Mét ®êng th¼ng ®îc gäi lµ mét tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn nÕu nã chØ cã mét ®iÓm chung duy nhÊt víi ®êng trßn ®ã.. TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i tiÕp ®iÓm.[r]
(1)Phần Những kiến thức bản Dạng Sự xác định tính chất cuả đờng tròn A. Các kiến thức cần nhớ :
1 Định nghĩa : Tập hợp hay gọi quỹ tích điểm cách điểm O khoảng cho trớc một khoảng không đổi R > đợc gọi đờng trịn tâm O bán kính R Ta thờng kí hiệu (O ; R)
2 Hình tròn tập hợp điểm bên đờng trịn ác điểm đờng trịn đó 3 Một đờng trịn hồn tồn đợc xác định đờng kính Nếu AB đoạn thẳng cho
trớc đờng trịn đờng kính AB tập hợp tất điểm M cho AMB 900 Khi tam O sẽ trung điểm AB, cịn bán kính
AB R
2
4 Qua ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng ln vẽ đợc đờng trịn mà thơi Đờng trịn đó đợc gọi đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5 Đờng kính vng góc với dây cung chia dây cung làm hai phần Ng ợc lại, đờng kính đI qua trung điểm dây cung( khơng đI qua tâm ) cng góc với dây cung đó.
6 Trong đờng trịn, hai dây cung chúng cách tâm O Trong hai dây cung không nhau, dây cung lớn gn tõm hn.
B Bài toán ví dụ :
1 Cho tứ giác ABCD có C D 900 Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm AB, BD, DC, CA Chứng minh điểm M, N, P, Q nằm đờng tròn
Q N
P M
D C
A
B
2 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB; C điểm di động đờng trịn ; H hình chiếu C AB Trên OC lấy OM = OH
a Khi H thuộc OB M chạy đờng ? b Kéo dài BC đoạn CD = CB Điểm D chạy đờng ?
M
O D
A B
C
H
Dạng tiếp tuyến ca ng trũn
A Các kiến thức cần nhớ :
1 Một đờng thẳng đợc gọi tiếp tuyến đờng trịn có điểm chung duy nhất với đờng trịn Điểm đợc gọi tiếp điểm.
2 Tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính tiếp điểm Ngợc lại, đờng thẳng vng góc với bán kính giao điểm bán kính với đờng trịn tiếp tuyến đờng tròn
3 Hai tiếp tuyến đờng trịn xuất phát từ điểm đờng thẳng nối điểm với tâm với tâm đờng trịn phân giác góc tạo hai tiếp tuyến.
4 Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đợc gọi đờng trịn nội tiếp tam giác Tâm của đờng tròn nội tiếp giao ba đờng phân giác tam giác
B Bài toán ví dụ :
(2)tuyÕn cña (O’)
C
O
A B
D
O' Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đờng
tròn (O) Gọi D trung điểm AC; tiếp tuyến đờng tròn (O) A cắt tia BD E Tia CE cắt (O) điểm thứ hai F
a Chứng minh : đờng thẳng BC song song với tiếp tuyến A đờng tròn (O)
b Chứng minh tứ giác ABCE hình bình hành c Gọi I trung điểm CF G giao
tia BC OI So sánh góc BAC BGO I
G C
F D O
E
B
A
H
3 Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, AC dây cung Kẻ tiếp tuyến Ax kẻ đờng phân giác góc Cax cắt đờng trịn E cắt BC kéo dài D
a Chøng minh tam giác ABD cân OE // BD b Gọi I giao điểm AC BE Chứng minh DI vu«ng gãc víi AB
c Khi C di động nửa đờng trịn (O) D chạy đờng ?
x
I E
O D
A B
C
Dạng vị trí tơng đối hai đờng trịn
A C¸c kiÕn thøc cÇn nhí :
Giả sử hai đờng trịn (O;R) (O’;r) có R r d = OO’ khoảng cách hai tâm Khi vị trí tơng đối hai đờng trịn ứng với hệ thức liên hệ R r nh sau :
Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ
1 Hai đờng tròn cắt 2 R – r < d < R + r
2 Hai đờng tròn tiếp xúc : - Tiếp xúc
- TiÕp xóc ngoµi
1
d = R – r
3 Hai đờng trịn khơng giao - ngồi nhau
- §ùng nhau
0
d > R + r d < R + r B Chó ý :
Nếu hai đờng trịn cắt đờng nối tâm vng góc với dây cung chung chia đôi dây cung
B A
O O'
(3)Cho hai đờng tròn (O) (O’) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC(B, C tiếp điểm) Gọi M trung điểm BC Chứng minh :
a BC tiếp tuyến đờng trịn đờng kính OO’ b Tam giác ABC vng
c AM lµ tiÕp tun chung cđa (O) (O) d OM vuông góc với OM
C
A M
O O'
B
Dạng góc nội tiếp
A Các kiến thøc cÇn nhí :
1 Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đờng trịn hai cạnh cắt đờng trịn đó. 2 Trong đờng trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn.
- Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung đờng trịn nhau - Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn góc vng
- Trong đờng trịn, góc nội tiếp khơng q 900 có số đo nửa số đo góc tâm cùng
ch¾n mét cung.
B Chó ý :
Trong đờng trịn hai dây cung khơng cắt AB CD song song hai cung AC BD
AC // CD AC BD
C D
A B
C. Bài toán ví dụ :
1 Cho đờng tròn tâm O điểm M ngồi đ-ờng trịn MA, MB hai tiếp tuyến đđ-ờng tròn (O) C điểm cung AB đờng tròn tâm M bán kính MA ( cung AB nằm đờng trịn (O)) Các tia AC, BC cắt đờng tròn (O) P, Q (
PA, QB) Chøng minh PQ ®i qua O.
B A
O
M C
Q
P
2 Cho nửa đờng trịn tâm (O) đờng kính AB, K điểm cung AB Trên cung KB lấy điểm M (M khác K B) Trên tia AM lấy điểm N cho AN = BM
a Chøng minh AKNBKM
b Chøng minh tam giác KMN vuông cân
c Kẻ dây BP song song với KM Tứ giác ANKP hình ?
P
N K
O
A B
(4)3 Cho đờng tròn (O) cát tuyến CAB Từ điểm E cung lớn AB kẻ đờng kính EF, cắt AB D CE cắt (O) điểm thứ hai I Các dây AB FI cắt K Chứng minh :
a Bốn điểm E, D, K, I thuộc đờng tròn b CI.CE = CK.CD
c IC phân giác góc đỉnh I tam giác AIB
D A K I
F E
O
C B
4 Tam giác ABC vuông A M điểm AC đờng trịn đờng kính CM cắt BM BC lần lợt D N; AD cắt đờng trịn nói S Chứng minh :
a Bốn điểm A, B, C, D thuộc đờng tròn b CA phân giác góc SCB
c Các đờng thẳng AB, MN, CD đồng quy
S
N
O
B C
M
D A
D¹ng gãc t¹o tia tiếp tuyến dây cung
A Các kiến thức cần nhớ :
1 Tia tip tuyến Ax dây AB đờng tròn (O) tạo nên góc gọi góc tạo tia tiếp tuyến Ax và dây cung AB.
2 Gãc t¹o tia tiếp tuyến dây cung qua tiÕp ®iĨm cã sè ®o b»ng nưa sè ®o cung bị chắn.
B Bài toán ví dụ :
1 Cho đờng tròn (O) cà đờng thẳng d ngồi đờng trịn A hình chiếu O d Kẻ cát tuyến ABC hai tiếp tuyến Bx, Cy cắt d lần lợt D,E Chứng minh AE = AD
D
E O
B
A
C
2 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax By vuông góc với AB Trên Ax lấy điểm I; tia vuông góc với CI C cắt By K Đờng tròn đ-ờng kính IC cắt IK P Chứng minh :
a Bốn điểm C, P, K, B thuộc đờng tròn b AI.BK = AC.CB
c Tam giác APB vuông
y x
P
K
A C B
(5)3 Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB M điểm cung AB Kẻ MD vng góc với AB Qua điểm C cung MB kẻ tiếp tuyến Cx cắt DM I, DM cắt AC E cắt BC kéo dài F chứng minh :
a Các tứ giác BCED ADCF nội tiếp đợc đờng tròn
b MEC ABC
c I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác FEC
x
E I
D O
A B
M
C F
Dạng góc có đỉnh bên hay bên ngồi đờng trịn
A C¸c kiÕn thøc cÇn nhí :
1 Góc có đỉnh bên đờng trịn có số đo nửa tổng số đo hai cung bị chắn hai cạnh của góc tia đối hai cạnh ấy.
2 Góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn có số đo nửa hiệu số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc đó.
A C
D P
A
C
B
D
B
1 AIB sdAB sdCD
2
BPD 1sdBD sdAC
2
B Bµi to¸n vÝ dơ :
Từ điểm M ngồi đờng trịn (O) kẻ cát tuyến MBA hai tiếp tuyến MC, MD Phân giác góc ACB cắt AB E chứng minh :
a. MC = ME
b.DE phân giác góc ADB.
E B
M
C
D
A
D¹ng quü tÝch cung chứa góc
A Các kiến thức cần nhớ :
1 Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dới góc a khơng đổi hai cung tròn đối xứng qua AB, gọi cung chứa góc a dựng đoạn thẳng AB.
Đặc biệt cung chứa góc 900 đờng trịn đờng kính AB
2 Dùng t©m O cđa cung chøa góc a dựng đoạn thẳng AB :
- Dựng đờng trung trực d AB - Dựng tia Ax tạo với AB góc a - Sau đo dựng Ax’ vng góc với Ax O giao điểm Ax’ d
d x' x
a O
(6)Cho nửa đờng tròn đờng kính AB, K điểm cung AB, M điểm di động cung BK Trên AM lấy điểm N cho AN = BM Chứng minh : a Tam giác MNK vuông cân
b Đờng thẳng vng góc với AM N ln qua điểm cố định Từ suy N chạy cung tròn cố định
x I
K
A B
M
N
Dạng tứ giác nội tip mt ng trũn
A Các kiến thức cần nhí :
1 tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng tròn đợc gọi tứ giác nội tiếp đờng trịn đó, cịn đờng trịn đợc gọi ngoại tiếp tứ giác
2 Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện hai vuông
Ngợc lại, tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện hai vng tứ giác nội tiếp đợc
B Bài toán ví dụ :
1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) S điểm cung AB SC SD cắt AB E F
a Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đợc b Chứng minh SO phân giác góc ASB
c DE vµ CF kéo dài cắt (O) lần lợt M N Chøng minh SO vu«ng gãc víi MN
E F
O
A
B C
D
S
N M
2 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Đờng trịn đờng kính BC cắt AB AC lần lợt E F, BF cắt CE H Gọi K điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh :
a K nằm đờng trịn (O) b EF vng góc với OA
x
F E
O' H O
A
B C
K
3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) Gọi điểm cung AB, BC, CD, DA lần lợt M, N, P, Q
a Chứng minh MP NQ vng góc với b Gọi giao điểm DC với PA, PB theo thứ tự E, F chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đợc
F E
I Q
M
N P
O
A B
C D
(7)A Ph ơng pháp: Có hai phơng pháp th ờng dùng để chứng minh tứ giác nội tiếp : - Chứng minh hai góc đối diện có tổng 1800.
- Chứng minh có hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh cịn lại dới góc. B Các tốn :
1 Hai đờng tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Gọi EF tiếp tuyến chung chúng AB cắt EF I
a Chứng minh hai tam giác IEA IBE đồng dạng b Chứng minh I trung điểm EF
c Gọi C điểm đối xứng B qua I Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp đợc
I B A
O
O'
E C
F
2 Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB đ-ờng thẳng d vng góc với AB H M điểm di động nửa đờng tròn Giao điểm d với MA, MB lần lợt C, D
a Chøng minh HC.HD = HA.HB
b Gọi B’ điểm đối xứng B qua H Chứng minh tứ giác ACDB’ nội tiếp
c Khi M di dộng đờng trịn (O) tâm I đờng trịn ngoại tiếm tam giác ADC chạy đờng ?
d
B'
C
O
A B
M
H D
3 Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A B Các tiếp tuyến A (O) (O’) cắt (O’) (O) lần lợt E F Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF
a Chøng minh tø gi¸c OAOI hình bình hành OO// BI
b Chứng minh bốn điểm O, B, I, O’ thuộc đờng trịn
c KÐo dµi AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tø gi¸c AECF néi tiÕp
C
F
E B
A
O O'
I
Chuyên đề chứng minh MộT ĐƯấng THẳNG tiếp tuyến Của đờng tròn
A Ph ơng pháp: Có hai phơng pháp th ờng dùng để chứng minh đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn :
- Chứng minh đờng thẳng cho vng góc với bán kính đờng trịn đầu mút nó.
- Để chứng minh d tiếp tuyến đờng trịn tiếp điểm A ta chứng minh góc tạo tia Ad với một dây cung AB góc nội tiếp chắn cung AB.
B Các toán :
Chuyờn đề chứng minh hai đờng thẳng song song vng góc
A Ph ơng pháp: Dựa vào dấu hiệu song song, vng góc để chứng minh B Các toán :
Chuyên đề chứng minh ba điểm thẳng hàng
A Ph ơng pháp: Có ba phơng pháp th ờng dùng để chứng minh ba điểm thẳng hàng :
(8)- Chứng minh giao điểm hai đờng thẳng nằm đờng thẳng thứ ba. - Chứng minh đờng qua điểm cố định.
( phơng pháp đợc vận dụng kĩ khác nhau.) B Các toán :
Chuyên đề chứng minh điểm cố định
A Ph ¬ng ph¸p:
- Di chuyển điểm di động đến vị trí đặc biệt để phán đoán điểm cố định chứng minh điều phán đốn.
- Để xác định vị trí đặc biệt yếu tố để hình có dạng đặc biệt ta giả sử hình đặc biệt đó hình thành sau tìm mối liên hệ với hình cố định để tìm ràng buộc yếu tố cần tìm. B Các tốn :
Chuyên đề toán cực trị
A Ph ơng pháp: Chứng minh đoạn thẳng lớn hay nhỏ thờng dựa vào kết luận sau : - Đoạn thẳng nối liền hai điểm nhỏ đờng gấp khúc nối hai điểm ( BĐT tam giác ) - Nếu cho trớc điểm đờng thẳng đờng vng góc ngắn đờng xiên kẻ từ điểm tới đờng thẳng.
- Trong đờng trịn, đờng kính có độ dài lớn dây cung khác. B Các toán :
Chuyên đề quỹ tích
A Ph ơng pháp:
1 Lời giải toán quỹ tÝch gåm hai phÇn :
Phần thuận : Chứng minh điểm M có tính chất cho thuộc hình H. Phần đảo : Chứng minh điểm hình H có tính chất cho.
Đơi phần thuận ta tìm đợc hình H’ chứa hình H Khi ta cần dựa vào giả thiết để giới hạn hình H’ thành hình H tiến hành phần đảo(phần thờng đợc gọi phần “giới hạn”).
2 Để chứng minh quỹ tích điểm M đờng trịn ta thờng dùng hai cách : - Chứng minh điểm M cách điểm cố định khoảng không đổi.
(9)1 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB hai tiếp tuyến Ax, By Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn C ( khác A B ) cát Ax, By lần l-ợt E F chứng minh :
a EO vu«ng gãc víi OF
b Tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB c Đờng tròn ngoại tiếp tam giác EOF tiếp xúc với AB
2 Cho ABC cân C, I trung điểm AB Đ-ờng tròn (O) tiếp xúc với AB A cắt CI H a Chứng minh H trực tâm tam giác ABC
b Gi B’ điểm đối xứng với B qua AC Chứng minh B’ thuộc đờng tròn (O)
c Chứng minh điều ngợc lại H trực tâm tam giác cân ABC đờng trịn ngoại tiếp tam giác AHC tiếp xúc với AB
3 Cho nửa đờng trịn đờng kính AB C, D hai điểm AC AD cắt tiếp tuyến Bx nửa đờng tròn lần lợt E F
a Chứng minh ABD AFB, ABC AEB. b Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đợc
c Gọi I trung điểm FB, chứng minh DI tiếp tuyến nửa đờng tròn