Đề thi vào 10 chuyên Bình Định - đề số 5

Dựng hình chữ nhật MNPQ sao cho M, N là các điểm trên cạch BC, còn P, Q lần lượt là các điểm trên cạnh AC, AB.[r]

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chun Lê Q Đơn

Đề số 5

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Năm học 2007 - 2008

Thời gian làm 150 phút Ngày thi: 22/6/2007 Câu 1: (1,5 điểm).

Cho x > y xy = Chứng minh rằng:

2

2

x y

x y

 

 .

Câu 2: (3,5 điểm).

Giải phương trình sau:

a) x2 x 2x b) √4 x2+5 x+1 −2√x2− x +1=9 x −3

Câu 3: (2,0 điểm).

Chứng minh số thực x, y, a, b thỏa mãn điều kiện:

x y a b x4 y4 a4 b4

    

  



thì xnyn anbn với số nguyên dương n. Câu 4: (3,0 điểm).

Cho tam giác ABC vuông A Dựng hình chữ nhật MNPQ cho M, N điểm cạch BC, P, Q điểm cạnh AC, AB Gọi R1, R2 R3 theo thứ tự bán

kính đường tròn nội tiếp tam giác BQM, CPN AQP Chứng minh rằng:

a) Tam giác AQP đồng dạng với tam giác MBQ tam giác MBQ đồng dạng với tam giác NPC

b) Diện tích MNPQ lớn R1

+R2

=R3

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Mơn thi: TỐN (dành cho lớp chuyên Toán) -Câu 1: (1,5 điểm).

Với x > y xy = ta có:

 2

2 x y 2xy

x y

x y x y

 

 

  =

2

x y

x y

 

 (0,5 điểm).

Do x > y nên x – y > 0; áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x – y,

x y ta được:

x y

x y

 

  

2

2 x y 2

x y

  

 (đpcm). (1,0 điểm).

Câu 2: (3,5 điểm).

a) x2 x 2x 

2

(*)

(**)

x

x x x

x

x x x

 

 

  

 

 

  

   

 (0,25 điểm).

Ta có: (*)

0

2

2

x x

x

x x



 

 

  

 

   

  (0,5 điểm).

(**)

0

1

2

x x

x

x x x



 

 

   

 

     

  (0,5 điểm).

Vậy phương trình có hai nghiệm x 2 x 1 (0,25 điểm). b) Ta có √4 x2+5 x+1 −2√x2− x +1=9 x −3 (1)

 √4 x2

+5 x+1 −√4 x2− x+4=9 x − 3 (2) (0,25 điểm).

Điều kiện để phương trình có nghĩa: x –1, x −1

4 (0,25 điểm).

Đặt a = 4x2 5x1, b = √4 x2− x +4

, ( a 0, b 0)

Ta có a2 – b2 = 9x – 3 (0,25 điểm).

Kết hợp với (2) ta a – b = a2 – b2  (a – b)(a + b – 1) = 0 (0,25 điểm).

 Trường hợp a – b =  a = b 4x2 5x1 = √4 x2− x +4

 x =

3 (0,25 điểm).

 Trường hợp a + b – =  a + b = 1 Kết hợp với (2): a – b = 9x – 3

Ta suy 2a = 9x – hay 4 x2+5 x+1=81 x

2− x +1

 x(65x – 56) = 

x=0

¿

x=56

65 ¿ ¿ ¿ ¿

(0,5 điểm).

Thử lại ta thấy có x =

3 x = 56

65 nghiệm (1) (0,25

điểm).

Vậy phương trình cho có nghiệm x =

3 x = 56

65

Từ x4 + y4 + (x + y)4 = a4 + b4 + (a + b)4 ta có:

[(x + y)2 – 2xy]2 – 2x2y2 + (x + y)4 = [(a + b)2 – 2ab]2 – 2a2b2 + (a + b)4

 2(x + y)4 – 4(x + y)2 xy + 2x2y2 = 2(a + b)4 – 4(a + b)2 ab + 2a2b2

 2[(x + y)2 – xy]2 = 2[(a + b)2 – ab]2

 (x + y)2 – xy = (a + b)2 – ab (1) (0,5 điểm).

Do (x + y)2 – xy  (a + b)2 – ab  nên từ (1) giả thiết suy xy = ab.

Ta có hệ

x y a b xy ab

  

 



 (0,5 điểm).

Theo hệ thức Viét x, y nghiệm phương trình:

 

2 0 t a

t a b t ab

t b

 

     



 (0,5 điểm).

Vậy (x, y) hoán vị (a, b) nên dĩ nhiên xnynanbn,n Z+ (0,5 điểm).

Câu 4: (3 điểm).

a) Chứng minh được: Δ AQP ~ Δ MBQ (0,5

điểm).

Δ MBQ ~ Δ NPC (0,5

điểm).

b) Kẻ AH BC, từ câu ta có Δ AQP ~ Δ MBQ ~ Δ NPC Ký hiệu S diện tích, ta có :

SBQM

SAQP= R12

R3 ,

2 2

CPN AQP

S R

S R (1) (0,25 điểm).

Mặt khác Δ BQM ~ Δ BAH, Δ CPN ~ Δ CAH Nên SAQP

SABC

=AQ

2 AB2

BQ2 BA2=

SBQM SBAH

=CP CA2=

SCPN SCAH

=SBQM+SCPN

SABC

(2) (0,25 điểm). Ta lại có SMNPQ

SABC

=2 QM ×QP AH × BC =2

QM AH ×

QP BC=2

BQ AB ×

AQ

AB (3) (0,25 điểm).

Mà BQ

AB ×

AQ

AB ≤

1 4(

BQ

AB+

AQ AB)

2

=1

4 (4) (0,25 điểm).

Từ (3) (4) ta có SMNPQ≤1

2SABC (0,5 điểm).

Vậy SMNPQ lớn ⇔ AQ = BQ ⇔ SAQP = SBQM + SCPN (theo (2))

⇔ R1

2

R32+

R22

R32=1 (theo (1)) ⇔ R3

2 =R1

2 +R2

2

(đpcm) (0,5

điểm).