Qua kÕt qu¶ kh¶o s¸t trªn t«i nhËn thÊy häc sinh chËm ph¸t hiÖn ra c¸ch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò trong thêi gian cho phÐp, nhiÒu häc sinh cã lµm ®îc nhng thêi gian hÕt nhiÒu... BÊt ph¬ng tr×nh [r]
(1)A đặt vấn đề I.lời mở đầu
Đại số là một là một môn khoa học có thể đợc xem là dễ học hơn so với bộ môn hình học theo quan niệm của một số giáo viên và học sinh, nhng để dạy tốt- học tốt bộ môn đại số thì cũng không phải là điều dễ.Để học sinh có thể học chắc, hình thành cho mình kĩ năng và phơng pháp giải toán thì giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản cần thiết không chỉ là những kiến thức cơ bản đợc đa ra trong SGK mà giáo viên cần phải tham khảo các tài liệu,chắt lọc những kiến thức cơ bản mở rộng, đúc rút những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy để mở rộng kiến thức phù hợp với đôí tợng học sinh từ đó nâng cao hiểu biết về kiến thức cũng nh trau dồi phơng pháp giải toán cho các em Để làm tốt đợc điều này đòi hỏi mỗi giáo viên toán phải th-ờng xuyên nghiên cứu ,trăn trở để hệ thống lại những kiến thức theo từng chuyên đề logic với nhau ,biết tổng hợp các phơng pháp giải từng dạng toán và các ứng dụng của nó từ đó giúp học sinh hình thành cho mình những phơng pháp giải từng dạng toán , đó là chìa khoá để giải những bài toán khó ,gây hứng thú học toán cho học sinh
II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Trãi qua thực tế nhiều năm giảng dạy môn toán, bản thân tôi đã tự nghiên cứu tài liệu và học hỏi kinh nhiệm của các bạn đồng nghiệp để tìm ra các phơng pháp giải hay ngắn gọn cho từng dạng toán và ứng dụng của nó.Nhiều năm liền tôi đợc nhà trờng phân công dạy toán 8 -9 tôi thấy rằng : học sinh thờng ngại khi gặp các bài toán liên
quan đến dấu giá trị tuyệt đối Có những phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt
đối rất đơn giản nhng các em vẫn lúng túng khi trình bày bài Nguyên nhân là các em cha hiểu cặn kẻ định nghĩa về giá trị tuyệt đối , cha phân định rõ ràng từng dạng bài vì vậy không xác định đợc phơng pháp giải Mặt khác thời gian phân phối cho các tiết học này rất ít vì vậy các em cha nắm vững kiến thức về GTTĐ
Sau khi dạy bài : Giải phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ,tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút :
§Ò bµi: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau( mçi c©u 5 phót ):
1 / |2 x+1|=5 ; 2/ |x +5|=3 x +1 ; 3/ |x +1|+|x − 1|=10
Tû lÖ häc sinh lµm bµi cô thÓ nh sau:
Sè HS líp 8B dù kh¶o s¸t: 40em
Làm đợc hoàn chỉnh trong thời
gian kh¶o s¸t 15 phót Lµm xong nh-ng hÕt > 15 phót
Không làm đ-ợc(hoặc không đúng)
Tríc 10 phót Tõ 11 – 15 phót
SL % SL % SL % SL %
C©u 1 2 5,0 5 12,5 20 50,0 13 32,5
C©u 2 2 5,0 4 10,0 19 47,5 15 37,5
(2)Qua kết quả khảo sát trên tôi nhận thấy học sinh chậm phát hiện ra cách giải quyết vấn đề trong thời gian cho phép, nhiều học sinh có làm đợc nhng thời gian hết nhiều Đa số các em giải rất máy móc đối với câu a) nhiều em phớt lờ xem nh không có dấu giá trị tuyệt đối nên đã bỏ mất nghiệm.Với các phơng trình có chứa từ 2 dấu giá trị tuyệt đối trở nên các em rất lúng túng trong vấn dề xét khoảng và lấy nghiệm số học sinh giải đợc câu 3 rất ít Do vậy tôi đã tổ chức phụ đạo một số buổi cho các em về các bài toán có liên quan đến giá trị tuyệt đối
Trong phạm vi một đề tài SKKN tôi đa ra: Phơng pháp giải bài toán có chứa dấu
giá tị tuyệt đối “ với mục đích nâng cao hiệu quả dạy học bộ môn Đại số và giúp học sinh nhanh chóng tìm ra chìa khoá cho những bài toán khó ,cũng từ đó các em biết chọn cho mình những con đờng đi ngắn nhất để đến đích một cách nhanh chóng mà không còn vớng mắc,tạo cho các em hứng thú học bộ môn Đại số nói riêng, bô môn Toán nói chung
B giải quyết vấn đề.
I) Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. 1) Định nghĩa giá trị tuyệt đối.
|A|={ A voi A ≥ 0 -A voi A ≺0 2) C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng ph¸p gi¶i.
D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt d¹ng |A|=a ( A lµ nhÞ thøc bËc nhÊt ,a lµ h»ng sè)
Ph¬ng ph¸p gi¶i :
a) NÕu a<0 kÕt luËn ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
b) NÕu a 0 ®a vÒ ph¬ng tr×nh : A=a hoÆc A=-a Bµi tËp vÝ dô: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
1/ |2 x+4|=− 8 2/ |3 x − 2|=5 3/ |10 x+40|=0 Gi¶i :
1/ |2 x+4|=− 8 Pt v« nghiÖm v× VT lu«n kh«ng ©m víi mäi x cßn vÕ ph¶i lu«n ©m
2/ |3 x − 2|=5
x =7 3 x=− 1 3 x − 2=5 3 x −2=−5⇔¿
⇔¿
VËy PT cã hai nghiÖm lµ: x1= 7
3 ; x2=-1
(3)C¸ch 1: NÕu A 0 ph¬ng tr×nh cã d¹ng: A=B NÕu A<0 ph¬ng tr×nh cã d¹ng: -A=B
Nghiệm của các phơng trình trên thoả mãn điều kiện trong từng khoảng đang xét là nghiệm của PT đã cho
C¸ch 2: |A|=B ⇔{ B≥ 0 A=BhoacA=− B 2 Bµi tËp vÝ dô:
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
1) |3 x −1|+2=3 x+4 2) ||x|−3|=x+1
3) |x − 2005|=x −2005
Gi¶i:
1) |3 x −1|+2=3 x+4
{x ≥− 2 3 − 1=2
{x ≥− 2 3 x=−1
6
{3 x − 1=3 x+23 x+2 ≥ 0
{3 x −1=− 3 x −23 x+2 ≥ 0 ⇔¿
⇔¿
VËy : PT cã nghiÖm lµ x= − 1
6
2) ||x|−3|=x+1
Nếu x 0 phơng trình đã cho tơng đơng với pt: Do x 0 nên x+1> 0 Khi đó : |x − 3|=x +1 ⇔ x −3=x+1 hoặc x-3=-x-1
(4)Nếu x<0 phơng trình đã cho tơng đơng Với: |− x −3|=x+ 1
{2=0 (volý)−1≤ x <0 −1 ≤ x<0 x=−2(Loai)
{x +3=x +1− 1≤ x<0
{x +3=− x −1− 1≤ x<0 ⇔¿
⇔|x +3|=x +1⇔¿
Vậy : Pt đã cho có nghiệm là: x=1
3) |x − 2005|=x −2005 ⇔ x −2005 ≥ 0⇔ x≥ 2005 VËy : Ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm tho¶ m·n x 2005
Bµi 2:Gi¶i pt : |x − 1|=3 x +2 m (1)( m lµ tham sè
Gi¶i :
|x − 1|=3 x +2 m
{ x ≥− 2 m 3 x=− 2m −1
2
{ x ≥− 2 m 3 x=1 −2 m
4
{x −1=3 x +2 m3 x+2m ≥0
{x −1=−3 x − 2m3 x+2m ≥0 ⇔¿
⇔¿
Vậy : để phơng trình (1) có nghiệm thì phải có: − 2 m−1
2 ≥ −
2 m
3 hoÆc:
1 −2 m
4 ≥
− 2m 3
a)NÕu − 2 m−1
2 ≥ −
2 m
3 ⇔m ≤−
3 2
b)NÕu 1 −2 m
4 ≥
− 2m
3 ⇔m ≥
−3 2 Tãm l¹i: m≤ −3
2 th× pt (1) cã nghiÖm x=¿
-2 m+1 2
m≤ −3
2 th× pt (1) cã nghiÖm x=
(5)||m|x − 3|=4 − m (1)
1) NÕu m > 0 ph¬ng tr×nh (1) ⇔|mx− 3|=4 − m⇔{ 0<m≤ 4
mx− 3=4 −m HoÆc
{mx −3=m− 40<m ≤ 4
¿ ¿ ¿ ¿⇔
¿
0<m≤ 4 x=7− m
m
HoÆc {
0<m ≤ 4 x =m −1 m
2) NÕu m < 0 ph¬ng tr×nh (1) ⇔|− mx −3|=4 −m⇔|mx+3|=4 − m
(V× m < 0 nªn 4- m > 0) ⇔{ m<0
mx+3=4 −m HoÆc: {
m<0
mx+3=m− 4 ⇔{ m<0 x=1− m
m
HoÆc {
m<0 x =m −7
m Tãm l¹i:
NÕu m< 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x=1− m
m hoÆc x= m−7
m NÕu 0 < m 4 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x= 7 − m
m hoÆc x= m−1
m NÕu m = 4 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x=3
4
NÕu m= 0 hoÆc m > 4 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt d¹ng |A|=|B| (A,B lµ c¸c nhÞ thøc)
1) Ph¬ng ph¸p gi¶i: |A|=|B| ⇔ A =B HoÆc A = - B
2) Bµi tËp vÝ dô:
Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x=− 1 x =1 2 x − 2005=2005 x − 2 2 x − 2005=2 −2005 x⇔¿
|2 x −2005|=|2005 x − 2|⇔¿
(6)|5 x − 1|=4 x − 1(1)
|5 x − 1|=5 − 4 x (2) |5 x −1|−2=4 x − 3 |5 x −1|−2=3 − 4 x⇔¿
||5 x − 1|− 2|=|4 x −3|⇔¿
(1)
{ x ≥1 4 x=0(loai)
{ x ≥1 4 x=2
9(loai)
{5 x −1=4 x − 14 x −1 ≥ 0
{5 x −1=1 − 4 x4 x −1 ≥ 0 ⇔¿
⇔¿
(2)
{5 x −1=5 − 4 x5 − 4 x ≥ 0
{5 x −1=4 −5 x5 − 4 x ≥ 0 ⇔¿
{x ≤5 4 x =2 3
{ x ≤5 4 x =−4
⇔¿
⇒ x=2
3; x=− 4
Vậy: phơng trình đã cho có hai nghiệm là: x=2
3; x=− 4
D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt d¹ng |A|+|B|=C
Trong đó A,B,C là những nhị thức bậc nhất
1) Ph¬ng ph¸p gi¶i:
Đối với loại phơng trình này ta nên lập bảng xét dấu để loại bỏ giá trị tuyệt đối sau đó giải phơng trình trong từng khoảng
2) Bµi tËp vÝ dô:
Bài 1: Giải phơng trình: |x − 2|+|x − 3|=4 (1) Ta lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đối:
x − ∞ 2 3 + ∞ |x − 2| 2-x 0 x-2 x-2
|x − 3| 3-x 3-x 0 x-3 |x − 2|+|x − 3| 5-2x 1 2x-5
NÕu x <2 ph¬ng tr×nh (1 ) cã d¹ng: 5-2x=4 ⇔ 2x=1 ⇔ x= 1
2 (TM§K x<2)
NÕu 2 x ≤ 3 Ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm v× 1 kh¸c 4
NÕu x>3 ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 2x-5=4 ⇔ 2x=9 ⇔ x= 9
2 (TM§K x>3) VËy : ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ: x= 1
(7)X - ∞ -2 1 3 + ∞
|x − 1| 1-x 1-x 0 x-1 x-1
|x +2| -x -2 0 x+2 x+2 x+2 -2 |x − 3| 2x-6 2x -6 2x-6 0 -2x+6
VT(2) -7 2x-3 4x-5 7
NÕu x 2 Pt v« nghiÖm do -7 2005 '
NÕu -2<x<1 ph¬ng tr×nh (2) ⇔2 x− 3=2005 ⇔2 x=2008 ⇔ x=2008
2 =1004
(KTM§K)
NÕu 1≤ x≺3 Ph¬ng tr×nh (2) ⇔ 4 x − 5=2005 ⇔ 4 x=2010 ⇔ x=1005
2 (KTM§K)
NÕu x ≥ 3 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm (do 7 ≠2005 )
VËy: Ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm.
Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (m− 1)(|x|+|x+ 2|)=3 m− 4 Gi¶i : XÐt 3 trêng hîp:
NÕu x<-2 th× (m-1)(-x-x-2)=3m- 4 ⇔(m− 1)(− 2 x −2)=3 m− 4 Víi mäi m≠ 1 th× x=−5 m+6
2m −2 <−2 hay − m− 2 m− 1<0 §óng víi mäi m≠ 2 ;m<1 hoÆc m >2
NÕu −2 ≤ x ≤ 0 Th× (m-1)(-x+x+2)=3m- 4 Khi m≠ 1 th× 3 m − 4
m− 1 =2 nªn m=2 ph¬ng tr×nh v« sè ngiÖm NÕu x > 0 th× (m-1)(2m+2)=3m-4
Khi m≠ 1 th× x= m−2
2m −2>0 đúng với mọi m 2; m<1 hoặc m >2
II Bất phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
D¹ng 1: a) |f (x)|<a
b) |f (x)<g(x )|
1)Ph¬ng ph¸p gi¶i:
a) |f (x)|<a ⇔− a<f (x)<a (víi a>0) b) |f (x)<g(x )| ⇔− g (x)<f (x)<g (x) 2) Bµi tËp vÝ dô:
(8)VËy: nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ: −5<x <2 b) 2|x −1|<x+1⇔{2 x −2>− x −1
2 x −2<x +1 ⇔{ x>1
3 x <3
⇔1 3<x <3
VËy: nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ: 1 3<x <3 D¹ng 2:
a) |f (x)>a|
b) |f (x)|>g (x)
1) Ph¬ng ph¸p gi¶i: a) |f (x)>a| f (x)<− af (x)>a
¿
(víi a>0)
b) |f (x)|>g (x) ⇔
f (x)>g(x ) f (x)<− g (x)
¿
2) Bµi tËp ¸p dông:
¿
2 x −3
a|¿|>5¿b¿|x −3|>x +1 2 ¿ Gi¶i:
¿
2 x − 3 x<− 1 x >4 x <5 3 x>7 2(x − 3)<− x −1
2(x −3)>x +1 ⇔¿ 2 x −3<− 5
2 x −3>5 ⇔¿|x − 3|> x+1
2 ⇔¿ a|¿|>5⇔¿
D¹ng 3:
|f (x)>|g (x)||
1) Ph¬ng ph¸p gi¶i:
|f (x)>|g (x)|| ⇔[f (x)]2>[g(x )]2 2) Bµi tËp ¸p dông.
(9)|x − 3|>|x +2|
x+2¿2⇔ x2−6 x+9=x2+4 x+4⇔ x =1
2 x −3¿2>¿
⇔¿
D¹ng 4:
a) f (x)+¿ ¿
¿
(4) {
− f (x)+g(x )>m f (x)<0 g(x )≥ 0
( Có thể lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đối để việc xét khoảng thuận tiện hơn)
b) f (x)+¿ ¿
¿
Đối với dạng này ta lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đốiVT rồi giải bất PT trong từng khoảng
Bµi tËp vÝ dô:
Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau: a) |x +1|+|x − 1|>5
NÕu x<-1 ta cã bÊt ph¬ng tr×nh: -x-1+1-x>5 ⇔ x <−5
2 (TM§K)
NÕu -1 x ≤ 1 ta cã bÊt ph¬ng tr×nh: x+1+1-x >5 ⇔0 x >5 v« nghiÖm NÕu x>1 ta cã bÊt ph¬ng tr×nh: x+1+x-1>5 ⇔2 x>5 ⇔ x>5
2 (TMĐK) Vậy: Nghiệm của bất phơng trình đã cho là: ⇔ x<−5
2 hoÆc x> 5 2
b) |x − 1|+|x − 2|>x +3
NÕu x< 1 ta cã bÊt ph¬ng tr×nh: 1-x +2-x > x+3 ⇔ x <0 (TM§K)
NÕu 1 x ≤ 2 ta cã bÊt ph¬ng tr×nh: x-1+2-x >x+3 ⇔ x <−2 ( Kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt)
NÕu x>2 ta cã bÊt ph¬ng tr×nh: x-1+x-2>x+3 ⇔ x >6 (TM§K)
Vậy: Nghiệm của bất phơng trình đã cho là: ⇔ x<0 hoặc x>6 III.Phơng trình bậc cao có chứa dấu giá trị tuyệt đối
ph¬ng tr×nh v« tØ ®a vÒ PT cã chøa dÊu GTT§
Bµi tËp 1:Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh :
(10)a) Ta cã : x2+x+1=(x+ 1
2 )2+ 3
4>0 Do đó : |x2+x+1|=x2+x +1
Phơng trình đã cho tơng đơng với:
x|x +3|−|x2+x +1|=1⇔ x|x +3|=|x2+x +1|+1⇔ x|x+3|=x2+x+2(1)
NÕu x -3 ph¬ng tr×nh (1) ⇔ x(x+3)=x2
+x+2⇔2 x=2 ⇔ x=1 (TM§K)
NÕu x< -3 ph¬ng tr×nh (1) ⇔ x (− x −3)=x2
+x+ 2⇔ − x2− 3 x= x2+x +2 x +1¿2=0⇔ x=−1
⇔2 x2
+4 x +2=0⇔¿ ( KTM§K ®ang xÐt)
Vậy : Phơng trình đã cho có nghiệm là: x=1.
b) Đặt t= |x| > 0 Khi đó phơng trình đã cho trở thành phơng trình: t3-3t +2 =0 ⇔t3
− t −2 t+ 2=0⇔(t3
− t)− 2(t −1)=0⇔t(t2
−1)− 2(t −1)=0 t −1¿2(t +2)=0⇔t=1
⇔t (t − 1)(t +1)−2(t −1)=0 ⇔(t − 1)(t2
+t −2)=0⇔¿ ( TM§K t >0) hoÆc t=-2( KTM§K t
> 0)
* Víi t=1 ta cã x= ±1
Vậy: phơng trình đã cho có tập nghiệm : S= {−1 ;1}
Bµi 2:Gi¶i ph¬ng tr×nh: |x3
+100 x2|=|x+100| (1)
C¸ch 1: (1) ⇔ |x3
+100 x2|−|x +100|=0
x=− 100 x=± 1 x+100=0
x2−1=0 ⇔¿ ⇔‖(x +100)(x2−1)‖=0⇔¿
Vậy : phơng trình đã cho có 3 nghiệm: x= ±1 ; x=−100 Cách 2:
Ph¬ng tr×nh (1) x =±1 ; x=−100
x=− 100 (x2− 1)(x +100)=0
(x2+1)(x +100)=0⇔¿ x2(x+100)−(x +100)=0 x2(x +100)+(x +100)=0⇔¿
⇔¿
Vậy : phơng trình đã cho có 3 nghiệm: x= ±1 ; x=−100 Bài 3: Giải phơng trình:
(11)Ph¬ng tr×nh
√x +1− 3¿2 ¿ ¿
⇔√(√x +1 −2)2+√¿
(*)
C¸ch 1:Ta thÊy : |√x+1 −2|+|√x+1 −3|=¿
|√x+1 −2|+|3 −√x+1|≥|√x+1− 2+3−√x +1|=1
Dấu (=)xảy ra khi ( √x+1 −2 )(3- √x+1 ) 0⇔3 ≤ x ≤ 8 Vậy : phơng trình đã cho có nghiệm là: 3 ≤ x ≤8
C¸ch 2: Tõ pt (*) ta cã:
NÕu {√x +1<2
x ≥ −1 ⇔−1 ≤ x ≤3 ta cã ph¬ng tr×nh:
2- √x+1+3 −√x +1=1⇔5 −2√x+1=1⇔√x +1=2⇔ x=3 ( Lo¹i v× kh«ng tho¶ m·n
®iÒu kiÖn trªn)
NÕu {2≤√x +1 ≤3
x ≥ 1 ⇔3 ≤ x ≤ 8 Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: √x+1 −2+3 −√x +1=1 ⇔1=1 v« sè nghiÖm x [3; 8]
NÕu {3≤√x+1
x ≥ −1 ⇔ x >8
Ph¬ng tr×nh (*) ⇔ √x+1 −2+√x +1− 3=1⇔2❑
√x +1=6⇔ x=8 ( lo¹i v× kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 8)
IV Hệ phơng trình bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bµi tËp 1:Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:
{|2 x −3|+|5 y − 4|=4 (1)
|3 x +2|−2|y|=9 (2)
Giải :Ta xem y là tham số , xét các trờng hợp sau phá bỏ giá tri tuyệt đối đa về hệ bậc
nhÊt hai Èn råi gi¶i chóng
x - ∞ −2
3 3
2 + ∞
|2 x −3| -2x+3 -2x+3 0 2x-3 |3 x+2| -3x-2 0 3x+2 3x+2
(1) |5 y − 4|=2 x +1 |5 y − 4|=2 x +1 |5 y − 4|=− 2 x +7 (2) 2 |y|=−3 x − 11 2 |y|=3 x +7 2 |y|=3 x −7
Lo¹i Lo¹i Thuéc ph¹m vi kho¶ng xÐt 7
(12)VËy : 7
3≤ x ≤ 7
2 víi ta cã:
5 y +2 x=11 5 y −2 x=−3 5 y − 4=− 2 x +7 5 y +2 x=2 x −7⇔¿
|5 y − 4|=− 2 x +7⇔¿
L¹i cã:
3 x − 2 y=7 (3) 3 x −2 y=7 (4) 2|y|=3 x −7⇔¿
Ta cã c¸c hÖ sau:
(I) {
7 3≤ x ≤
7 2 2 x +5 y=11 3 x −2 y=7
⇔{ 7 3≤ x ≤
7 2 x=3 y =1
( Nghiªm tho¶ m·n)
(II)
¿ ¿
¿
7 3≤ x ≤
7 2 x=13 11 ¿ { 7 3≤ x ≤
7 2 2 x +5 y=11
3 x+2 y=7 ⇔
¿
(NghiÖm kh«ng tho¶ m·n)
(III) {
7 3≤ x ≤
7 2 2 x −5 y=3 3 x −2 y=7
⇔{ 7 3≤ x ≤
7 2 x=29 11 y= 5 11
(NghiÖm tho¶ m·n)
(IV)
¿ ¿
¿
7 3≤ x ≤
7 2 x=41 19 ¿ { 7 3≤ x ≤
7 2 2 x − 5 y=3
3 x+2 y=7 ⇔
¿
(NghiÖm kh«ng tho¶ m·n)
VËy: nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ: (x=3;y=1) ; ( x=29 11 ; y=
5
11 )
Bµi 3: {5|3 x −2|+7|5 y −1|=88 3 x+5 y=7 (I)
(I) ⇔{5|3 x −2|+7|5 y − 1|=88
5 y −1=6 −3 x ⇔{
(13) NÕu x ≤2
3 ta cã hÖ: {
5 (−3 x +2)+21(2− x )=88
3 x +5 y=7 ⇔{
36 x=−36 3 x+5 y =7⇔{
x =−1
y=2 (Thuéc kho¶ng ®ang xÐt)
NÕu 2
3≤ x ≤2 ta cã hÖ: {
5 (3 x −2)+21(2 − x )=88 3 x+5 y =7
¿ ¿
¿x=
−56 6 =
−28 3
¿
⇔
¿
( kh«ng
thuéc kho¶ng xÐt)
NÕu x>2 ta cã hÖ: {5 (3 x −2)+21(x − 2)=88
3 x+5 y =7 ⇔{
36 x=140 3 x +5 y=7⇔{
x=35 9 y =−14
15
(Tho¶
m·n)
Tóm lại : Hệ đã cho có nghiệm là:
x=− 1; y=2 x=35
9 ; y= −14 15
¿
Bµi 3:Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh:
{mx −2 y=m (1)|x|+4 y=1 (2)
Gi¶i :Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta cã 2y= x- m thay vµo pt (2) ta cã:
m |x|+2(x − m)=1⇔ m|x|+2 x=2 m+1
NÕu x0 ta cã ph¬ng tr×nh: mx+2x= 2m+1 ⇔(m+2) x=2 m+1 (3)
Khi m=-2 PT (3) ⇔0 x=− 3 ( vô lý ) do đó hệ vô nghiệm Khi m≠ 2⇒ x=2m+1
m+2 §Ó gi¸ trÞ nµy lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ta cÇn cã: x=2m+1
m+2 ≥ 0⇔m ≥ −1
2 HoÆc m < -2
Nếu x< 0 ta có –mx+2x=2m+1 ⇔(2− m) x=2 m+1(4) Khi m=2 phơng trình (4) 0x=5( vô lý do đó hệ vô nghiệm.) Khi m≠ 2⇒ x=2m+1
2− m §Ó gi¸ trÞ nµy lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ta cÇn cã: x=2m+1
m+2 <0⇔m≥ − 1
(14) NÕu
m<−2 m≥−1 2
¿
th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ:
x=2m+1 m+2 y=x − m
2
¿
NÕu
m>2 m≤ −1
2
¿
th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ:
x=2m+1 2− m y=x − m
2
¿
NÕu m≥ −2m ≤2
¿
th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
Bài 4: Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm. |x − 1|+|y −2|=1(1)
x − y − 10=x − y (2)
¿
x − y¿2+m¿ ¿ ¿
Gi¶i : Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta cã 1=|x −1|+|y −2|≥|x − y +1|(3) Tõ (2) ta cã (x-y)2-(x-y)+m(x-y-1)=0
x − y =1 x − y=−m
⇔(x− y+m)(x− y− 1)=0 ⇔¿
NÕu x- y =1 th× tõ (3) ⇒1 ≥2
NÕu x- y =- m th× tõ (3) ⇒1 ≥|1 − m|⇔ 0≤ m ≤2
VËy: nghiÖm cña hÖ lµ: 0 ≤ m≤ 2 .
V.Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
1) Ph¬ng ph¸p gi¶i :
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức |A|=|− A| và |A|+|B|≥|A+B| Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi A.B 0 ( Thờng dùng đối với các đa thức có hai dấu GTTĐ)
Cách 2: Lập bảng xét dấu loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi đánh giá giá trị của đa
thøc trong tõng kho¶ng xÐt
2) Bµi tËp vÝ dô.
Bµi 1:T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A=|x −1|+|x −3|
Gi¶i:
(15)Vậy : Amin=2 đạt đợc khi và chỉ khi (x-1)(3-x) 0 ⇔1 ≤ x ≤3
C¸ch 2:
Trong khoảng x< 1 thì A=1-x+3-x=4-2x Do x< 1 nên -2x>-2 đo đó 4-2x>2
Trong kho¶ng 1≤ x ≤ 3 th× A=x-1+3-x=2 Trong kho¶ng x>3 th× A=x-1+x-3=2x-4 Do x > 3 nªn 2x – 4 > 2
So s¸nh gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng trªn ta thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 2 khi vµ chØ khi 1≤ x ≤ 3 .
Bµi 2: T×m GTNNcña B=|x −2006|+|x − 2007|+|x −2008|
Gi¶i : XÐt c¸c trêng hîp:
NÕu x< 2006 ta cã B =2006 - x+2007 - x+2008 – x = 6021 - 3x Do x< 2006 nªn 6021- 3x >3
Nếu 2006 ≤ x <2007 ta có : B = x- 2006 + 2007 – x + 2008 – x =2009-x Do 2006 ≤ x <2007 nên 2<B ≤ 3 đẳng thức xảy ra khi x=2006
NÕu 2007 ≤ x <2008 ta cã :B =x-2006+x-2007+2008-x=x-2005 Do 2007 ≤ x <2008 nªn 2≤ B <3 §¼ng thøc x¶y ra khi x=2007 NÕu x>2008 ta cã B= x-2006+x-2007+x-2008=3x-6000> 3
So sánh giá trị của B trong các khoảng trên ta thấy giá trị nhỏ nhất cuả B bằng 2 đạt đợc khi x=2007
Bài 3:Cho C=√a+3 − 4√a −1+√a+15 − 8√a − 1 a)Tìm điều kiện của a để C đợc xác định
b)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña C vµ gi¸ trÞ t¬ng øng
Gi¶i :
a) §KX§: x ≥ 1
b) Tacã: : C=
√a − 1− 4¿2 ¿ ¿
√(√a −1 −2)2+√¿
Vậy : MinA=2 đạt đợc khi và chỉ khi 2≤√a −1 ≤ 4⇔ 5≤ a ≤ 17 Các bài tập luyện tập:
Bµi 1: Gi¶I c¸c ph¬ng tr×nh :
1) |2 x −3|=10 x 3) |x − 2005|=x −200 2) ) 12|2 x −9|=15+x 4) |3 x −1|+1=3 x+ 4
Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh víi tham sè m. 1
2(3|x|−m)+1= 1
5(2 x +m)+m+ 1
(16)a) Giải phơng trình đã cho
b) Phải cho m giá trị nào để có x=36
c) Tìm những giá trị nguyên của m để có nghiệm x thuộc khoảng (0;8)
Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh ;
¿
x3+x2+x
1|¿|=x¿2¿|x5+x4+x3+x2|=2(x +1)¿3¿√3+x − 4√x − 1+x=15
4 ¿4¿
2
√3+x − 4√x − 1= 5 1+√x − 1¿ Bµi 4:Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:
1¿{
1
|x|+
1
|y +1|=0,6
3
|x|−
2
|y −1|=1,3
1¿{ |
x y|=
5 7 |x +500y +500|=
8 11
3¿{ |mx+3 y|=5
|(m −1)x|+2 y=3 4¿{|x|+y=1
x +|2 y|=m
C KÕt qu¶ vµ bµi häc kinh nghiÖm
Qua các buổi phụ đạo, tôi đã cung cấp cho các em học sinh các kiến thức lý thuyết, sau đó đa ra các bài tập áp dụng cụ thể từng dạng bài và những kinh nghiệm, cách nhìn nhận, phán đoán để có phơng pháp giải nhanh đối với từng bài, kết quả thu đợc sau 8 buổi ( tơng đơng 4 tuần học):
- Học sinh biết phân loại và nắm đợc phơng pháp giải các dạng phơng trình , bất ph-ơng trình , hệ phph-ơng trình và một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Trang bị thêm cho các em những kiến thức về giá trị tuyệt đối mà các em thờng mắc sai lầm, vì vậy mà các em không ngại khi gặp các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Học sinh giải thành thạo các bài toán tìm GTLN, GTNN của các biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Xây dựng cho các em niềm đam mê và hứng thú học tập bộ môn toán, phát huy tính tích cực , tự giác, chủ động sáng tạo trong học tập
KÕt qu¶ kh¶o s¸t kh¶o s¸t cô thÓ nh sau:(Kh¶o s¸t häc sinh líp 8)
(17)Gi¶i ph¬ng tr×nh:
C©u 1: |x − 3|+|x +2|=7
C©u 2: |x +1|
x =5
C©u 3: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
|x − 1|+|x − 2|>x +3
Sè HS líp 8B dù kh¶o s¸t: 40em
Làm đợc hoàn chỉnh trong thời
gian kh¶o s¸t 15 phót Lµm xong nh-ng hÕt > 15 phót
Không làm đợc Trớc 10 phút Từ 11 – 15
phót
SL % SL % SL % SL %
C©u 1 13 32,5 20 50 5 12,5 2 5,0
C©u 2 15 37,5 19 47,5 4 10,0 2 5,0
C©u 3 20 50,0 17 42,5 2 5,0 1 2,5
Để chất lờng dạy –chất lợng học ngày một nâng lên đảm bảo theo yêu cầu của ngành giáo dục, bản thân mỗi thầy cô giáo chúng ta phải chịu khó suy nghĩ trau dồi phơng pháp,đúc rút những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, biết chắt lọc ,hệ thống kiến thức theo từng chuyên đề bám sát , nâng cao phù hợp đối tợng học sinh từng lớp.Phải thờng xuyên kiểm tra đánh giá kết quả học tập của các em ,kịp thời bổ sung sữa chữa những sai lầm về kiến thức, phơng pháp giải đặc biệt là rèn luyện kĩ năng trình bày bài.Giáo viên phải có kế hoạch phân chia kiến thức thành các chuyên đề logíc ,theo hệ thống.Dạy sâu ,dạy chắc kiến thức và phải kết hợp giữa các dạng bài khác nhau
Dơi sự chỉ đạo sát sao của Phòng giáo dục và Đào tạo Hậu lộc và trờng THCS Lộc tân về việc nâng cao chất lợng đại trà cũng nh chất lợng mũi nhọn, bản thân tôi đã tích cực hởng ứng, tìm tòi nghiên cứu để bổ sung cho mình cả về kiến thức và phơng pháp với mục tiêu biết mời dạy một, đẩy mạnh phong trào thi đua dạy tốt Trong quá trình giảng dạy đặc biệt là công tác bồi dỡng mũi nhọn tôI đã đúc rút cho mình nhiều kinh nghiệm và đã đạt những hiệu quả khả quan Trong năm học này tôi mạnh dạn viết một số kinh nghiệm bản thân trong phạm vi một đề tài SKKN,tuy đã cố
gắng nhng do khả năng có hạn nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót.Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để tôi rút kinh nghiệm cho những năm học sau.Đề tài tài này không những áp dụng cho học sinh lớp 8 mà còn áp dụng cho học sinh lớp 9
Hoàn thành đợc đề tài này , ngoài việc nghiên cứu tài liệu,qua thực tế giảng dạy tôi còn đợc sự quan tâm giúp đỡ của các đồng nghiệp
T«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n!
(18)Ngêi viÕt
M· ThÞ DiÖp
ýkiến đánh giá của hội đồng cấp cơ sở 1) Tổ ,nhóm bộ môn trờng THCS Lộc Tân
2)Hội đồng chấm SKKN trờng THCS Lộc Tân.
(19)Môc lôc:
Phần thứ nhất : Đặt vấn đề Trang 1 Phần thứ hai : Giải quyết vấn đề
I.Phơng trình bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối 3 II Bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 8 III.Phơng trình bậc cao có chứa dấu giá trị tuyệt đối 11 Phơng trình vô tỉ da về PT có chứa dấu GTTĐ.