BD HSG_Chuyên đề 12:Dãy số và các bài toán về dãy số

CHUYÊN ĐỂ 12: DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ 1 TIẾT 1, 2 DÙNG QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ Phương pháp chứng minh quy nạp toán học: Để chứng minh mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥ n 0 (n 0 ∈ ¥ ), ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp. Phương pháp quy nạp được thực hiện theo các bước sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 0. • Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, bằng suy luận ta suy ra được mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Từ đó kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n 0 . Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi n * ∈¥ ta có: 1/ 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1) 1 2 3 n 6 + + + + + + = 2/ 2 3 3 3 3 n(n 1) 1 2 3 n 2 +   + + + + =     Giải 1/ * Khi n = 1 thì ta có đẳng thức đúng vì 2 1(1 1)(2 1) 1 6 + + = * Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là: 2 2 2 2 k(k 1)(2k 1) 1 2 3 k 6 + + + + + + = Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 k(k 1)(2k 1) 1 2 3 k k 1 k 1 6 + + + + + + + + = + + ( ) ( ) (k 1) k 2k 1 6(k 1) 6 (k 1) k 2 (2k 3) 6 +  + + +    = + + + = Vậy đẳng thức đúng khi n = k + 1 Do đó đẳng thức đúng với mọi n * ∈¥ . 2/ * Khi n = 1 thì đẳng thức đúng vì 2 2 3 1 .(1 1) 1 4 + = * Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 tức là: 2 2 3 3 3 3 k (k 1) 1 2 3 k 4 + + + + + = Vậy 2 2 3 3 3 3 3 3 k (k 1) 1 2 3 k (k 1) (k 1) 4 + + + + + + + = + + 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 (k 1) k 4(k 1) 4 (k 1) k 4(k 1) 4 (k 1) k 4   + + +   =   + + +   = + = Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1 Do đó đẳng thức đúng với mọi n * ∈¥ . Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi n * ∈¥ ta có: n(n 1)(n 2) 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 3 + + + + + + + = Giải * Khi n = 1, VT = 1.2 = 2 VP = 1(1 1)(1 2) 2 3 + + = Vậy đẳng thức đúng với n = 1. * Giả sử đẳng thức đúng với số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là: n(n 1)(n 2) 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 3 + + + + + + + = Khi đó n = k + 1, ta có: k(k 1)(k 2) 1.2 2.3 3.4 k(k 1) (k 1)(k 2) (k 1)(k 2) 3 + + + + + + + + + + = + + + (k 1)(k 2)(k 3) 3 + + + = Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1 Suy ra đẳng thức đúng với mọi n * ∈¥ Bài tập 3: Chứng minh rằng với mọi n * ∈¥ ta có: 2 3 n n 1 2 3 n 3 2n 3 (1) 3 3 3 3 4 4.3 + + + + + = − Giải * Khi n = 1, VT = 1 3 VP = 3 2.1 3 1 4 4.3 3 + − = Vậy (1) đúng với n = 1 * Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là: 2 3 k k 1 2 3 k 3 2k 3 3 3 3 3 4 4.3 + + + + + = − 3 Khi đó, với n = k + 1, ta có: 2 3 k k 1 k k 1 1 2 3 k k 1 3 2k 3 k 1 3 3 3 3 3 4 4.3 3 + + + + + + + + + + = − + k 1 k 1 k 1 3 (2k 3).3 4(k 1) 4 4.3 3 2k 5 4 4.3 3 2(k 1) 3 4 4.3 + + + + − + = − + = − + + = − Vậy (1) cũng đúng với n = k + 1 Suy ra đẳng thức (1) đúng với mọi n * ∈¥ Bài tập 4: Chứng minh rằng với mọi n * ∈¥ , ta có: ( ) 2 4 4 4 4 1 2n 1 1 1 1 1 9 25 1 2n 2n 1   +     − − − − =  ÷  ÷ ÷ ÷  ÷ −     −   (1) Giải * Khi n = 1, VT = 1 - 4 3 1 = − VP = 1 2 3 1 2 + = − − Vậy (1) đúng với n = 1 * Giả sử (1) đúng với số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là: ( ) 2 4 4 4 4 1 2k 1 1 1 1 1 9 25 1 2k 2k 1   +     − − − − =  ÷  ÷ ÷ ÷  ÷ −     −   Khi đó, với n = k + 1, ta có: ( ) [ ] ( ) 2 2 2 2 4 4 4 4 4 1 2k 4k 4k 3 1 1 1 1 1 . 1 9 25 1 2k 2k 1 2k 1 2(k 1) 1     + + −      ÷ − − − − − =  ÷  ÷ ÷ ÷  ÷  ÷ −     − + + −     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4k 4k 3 2k 1 2k 1 2k 3 2k 1 2k 1 2k 1 2k 3 2k 1 1 2(k 1) 1 2(k 1) + − = − + − + − = − + − + = − + + + = − + Vậy (1) đúng với n = k + 1 4 Suy ra (1) đúng với mọi n * ∈¥ Bài tập 5: Cho a ≥ 0. Cmr: * n∀ ∈¥ , ta có: ( ) n 2 n(n 1) 1 a 1 na a 2 − + ≥ + + (1) Giải * Khi n = 1, VT = 1 + a VP = 1 + a Vậy (1) đúng với n = 1. * Giả sử (1) đúng với số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là: ( ) k 2 k(k 1) 1 a 1 ka a 2 − + ≥ + + Khi n = k + 1, ta có: ( ) k 1 2 1 a (1 a) (1 a) + + = + + + 2 k(k 1) (1 a) 1 ka a 2 −   ≥ + + +     [ ] 2 3 2 2 k(k 1) k(k 1) 1 (k 1)a a a 2 2 k(k 1) 1 (k 1)a a 2 (k 1) (k 1) 1 1 (k 1)a a 2 + − = + + + + + ≥ + + + + + − = + + + Vậy (1) cũng đúng với n = k + 1 Suy ra (1) đúng với mọi n nguyên dương. Bài tập 6: Chứng minh * n∀ ∈¥ , ta có: 1 1 1 n 1 n 2 1 2 n + + + ≤ + − − (1) Giải * Khi n = 1 thì (1) 1 1 1 1 2 1 n ⇔ ≤ + + − = (đúng) * Giả sử (1) đúng với n = k, tức là: k 1 1 S k k 1 k 2 1 2 = + + + ≤ + + − Ta chứng minh đẳng thức (1) đúng với n = k + 1, tức là: Thật vậy do giả thiết quy nạp, nếu ta chứng minh được 1 k 1 k 2 k 2 k 1 2 k 1 + − − + ≤ + + + − + là đúng thì (2) sẽ đúng. Xét 1 k 1 k 2 k 2 k 1 2 k 1 + − − + ≤ + + + − + 5 k 1 1 1 1 1 S k k 2 k 1 2 (2) 1 2 k k 1 + = + + + + ≤ + − + − + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 k k 2 k 1 k k 1 k 3k 2 k k 1 2 k k k 3k 2 2 k k 2k 1 4(k k) 4k 4k 1 0 1 ⇔ + ≤ + + ⇔ + + ≤ + + ⇔ + + + + ≤ + + ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + + ⇔ ≤ Vậy (1) đúng khi n = k + 1 Suy ra (1) đúng * n∀ ∈¥ . TIẾT 3, 4, 5 II. XÁC ĐỊNH DÃY SỐ Bài tập 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi: 1 n 1 n u 3 u 2u , (n 1) + =   = ≥  Giải Ta có: u 1 = 3 Cho n = 1: u 2 = 2u 1 = 2.3 Cho n = 2: u 3 = 2u 2 = 2.2.3 = 2 2 .3 Cho n = 3: u 4 = 2u 3 = 2.2.2.3 = 2 3 .3 Dự đoán: u n = 2 n-1 .3 Chứng minh bằng quy nạp. Giả sử u k = 3.2 k-1 , ta chứng minh: u k+1 = 3.2 k Ta có: u k+1 = 2u k = 2.( 3.2 k-1 ) = 3.2 k Vậy u n = 3.2 n-1 n 1∀ ≥ Bài tập 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số: 1.4; 4.7; 7.10; 10.13; … Giải u 1 = 1.4 = (3 - 2)(3 + 1) u 2 = 4.7 = (3.2 - 2)(3.2 + 1) u 3 = 7.10 = (3.3 - 2)(3.3 + 1) … Vậy u n = (3n - 2)(3n + 1) Thật vậy với u n = (3n - 2)(3n + 1) Ta có: u 1 = 1.4; u 2 = 4.7; u 3 = 7.10; u 4 = 10.13 Ta tìm được các số hạng của dãy số. 6 Bài tập 3: Cho dãy số (u n ) với u n = 2 1 n 3n 2+ + và dãy số (V n ) xác định dãy số V n được cho bởi: 1 1 n 1 n n 1 v u v v u + + =   − =  Giải Ta có: v 1 = u 1 v 2 = v 1 + v 2 = u 1 + u 2 v 3 = v 2 + v 3 = u 1 + u 2 + u 3 … v n = u 1 + u 2 + u 3 + … + u n Xét u n = 2 1 1 1 1 n 3n 2 (n 1)(n 2) n 1 n 2   = = −  ÷ + + + + + +   Do đó v n = u 1 + u 2 + u 3 + … + u n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 n 1 n 2 1 1 2 n 2 n 1 2(n 2)         = − + − + − + + −  ÷  ÷  ÷  ÷ + +         = − + + = + Vậy n n 1 v 2(n 2) + = + Bài tập 4: Xét dãy Fibonacci 1 2 n n 1 n 2 u u 1 u u u (n 3, n ) − − = =   = + ≥ ∈  ¥ Chứng minh rằng: u n = n 1 n 1 1 1 5 1 5 (*) 2 2 5 + +       + −   −  ÷  ÷         Giải • Khi n = 1 thì u 1 = 2 2 1 1 5 1 5 1 2 2 5       + −   − =  ÷  ÷         Vậy (*) đúng khi n = 1. • Giả sử (*) đúng với n = k, tức là: u k = k 2 k 2 1 1 5 1 5 2 2 5 + +       + −   −  ÷  ÷         Ta chứng minh (*) đúng khi n = k + 1 tức là chứng minh: U n+1 = k 2 k 2 1 1 5 1 5 2 2 5 + +       + −   −  ÷  ÷         (**) 7 Xét u k+1 = u k + u k-1 k 1 k 1 k k k k k k k 2 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 2 2 2 2 5 5 1 1 5 1 5 1 5 1 5 1 1 2 2 2 2 5 1 1 5 3 5 1 5 3 5 2 2 2 2 5 1 1 5 1 5 1 2 2 5 + +             + − + −     = − + −  ÷  ÷  ÷  ÷                           + − − −   = + − +  ÷  ÷  ÷  ÷                   + + − −   = −  ÷  ÷             + + − = −  ÷  ÷     k 2 k 2 k 2 5 1 5 2 2 1 1 5 1 5 2 2 5 + +       −    ÷  ÷               + −   = −  ÷  ÷         Vậy (**) đúng. Kết luận: u n = n 1 n 1 1 1 5 1 5 2 2 5 + +       + −   −  ÷  ÷         Bài tập 5: Cho dãy số (u n ) xác định như sau: a/ u 1 = 2, u n = u n – 1 , n ,n 2∀ ∈ ≥¥ . Tìm u n theo n. b/ u 1 = 2, u n+1 = 1 3 u n, n *∀ ∈¥ . Tìm u n theo n. Giải a/ u 1 = 2 Ta có u n = u n-1 +3 ⇔ u n - u n-1 = 3, n ,n 2∀ ∈ ≥¥ Do đó: u n = (u n - u n-1 ) + (u n-1 - u n-2 ) + … + (u 2 - u 1 ) + u 1 = 3 + 3 + … + 3 + u 1 = (n – 1)3 + u 1 = 3n – 3 + 2 = 3n – 1 Vậy u n = 3n - 1 b/ u 1 = 2 Ta có: u n+1 = 1 3 u n ⇔ u n+ n 1 n u 1 u 3 + = , n *∀ ∈¥ 8 Do đó: n n 1 2 n 1 n 1 1 u u u u . .u u u2 u − − = 1 n 1 1 n 1 1 1 1 . .u 3 3 3 1 .u 3 2 3 − − =   =  ÷   = Vậy n n 1 2 u 3 − = Bài tập 6: Cho dãy số (u n ) xác định bởi: 1 n 1 n u 3 1 u 2 u n 2, 3, 2 + =    = + =   Tìm u n theo n. Giải • Ta có: u 1 = 3 • u 2 = 1 1 3 1 2 u 2 4 2 2 2 + = + = − • u 3 = 2 2 1 7 15 1 2 u 2 4 2 2 4 2 + = + = = − • u 4 = 3 3 1 15 31 1 2 u 2 4 2 8 8 2 + = + = = − • … Dự đoán: n n 1 1 u 4 2 − = − (*), n *∀ ∈¥ . Ta chứng minh bằng quy nạp. • n = 1: 1 0 1 u 4 3 2 = − = : đúng. • Giả sử (*) đúng với n = k tức là k k 1 1 u 4 2 − = − Ta chứng minh (*) đúng khi n = k + 1, tức là: k 1 k 1 u 4 2 + = − Thật vậy: k 1 k k 1 1 1 1 u 4 2 4 2 2 2 + −   = − = + −  ÷   k k 1 1 2 2 4 2 2 = + − = − Vậy (*) đúng khi n = k + 1 9 Vậy n n 1 1 u 4 2 − = − n *∀ ∈¥ Bài tập 7: Cho dãy số (u n ) xác định như sau: − − = =   +  = =   1 2 2 n 1 n n 2 u u 1 u 2 u , n 3,4, (1) u Chứng minh: u n = 4u n-1 - u n-2 , suy ra tất cả mọi số hạng của (u n ) là số nguyên. Giải Chứng minh: u n = 4u n-1 - u n-2 , ∀ =n 3,4, (*) • n = 3: u 3 = 4u 2 – u 1 = 4 – 1= 3 Và từ (1): + + = = = 2 2 3 1 u 2 1 2 u 3 u 1 Vậy (*) đúng khi n = 3 • Giả sử (*) đúng khi n = k ≥ 3, tức là: u k = 4u k-1 – u k-2 Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh: u k+1 = 4u k – u k-1 Ta có: u k+1 = 4u k – u k-1 − − + ⇔ = − 2 k k k 1 k 1 u 2 4u u u − − ⇔ + = − 2 2 k k k 1 k 1 u 2 4u .u u (1) Thay u k = 4u k-1 – u k-2 vào (1) ta được: (4u k-1 – u k-2 ) 2 + 2 = 4u k-1 (4u k-1 – u k-2 ) - u k-1 2 ⇔ 16u k-1 2 - 8u k-1 u k-2 + 2 = 16u k-1 2 - 4u k-1 u k-2 - u k-1 2 ⇔ … ⇔ u k = 4u k-1 – u k-2 đúng theo giả thiết quy nạp. Vậy u k+1 = 4u k – u k-1 tức (*) đúng khi n = k + 1 Kết luận: u n = 4u n-1 - u n-2 , ∀ =n 3,4, Do = = ∈¢ 1 2 u u 1 Và do u n = 4u n-1 - u n-2 ∈¢ Nên tất cả các số hạng của (u n ) là các số nguyên. TIẾT 6, 7 III CÁC DẠNG TOÁN KHÁC VỀ DÃY SỐ 1. Dạng toán phần nguyên của dãy số: Bài tập 1: Tìm phần nguyên của dãy số: 3 3 3 3 1 1 1 1 M 4 5 6 1000000 = + + + + Giải Ta có: 3 2 3 2 1 1 4 1 8 1 1 . 1 2. . . 3 n n 3 n 27 n   + = + + +  ÷   10 [...]... chi tiết Những độc giả nào muốn sở hữu các đề thi thử ĐH và tài liệu luyện thi ĐH thì hãy gửi mail hoặc gọi điện nhé nếu muốn sở hữu tài liệu này thì hãy vào Google sau đó đánh dòng chữ: chìa khóa vàng luyện thi cấp tốc của nguyễn văn phú Tôi rất mong muốn và chia sẽ cùng tất cả các độc giả trong cả nớc, trao đổi tài liệu, đề thi thử giải chi tiết, các chuyên đề hay Trong quá trình biên soạn không... sở hữuTuyển tập100 đề thi thử CĐ-ĐH giải chi tiết và 3 tập chìa khóa vàng giải nhanh hóa học (mail: phueuro@gmail.com) Nhng cỏch gii trờn nu cú gỡ sai sút, hay cú cỏch no gii nhanh hn thỡ gi cho tụi c tham kho nhộ Bi tip theo s l gii nhanh nhng bi toỏn khú thi DH K B -2011 Ai cn thỡ liờn lc nhộ @@@@@@@@@@@@@@HếT&&&&&&&&&&&&&&&&&&& Hiện nay tác giả đang biên soạn 100 đề thi thử ĐH và hớng dẫn giải rất... 4SO2 2 x + 4 y = 14 y = 3 % FeS = 88.2 100% = 19, 64% 88.2 + 120.6 Thạc sỹ: Nguyễn Văn Phú: ĐT 098 92 92 117 or 01652.146.888 Email: phueuro@gmail.com 12 Hãy sở hữuTuyển tập100 đề thi thử CĐ-ĐH giải chi tiết và 3 tập chìa khóa vàng giải nhanh hóa học Cú cỏch no nhanh hn khụng?? Cõu 37: Cho cõn bng húa hc: H2 (k) + I2 (k) 2HI (k) ; H > 0 Cõn bng khụng b chuyn dch khi A gim ỏp sut chung ca h B gim nng... (7) NH4Cl + NaNO2 NaCl + N2 + H2O => Cú 6 thớ nghim to ra n cht Thạc sỹ: Nguyễn Văn Phú: ĐT 098 92 92 117 or 01652.146.888 Email: phueuro@gmail.com 13 Hãy sở hữuTuyển tập100 đề thi thử CĐ-ĐH giải chi tiết và 3 tập chìa khóa vàng giải nhanh hóa học II PHN RIấNG: [10 cõu] Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc B) A Theo chng trỡnh Chun (10 cõu , t cõu 41 n cõu 50) Cõu 41: Cho buta-1,3 - ien phn... thu c mt th tớch hi bng th tớch ca 5,6 gam N2 (o cựng trong iu kin Thạc sỹ: Nguyễn Văn Phú: ĐT 098 92 92 117 or 01652.146.888 Email: phueuro@gmail.com 14 Hãy sở hữuTuyển tập100 đề thi thử CĐ-ĐH giải chi tiết và 3 tập chìa khóa vàng giải nhanh hóa học nhit , ỏp sut) Nu t chỏy ton b hn hp hai axit trờn thỡ thu c 10,752 lớt CO2 (ktc) Cụng thc cu to ca X, Y ln lt l: A CH3-CH2-COOH v HOOC-COOH B CH3-COOH... mFe(p vi Cu2+) = 0,02.56 = 1,12 m Fe ban u = 1,12 + 0,28 = 1,4 Thạc sỹ: Nguyễn Văn Phú: ĐT 098 92 92 117 or 01652.146.888 Email: phueuro@gmail.com 15 Hãy sở hữuTuyển tập100 đề thi thử CĐ-ĐH giải chi tiết và 3 tập chìa khóa vàng giải nhanh hóa học %Fe = 1,4/2,7 = 51,85% Cõu 49: Cho hn hp X gm Fe2O3, ZnO v Cu tỏc dng vi dung dch HCl (d) thu c dung dch Y v phn khụng tan Z Cho Y tỏc dng vi dung dch... 0,04mol; m mui = m aminoaxit + m HCl = 6,36 + 0,04.36,5 = 7,82 gam Thạc sỹ: Nguyễn Văn Phú: ĐT 098 92 92 117 or 01652.146.888 Email: phueuro@gmail.com 16 Hãy sở hữuTuyển tập100 đề thi thử CĐ-ĐH giải chi tiết và 3 tập chìa khóa vàng giải nhanh hóa học 63,6 60 = 0,2(mol) , n H 2 O = 2n a min oaxit = 0,4(mol) ( vỡ ipeptit + 1 H2O 2.amino axit ) 18 1 1 mmuoi = (ma min oaxit + mHCl ) = (63, 6 + 36,5.0,... Fe3+ B Fe2+, Fe3+, Ag+ C Fe2+, Ag+, Fe3+ D Ag+, Fe3+, Fe2+ Hng dn: Thạc sỹ: Nguyễn Văn Phú: ĐT 098 92 92 117 or 01652.146.888 Email: phueuro@gmail.com 17 Hãy sở hữuTuyển tập100 đề thi thử CĐ-ĐH giải chi tiết và 3 tập chìa khóa vàng giải nhanh hóa học Fe3+ oxi húa Fe thnh Fe2+ Fe3+ cú tớnh oxi húa mnh hn Fe2+ Ag+ oxi húa c Fe2+ thnh Fe3+ Ag+ cú tớnh oxi húa mnh hn Fe3+ Vy : Ag+ > Fe3+ > Fe2+ Cõu 58:...Hãy sở hữuTuyển tập100 đề thi thử CĐ-ĐH giải chi tiết và 3 tập chìa khóa vàng giải nhanh hóa học Cỏch khỏc: H =60% H 2 SO4 , o [C6H7O2(OH)3]n+3nHNO3 t [C6H7O2(ONO2)3]n+ 3nH2O 162.n 297.n H = 60% 2 tn x = ? tn 2.297.n 60 x= = 2, 20 tõn... S ng phõn amino axit cú cụng thc phõn t C3H7O2N l A 2 B 4 C 3 D 1 Thạc sỹ: Nguyễn Văn Phú: ĐT 098 92 92 117 or 01652.146.888 Email: phueuro@gmail.com 11 Hãy sở hữuTuyển tập100 đề thi thử CĐ-ĐH giải chi tiết và 3 tập chìa khóa vàng giải nhanh hóa học Gii: C3H7O2N ch cú 2 ng phõn amino axit m thụi: (H2N)CH2CH2COOH, CH3(H2N)CH-COOH, Nu hi C3H7O2N cú bao nhiờu s ng phõn cu to thỡ hi nhiu ú, th vit xem.???? . CHUYÊN ĐỂ 12: DÃY SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ 1 TIẾT 1, 2 DÙNG QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ Phương pháp chứng minh quy nạp toán học: Để chứng minh mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự. ∈¢ 1 2 u u 1 Và do u n = 4u n-1 - u n-2 ∈¢ Nên tất cả các số hạng của (u n ) là các số nguyên. TIẾT 6, 7 III CÁC DẠNG TOÁN KHÁC VỀ DÃY SỐ 1. Dạng toán phần nguyên của dãy số: Bài tập 1: Tìm. 4.7; u 3 = 7.10; u 4 = 10.13 Ta tìm được các số hạng của dãy số. 6 Bài tập 3: Cho dãy số (u n ) với u n = 2 1 n 3n 2+ + và dãy số (V n ) xác định dãy số V n được cho bởi: 1 1 n 1 n n 1 v u v