Bài soạn Cac BT cuc tri dung BDT Cauchy

BÀI TẬP VỀ ĐẲNG THỨC CÔ-SI Bài 1: Cho x > 0 ; y > 0 và ayx 2 =+ (a > 0). Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A = yx 11 + Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A = xx −+− 235 Bài 3: Cho 15 =+ yx , tìm giá trò nhỏ nhất, giá trò lớn nhất của biểu thức: B = 34 −+− yx Bài 4: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A = x xx 2 562 2 +− trong đó x > 0. Bài 5: Cho a, b, x là những số dương. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: ( )( ) x bxax P ++ = Bài 6: Cho 0 ≥ x , tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức Q = ( ) 12 172 2 + ++ x xx Bài 7: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức M = 3 346 + ++ x xx Bài 8: Cho x > 0, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức N = x x 2000 3 + Bài 9: Cho x > 0 ; y > 0 và 6 ≥+ yx . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: yx yxP 1612 35 +++= Bài 10: Cho x > y và xy = 5, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức yx yxyx Q − ++ = 22 2,1 Bài 11: Cho x > 1, tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A = 1 25 4 − + x x Bài 12: Cho 10 << x , tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức B = xx 4 1 3 + − Bài 13: Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn điều kiện azyx =++ a) Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A = zxyzxy ++ b) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức B = 222 zyx ++ Bài 14: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện 12 ≥++ zyx Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức P = x z z y y x ++ Bài 15: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện azyx =++ Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức Q =       +         +       + z a y a x a 111 Bài 16: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện 1=++ cba Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A = ( )( )( ) ( )( )( ) cba cba −−− +++ 111 111 Bài 17: Cho x, y thỏa mãn điều kiện 1 =+ yx và x > 0. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: B = 32 yx Giải Bài 1: xy ≤ 2 2 2 axya a ayx ≤⇒== + 1 A = 2 2 2 a a a xy yx =≥ + (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = a) Vậy min A = 2 a (khi và chỉ khi x = y = a) Bài 2: ĐKXĐ: 235 ≤≤ x max A 2 = 36 ⇔ max A = 6 (khi và chỉ khi x = 14) Bài 3: ĐKXĐ: 4 ≥ x ; 3 ≥ y B ≥ 8 ⇒ min B = 8 (khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12; y = 3) max B 2 = 16 ⇒ max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7) Bài 4: A = 3103 2 5 23 2 5 −=−⋅≥−+ x x x x (dấu “=” xảy ra ⇔ x x 2 5 = ⇔ 10 2 1 = x ) Vậy min A = 310 − (khi và chỉ khi 10 2 1 = x ) Bài 5: P = ( ) ( ) ( ) 2 2 baba x ab xba x ab x +=++⋅≥+++ (dấu “=” xảy ra ⇔ abx = ) Vậy min P = ( ) 2 ba + (khi và chỉ khi abx = ) Bài 6: Q = ( ) ( ) 4 1 8 2 1 2 1 8 2 1 12 161 2 = + ⋅ + ≥ + + + = + ++ x x x x x x (dấu “=” xảy ra ⇔ 1 8 2 1 + = + x x ⇔ x = 3) Vậy min Q = 4 (khi và chỉ khi x = 3) Bài 7: ĐKXĐ: 0 ≥ x M = ( ) 10252 3 25 3 3 253 2 =≥ + ++= + ++ x x x x (dấu “=” xảy ra ⇔ 4 3 25 3 =⇔ + =+ x x x ) Vậy min M = 10 (khi và chỉ khi x = 4) Bài 8: N = 3 100010002000 22 ≥++=+ xx x x x 3 2 10001000 xx x ⋅⋅ = 3 . 100 = 300 (dấu “=” xảy ra ⇔ x x 1000 2 = ⇔ x = 10) Vậy min N = 300 (khi và chỉ khi x = 10) Bài 9: P = ( ) y y x x y y x xyx 16 2 12 3212 1612 32 ⋅+⋅+≥         ++       +++ = 12 + 12 + 8 = 32 (dấu “=” xảy ra ⇔ x x 12 3 = và y y 16 = ) ⇔ 2 = x và 4 = y ) Vậy min P = 32 (khi và chỉ khi 2 = x ; 4 = y ) Bài 10: Q = ( ) ( ) 8162 162,3 2 =≥ − +−= − +− yx yx yx xyyx (dấu “=” xảy ra ⇔ 4 16 =−⇔ − =− yx yx yx , kết hợp điều kiện 5 = xy ta được x = 5 ; y = 1 và x = -1 ; y = -5) Vậy min Q = 8 (khi và chỉ khi x = 5 ; y = 1 hoặc x = -1 ; y = -5) Bài 11: A = ( ) ( ) 24410.24 1 25 1424 1 25 14 =+=+ − −≥+ − +− x x x x (dấu “=” xảy ra ⇔ ( ) 2 7 1 25 14 =⇔ − =− x x x ) 2 Vậy min A = 24 (khi và chỉ khi 2 7 = x ) Bài 12: B = ( ) ( ) ( ) 2 323477 14 1 3 27 14 1 3 +=+=+ − ⋅ − ≥+ − + − x x x x x x x x (dấu “=” xảy ra ⇔ ( ) ( ) 2 13 14 1 3 −=⇔ − = − x x x x x ) Vậy min B = ( ) 2 32 + (khi và chỉ khi ( ) 2 13 −= x ) Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn được: ( ) 7 14 1 34 1 3 + − + − =+ − x x x x xx ? Ta đặt ( ) c x xb x ax xx + − + − =+ − 14 1 34 1 3 Sau đó dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm được a = b = 1 ; c = 7 Bài 13: a) 2 22 yx xy + ≤ ; 2 22 zy yz + ≤ ; 2 22 xz zx + ≤ 222 zyxzxyzxy ++≤++ ; ( ) ( ) zxyzxyzyxzxyzxy ++−++≤++ 2 2 3A 2 a ≤ ; A ≤ 3 2 a (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 3 a ) Vậy max A = 3 2 a (khi và chỉ khi x = y = z = 3 a ) b) B = ( ) ( ) zxyzxyzyxzyx ++−++=++ 2 2 222 B = ( ) zxyzxya ++− 2 2 B min ⇔ ( ) zxyzxy ++ max ⇔ 3 2 a zxyzxy =++ (theo câu a) Lúc đó B = 33 2 22 2 aa a =− (khi và chỉ khi x = y = z = 3 a ) Bài 14: P 2 = y xz x zy z yx x z z y y x 22 2 222 +++++ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương, ta được: x yz zyxx z z yx z yx y x 4 . 4 4 222 =≥+++ y xz xzyy x x zy x zy z y 4 . 4 4 222 =≥+++ z yx yxzz y y xz y xz x z 4 . 4 4 222 =≥+++ Do đó P 2 ≥ ( ) ( ) ( ) zyxzyxzyx ++=++−++ 34 P 2 ≥ 3.12 = 36 (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 4) Vậy min P = 6 (khi và chỉ khi x = y = z = 4) Bài 15: x yzx x yzx x zyxx x a 4 22 422 1 ≥ + ≥ +++ =+ ; y xzy y xzy y zxyy y a 4 22 422 1 ≥ + ≥ +++ =+ ; z yxz z yxz z yxzz z a 4 22 422 1 ≥ + ≥ +++ =+ ; Do đó Q ≥ ( ) 64 64 4 4 = xyz xyz (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 3 a ) Vậy min Q = 64 (khi và chỉ khi x = y = z = 3 a ) 3 Bài 16: 011 >+=−⇒=++ cbacba Tương tự 01 >− b ; 01 >− c Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( )( ) cbcbcba −−≥−+−=−−+=+ 11211111 Tương tự ( )( ) cab −−≥+ 1121 ; ( )( ) bac −−≥+ 1121 Suy ra ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 222 1118111 cbacba −−−≥+++ = ( )( )( ) cba −−− 1118 A = ( )( )( ) ( )( )( ) 8 111 111 ≥ −−− +++ cba cba (dấu “=” xảy ra ⇔ 3 1 111 ===⇔−=−=− cbacba ) Vậy min A = 8 (khi và chỉ khi 3 1 === cba ) Bài 17: Nếu 0 ≤ y thì B 0 ≤ (1) Nếu y > 0 thì: 5 32 5 108 5 33322 5 33322 1 yxyyyxxyyyxx yx =⋅⋅⋅⋅≥++++=+= Suy ra 3125 108 5 1 108 32 2 32 ≤⇒       ≤ yx yx (2) Vậy B 3125 108 ≤ (dấu “=” xảy ra ⇔ 5 3 ; 5 2 32 ==⇔= yx yx ) Từ (1) và (2) suy ra: max B = 3125 108 (khi và chỉ khi 5 2 = x ; 5 3 = y ) 4 . BÀI TẬP VỀ ĐẲNG THỨC CÔ-SI Bài 1: Cho x > 0 ; y > 0 và ayx 2 =+ (a > 0). Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A = yx 11 + Bài 2: Tìm. ++ x xx Bài 7: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức M = 3 346 + ++ x xx Bài 8: Cho x > 0, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức N = x x 2000 3 + Bài 9: Cho