Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn tại B, Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q.. a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được.[r]
(1)SỞ GD&ĐT BÌNH DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học : 2008 – 2009
Mơn thi : TỐN (Thời gian : 150 phút) Bài : (2 điểm)
Cho hai số x, y thỏa hệ : 2
12 x y xy x y y x
Tính x3y3
Bài : (2 điểm)
Xác định m để hệ :
2 ( 1) ( 1)
x m y
y m x
có nghiệm
Bài : (2 điểm)
Cho biết a, b nghiệm phương trình : x2 + px + = b, c nghiệm phương trình : x2 + qx + = 0
Tính giá trị biểu thức : (b – a)(b – c) theo p q Bài : (2 điểm)
Cho phương trình bậc hai tham số m : x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Với x1, x2 nghiệm phương trình, tìm m để biểu thức N = 6x1x2 + x12 + x22 có giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ
Bài : (2 điểm)
Cho đường trịn (O ; R) có hai đường kính AB, CD khơng trùng Vẽ tiếp tuyến (d) đường tròn B, Các đường thẳng AC, AD cắt đường thẳng (d) P Q
a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp
b) Chứng minh trung tuyến AI tam giác APQ vng góc với CD GIẢI
Bài : (2 điểm)
Cho hai số x, y thỏa hệ : 2
12 x y xy x y y x
Tính x3y3 Đặt : x + y = S x.y = P
(2)Theo hệ pt ta có : 12 S P PS S P
3 S P
(loại khơng thỏa hệ)
Điều kiện tồn hai số x, y S2 – 4P ≥
Ta có hệ : 1/ x y x y
2/
3 x y x y
(vô nghiệm)
Vậy x3 + y3 = 43 – 3(-3)4 = 100 Bài : (2 điểm)
Xác định m để hệ :
2
( 1) (1)
( 1) (2)
x m y
y m x
có nghiệm
Trừ vế, ta : (x – 1)2 – (y – 1)2 = y – x
x2 – y2 – 2(x – y) = y – x (x – y)(x + y – 1) =
x y x y
+ x – y = x = y
Thế vào pt (1) : x2 – 2x + = m + x x2 – 3x + – m =
= – 4(1 – m) = + 4m
Pt có nghiệm : m ≥
5
Khi : x = y =
3
2 m
+ y = – x , vào pt(1) : (x – 1)2 = m + – x
x2 – 2x + = m + – x x2 – x – m = = + 4m
Phương trình có nghiệm :
1 m
Khi x1,2 =
1
m
y = –
1
m
Kết luận :
Hệ có nghiệm
5 m m
Bài : (2 điểm)
Cho biết a, b nghiệm pt : x2 + px + = (1) b, c nghiệm pt : x2 + qx + = (2) Tính giá trị biểu thức : (b – a)(b – c) theo p q
a2 + pa + = (3) b2 + pb + = (4)
b2 + qb + = (5) c2 + qc + = (6)
a + b = – p ; b + c = – q
(3) b =
1 p q
a + b = a +
1
p q = – p a = – p –
1 p q
b – a =
1
p q – + p +
1
p q = p – +
2 p q
b + c = – q
1
p q + c = – q c =
1 q p q
b – c =
1 p q +
1 q p q =
2 p q + q
Vậy : (b – a)(b – c) =
2
1
p q
p q p q
Bài : (2 điểm)
Cho phương trình bậc hai tham số m : x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = (1) a) Tìm m để phương trình có nghiệm
(1) có nghiệm ’ = (m + 1)2 – 2m – 10 ≥ m2 – 32 ≥ (m – 3)(m + 3) ≥ m ≤ 3 m ≥ (*)
b) Với x1, x2 nghiệm phương trình, tìm m để biểu thức N = 6x1x2 + x12 + x22 có giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ
Theo Vi-et , ta có :
1
1
2( 1)
10
b m x x
a c
m x x
a
Do : N = 6x1x2 + x12 + x22 = 4(2m + 10) + 4(m + 1)2 = 4m2 + 16m + 44 = (2m + 4)2 + 28 = 4(m2 + 2.2m + 22 + 7) = 4(m + 2)2 + 28
N đạt giá trị nhỏ 32 m = – (do (*)) * ý : học sinh thường sai lầm
N = 4(m + 2)2 + 28 ≥ 28 nên GTNN 28 m = – (không thỏa (*)) Bài : (2 điểm)
Cho đường trịn (O ; R) có hai đường kính AB, CD khơng trùng Vẽ tiếp tuyến (d) đường trịn B, Các đường thẳng AC, AD cắt đường thẳng (d) P Q
a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp
b) Chứng minh trung tuyến AI tam giác APQ vng góc với CD
a) Tứ giác CPQD nội tiếp được Ta có : ACB vng C và ADB vuông D
APB vuông B
và ABQ vuông B
nên AB2 = AC.AP
(4)Suy : AC.AP = AD.AQ
AC AQ
ADAP và ACQ vuông A
và ADP vuông A
suy vuông ACQ vuông ADP
suy : CPD DQC
và nhìn CD góc nhau Vậy tứ giác CPQD nội tiếp được b) Gọi M giao điểm AI CD Trong APQ vuông A nên trung tuyến AI = IQ
suy AIQ cân I IQA IAQ
Trong ABQ vuông B có đường cao BD
suy
IQA ABD
ABD ACD (cùng chắn cung AD) IQA ACD
Mà : ACD CDA 1v
Nên : IQA CDA 1v AMD1v Hay AI CD
I
Q
P B
D
O