De va dap an vao lop 10 chuyen 0910

[r]

đề thi thử vaò lớp 10 chuyên nm hc 2008 - 2009

Môn thi : toán

Thời gian làm : 150 phút

Câu I: ( 2.0 ®iĨm )

TÝnh giá trị biểu thức :

P = x(4 y)(4 z)  y(4 z)(4 x)  z(4 x)(4 y)  xyz Trong x , y , z số thực dơng thỏa mãn : x y z   4 xyz Câu II: (1.5 điểm)

Chøng minh r»ng nÕu x0 nghiệm phơng trình :

x2(a1)x b 0 th× :

2

0 2( 1)

x  a b  a Câu III: (2.5 điểm )

Giải hệ phơng trình :

2 697

81

4

x y

x y xy x y



 

 

     



C©u IV: ( ®iĨm)

Cho tam giác ABC khơng cân , đờng trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB , AC , BC tơng ứng D , E , F Đờng phân giác góc B cắt đờng thẳng DE H Gọi K hình chiếu F DE

1) Chøng minh : BHC 900 2) Chøng minh : BKF CKF  C©u V: ( 1.0 điểm )

Tìm cặp số ( x;y) nguyªn tháa m·n : x4 + 2x3 + 3x2 + 2x = y2 + y

sở giáo dục v o to

Hải Dơng kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9năm học 2008 - 2009

Môn thi : to¸n

Híng dÉn chÊm

H

ớng dẫn chấm đề số 1

Câu I

2 điểm có x y z   4 xyz  4x4y4z4 xyz 16

Nªn :

 2  

(4 )(4 ) (16 4 )

(4 4 4 )

(4 ) 2

x y z x z y yz

x x y z xyz z y yz

x x xyz yz x x yz x x yz

     

      

      

( x, y, z số d¬ng)

2x xyz

 

Biến đổi tơng tự ta đợc :

(4 )(4 )

y  z  x = 2y xyz

(4 )(4 )

z  x  y = 2z xyz VËy :

2 2

2( )

2.4

P x xyz y xyz z xyz xyz

x y z xyz

             0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 CÂU 1.5 điểm Câu III 2.5điểm

Trc ht ta chứng minh bất đẳng thức:

ax by2 (a2 b2)(x2 y2) , (1)

   

Thật (1) 2abxy a y 2 b x2  (ay bx )2 0( ) Đẳng thức xy ay = bx

Vì x0 nghiệm phơng trình : x2 + (a+1)x + b = 0, nªn ta

cã :   0 0 ( 1) ( 1)

x a x b

x a x b

   

   

áp dụng BĐT (1) ta có :

2

4 2

0 ( 1) ( 1) ( 1)

x  a x b  a b  x 

4 2

0

2 2

0

2 2

2

1 ( 1) ( 1)

1 ( 1)

2( 1) 2( 1)

x a b x

x a b

x a b a

x a b a

 

      

    

    



Hệ phơng trình:

4

2 697

,(1) 81

3 4 ,(2)

x y

x y xy x y

             

NÕu có (x;y) thỏa mÃn (2) phơng trình bậc hai Èn x sau : x2 + (y-3)x + y2 - 4y +4 = ph¶i cã nghiƯm:

2

2

( 3) 4( 4)

3 10

7

1 ,(3)

3

y y y

y y

y

       

   

  

T¬ng tự xét điều kiện phơng trình bậc hai ẩn y ( 4) 3 4 0

y  x y x  x  có nghiệm ta đợc :

Tõ (3) vµ (4)

4

4 697

3 81

x y    

          

Nªn :

4 697 81

x y 

x 

vµ y 

VËy hƯ phơng trình có nghiệm (x;y) =

; 3

 

 

Câu IV

3điểm

1) Do tam giác ABC không cân ,gọi O tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Theo định lí tổng góc BOC ABC,

 1800   1800 1800  900 

2 2

B C A A

BOC  

      

Từ suy :

 1800  900 

2

A

HOC  BOC 

,(1)

Ta cã : ADE cân A AD = AE ( theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn)  1800  900 

2

A A

AED 

   

,(2) Mà HEC AED (đối đỉnh) , (3)

Tõ (1), (2), (3) HEC HOC Suy tứ giác HEOC nội tiếp Mà OEC 900( theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn )

 900  900

OHC Hay BHC

  

2) H¹ BPDE CQ, DE ta cã BP// FK // CQ

Theo định lí Ta - let :

BF PK

FC QK .

Theo tÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn : BF = BD , CF = CE nªn ta cã

BD PK

CE QK , (4)

Mặt khác : BDP ADE AED QEC  Suy : BPDCQE

Từ ta có :

BP PD BD

CQ EQ CE ,(5)

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

0.25 0.25

Tõ (4) vµ (5)

BD PK PD BP

CE QK EQ CQ

   

Mµ : BPK CQK  900 Nªn  BPK CQK

 

PKB QKC

  mµ PKF QKF  90 VËy BKF CKF  .

C©u v

1.0 ®iĨm Cã x

4 + 2x3 + 3x2 + 2x = y2 + y

 x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = y2 + y +1

(x2 + x +1)2 = y2 + y +1 , ( 1)

Do x,y số nguyên nên từ (1) suy : y2 + y +1 phải sè

chÝnh ph¬ng

- NÕu y >  y2 y2   y (y1)2 - NÕu y < -1 (y1)2y2y 1 y2

C¶ hai trờng hợp y2y1 số phơng Nên từ (1) y = y = -1

vµ (x2 + x + 1)2 = , (2)

Do x2 + x + =

2

1

0 ,

2

x x

 

   

 

 

 (x2 + x + 1)2 = 1 x2 + x + = 1x = hc x = -1

Vậy cặp số ( x;y ) nguyên thỏa mãn đề : (0;0) , ( 0;-1) , ( -1;0) ,(-1;-1)

0.25 0.25 0.25