=3y −2
¿{
¿
((1;1);(2;2))
HD: Hệ đối xứng loại II
BÀI 9: Cho hệ phương trình :
¿
√x+1+√y+1=3
x√y+1+y√x+1+√y+1+√x+1=m
¿{
¿
(3)a/Giải hệ với m = b/Tìm tất giá trị m để hệ có nghiệm
(a/ (0;3);(3;0)b/0≤ m≤27
4 ) HD: (Dạng hệ đối xứng loại I) Biến đổi vế trái PT thứ hai dạng tích, sau dùng ẩn phụ
BÀI 10: Tìm a để hệ sau có nghiệm :
¿
x2+y2−2x ≤2
x − y+a=0
¿{
¿
(a=−1−√6∨a=−1+√6) HD: Có thể giải phương pháp hình học : Định điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với hình trịn BÀI 11: Tìm a để hệ sau có nghiệm :
¿
x+y+√2 xy+m ≥1
x+y ≤1
¿{
¿
(m=−1
2)
BÀI 12: Cho hệ:
y −1¿2≤2 ¿
x − y+m=0
¿ ¿
(x −1)2+¿
(m=0)
Xác định m để hệ nghiệm ∀x∈[0;2]
HD: Có thể giải phương pháp hình học : Định điều kiện để đường thẳng có điểm chung với hình trịn ∀x∈[0;2]
BÀI 13: Cho hệ:
¿
x2
+y2− x=0
x+ay− a=0
¿{
¿
(0<a<4
3) Tìm a để hệ có nghiệm phân biệt
HD: Có thể giải phương pháp hình học : Định điều kiện để đường thẳng cắt đường tròn
BÀI 14: Cho hệ:
¿
x2
+y2=m2
x+y=4
¿{
¿
(|m|≥2√2)
Tìm m để hệ có nghiệm
BÀI 15: Giải hệ:
¿ 2x+y=
x2
2y+x=
y2
¿{
¿
(4)BÀI 16: Cho hệ:
¿ xy− y2=12
x2−xy=m+26
¿{
¿
( m > -14)
BÀI 17: a) Giải hệ:
¿ 1+x3y3=19x3
y+xy2=−6x2
¿{
¿
((−1
2;3);(
3;−2))
b) Giải hệ :
¿
y+xy2
=6x2(1)
1+x2y2=5x2(2)
¿{
¿
((1;2);(1
2;1)) HD: Các hệ PT dạng khác (câu a) b) tương tự).
HD: Câu b) + x =0 (2) vơ nghiệm.
+ x chia hai vế PT hệ cho x2 ta
¿
y x2+
y2 x=6
1
x2+y
=5
⇔ ¿ y
x(
1
x+y)=6
(1x+y)
−2 y
x=5
¿{
¿ + Đặt hai ẩn phụ hệ đa thức
BÀI 18: Giải hệ:
¿
x2+y2−3x+4y=1
3x2−2y2−9x −8y=3
¿{
¿
((3+√13 ;0);(
3−√13 ;0);(
3+√13
2 ;−4);(
3−√13 ;−4))
HD:
¿
(x2−3x)+(y2+4y)=1
3(x2−3x)−2(y2+4y)=3
⇔ ¿u+v=1
3u −2v=3
¿{
¿
(5)
√x+1+√y −2=√m
√y+1+√x −2=√m
;m≥0
¿{
¿
(m≥3)
II ) PHƯƠNG TRÌNH:
BÀI 20: Giải phương trình : √3x −2−√x+7=1 (x=9)
BÀI 21: Giải p/t: √x+2√x −1+√x −2√x −1=x+3
2 (x=1∨x=5)
BÀI 22: Giải p/t : √x+2+√5− x+√(x+2)(5− x)=4 (x=3±3√5
2 )
HD: PT có dạng a(√f(x)±√g(x))+b√f(x).g(x)=c với f(x)+g(x) =const Đặt ẩn phụ
t = √f(x)±√g(x) (Nếu tốn có chứa tham số cần lấy ĐK cho t )
BÀI 23: Cho phương trình : √1+x+√8− x+√(1+x)(8− x)=a (1)
a/Giải phương trình a =3 ( x = -1 ; x = 8) b/Xác định a để (1) có nghiệm (3≤ a≤9
2+3√2) HD: Giống 22
BÀI 24: Cho phương trình : √x+√9− x=√− x2+9x+m
Tìm m để phương trình có nghiệm ? (−9
4≤ m≤10) HD:+ Nhận xét x + (9-x) = x(9-x) = -x2 +9x Từ đặt ẩn phụ t =
√x+√9− x (Lấy ĐK cho t )
+ Dùng GTLN GTNN
BÀI 25: Cho phương trình : √x+4√x −4+x+√x −4=m (1)
a/Giải phương trình m =3 ( x = 4) b/Xác định a để (1) có nghiệm ( m≥6¿
BÀI 26: Định m để pt sau có nghiệm nhất: √1− x2
+2√31− x2=m (m=3) HD:Dùng ĐK cần đủ
BÀI 27: Giải pt :
√x+1+√3 x+2+√3x+3=0 (x=−2)
HD: Chuyển thức sang vế phải ; Lập phương hai vế dùng phép trong
BÀI 28: Giải pt : √x+3−√3x=1 (x=1∨x=2√2)
(6)BÀI 30: Định m để pt sau có nghiệm : (1+x
√x )
+2m1+x
√x +1=0
HD: Đặt t = 1+x
√x (x>0) ⇒t ≥2 → t
+2 mt+1=0 có nghiệm t ≥2
BÀI 31: Định m để pt sau có nghiệm : x√x+√x+12=m(√5− x+√4− x)
HD: ĐK 0 x ≤4 , rút m = f(x) = x√x+√x+12
√5− x+√4− x ; f ’(x)>0 ⇒ f(0) m=f(x)≤ f(4)
BÀI 32: Giải phương trình : √4x −1+√4x2−1=1 ( x=12¿
HD: ĐK : x ≥1
2 ; nhẩm nghiệm ( x=
2¿ ; chứng minh y = √4x −1+√4x2−1 đồng biến với
x ≥1
2
BÀI 33: Giải phương trình : √x2+8=2x −1+√x2+3
HD: Dùng tính chất đơn điệu hàm số (Nhẩm tìm nghiệm x =1 chứng minh nghiệm nhất)
BÀI 34: Giải phương trình : √2x −3+√5−2x − x2+4x −6=0
HD :+ Lấy ĐK 2≤ x ≤
5
2 BĐPT dạng √2x −3+√5−2x=x2−4x+6 + Tìm GTLN GTNN f(x)=√2x −3+√5−2x D = [3
2; 2] + MaxD f(x)=2 ⇒f(x)≤2∀x∈D .
+ x −2¿
2
+2≥2
g(x)=x2−4x+6=¿
PT có nghiệm ⇔f(x)=2∧g(x)=2 ⇒x=2 nghiệm PT III ) BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
BÀI 35: Giải bất p/t: (x2−3x)√2x2−3x −2≥0 (x ≤ −12∨x=2∨x ≥3)
HD: Dùng phép BĐTĐ
BÀI 36: Giải bất phương trình: √x+12≥√x −3+√2x+1 (3≤ x ≤4)
HD: Dùng phép BĐTĐ
BÀI 37: Giải bất p/t: √2(x
2 −16)
√x −3 +√x −3> 7− x
√x −3 (x>10−√34)
HD: ĐK x ≥4 , sau dùng phép BĐTĐ
BÀI 38: Giải bpt : √x+2√x −1+√x −2√x −1>3
(7)BÀI 39: Giải hệ bất phương trình :
x2−2x ≤0
x4−5x2+4≤0
¿{
¿
(1≤ x ≤2)
BÀI 40: Định m để hệ sau có nghiệm:
¿
x2−3x −4≤0
x3−3x|x|− m2−15m ≥0 ¿{
¿
(−1≤ m≤16)
BÀI 41: Giải bất phương trình : √x+11≥√x −4+√2x −1 (4≤ x ≤5)
BÀI 42: Giải bất phương trình : √x2
+x −6≥ x+2 (x ≤ −3)
BÀI 43: Giải bất phương trình sau: −4x −2
√2x − x2<x√2x − x
2
(0 <x< 2)
BÀI 44: Định m để bpt : x3
+2x2+mx−2m−16<0 có nghiệm lớn ( m< -29)
BÀI 45: Định m để bpt : √2x − x2
(x2− x −m)<0 có nghiệm (m>−14)
BÀI 46: Định m để bpt : (m+2)x2−2 mx+1≤0 có nghiệm x∈[0;3] (m ≥2∨m ≤−193 )
BÀI 47: Định m để bpt : x3−3 mx
2 +1<0 có nghiệm với x∈(0;1) (m>√32)
BÀI 48: Cho bất phương trình (x2
+1)2+m≤ x√x2+2+4
a) Giải bất phương trình m =
b) Tìm m cho bất phương trình thỏa ∀x∈[0;1] HD: Đặt t =f(x) = x√x2
+2 (Câu a/ x ≤√√2−1 )
b/ f ‘(x) > →0=f(0)≤t ≤ f(1)=√3 ; BPT trở thành m g(t)=−t2+t+3 ∀t∈[0;√3]
⇔ming(t)≥ m⇔√3≥ m
BÀI 49: Cho bất phương trình : mx−√x −3≤m+1
a) Giải bất phương trình m = 12 b) Tìm m để bất phương trình có nghiệm
HD: ĐK x ≥3 ; đặt t = √x −3 ; t ≥0 Viết BPT theo t là: m(t2+3)−t ≤ m+1 (*)
a) Khi m = 12 kết 3≤ x ≤7
b) (*) ⇔m ≤ f(t)=t+1
t2+2 có nghiệm t ≥0 ⇔maxf(t¿)
≥ m⇔√3+1 ≥ m
BÀI 50: Cho bất phương trình : √4x −2+√16−4x ≤ m
a) Giải BPT m =
(8)HD: a) Dùng phép BĐTĐ kết hợp với ĐK x ta 2≤ x ≤
9
4−√3∨
4+√3≤ x ≤4 c) Đặt f(x) = √4x −2+√16−4x , x∈D=[1
2;4] f(x)≤m có nghiệm ⇔Mìnf(x)
D
≤ m⇔√14≤ m .
BÀI 51: Cho BPT : √x −√x −1>m Tìm tham số m > để BPT có nghiệm ? (Đ số : < m <1)
HD: (Bài xét f(x)=√x −√x −1 với x ≥1 khơng có GTLN GTNN)
BPT f(x) > m có nghiệm ⇔∃x ≥1 để có điểm (x ; f(x)) nằm phía đường thẳng d : y = m ⇔0<m<1