Đang tải... (xem toàn văn)
Mét nguyªn nh©n quan träng lµ gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, híng dÉn häc sinh gi¶i to¸n cha thùc sù nghiªn cøu kü bµi d¹y híng dÉn häc sinh vËn dông kiÕn thøc ®Ó gi¶i to¸n chu ®¸[r]
(1)a- nhËn thøc cò - giải pháp cũ
Hin Sỏch giỏo khoa viết theo hớng mở,sau học, chơng học có nhiều tập để cố kiến thức Nhng theo tơi nghĩ với nhiều lí khác nh thời gian, lợng kiến thức nên ngời viết sách khơng thể phân dạng tốn cụ thể để vận dụng kiến thức chơng, để giải
Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn , sau dạy xong chơng Tam giác đồng dạng nhận thấy : Đa số học sinh vận dụng cha thành thảo kiến thức tam giác đồng dạng để giải số dạng toán Cha hiểu hết mục đích, ý nghĩa việc học toán, việc vận dụng kiến thức vào để giải toán , việc suy diễn lập luận chứng minh cha chặt chẽ, thấm đáo, dẫn đến làm lệch lạc, sai kết Một nguyên nhân quan trọng giáo viên trình giảng dạy, hớng dẫn học sinh giải toán cha thực nghiên cứu kỹ dạy hớng dẫn học sinh vận dụng kiến thức để giải tốn chu đáo, cách trình bày lập luận cha chặt chẽ, khoa học
b - nhận thức - giải pháp
Hiện việc vận dụng kiến thức toán để giải tập yêu cầu quan trọng việc dạy học tốn Thơng qua vấn đề này, học sinh củng cố đ-ợc kiến thức, mà nâng cao phẩm chất quý giá học tập: tính cẩn thận xác; tính độc lập suy nghĩ; phát triển t sáng tạo, biết lập luận chứng minh cách lôgic Và ý nghĩa vơ quan trọng thấy đợc vai trị toán học đời sống, thực tiễn
Phần Tam giác đồng dạng nội dung quan trọng hình học Thơng qua tam giác đồng dạng, ta vận dụng giải số dạng tốn cần thiết là: Chứng minh đợc góc
Lập đợc đẳng thức tỉ lệ đoạn thẳng.Tính độ dài đoạn thẳng Chứng minh đợc đẳng thức hình học Đẳng thức tích đoạn thẳng Chứng minh đợc tích hai đoạn thẳng khơng đổi
TÝnh chu vi tam gi¸c
Tính đợc diện tích tam giác số dạng toán khác
Qua việc hớng dẫn học sinh vận dụng kiến thức vào giải toán ta đạt đợc nhiều mục tiêu quan trọng:
* VÒ kiÕn thøc:
- Củng cố kiến thức trờng hợp đồng dạng tam giác
- Mở rộng, phát triển kiến thức: Làm đợc số dạng toán cần thiết nêu * Kỹ năng:
- Rèn luyện kỹ phân tích suy diễn hình học Cách chứng minh tính toán hình học
- Rèn luyện phong cách trình bày lời nói, chữ viết, cách vẽ hình, kí hiệu xác
I kiÕn thøc cÇn nhí:
1 Các cách chứng minh hai tam giác đồng dạng:
Cách 1: Dựa vào định lý tam giác đồng dạng : Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh của
tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho
Cách : Trờng hợp đồng dạng thứ nhất: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba
cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng với
Cách 3: Trờng hợp đồng dạng thứ 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh
của tam giác hai góc tạo cặp hai tam giác đồng dạng với
Cách 4: Trờng hợp đồng dạng thứ 3: Nếu hai góc tam giác lần lợt hai góc
của tam giác hai tam giác đồng dạng với
*Các trờng hợp đồng dạng ca tam giỏc vuụng:
Cách 1: Tam giác vuông nµy cã mét gãc nhän b»ng gãc nhän cđa tam giác vuông
thỡ hai tam giỏc vuụng ú ng dng
Cách 2: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông
(2)Cách 3: Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với
cnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng
2 Từ định nghĩa hai tam giác đồng dạng suy ra:
Nếu hai tam giác đồng dạng với thì: - Hai góc tơng ứng
- Các cạnh tơng ứng tỉ lệ(lập đợc hệ thức tỉ lệ cạnh)
- Tỉ số hai đờng cao tơng ứng, tỉ số hai đờng phân giác tơng ứng, tỉ số hai trung tuyến tơng ứng tỉ số đồng dạng
- Tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng
- Tỉ số diện tích hai tam giác bình phơng tỉ số đồng dạng
3.Các cách xác định : đỉnh t ơng ứng, góc t ơng ứng, cạnh t ơng ứng tỉ lệ:
* Nếu hai tam giác đồng dạng với thì: a) Xácđịnh đỉnh tơng ứng:
- Hai góc hai tam giác hai đỉnh hai góc tơng ứng - Hai đỉnh đối diệnk với hai cạnh tơng ứng hai đỉnh tơng ứng
b) Xác định góc tơng ứng:
- Hai đỉnh tơng ứng hai góc có hai đỉnh tơng ứng ( tức hai góc nhau) - Hai góc đối diện với hai cạnh tơng ứng hai góc tơng ứng
c) Xác định cạnh tơng ứng:
- hai cạnh đối diện với hai góc tơng ứng hai cạnh tơng ứng - hai cạnh đối diện với hai góc hai cạnh tơng ứng
L u ý:
Nên rèn luyện cho học sinh nhận đỉnh tơng ứng, góc tơng ứng, cạnh tơng ứng hình vẽ để học sinh dễ hiểu,nhớ lâu khắc sâu đợc kiến thức
4.Mét sè sai sót mà học sinh th ờng gặp:
a) Xác định đỉnh tơng ứng, góc tơng ứng, cạnh tơng ứng khơng xác, dẫn đến góc sai, lập hệ thức tỉ lệ cỏc cnh sai
b) Lẫn lộn tơng ứng tỉ lệ cạnh với cđa hai c¹nh
II Vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng để giải số dạng toán :
Kiến thức tam giác đồng dạng vận dụng giải nhiều dạng tốn Vì điều kiện ta nghiên cứu số dạng đặc biệt, phục vụ cho việc dạy học
D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau:
Để chứng minh hai góc nhau, số trờng hợp khó áp dụng cách chứng minh thông thờng biết mà vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng giải đợc Đặc biệt cạnh góc khơng cố định, số đo góc thay đổi
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB=10cm, AC=20cm Trên cạnh AC, đặt đoạn thẳng AD=5cm Chứng minh ABD❑ =ACB❑
10
5
20 A
B C
D
Phân tích tốn: Để chứng minh đợc ABD❑ =ACB❑ toán ta dựa vào hai tam giác đồng dạng Ta phải đa hai góc hai góc tng ứng hai tam giác đồng dạng
Lời giải: Xét ADB ABC cã A❑ chung
AD AB =
AB AC(¿
1 2)
(3)VËy Δ ADB ~ Δ ABC (c-g-c)
Suy ABD❑ =ACB❑ (hai gãc t¬ng øng)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BD, CE đờng cao Chứng minh rằng:
ADE❑ =AB C❑; AED=❑ACB❑
Ph©n tích toán: Ta nhận thấy cặp góc ta cÇn chøng minh b»ng n»m
trong hai tam giác ADE ABC Để chứng minhđợc ADE❑ =AB C❑; AED=❑
ACB❑ ta ph¶i
chứng minh đợc hai tam giác ADE ABC đồng dạng với
A
B
D E
C
Lời giải:
Xét ADB Δ AEC cã: ADB❑ =AEC❑ =900
A❑ chung
VËy Δ ADB ~ Δ AEC (g-g) Suy AD
AE = AB
AC hay AD AB =
AE AC XÐt Δ ADE vµ Δ ABC cã: A❑ chung
AD AB =
AE AC
VËy Δ ADE ~ Δ ABC (c-g-c) Suy ADE❑ =AB C❑; AED=❑
ACB❑
VÝ dơ 3: Tam gi¸c ABC cã AB= 4cm,AC=5cm,BC=6cm Chøng minh r»ng A❑=2C❑ Lêi gi¶i :
4
6 A
B C
D
Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE = AC = 5cm => Δ ADC cân A => ACD❑ =ADC❑ (1)
XÐt Δ ABC vµ Δ CBD cã: B❑ chung
AB CB=
BC BD=
2
VËy Δ ABC ~ Δ CBD (c-g-c) Suy ACB❑ =CDB❑ (2)
(4)Tõ (1), (2), (3) ta cã BAC❑ =ACD❑ +ADC❑ =2 ADC❑ =2 ACB❑ (§pcm)
VÝ dơ : H×nh thang ABCD (AB//CD) cã AB = 4cm; CD = 16cm vµ BD = 8cm, gãc
ADB b»ng 40O Tính số đo góc C hình thang.
Lời giải:
Xét ABD BDC có
AB//CD ABD = BDC (so le) =
= = =
VËy ABD BDC (g.c.g) ABD = BCD = 40O hay C = 40O.
Dạng2 Lập đ ợc đẳng thức tỉ lệ đoạn thẳng.Tính độ dài đoạn thẳng
Ngoài cách lập đợc đợc đẳng thức tỉ lệ theo định nghĩa hai đoạn thẳng tỉ lệ hay theo tính chất tỉ lệ thức ta cịn dựa vào tam giác đồng dạng để lập, sở để tính độ dài đoạn thẳng
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có AB = 12cm; AC = 15cm; BC = 18 cm Trên cạnh AB, đặt
đoạn thẳng AM = 10cm; cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng MN
Gi¶i
XÐt ABC ANM Ta có =
Nên
Mặt khác có A chung hai tam giác nªn ABC ANM (c-g-c)
Ta cã hay MN = = 12 (cm)
VÝ dô 6: Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) cã AB=4cm, CD=9cm, ADB❑ =BCD❑
a) Chứng minh: ABD BDC b) Tính độ dài BD
A B
C D
Lời giải: Xét ABD BDC có:
ADB❑ =BCD❑ (gt)
ABD❑ =BDC❑ (so le trong) VËy ABD BDC(g-g)
b) Theo c©u a ABD BDC ta cã AB BD=
BD
DC suy BD2=AB DC BD2=4.9=36 nên BD= 6cm.
Ngun Xu©n Thái THCS Diễn Đồng
D C
B A
16cm 4cm
40O
18cm
12cm 15cm
A
B C
M
N
8cm 10cm
S
S
S
S
(5)VÝ dô 7: Cho tam giác ABC vuông A, có AB= 24cm, AC=18cm §êng trung trùc cña
BC cắt BC, BA, CA lần lợt M,E,D Tính độ dài đoạn: BC, BE, CD
E D
M B
A C
Lêi gi¶i :
+Tam giác ABC vuông A(gt) Theo định lí Pi - ta-go, ta có: BC2=AB2+AC2=242+182=900, suy BC=30cm.
Do BM=MC=15cm
+ XÐt Δ BME vµ Δ BAC cã: B❑ chung
M❑=A❑=900
VËy Δ BME ~ Δ BAC (g-g) suy ra: BE BC=
BM
BA BE= BC BM
BA = 30 15
24 =18 ,75 cm + XÐt Δ DMC vµ Δ BAC cã: C❑ chung
M❑=A❑=900
VËy Δ DMC ~ Δ BAC (g-g) suy ra: DC BC =
MC
AC DC = BC MC
AC = 30 15
18 =25 cm
Dạng3 Chứng minh đ ợc đẳng thức hình học Đẳng thức tích ccác đoạn thẳng Chứng minh đ ợc tích hai đoạn thẳng không đổi.
Đây dạng toán thờng gặp chơng III Tam giác đồng dạng, đặc biệt tập nâng cao giành cho học sinh giỏi Để làm dạng tốn trớc hết hoc sinh phải nắm đợc kiến thức Tam giác đồng dạng, tính chất tỉ lệ thức Khi hớng dẫn học sinh làm dạng tốn giáo viên nên phân tích ngợc từ kết luận lên,chẳng hạn để chứng minh a.d=b.c ta phải chứng minh đợc: a
b= c d
VÝ dô 8(më réng tõ vÝ dô2):
Cho tam giác ABC có BD, CE đờng cao cắt H Chứng minh rằng: a) AD.AC=AE.AB
b) BH.BD+CH.CE=BC2
Phân tích toán:
Câu a: Để có AD.AC=AE.AB ta ph¶i cã AD AE =
AB
AC => ta phải chứng minh đợc :
(6)H A
B C
D E
F
Câu b: Để có BH.BD+CH.CE=BC2 thì ta phải tìm đợc BH.BD=x.y
CH.CE=k.l
mà x.y+ k.l =BC2 muốn ta phải xét tam giác đồng dạng có liên quan đến
c¹nh BH,BD,CH,CE BC
Lời giải:
a) Xét Δ ADB vµ Δ AEC cã: ADB❑ =AEC❑ =900
A❑ chung
VËy Δ ADB ~ Δ AEC (g-g) Suy AD
AE = AB
AC AD.AC=AE.AB
b) Vì H giao hai đờng cao BD CE tam giác ABC nên H trực tâm tam giác ABC Suy AH đờng cao tam giác ABC Gọi F giao điểm AH BC.Ta có AF BC
XÐt hai tam gi¸c BHF vµ BCD cã: BFH❑ =BDC❑ =900, BDC❑ (chung) VËy Δ BHF ~ Δ BCD (g-g) Suy BH
BC = BF
BD hay BH.BD = BF.BC (1)
Chøng minh t¬ng tù ta cã : Δ CHF ~ Δ CBE (g-g) Suy ra: CH
BC= CF
CE hay CH.CE = CF.BC (2) Cộng vế theo vế (1) (2) ta đợc:
BH.BD+CH.CE=BF.BC+CF.BC=BC(BF+CF)=BC2
VÝ dụ9: Cho hình bình hành ABCD điểm F cạnh BC, tia AF cắt BD CD E
G(E BD,F DC) Chøng minh: a) AF2=EF.EG
b) BF.DG không đổi điểm F thay đổi BC
Phân tích toán:
a) Để có AF2=EF.EG ta phải có: AE
EG= EF
AE , để chứng minh đợc tỉ lệ thức ta phải chứng minh đợc hai tỉ số AE
EG vµ EF
AE tỉ số
b) Để chứng minh BF.DG không đổi Các đoạn thẳng cố định(không đổi) tốn cạnh hình bình hành AB;AD;DC,BC Ta tìm mối quan hệ BF;DG với đoạn thẳng
Lêi gi¶i:
G
A B
D C
F E
(7)a) V× AB//DG ( ABCD hình bình hành)
nờn AEB ~ Δ GED ( Định lí Δ đồng dạng) Suy ra: AE
GE= EB DE (1)
V× AD//BF ( ABCD hình bình hành)
nờn BEF ~ Δ DEA ( Định lí Δ đồng dạng) Suy EF
AE=¿ EB DE (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã
EF AE
¿AE
GE=❑❑
=> AE2=EF.EG.
b) V× Δ AEB ~ Δ GED suy : EB ED =
AB GD (3) V× Δ BEF ~ Δ DEA suy ra: EB
ED= BF
AD (4) Tõ (3) vµ (4) suy AB
GD= BF
AD BF.GD=AB.AD Vì AB.AD khơng đổi, nên BF.GD khơng đổi
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC, đờng thẳng d cắt ba cạnh(hoặc phần kéo dài) BC,
CA, AB lần lợt P, Q, R Chứng minh hệ thøc:
¿
PB PC
QC QA
RA RB=1
( Định lÝ Mªnªlyt thn)
m
l
n d
P Q
I H G
A
B C
R
Phân tích toán : Để chứng minh
¿
PB PC
QC QA
RA RB =1
¿
ta phải chứng minh đợc PB
PC=
n l ;
QC QA=
l m ;
RA RB =
m
n (m>0,n>0,l>0) từ ta có kết luận tốn.
Lêi gi¶i:
Gọi khoảng cách từ A,B,C đến đờng thẳng d lần lợt : m,n,l Do BI//CH (cùng vng góc với d)
nên Δ BIP~ Δ CHP (Đlí Δ đồng dạng) BP
PC=
n l (1)
Chøng minh t¬ng tù ta cã : QC
QA=
(8)RA RB =
m n (3)
Nhân (1),(2),(3) vế với vế, ta đợc:
¿
PB PC
QC QA
RA RB=1
¿
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC, AD đờng phân giác góc BAC, D BC Chứng minh rằng: AD2=AB.AC-DB.DC.
A
B D C
D A
B
C
E
Phân tích tốn: Để có đợc tích độ dài đoạn thẳng phần kết luận
bài tốn ta phải nghĩ đến tam giác đồng dạng, nhng với hình vẽ ban đầu ta khơng thể tìm lối giải tốn Chính ta phải vẽ thêm yếu tố phụ đễ xuất tam giác đồng dạng: Trên tia AD xác định điểm E cho AEB❑ =ACB❑ Ta chứng minh Δ ABE~ Δ ADC Δ BDE~ Δ ADC kết luận đợc tốn
Lêi gi¶i:
Trên tia AD xác định điểm E cho AEB❑ =ACB❑ Xét Δ ABE Δ ADC có:
BAD❑ =DAC ( Vì AD phân giác ) AEB =ACB❑
VËy Δ ABE~ Δ ADC (g-g) => AB
AD= AE
AC⇒ AB.AC=AE.AD
=> AB.AC=(AD + DE)AD = AD2 + AD.DE
=> AD2 = AB.AC - AD.DE (1)
XÐt Δ BDE vµ Δ ADC cã: AEB❑ =ACB❑
BDE❑ =ADC❑ (đối đỉnh) Vậy Δ BDE~ Δ ADC (g-g) => DB
AD= DE
DC => DB.DC=AD.DE (2)
Tõ (1) vµ (2) ta suy ra: AD2 = AB.AC - DB.DC.
Ngoài cách vận dụng tam giác đồng dạng vào chứng minh đẳng thức hình học ta cịn vận dụng tam giác đồng dạng chứng minh đợc bất đẳng thức hình học.
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC, CD đờng phân giác góc BCA tam giác Chứng minh rằng: CD2 < CA.CB
Phân tích tốn: Để có CD2 < CA.CB ta nghĩ đến việc so sánh CD2 CA.CB với
một biểu thức thứ
(9)A
B C
D
E
Lêi gi¶i:
Ta cã ADC❑ >B❑ ( gãc ADC lµ gãc ngoµi cđa Δ DBC)
VÏ tia DE cho EDC❑ =B❑ , E AC ( ADC >B ) nên CE < CA XÐt Δ BCD vµ Δ DCE cã:
EDC❑ =B❑
BCD❑ =DCE❑ ( CD phân giác) Vậy BCD ~ DCE (g-g) => CD
CE = CB
CD => CD2 = CE.CB mµ CE < CA => CD2 = CA.CB
Dạng 4: Tính chu vi tam giác:
Trong chơng III Hình học ta thờng gặp số tốn tính chu vi tam giác đồng dạng, tìm độ dài cạnh tam giác biết tam giác đồng dạng với tam giác khác biết số đo cạnh tỉ số chu vi hai tam giác Để làm đợc dạng toán ta phải vận dụng vào định nghĩa hai tam giác đồng dạng suy cạnh tơng ứng tỉ lệ, đồng thời phải vận dụng tính chất dãy tỉ số nhau.Trớc hết ta xét toán sau:
Bài toán*: Chứng minh Δ A'B'C' ~ Δ ABC với tỉ số đồng dạng k Chuvi ΔA ' B' C '
Chuvi Δ ABC =k .
ThËt vËy, nÕu Δ A'B'C' ~ Δ ABC th× ta cã:
k= A ' B ' AB =
B ' C '
BC =
C ' A '
CA =
A ' B '+B ' C '+C ' A '
AB+BC+CA =
Chuvi ΔA ' B ' C '
Chuvi ΔABC (Theo t/c d·y tØ sè
b»ng nhau)
=> Chuvi ΔA ' B' C ' Chuvi Δ ABC =k .
VÝ dụ 13: Cho tam giác ABC điểm D c¹nh AB cho AD=
3 DB Qua D kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AC E
a) Chứng minh rằng: Δ ADE ~ Δ ABC Tính tỉ số đồng dạng hai tam giác b) Tính chu vi Δ ADE, biết chu vi Δ ABC 60cm
Lêi gi¶i:
A
B C
D E
a) Ta có :DE//BC (gt) Δ ADE ~ Δ ABC (theo định lí tam giác đồng dạng) Gọi k tỉ số đồng dạng k= AD
(10)Theo gi¶ thiÕt: AD=
3 DB => AD DB= 3⇒ AD AD+DB= 2+3=
5 hay AD AB =
2 VËy Δ ADE ~ Δ ABC víi tØ sè k=
5 b) V× Δ ADE ~ Δ ABC víi tØ sè k=
5 nên theo toán * ta có Chuvi Δ ADE
Chuvi Δ ABC=
5 => Chu vi Δ ADE =
5 Chu vi Δ ABC =
5 60 = 24 (cm)
Ví dụ 14: Δ A'B'C' ~ Δ ABC Biết độ dài cạnh Δ ABC là: AB=3cm, AC = 4cm,
BC=7cm chu vi Δ A'B'C' 55cm Hãy tính độ dài cạnh Δ A'B'C' Lời giải:
Do Δ A'B'C' ~ Δ ABC nªn ta cã: A ' B '
AB =
B ' C '
BC =
C ' A '
CA =
A ' B '+B ' C '+C ' A '
AB+BC+CA = 55 15 =
11 => A'B' = 11
3 AB = 11
3 3= 11 cm, => B'C' = 11
3 BC = 11
3 = 25,67 cm => A'C' = 11
3 AC = 11
3 = 14,67 cm
D¹ng TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c
Với nhiều tốn chơng II Diện tích đa giác giải gặp nhiều khó khăn nhng ta vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng vào giải toán ta lại thấy dễ dàng Đồng thời thông qua tam giác đồng dạng ta so sánh đợc diện tích tam giác
Ví dụ 15: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh 2cm Gọi E,F theo thứ tự
trung ®iĨm cđa AD, DC Gäi I,H theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa AF víi BE, BD TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c EIHD
2cm 1 H' H I F E C D A B
Phân tích tốn: Ta nhận thấy tứ giác EIHD nằm Δ ADF => để tính đ-ợc diện tích tứ giác EIHD trớc hết phải tính đđ-ợc diện tích tam giác AIE, DHF ADF
Lêi gi¶i:
Ta cã Δ ADF = BAE (2 cạnh góc vuông) => F
1=E
❑
1 mµ F
❑
1=A
❑
2 (so le trong)
=> E❑1=A❑2
Mặt khác A1+A2=900 A 1+E
1=90
0⇒ AIE❑
=900 => Δ AIE ~ Δ ADF (g-g) nªn
SAIE
SADF
=AE
2
AF2=
5 (ta cã AE=1cm, AF= √22+12 = √5 cm)
(11)Mµ SADF=
2 AD.DF=
2 2.1=1 cm2 => SAIE=
5 cm2 V× DF//AB => Δ DHF ~ Δ BHA víi tØ sè = DF
AB=
2 nên ta tính đợc đờng cao HH' Δ DHF
3cm =>SDHF=
2 =
1 cm2 VËy SEIHD= SADF - (SAIE + SDHF) = 1- (1
5+ 3) =
7
15 cm2
Ví dụ 16: Cho tam giác ABC có A❑ =600, đờng cao BI CK cắt H.
Chøng minh r»ng:
a) HC.HK= HB.HC
b) So sánh diện tích HIK HCB
Phân tích toán:
Câu a: Tơng tự cách làm toán dạng
Câu b: Để so sánh diện tích ΔHIK ΔHCB ta nghĩ đến tỉ số diện tích hai tam giác => Ta phải chứng minh hai tam giác đồng dạng để tìm tỉ số đồng dạng từ có kết luận tốn
Lêi gi¶i
60
H A
B
C I
K
a) XÐt Δ KHB vµ Δ IHC cã HKB❑ =HIC❑ =900
KHB❑ =IHC❑ (đối đỉnh) Vậy Δ KHB ~ Δ IHC (g-g) Suy ra: HK
HI = HB
HC => HC.HK = HB.HI (đpcm) b) Từ câu a HK
HI = HB HC =>
HK HB=
HI HC Xét ΔHIK ΔHCB có: KHI❑ =CHB❑ (đối đỉnh) HK
HB= HI
HC (chøng minh trªn) VËy ΔHIK ~ ΔHCB (c-g-c) => SHKI
SHCB
=(HI HC)
2
(1) MỈt kh¸c: A❑ =600 =>
ACK❑ =300 hay ICH❑ =300
XÐt Δ ICH cã ❑I=900 ;
ICH❑ =300 => HI= 12 HC (trong tam giác vng cạnh góc vng đối diện với góc 300 nửa cạnh huyền)
=> HI HC=
1 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã SHKI
SHCB
=(HI HC)
2
= (1 2)
2
=
4 hay SHIK=
(12)Ví dụ 17: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC Đờng thẳng qua D song song với AC cắt AB E, đờng thẳng qua D song song với AB cắt AC F Biết diện tích tam giác EBD 16cm2 , diện tích tam giác FDC 25cm2 Tính diện tích
tam gi¸c ABC
16
25 A
B C
E
D F
Lêi giải :
Đặt SABC =S
Do ED//AC => Δ EBD ~ Δ ABC (theo định lí tam giác đồng dạng) => SEBD
S =(
BD BC )
2
⇒ 16 S =(
BD BC )
2
=> √S=
BD BC (1)
Do FD//AB => Δ FDC ~ Δ ABC(theo định lí tam giác đồng dạng) => SFDC
S =(
DC BC )
2
⇒25 S =(
DC BC)
2
=> √S=
DC BC (2) Tõ (1) vµ (2) suy
√S+
5 √S=
BD BC+
DC BC ⇒
9
√S=1⇒√S=9⇒ S=81 cm
2
VËy diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 81cm2.
* Một số Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giả sử AC đờng chéo lớn củ hình bình hành ABCD Từ C, vẽ đờng vng góc CE với đờng thẳng AB, đờng vng góc CF với đờng thẳng AD (E,F thuộc phần kéo dài cạnh AB AD) Chứng minh AB.AE+AD.AF = AC2.
Bài 2: Cho tam giác ABC Một đờng thẳng song song với AC cắt cạnh AB, BC M P Gọi D tâm PMB, E trung điểm AP Tính góc DEC
Bài 3: Cho hình bảy cạnh A1 A1 A7
Chøng minh r»ng:
Bài 4: Hình thang ABCD (BC//AD) có BC = 6cm; AD = 11cm AB=4cm Tính độ dài đờng cao hình thang biết BAD + CDA = 90O.
Bµi 5: Cho hình bình hành ABCD, AMPN 9MAB NAD, P hình bình hành ABCD) Gọi Q giao điểm DM BN Chứng minh điểm Q,P,C thẳng hàng
C Kết sau áp dông:
(13)Do thời gian học khố có hạn, nên tơi thờng triển khai đề tài tiết học tự chọn buổi học phụ khoá.Việc xác định đợc vận dụng tam giác đồng dạng dễ dàng toán Trong trình giảng dạy năm học vừa qua tơi thực nghiệm nội dung đề tài thấy đợc tác dụng tính tích cực Từ chỗ học sinh lúng túng để xác định đợc lời giải đến em chủ động vấn đề Nhất tốn hình học có nội dung chứng minh, trở thành quen thuộc với em, làm cho khơng khí lớp học trở nên sôi động, học sinh tự tin q trình giải
D.bµi häc kinh nghiÖm
Hớng dẫn học sinh vận dụng kiến thức để giải toán , thực chất rèn luyện học sinh phơng pháp giải tốn Đó học sinh biết suy luận cách lôgic Từ việc chứng minh đợc hai tam giác đồng dạng thông định nghĩa ta tìm đợc hai góc Và từ lập đợc tỉ lệ thức cạnh, vận dụng điều ta mở rộng, phát triển dạng tốn khác nh chứng minh đẳng thức; Tích hai đoạn thẳng không đổi Lập đợc đẳng thức tỉ lệ cạnh.Tìm đợc độ dài đoạn thẳng Tỉ số diện tích hai tam giác tìm chu vi tam giác
Thơng qua việc vận dụng kiến thức để giải toán Học sinh cố đợc kiến thức, nắm vững vàng trờng hợp đồng dạng tam giác Các cách tìm đỉnh tơng ứng, góc tơng ứng, cạnh tơng ứng
Qua việc thực hành giải tốn hình thành phẩm chất phong cách học toán: Độc lập suy nghĩ, tìm tịi sáng tạo, cẩn thận xác, cách trình bày chặt chẽ , ngắn gọn, đầy đủ cách lập luận có đồng thời hớng cho học sinh tiếp cận với dạng toán cao
Với tác dụng định nó, đề tài "Vận dụng tam giác đồng dạng để giải số dạng tốn hình học lớp 8" cịn tiếp tục đợc vận dụng năm học Tuy vậy, cịn nhiều mặt hạn chế tơi nên chắn đề tài khơng khỏi có thiếu sót hạn hẹp Rất mong ngời đọc góp ý, xây dng./
Diễn Đồng, ngày 12 tháng năm 2009 Ngời viết: