Cũng bằng kinh nghiệm tích luỹ được tôi đã thể nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi huyện và Tỉnh kết quả cho thấy các em rất hứng thú học phần số nguyên tố và các bài toán liên quan[r]
(1)LỜI NÓI ĐẦU
Giáo dục ngành cấp quan tâm, tạo điều kiện phát triển Đảng nhà nước ta coi giáo dục đào tạo công nghệ Quốc sách hàng đầu Trong nhà trường phổ thông, giáo dục hướng tới mục tiêu nâng cao mặt dân trí, bảo đảm tri thức cần thiết để người nhập sống xã hội kinh tế theo kịp tiến trình đổi phát triển đất nước, đào tạo bồi dưỡng nâng cao chất lượng nguồn nhân lực u cầu cơng nghiệp hóa đại hóa đất nước
Để đạt mục tiêu đó, mơn Tốn trường phổ thơng cơng cụ giúp việc học tập môn khác kiến thức tư Mơn tốn có tiềm phát triển lực trí tuệ hình thành phẩm chất trí tuệ rèn luyện phẩm chất tư duy, phân tích, tổng hợp, so sánh, quy nạp, khái quát Ngồi cịn rèn luyện phẩm chất đạo đức tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tính xác, thẩm mỹ rèn luyện tính kiên trì, nhẫn nại Trong chương trình tốn học đa dạng phong phú Có phần tốn học ln để lại cho người học vấn đề mẻ sau giải tốn: Đó tốn "Số ngun tố"
"Tốn học bà hồng khoa học" "Số học bà chúa toán học" Số học chương trình phổ thơng khơng nhiều lại gắn liền suốt chương trình Đặc biệt kỳ thi nào, cấp nào, nước tốn số học thường có mặt đề thi
Trong giới số học số nguyên tố bí ẩn lớn khơng người học tốn mà cịn nhà tốn học Chưa có cơng thức tổng qt biểu diễn số ngun tố, khơng có thuật tóan để giải toán liên quan đến số ngun tố Chính tơi chọn đề tài " Số nguyên tố toán số nguyên tố" mà trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi rút
(2)PHẦN 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ
I ĐỊNH NGHĨA:
Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước số Số tự nhiên lớn khơng phải số ngun tố gọi hợp số
Số số ngun tốcũng khơng phải hợp số II TÍNH CHẤT:
1 Định lý 1: Tập hợp số nguyên tố vô hạn
2 Định lý 2: Ước số nhỏ khác hợp số số nguyên tố không lớn bậc hai củ số
3 Định lý 3: Cho số tự nhiên a số nguyên tố p Khi p/a hoăc (a,p) =
4 Định lý 4: Cho p số nguyên tố a1; a2; a3; ; an số tự nhiên Khi
nếu p/
n i
ai p/ai (i =1,n)
5 Định lý số học
Mọi số tự nhiên lớn đơn vị (lớn 1) phân tích thành thừa số ngun tố cách (nếu không kể đến thứ tự thừa số)
III DẠNG TỔNG QUÁT CỦA SỐ NGUYÊN TỐ.
Tập hợp số nguyên tố vô hạn, có đặc trưng riêng chưa có nhà Tốn học tìm cơng thức tổng quát cho số nguyên tố
1 Số nguyên tố Fecma: f(n) = 22
n +
Công thức với n = 1,2,3,4 f(5) số nguyên tố
2 f(n) = n2 – n + 41 công thức cho n = 1,2, ,40
3 f(n) = n2 – 79n + 1601 cho số nguyên tố đến n = 79
4 Số nguyên tố dạng a.x + b
(3)PHẦN 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ.
CHUYÊN ĐỀ 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ, MỘT BIỂU THỨC LÀ SỐ NGUYÊN TỐ, LÀ HỢP SỐ.
I Chứng minh số, biểu thức số nguyên tố.
Thông thường để chứng minh số, biểu thức số nguyên tố người ta dùng phương pháp chứng minh phản chứng
Bài toán 1: Cho 2m – số nguyên tố Chứng minh m số nguyên tố.
Chứng minh: Giả sử m hợp số m = p.q ( p, q > 1, p; q N)
Ta có: 2m – = 2pq – = 2(p)q - = (2p - 1) [2p(q - 1) + 2p(q - 2) + + 1]
Vì p > 2p -1 > 2p(q - 1) + 2p(q - 2) + + > 2m -1 hợp số. Điều trái với giả thiết
Nếu m = 2m – = số nguyên tố
Vậy m phải số nguyên tố
Hay 2m – số nguyên tố m số nguyên tố.
Bài toán 2: Chứng minh p chia hết (p – 1)! + p nguyên tố Giải: Giả sử p hợp số Ta có: p/(p – 1)!
Mặt khác theo giả thiết p/(p – 1)! + p/1 ( vô lý) Vậy p phải số nguyên tố
Bài toán 3: Chứng minh nếu: + 2n + 4n ( n Z+) số nguyên tố
n = 3k với k N.
Giải: Đặt n = 3k.a ( n khơng có dạng 3k) a 1 (a,3) = 1
m = 23k ( m 2; m N)
Giả sử a > ta xét trường hợp sau: a = 3b + a = 3b +
* Nếu a = 3b + (b N) ta có: 1 + 2n + 4n = (1 + m + m2) + (m3b+1 - m) +
m2( m6b - 2) + m +m2 m6b – m2 (1 + m +m2 )(m3b -1) (m3 -1)
(4)Nên : + 2n + 4n hợp số (vô lý)
* Nếu a = 2b + (b N) hồn tồn tương tự ta có + 2n + 4n hợp số (vô lý).
Vậy a = tức n = 3k (k N)
Bài toán 4: Chứng minh p 8p2 + hai số nguyên tố 8p2 - là
số nguyên tố
Giải: Giả sử p số nguyên tố lớn p có dạng 3k (k N) p2 = (3k + 1)2 = 3(3k2 2k) + = 3t + 1
8p2 +1 = 8( 3t + 1) + = 24t + 3 8p2 + hợp số (trái giả thiết)
Vậy p = 3k, p nguyên tố p = 8p2 + = 8.32 + = 73 ( nguyên tố)
8p2 – = 8.32 – = 71 ( nguyên tố)
Vậy p 8p2 + hai số nguyên tố 8p2 - số nguyên tố.
Bài tập vận dụng:
1 Chứng minh rằngcác số nguyên tố lớn có dạng 3k
2 Chứng minh m2 – n2 số nguyên tố m, n số tự nhiên liên tiếp.
3 Số a4 + a2 + số nguyên tố không?
II Chứng minh số, biểu thức hợp số.
Bài toán 1: Cho n N Chứng minh A = n4 + 4n hợp số.
Giải: *) n chẵn A 2 A hợp số.
*) n lẻ đặt n = 2k + A = n4 + 4n = n4 + 42k+1 = (n2 + 22k+1)2 –
2.n2.22k+1
A = (n2 + 22k+1)2 – (n.2k+1 )2 = n2 + 22k+1 – n.2k+1)(n2 + 22k+1 + n.2k+1)
A = [(n – 2k)2 + 22k][(n + 2k)2 + 22k] hợp số.
Bài toán 2: Cho a;b;c N* thỏa mãn ab = cd Chứng minh
(5)Giải: Giả sử (a;c) = t ta có a = ta1 , c = tc1 với ( a1,c1) = Từ ab = cd a1b
= c1d mà ( a1,c1) = nên b c1 Đặt b = kc1 c1d = a1kc1 c1d = ka1
Khi đó: A = an + bn + cn + dn = tna1
n
+ knc1n + tnc1n + kna1n A = (tn + kn)( a
1
n
+ c1
n
)
Vì k; t; a1; c1 N A hợp số
Bài toán 3: Cho n N*, Chứng minh rằng:
2
10
2 n
+ 19
4
3 n
+
4
2 n
+ hợp số
Giải:
a.Ta chứng minh
10
2 n
+ 19 23 với n 1
Ta có: 210 (modun 11) 210n (modun 11) 2.210n (modun 22)
210n +1 = 22.k + ( k N)
Theo Fecma: 222 (modun 23) 2 10
2 n
= 222k+2 (modun 23)
222k+2 + 19 23 (1) 2
10
2 n
+ 19 > 23 (2) Từ (1) (2) 2
10
2 n
+ 19 hợp số
b Ta chứng minh
4
3 n
+
4
2 n
+ 11 với n 1 Ta có: 34 (modun 10) 34n +1 (modun 10)
34n +1 = 10k + 3
Theo Fecma: 210 (modun 11) 2
4
3 n
= 210k + (modun 11)
24 (modun 5) 24n + (modun 10)
24n + 1 = 10l + 2
Theo Fecma: 310 (modun 11) 3
2 n
= 310l + (modun 11)
2
4
3 n
+
4
2 n
(6)2
4
3 n
+
4
2 n
+ (modun 11) hay 2
4
3 n
+
4
2 n
+ 11
Mặt khác:
4
3 n
+
4
2 n
+ > 11 2
4
3 n
+
4
2 n
+ hợp số
Bài toán 4: Chứng minh n hợp số 2n – hợp số.
Giải: n hợp số suy n = p.q (p; q > 1, p, q N ) 2n – = ( 2p )q – = ( 2p – 1)( 2p(q – 1) + 2p(q – 2) + + 1)
Mà 2p – >1 2p(q – 1) + 2p(q – 2) + + > nên 2n - hợp số.
Bài tập vận dụng:
1 Chứng minh với n N , n > số sau hợp số
a n4 + 4 b n4 + 4n c m4 + m2 + 1
2 Cho p 2p + hai số nguyên tố với p > Chứng minh 4p + hợp số Cho n N Chứng minh số sau hợp số:
a A =
2
2 n
+3 b B =
4
2 n
+ c C =
6
2 n
+ 13
CHUYÊN ĐỀ 2: TÌM SỐ NGUYÊN TỐ KHI BIẾT MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN I Tìm số nguyên tố p biết số, biểu thức nguyên tố hay số tự nhiên. Bài toán 1: Tìm số nguyên tố p để:
a p + 10 ; p + 14 số nguyên tố
b p + 2; p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 số nguyên tố Giải: a với p = ta có p + 10 = 13 số nguyên tố
p + 14 = 17 số nguyên tố Với p > p có dạng p = 6k
* Nếu p = 6k + p + 14 = 6k + 15 chia hết cho hay p + 14 không nguyên tố Vậy p = 6k +1 không thỏa mãn
(7)Vậy p = thỏa mãn điều kiện toán
b Với p = ta thấy số dều số nguyên tố Với p p = 5k ; 5k
* Nếu p = 5k + p + 14 = 5k + 15 5 p + 14 không nguyên tố. * Nếu p = 5k – p + = 5k + 5 p + không nguyên tố. * Nếu p = 5k + p + = 5k + 10 5 p + không nguyên tố. * Nếu p = 5k - p + = 5k 5 p + không nguyên tố. Vậy có p = thỏa mãn yêu cầu toán
Bài toán 2: Tìm số nguyên tố p; q; r cho p2 + q2 = r
Giải: Giả sử có số nguyên tố p; q; r cho pq + qp = r r >3
r lẻ Vậy p; q khơng tính chẵn, lẻ nên phải có số nguyên tố chẵn là
Giả sử p = 2q + q2 = r
+) Nếu q không chia hết cho q2 ( modun 3)
Mặt khác q lẻ 2q -1 ( modun 3) 2q + q2 3 ( không nguyên tố).
Vậy q 3 , q nguyên tố q = Khi r = 23 + 32 = 17
Do p, q có vai trị nên p = ; q = Vậy có số tìm (2; 3; 17) ( 3; 2; 17) Bài tốn 3: Tìm số tự nhiên ( x; y) cho:
1 x
1 y =
1
p ( p số nguyên tố).
Giải: Do x; y N x
1 y =
1
p (x – p)(y – p) = p2
p nguyên tố x > p, y > p nên ta có khả sau
*
2
x p y p p
2
x p y p p
(8)*
x p p y p p
2
x p y p
*
2
1
x p p y p
2
1
x p p y p
Bài tốn 4: Tìm số ngun tố p cho: 2p + lập phương số tự nhiên
Giải: 2p + = n3 ( n N ) 2p = n3 – = (n – 1)(n2 + n + 1) p = 2p + =5 Không tồn n thỏa mãn.
p > 2, p nguyên tố nên ( p; 2) = 1
Mặt khác: n – < n2 + n + n – = n = 3
p = n2 + n + ( nguyên tố) Vậy p = 13 thỏa mãn yêu cầu toán
Bài tốn 5: Tìm số ngun tố abcd cho ab ac số nguyên tố b2 = cd + b – c.
Giải: abcd , ab ac số nguyên tố b, c, d số lẻ khác 5. b2 = cd + b – c b( b – 1) = cd - c = 10c + d – c = 9c + d
Do 9c + d 10nên b( b – 1) 10 b 4 Vậy b = b = *) Nếu b = ta có: 9c + d = 42 3 d 3 d = d = 9.
Nếu d = 9c = 39 không tồn c thuộc N Nếu d = 9c + d cịn 42 khơng9 (lọai) *) Nếu b = ta có: 9c + d = 72 d 9 d = 9
9c + = 72 c = 7
(9)ac = a7 số nguyên tố a 2; 5; 7; 8 Mặt khác a a = 1
Vậy số cần tìm 1979 ( Vì 1979 số nguyên tố) Bài tập vận dụng:
1 Tìm tất số nguyên tố p để p vừa tổng, vừa hiệu hai số nguyên tố
2 Tìm số nguyên tố p cho 13p + lập phương số tự nhiên Tìm p để p + ; p + ; p + ; p + ; p + 11 ; p + 15 số nguyên tố
II Tìm số tự nhiên n để số - biểu thức số ngun tố. Bài tốn tổng qt: Tìm số tự nhiên n để biểu thức P(n) số nguyên tố
Thuật toán: Khi gặp dạng toán ta phân tích P(n) thành nhân tử P(n) =
P1(n) P2(n) khi P(n) số ngun tố nên P1(n) =1 P2(n) =
Thông thường ta xét biểu thức min(P1(n); P2(n)) = 1 giải phương trình ta có
giá trị n cần tìm
Bài tốn 1: Tìm tất số ngun n cho: a n4 + số nguyên tố.
b n1997 + n1996 + số nguyên tố.
Giải:
a n4 + = ( n2 + 2)2 – 4n2 = (n2 + - 2n)( n2 + + 2n)
Ta có n2 + – 2n < n2 + + 2n nên để n4 + số nguyên tố n2 + – 2n =
1 (n – 1)2 = n = 1.
Khi n4 + = số nguyên tố Vậy n = thỏa mãn toán.
b n1997 + n1996 + = (n1997 - n2) + (n1996 - n) + ( n2 + n +1) = n2(n1995 - 1) + n(n1995 - 1) +
(n2 + n +1) = ( n2 + n)(n1995 - 1) + (n2 + n +1)
Ta có: n1995 - = (n3)665 - = ( n3 - 1) [(n3)664 + (n3)663 + + n2 + 1]
(10)Do n > n2 + n +1 > Vì để n1997 + n1996 + số nguyên tố n1997 +
n1996 + = n2 + n +1 n = 1
Bài toán 2: Tìm số tự nhiên m; n để: A =
2
3m 6n61
+ số nguyên tố
Giải: Ta có 3m2 + 6n – 61 chia dư ta đặt 3m2 + 6n - 61 = 3k + (k N)
A =33k + 2 +4 = 9.27k +4
Dễ thấy 9.27k (modun 13) 9.27k +4 13.
Để A nguyên tố A = 13 33k + 2 = k = 0
3m2 + 6n - 61 = 3k + = (vì k = 0) 3m2 + 6n - 63 = m2 + 2n - 21 =
n < 11 Do 2n chẵn m2 phải số lẻ m2 = 1, m2 = 9
*) Nếu m2 = m = , n =10.
*) Nếu m2 = m = ; n = Vậy giá trị cần tìm (1;10 ) ; (3; )
Bài tập vận dụng:
1 Tìm tất số n cho:
a n4 + n2 + số nguyên tố. c n1998 + n1997 + số nguyên tố.
b n3 - n2 +n - số nguyên tố. d n1997 + n1995 + số nguyên tố.
2 Bài tốn mở rộng:
Tìm a N để số a3n + + a3m + 1 + số nguyên tố biết m, n N m2 + n2 0
III Một số dạng tốn khác.
Bài tốn 1: Tìm số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Giải: Gọi số nguyên tố a, b, c lúc ta có:
a.b.c = 5( a + b + c ) abc mà a, b, c nguyên tố nên số phải 5 Giả sử a = b.c = + b + c ( b – 1)(c – 1) = 6
1 1 1 6
b c
2 7
b c
(11) 1 2 1 3
b c
3 4
b c
Trường hợp loại b = không nguyên tố
Vậy số nguyên tố cần tìm (2; 5; 7)
Bài tốn 2: Tìm tất số ngun tố có dạng
( 1)
2
n n
- ( n 1)
Giải:
( 1)
2
n n
- =
( 1)( 2)
2
n n
= p *) n = p = 2, n = p = thỏa mãn.
*) n > n- chẵn n + chẵn nên p hợp số Giá trị p cần tìm p = p =
Bài tập vận dụng: Chứng minh có cặp số nguyên dương (a, b) để a4
+ 4b4 số nguyên tố.
2 Tìm số ngun tố p có dạng
( 1)( 2)
6
n n n
+ ( n 1)
(12)C PHẦN KẾT LUẬN
Cũng kinh nghiệm tích luỹ tơi thể nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi huyện Tỉnh kết cho thấy em hứng thú học phần số nguyên tố toán liên quan đến số nguyên tố tất học sinh hiểu, biết phân tích đề để tìm đến hướng giải thi kiểm tra
Từ thực tế dạy học Số nguyên tố mà thân bồi dưỡng học sinh giỏi năm qua Tôi thấy vấn đề hay bổ ích cho khơng học sinh mà cịn thân người bồi dưỡng
Nội dung đề tài xoay quanh đến vấn đề số nguyên tố Tuy nhiên dạng tốn số ngun tố nhiều phong phú, đề tài đề cập hết dạng toán số nguyên tố mà toán hướng giải
Trên vài suy nghĩ, kinh nghiệm kiến thức mà qua trình học hỏi, giảng dạy cá nhân tơi tích lũy được, thiết nghĩ vấn đề quan trọng để nâng cao hiệu giảng dạy
(13)