Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) ; H là trực tâm của tam giác, M là điểm trên cung BC không chứa A.. a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hàn[r]
(1)GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 4
(Thời gian : 120 phút) Bài 1.
a) Tìm x biết x 12 18x 8 27 b) Chứng minh đẳng thức :
2 2
1
2
x x x
x x
x x x
với x > , x ≠ 1
Bài 2.
Cho hàm số y = ax2 y = – 2x + m có đồ thị (P) (d) trục số
a) Tìm a để (P) qua điểm A(1 ;
1
2), tìm m để (d) qua A.
b) Vẽ đồ thị (P) (d) với a m vừa tìm
c) Với a vừa tìm câu a), tìm m để (d) tiếp tuyến (P) Bài
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm (O) ; H trực tâm tam giác, M điểm cung BC không chứa A
a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành
b) Gọi N , E điểm đối xứng M qua đường thẳng AB, AC Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng
c) Xác định vị trí điểm M để NE có độ dài lớn Bài 4.
Chứng minh a + b + c = abc ≠
2 2 2 2 2
1 1
0
a b c c a b b c a
GIẢI Bài 1.
a) x 12 18x 8 27 2x 3 + 3 2 = 2x 2+ 3
2x( 3– 2) = 3( 3– 2) 2x =
3
x
b)
( 2)( 1) ( 2)( 1)
2 1
1
2 ( 1) ( 1)
x x x x
x x x x
x
x x x x x x
= x
x x =
2
x (đpcm) Bài 2.
Cho hàm số y = ax2 y = – 2x + m có đồ thị (P) (d) trục số
a) Tìm a để (P) qua điểm A(1 ;
1
2), tìm m để (d) qua A.
(P) qua A(1 ;
1
2)
1
2 = a.12 a =
2 y =
(2)(d) qua A(1 ;
1
2)
1
2 = – 2.1 + m m =
2 y = – 2x +
b) Vẽ đồ thị (P) (d) với a m vừa tìm Bảng giá trị (P) :
x -2 -1
y =
1
2x2 2
1
2 0
1
2 2
Bảng giá trị (d) :
x
y = – 2x +
5
5
1
Đồ thị (P) (d) :
f(x)=(1/2)x^2 f(x)=-2*x+5/2 x(t)=1 , y(t)=t x(t)=t , y(t)=1/2
-10 -8 -6 -4 -2 10 12
-2 10 12 14
x f(x)
(3)1
2x2 = – 2x + m x2 + 4x – 2m =
’ = + 2m
Để (d) tiếp xúc với (P) pt hồnh độ giao điểm phải có nghiệm kép Tức : + 2m = m = –
Vậy (d) tiếp tuyến (P) m = – Bài
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm (O) ; H trực tâm tam giác, M điểm cung BC không chứa A
a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành
b) Gọi N , E điểm đối xứng M qua đường thẳng AB, AC Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng
c) Xác định vị trí điểm M để NE có độ dài lớn Giải :
a) Ta có : BH AC CH AB nên để BHCM hình bình hành MC AC C MB AB B
Do AM đường kính đường trịn tâm (O) b) Ta có : E đối xứng M qua AC
EC AC EC = MC EC // BH EC = BH Vậy BHEC hình bình hành Chứng minh tương tự :
BNHC hình bình hành Suy : HE // BC HN // BC
Theo Tiên đề Euclide, qua H có Một đường thẳng song song với BC Hay nói khác : N, H, E thẳng hàng c) Theo cmt : BC =
1
2NE NE lớn BC lớn nhất
tức dây cung BC lớn BC đường kính tam giác ABC vng A nên trực tâm H trùng với A M điểm đối tâm A
N
K
E
M
L J
H
O A
(4)NE = 13.04 cm
N'E' = 13.91 cm
E' N'
R C'
N
K
E
M L
J H
O A
B C
B'
Bài 4.
Chứng minh a + b + c = abc ≠
2 2 2 2 2
1 1
0
a b c c a b b c a Ta có :
a + b = -c ; b + c = - a ; c + a = - b (a + b)2 = c2 a2 + b2 – c2 = – 2ab
(b + c)2 = a2 b2 + c2 – a2 = – 2bc
(c + a)2 = b2 c2 + a2 – b2 = – 2ca
Do :
2 2 2 2 2
1 1 1
2ab 2bc 2ca
a b c c a b b c a
= –
1
a b c
abc abc abc
=
1
a b c abc