Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm số dư trong phép chia: Các dạng thường gặp: 1 Chia một số có nhiều hơn 10 chữ số cho một số có ít hơn 10 chữ số Phương pháp: Chia để trị divide and conquer chặt số có hơn 10 chữ số t[r]
(1)aI.CÁC BÀI TOÁN VỀ : “ PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH ” Bài 1: Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! Giải: Vì n n! = (n + – 1).n! = (n + 1)! – n! nên: S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + + (17! – 16!) S = 17! – 1! Không thể tính 17! máy tính vì 17! Là số có nhiều 10 chữ số (tràn màn hình) Nên ta tính theo cách sau: Ta biểu diễn S dạng: a.10n + b với a, b phù hợp để thực phép tính, máy không bị tràn, cho kết chính xác Ta có: 17! = 13! 14 15 16 17 = 227 020 800 57 120 Lại có: 13! = 227 020 800 = 6227 106 + 208 102 nên S = (6227 106 + 208 102) 5712 10 – = 35 568 624 107 + 188 096 103 – = 355 687 428 096 000 – = 355 687 428 095 999 Bài 2: Tính kết đúng các tích sau: a) M = 2222255555 2222266666 b) N = 20032003 20042004 Giải: a) Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666 Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC Tính trên máy: A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630 Tính trên giấy: A 1010 8 0 0 0 0 0 AB.105 0 0 0 AC.10 8 0 0 BC M 4 4 9 b) Đặt X = 2003, Y = 2004 Ta có: N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY Tính XY, 2XY trên máy, tính N trên giấy câu a) Kết quả: M = 938 444 443 209 829 630 N = 401 481 484 254 012 Bài 3: Cho đa thức Q(x) = (3x2 + 2x – )64 Tính tổng các hệ số đa thức chính xác đến đơn vị Giải Tổng các hệ số đa thức Q(x) chính là giá trị đa thức x = Gọi tổng các hệ số đa thức là A, ta có: A = Q(1) = (3 + – 7)64 = 264 (2) Ta có 264 = (232)2 = (4294967296)2 Đặt X = 42949; Y = 67296 Khi đó A = (X 105 + Y)2 = X2.1010 + 2.X.Y.105 + Y2 Lập bảng tính trên giấy bài ĐS: A = 18 446 744 073 709 551 616 Bài tập tương tự: Tính chính xác các phép tính sau: a) A = 20! b) 13032006.13032007 ĐS: 52 293 416 042 c) B = 5555566666 6666677777 d) C = 20072007 20082008 e) 10384713 ĐS: 119 909 991 289 361 111 f) 20122003 II TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN a) Số bị chia là số bình thường có số chữ số bé 10 chữ số: Số bị chia = số chia thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b) Suy r = a – b q Ví dụ: Tìm số dư các phép chia sau: 1) 9124565217 cho 123456 ĐS: 55713 2) 987896854 cho 698521 ĐS: 188160 b) Số bị chia là số bình thường có số chữ số lớn 10 chữ số: Phương pháp: Tìm số dư A chia cho B ( A là số có nhiều 10 chữ số) - Cắt thành nhóm, nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái) Tìm số dư phần đầu chia cho B - Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ chữ số) tìm số dư lần hai Nếu còn tính liên tiếp Ví dụ: Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567 Ta tìm số dư phép chia 234567890 cho 4567: Được kết số dư là : 2203 Tìm tiếp số dư phép chia 22031234 cho 4567 Kết số dư cuối cùng là 26 Bài tập: Tìm số dư các phép chia: a) 983637955 cho 9604325 ĐS: 3996805 b) 903566896235 cho 37869 ĐS: 21596 c) 1234567890987654321 : 123456 ĐS: 8817 c) Số bị chia cho dạng lũy thừa quá lớn Phương pháp: Dùng kiến thức đồng dư để tìm số dư * Phép đồng dư: + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a b(mod c) + Một số tính chất: Với a, b, c thuộc Z+ a a (mod m) a b(mod m) b a(mod m) (3) a b(mod m); b c (mod m) a c(mod m) a b(mod m); c d (mod m) a c b d (mod m) a b(mod m); c d (mod m) ac bd (mod m) a b(mod m) a n b n (mod m) Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 126 cho 19 Giải: 12 144 11(mod19) 126 122 113 1(mod19) Vậy số dư phép chia 126 cho 19 là Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 2004376 cho 1975 Giải: Biết 376 = 62 + Ta có: 20042 841(mod1975) 20044 8412 231(mod1975) 200412 2313 416(mod1975) 200448 4164 536(mod1975) Vậy 200460 416.536 1776(mod1975) 200462 1776.841 516(mod1975) 200462.3 5133 1171(mod1975) 200462.6 11712 591(mod1975) 200462.64 591.231 246(mod1975) Kết quả: Số dư phép chia 2004376 cho 1975 là 246 Bài tập thực hành: Tìm số dư phép chia: a) 138 cho 27 ĐS: 25 14 b) 25 cho 65 ĐS: 40 38 c) 1978 cho 3878 ĐS: 744 d) 2005 cho 2007 ĐS: 1495 15 e) cho 2001 ĐS: 1486 III TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM CỦA MỘT LUỸ THỪA: Phương pháp: - Tìm chữ số hàng đơn vị thì tìm đồng dư mod 10 - Tìm chữ số hàng trăm thì tìm đồng dư mod 100 chọn chữ số hàng chục - Tìm chữ số hàng trăm thì tìm đồng dư mod 1000 chọn chữ số hàng trăm Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị số 172002 Giải: (4) 17 9(mod10) 17 2000 17 1000 91000 (mod10) 92 1(mod10) 91000 1(mod10) 17 2000 1(mod10) 2000 Vậy 17 17 1.9(mod10) Chữ số tận cùng 172002 là Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm số 232005 Giải 2005 + Tìm chữ số hàng chục số 23 231 23(mod100) 232 29(mod100) 233 67(mod100) 234 41(mod100) Do đó: 2320 234 415 01(mod100) 232000 01100 01(mod100) 232005 231.234.232000 23.41.01 43(mod100) Vậy chữ số hàng chục số 232005 là (hai chữ số tận cùng số 232005 là 43) + Tìm chữ số hàng trăm số 232005 231 023(mod1000) 234 841(mod1000) 235 343(mod1000) 2320 3434 201(mod1000) 232000 201100 (mod1000) 2015 001(mod1000) 201100 001(mod1000) 232000 001(mod1000) 232005 231.234.232000 023.841.001 343(mod1000) Vậy chữ số hàng trăm số 232005 là số (ba chữ số tận cùng số 232005 là số 343) Bài 3: Tìm chữ số hàng đơn vị số A = 1032006 Giải 103 3(mod10) 1032 9(mod10) 1034 1(mod10) 1032006 1032004.1032 1034 501 .1032 1.9 9(mod10) Bài 4: Tìm chữ số tận cùng 72005 Giải (5) Có A1 2005 501 .7 A1 501 .7 B1.7 C Vậy chữ số tận cùng 72005 là Bài 5: Tìm chữ số hàng trăm P = 292007 Giải 29 029(mod1000) 292 841(mod1000) 294 281(mod1000) 298 961(mod1000) 2910 201(mod1000) 2940 801(mod1000) 2950 001(mod1000) 292007 2950 40 .297 2950 40 .29.292.294 001.841.281 309(mod1000) Vậy chữ số hàng trăm 292007 là IV TÌM BCNN, ƯCLN Phương pháp: Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số A a tối giản B b Tá áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN sau: + ƯCLN (A; B) = A : a + BCNN (A; B) = A b ƯCLN(A; B; C) = ƯCLN[ƯCLN(A; B); C] BCNN( A; B; C) = BCNN[BCNN(A; B); C] Ví dụ 1: Tìm ƯCLN và BCNN 2419580247 và 3802197531 2419580247 HD: Ghi vào màn hình: 3802197531 và ấn =, màn hình 11 ƯCLN: 2419580247 : = 345654321 BCNN: 2419580247 11 = 2.661538272 1010 (tràn màn hình) Cách tính đúng: Đưa trỏ lên dòng biểu thức xoá số để còn 419580247 11 Kết quả: BCNN: 4615382717 + 2.109 11 = 26615382717 Ví dụ 2: Tìm ƯCLN 40096920; 9474372 và 51135438 Giải: Ấn 9474372 40096920 = ta : 6987 29570 ƯCLN 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356 Ta đã biết ƯCLN(a; b; c) = ƯCLN(ƯCLN(a ; b); c) Do đó cần tìm ƯCLN(1356 ; 51135438) Thực trên ta tìm được: ƯCLN 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678 Bài tập: Cho số 1939938; 68102034; 510510 a) Hãy tìm ƯCLN 1939938; 68102034 ĐS: 102102 b) Hãy tìm BCNN 68102034; 510510 ĐS: 340510170 (6) c) Gọi B là BCNN 1939938 và 68102034 Tính giá trị đúng B2 V ĐỔI SỐ THẬP VÔ HẠN TUẦN HOÀN RA PHÂN SỐ A, b1b2 bm (c1c2 cn ) A, b1b2 bm Tổng quát: c1c2 cn 99 00 n m 1 0, (1); 0,(01); 0, (001) 99 999 Ghi nhớ: Ví dụ 1: Phân số nào sinh số thập phân tuần hoàn sau: a) 0,(123) b) 7,(37) c) 5,34(12) Giải: a) Cách 1: 123 41 123 999 333 Ta có 0,(123) = 0,(001).123 = 999 Cách 2: Đặt a = 0,(123) 123 41 Ta có 1000a = 123,(123) Suy 999a = 123 Vậy a = 999 333 Các câu b,c (tự giải) Ví dụ 2: Phân số nào đã sinh số thập phân tuần hoàn 3,15(321) Giải: Đặt 3,15(321) = a Hay 100.000 a = 315321,(321) (1) 100 a = 315,(321) (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006 315006 52501 Vậy a=999000 =16650 Bài 3: Tính A 2 0,19981998 0, 019981998 0, 0019981998 Giải Đặt 0,0019981998 = a Ta có: 1 A 2 100a 10a a 2.111 A 100a 1998 Trong đó : 100a = 0,19981998 = 0,(0001) 1998 = 9999 2.111.9999 1111 Vậy A = 1998 223 223 23 A 0, (2007) 0, 0(2007) 0,00(2007) Bài 4: Cho Chứng tỏ A là số tự nhiên Tìm A (7) Giải Đặt A1 =0,(2007) = 0,20072007… 10000A1 = 2007,(2007) = 2007 + A1 9999A1 = 2007 A1 2007 9999 1 0, (2007) A1 10 Đặt A2 = 0,0(2007) = 10 1 0, (2007) A1 100 A3 = 0,00(2007) = 100 1 A 223 A1 A2 A3 9999 99990 999900 223 2007 2007 2007 111 223.9999 123321 2007 Vậy A = 123321 nên A là số tự nhiên A 2 0, (1998) 0, 0(1998) 0, 00(1998) Bài 5: Cho Số nào sau đây là ước nguyên tố số đã cho 2, 3, 5, 7, 11 Giải bài tìm A = 1111 = 11.101 Suy các số đã cho thì 11 là ước nguyên tố số A VI TÍNH SỐ LẺ THẬP PHÂN THỨ N SAU DẤU PHẨY Ví dụ 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 phép chia 17 : 13 Giải: Bước 1: + Thực phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực phép tính làm tròn và hiển thị kết trên màn hình) Ta lấy chữ số đầu tiên hàng thập phân là: 3076923 + Lấy 1,3076923 13 = 16,9999999 17 - 16,9999999 = 0,0000001 Vậy 17 = 1,3076923 13 + 0.0000001 (tại không ghi số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn Không lấy số không vì 17 = 1,30769230 13 + 0,0000001= 1,3076923 13 + 0,0000001 Bước 2: + lấy 1: 13 = 0,07692307692 11 chữ số hàng thập phân là: 07692307692 Vậy ta đã tìm 18 chữ số đầu tiên hàng thập phân sau dấu phẩy là: 307692307692307692 Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm chữ số Ta có 105 = 6.17 + ( 105 3(mod 6) ) (8) Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba chu kỳ Đó chính là số Ví dụ 2: Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy phép chia 250000 cho 19 Giải: 250000 17 13157 19 Vậy cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu Ta có 19 phẩy phép chia 17 : 19 Bước 1: Ấn 17 : 19 = 0,8947368421 Ta chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842 + Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 10-9 Bước 2: Lấy : 19 = 0,1052631579 Chín số hàng thập phân là: 105263157 + Lấy – 0,105263157 * 19 = 1,7 10-8 = 17 10-9 Bước 3: Lấy 17 : 19 = 0,8947368421 Chín số hàng thập phân là + Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 10-9 Bước 4: Lấy : 19 = 0,1052631579 Chín số hàng thập phân là: 105263157 Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 = 0,(894736842105263157) Chu kỳ gồm 18 chữ số 133 1(mod18) 132007 133 669 1669 (mod18) Ta có Kết số dư là 1, suy số cần tìm là sồ đứng vị trí đầu tiên chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân Kết quả: số Bài tập: Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy chia: a) chia cho 49 ĐS: chữ số 4(chữ số thứ 33 chu kì 42 chữ số) b) 10 chia cho 23 ĐS: chữ số 8(chữ số thứ chu kì 22 chữ số) VII CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Một số kiến thức cần nhớ: Định lý Bezout Số dư phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a) Hệ quả: Nếu a là nghiệm f(x) thì f(x) chia hết cho x – a Sơ đồ Hor nơ Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để tìm kết phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a Ví dụ: (9) Thực phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – cách dùng sơ đồ Hor nơ Bước 1: Đặt các hệ số đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột dòng trên -5 -4 a=2 Bước 2: Trong cột để trống dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư - Số thứ dòng = số tương ứng dòng trên - Kể từ cột thứ hai, số dòng xác định cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước cộng với số cùng cột dòng trên a=2 -5 -4 -3 Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + * Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r Theo sơ đồ Hor nơ ta có: a0 a b0 a1 b1 a2 b2 a0 ab0 + a1 ab1 + a2 a3 r ab2 + a3 Bài 1: Tìm số dư các phép chia sau: a) x3 – 9x2 – 35x + cho x – 12 b) x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617 c) Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + x 6, 723x 1,857 x 6, 458 x 4,319 x 2,318 d) e) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 + Tính P(2 ) + Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + Bài 2: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25 Tính P(6), P(7), P(8), P(9) Giải: 2 Ta có P(1) =1 = ; P(2) = = ; P(3) = = 32; P(4) = 16 = 42; P(5) = 25 = 52 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2 Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = Suy 1; 2; 3; 4; là nghiệm đa thức Q(x) Vì hệ số x5 nên Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62 (10) Hay P(6) = 5! + 62 = 156 Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72 Hay P(7) = 6! + 72 = 769 Tương tự hãy tính P(8), P(9) Bài 3: Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = 5, Q(2) = 7, Q(3) = 9, Q(4) = 11 Tính các giá trị Q(10), Q(11), Q(12), Q(13) Hướng dẫn Q(1) =5 = 2.1 + 3; Q(2) = = 2.2 + 3; Q(3) = = 2.3 + 3; Q(4) = 11 = 2.4 + Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3) Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 2x + Bài 4: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) Hướng dẫn P(1) = = 2.12 +1; P(2) = = 2.22 + 1; P(3) = 19 = 2.32 + 1; P(4) = 33 = 2.42 + 1; P(5) = 51 = 2.52 + Xét đa thức Q(x) = P(x) – (2x2 + 1) P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 2x2 + Bài 5: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Có P(1) = 0,5; P(2) = 2; P(3) = 4,5; P(4) = Tính P(2010); P(2011) Hướng dẫn 12 22 32 42 P(1) = 0,5 = ; P(2) = = ; P(3) = 4,5 = ; P(4) = = ; x2 P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + Bài 6: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50 Hãy tính P(5), P(6), P(7), P(8) Hướng dẫn P(1)=5 = 3.12 +2; P(2)=14 = 3.22 + 2; P(3)=29 = 3.32 + 2; P(4)= 50 = 3.42 + Xét đa thức Q(x) = P(x) – (3x2 + 2) P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 3x2 + Bài 7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = ; P(3) = 18 ; P(4) = 48 Tính P(2010) Hướng dẫn P(1) = = 13 – 12; P(2) = = 23 – 22 ; P(3) =18 = 33 - 32; P(4) = 48= 43 – 42 Xét đa thức Q(x) = P(x) – (x3 – x2) P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + x3 - x2 Bài 8: Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m a) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2010 b) Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 c) P(x) có nghiệm x = Tìm m (11) Hướng dẫn: a) Thay m = 2010 vào tính P(2,5) b) Giải phương trình P(2,5) = với ẩn là m c) Giải phương trình P(2) = với ẩn là m x Bài 9: Cho P(x) = x3 x a) Tìm biểu thức thương Q(x) chia P(x) cho x – b) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – chính xác đến chữ số thập phân Bài 10: Tìm số dư phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652 Tìm hệ số x2 đa thức thương phép chia trên Bài 11: Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – ta thương là đa thức Q(x) có bậc là Hãy tìm hệ số x2 Q(x) Bài 12: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b) Với m tìm câu a ), hãy tìm số dư r chia P(x) cho 3x – và phân tích P(x) thành tích các thừa số bậc c) Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – d) Với n tìm trên, hãy phân tích Q(x) tích các thừa số bậc Hướng dẫn: a) Giải phương trình P(-3/2) = với ẩn là m Tìm m = 12 b) Thay m = 12 vào tính P(2/3) Kết r = Suy với m = 12 thì P(x) chia hết cho 2x + và 3x – Do đó P(x) = (2x + 3)(3x – 2)(ax + b) với a khác Từ đó tìm ax + b = x – Vậy P(x) = (x – 2)(2x + 3)(3x – 2) c) Theo b) thì P(x) chia hết cho x – m = 12 Q(x) chia hết cho x – Q(2) = 0, từ đó tìm n d) P(x) = (x – 2)(x – 3)(2x + 5) Bài 13: Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết: f ( 15 ) 89 ( 13 ) = 108 = 500 Tính giá trị đúng và gần đúng f Hướng dẫn: Giải hệ với ẩn a, b, c 1 1 a b c 36 19 1 a b c 40 4 17 1 25 a b c 100 167 a 70 36 b 175 157 c 700 ; f −2 ( ) ( 23 ) = −5 ; f (12) f ( x) x3 1087 167 36 157 f 0, x x 70 175 700 Suy 2700 Ta có Bài 14: Xác định các hệ số a, b, c đa thức: P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia cho (x – 3) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là (Kết lấy với hai chữ số hàng thập phân) Hướng dẫn Giải hệ 133 a 132 b 13c 2007 1 3 a b 3c 2007 2 143 a 142 b 14c 2007 3 Kết quả: a 3, 69 b 110, 62 c 968, 28 VIII MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Bài 1: an3 an an3 Cho dãy số a1 = 3; an + = a) Lập quy trình bấm phím tính an + b) Tính an với n = 2, 3, 4, , 10 Bài 2: xn3 1 xn 1 Cho dãy số x1 = ; a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + b) Tính x30 ; x31 ; x32 xn 1 xn xn (n 1) xn 1 xn2 xn2 (n 1) Bài 3: Cho dãy số a) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = và tính x100 b) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = -2 và tính x100 Bài 4: Cho dãy số a) Cho x1 = 0,25 Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị xn + b) Tính x100 n Un 5 7 5 7 n Bài 5: Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; a) Tính số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4 b) Chứng minh Un + = 10Un + – 18Un c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + theo Un + và Un HD giải: a) Thay n = 0; 1; 2; 3; vào công thức ta U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640 (13) Tính nhanh MTBT: ghi vào màn hình công thức 5 X 5 7 X :2 Sau đó bấm phím CALC nhập x và bấm phím “=” , đọc kết b) Chứng minh: Giả sử Un + = aUn + + bUn + c Thay n = 0; 1; và công thức ta hệ phương trình: U aU1 bU c U aU bU1 c U aU bU c a c 10 10a b c 82 82 a 10b c 640 Giải hệ này ta a = 10, b = -18, c = c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + trên máy Casio 570MS , Casio 570ES Cách 1: Đưa U1 vào A, tính U2 đưa U2 vào B SHIFT STO A x 10 – 18 x SHIFT STO B, lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + với n = 2, 3, x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U3) x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U4) Cách 2: SHIFT STO A SHIFT STO B SHIFT STO D D = D + 1: A = 10B – 18A: D = D + 1: B = 10A – 18B Sau đó bấm dấu “ =” và nhìn lên màn hình đọc kết tương ứng với các biến đếm( D = n, đọc Un) n n 3 3 U n 2 Bài 6: Cho dãy số với n = 1; 2; 3; a) Tính số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5 b) Lập công thức truy hồi tính Un + theo Un và Un – c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + trên máy Casio Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức 13 − √ ¿n ¿ 13+ √ ¿n − ¿ với n = , , , k , ¿ U n=¿ a) Tính U ,U , U ,U ,U , U , U ,U b) Lập công thức truy hồi tính U n+ theo U n và U n −1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+ theo U n và U n −1 (14) Bài 8: U Cho dãy số n tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau tích hai số trước cộng với 1, U0 = U1 = a) Lập quy trình tính un b) Tính các giá trị Un với n = 1; 2; 3; ; c) Có hay không số hạng dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ Nếu không hãy chứng minh Hướng dẫn giải: a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + = Un + Un + 1, (n =1; 2; ) Quy trình tính Un trên máy tính Casio 500MS trở lên: SHIFT STO A x + SIHFT STO B Lặp lại dãy phím x ALPHA A + SHIFT STO A x ALPHA B + SHIFT STO B Cách khác: SHIFT STO A SHIFT STO B SHIFT STO D D = D + 1: A = B.A + 1: D = D + 1: B = A.B + Sau đó bấm dấu “ =” và nhìn lên màn hình đọc kết tương ứng với các biến đếm.( D = n, đọc Un) b) Ta có các giá trị Un với n = 1; 2; 3; ; bảng sau: U0 = U5 = 22 U1 = U6 = 155 U2 = U3 = U7 = 3411 U8 528706 U4 = = U9 = 1803416167 Bài 9: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + = 3Un + Un – (n 2) a) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio b) Tính các giá trị Un với n = 18, 19, 20 Bài 11: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + = Un + Un – (n 2) c) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio d) Tính các giá trị Un với n = 12, 48, 49, 50 ĐS câu b) U12 = 144, U48 = 4807526976, U49 = 7778742049 , U50 = 12586269025 Bài 12: Cho dãy số thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở tính theo công thức Un + = 2Un + Un - (n 2) a) Tính giá trị U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8 (15) b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị Un với n = 22; 23, 24, 25 IX MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LIÊN PHÂN SỐ Bài 1: 12 A 30 10 Cho A ao 2003 Viết lại a1 an an a , a , , an , an , , , Viết kết theo thứ tự Giải: 12 A 30 10 Ta có 31 2003 30 12.2003 24036 4001 30 30 31 20035 20035 20035 20035 4001 30 5 4001 Tiếp tục tính trên, cuối cùng ta được: A 31 5 133 2 1 2 1 a , a , , a , a 31, 5,133, 2,1, 2,1, n n Viết kết theo ký hiệu liên phân số Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau và biểu diễn kết dạng phân số: A 2 31 3 B 7 4 ; 10 6 C 3 5 ; 2003 5 7 Đáp số: A) 2108/157 ; B) 1300/931 ; C) 783173/1315 1315 Riêng câu C ta làm sau: Khi tính đến 2003: 391 Nếu tiếp tục nhấn x 2003 = thì số thập phân vì vượt quá 10 chữ số Vì ta làm sau: 391 x 2003 = (kết 783173) C = 783173/1315 Bài 3: (16) A 1 1 a) Tính 6 8 12 1 4 7 5 c) Bài 4: a) Viết quy trình tính: 6 5 7 4 1 8 3 D 9 A 17 3 b) 2 3 1 1 1 3 1 3 1 C 1 3 1 B 3 3 2 d) 23 3 12 17 2002 7 2003 b) Giá trị tìm A là bao nhiêu ? Bài 5: 2003 7 273 2 1 a b c d Tìm các số a, b, c, d Biết Bài 6: Tìm giá trị x, y Viết dạng phân số từ các phương trình sau: x 4 1 2 a) x 3 y 4 3 2 ; b) 1 3 2 2 4 1 1 y 1 3 , B= Hướng dẫn: Đặt A = x B A Ta có + Ax = Bx Suy 4 3 2 (17) 844 12556 24 1459 1459 (Tương tự y = 29 ) x Kết Bài 7: Tìm x biết: 8 8 381978 382007 8 8 8 8 8 8 8 1 x Lập quy trình ấn liên tục trên fx – 570MS, 570ES 381978 : 382007 = 0.999924085 Ấn tiếp phím x-1 x – và ấn lần dấu = Ta được: Ans x Tiếp tục ấn Ans x-1 – = 17457609083367 Kết : x = -1,11963298 15592260478921 Bài 8: Thời gian trái đất quay vòng quanh trái đất viết dạng liên phân số là: 365 4 7 3 5 20 Dựa vào liên phân số này, người ta có thể tìm số thì năm lại có năm nhuận năm nhuận Ví dụ dùng phân số 365 365 29 4 Còn dùng liên phân số thì 29 năm (không phải là 28 365 năm) có năm nhuận 1) Hãy tính giá trị (dưới dạng phân số) các liên phân số sau: 365 4 365 7 ; b) 7 4 4 1 365 3 7 1 ; c) 3 5 20 a) 2) Kết luận số năm nhuận dựa theo các phân số vừa nhận (18) (19) Tổng hợp các phương pháp giải toán trên máy tính casio Nguồn : casio.phpbb3.com ; diendan3t.net I Thuật toán để tính dãy số: (tác giả fx) Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi: Tìm ? Thuật toán: Cách 1: Hơi dở vì sử dụng nhiều biến, xử lý vấn đề chậm ngắn gọn thuật toán: Nhập thuật toán: E=E+1:A=2B+C-D: D=C:C=B:B=A CALC E? ấn 3== B? ấn 3= C? ấn 2= D? ấn 1= = = = Cách 2: Hay cách vì sử dụng ít biến, xử lý vấn đề nhanh thuật toán dài dòng: Nhập thuật toán: D=D+1:A=2B+C-3A: D=D+1:C=2A+B-3C: D=D+1:B=2C+A-3B CALC D? ấn 3== B? ấn 3= C? ấn 2= A? ấn 1= Cách (Dùng cho 500MS) |shift| |sto| |C| |shift| |sto| |B| |shift| |sto| |A| |alpha| |A|+|alpha| |B|-|alpha| |C| |shift| |sto| |C| |alpha| |C|+|alpha| |A|-|alpha| |B| |shift| |sto| |B| |alpha| |B|+|alpha| |C|-|alpha| |A| |shift| |sto| |A| replay(tam giác phía trên) hai lần |shift| |replay|= thuật toán dài số dấu ít U4 U5 U6 /= / (20) Nếu ngại phải đếm thì sau dòng thứ tư cho thêm |alpha| |D| | alpha| = (màu tím)|alpha| |D|+3 và thêm vào sau dòng thứ ba | shift| |sto| |D|; thêm lần ấn replay II Công dụng phím SOLVE Nếu sử dụng máy fx570MS các bạn biết nó có phím SOLVE là đặc tính hẳn so với máy fx500MS, công dụng nó là gì? Đó chính là lệnh để máy tính tìm nghiệm gần đúng phương trình ẩn bât kỳ nào đó dựa vào số đầu mà ta nhập vào Nhập vào phương trình ta có thể dùng phím dấu = màu đỏ không cần thì máy tự hiểu là Ví dụ: có thể nhập nhập ấn SHIFT SOLVE , máy hỏi giá trị đầu cần nhập là bao nhiêu, sau nhập vào giá trị đầu, ta ấn SHIFT SOLVE lần thì máy tìm nghiệm dựa vào số đầu đó Đặc điểm hẳn MS so với ES phím SOLVE: Máy MS ta có thể sử dụng biến số nào máy để làm ẩn số (A,B,C,D, ,X,Y,M) đó máy ES có thể dùng biến X, các biến khác xem là số cho trước Lệnh SOLVE thực ưu việt giải phương trình bậc ẩn Đối với phương trình X+3=0 ta có thể nhẩm nghiệm tức khắc, sử dụng hiệu trường hợp phương trình bậc phức tạp Ví dụ: phuơng trình Để giải phương trình này giấy nháp và tính nhẩm bạn khá nhiều thời gian cho nó, bạn phải phân tích ra, chuyển vế đổi dấu, đưa X bên, số bên nghiệm, máy tính bạn việc nhập y chang biểu thức vào và sử dụng lệnh SOLVE thì vài giây máy cho kết Đối với phương trình trên giải xong máy cho kết là Tuy nhiên phương trình bậc máy MS có thể đổi nghiệm phân số, hãy ấn SHIFT , máy đổi dạng phân số là , tiện lợi Lưu ý: giải số đúng này các bạn muốn sử dụng kết đó tiếp phải ấn lại ghi nháp sử dụng số đúng đó, không sử dụng trực tiếp kết lưu lại Ví dụ phương trình trên sau giải xong, kết tự động (21) gán vào X, các bạn ấn tiếp sau đó ấn tiếp SHIFT SOLVE thì máy không đổi dạng phân số Vì sau giải ra, các bạn phải gán lại số vừa tìm dạng đúng cách: Ấn -113/129 SHIFT STO X Sau đó ấn tiếp X+1= thì máy cho dạng phân số Loại giải phương trình này áp dụng tốt cho tính toán môn Hóa học, ví dụ bạn có nhiều phương trình Hóa học, phương trình cho chất khí nào đó, và tổng số mol chất khí đó tính theo ẩn số, đề lại cho số mol chất khí rồi, thì việc nhập vào phương trình, dùng SOLVE và cho kết nhanh gọn Những biến dạng phương trình bậc ẩn: Đó là dạng phân thức chứa biến Ví dụ: Giải phương trình Nếu để nguyên phương trình nhập vào máy thì máy giải khó và lâu, đôi không nghiệm (Can't Solve), vì nhập hãy ngầm chuyển mẫu thức sang vế, nhập sau: Rồi SOLVE thì máy giải dễ dàng kết 47/37 Sử dụng SOLVE để giải phương trình bậc cao ẩn bậc cao Lưu ý phương trình bậc cao giải số phương trình dạng thức MTBT Phương pháp này chủ yếu áp dụng cho phương trình bậc phân tích biểu thức bậc Có thể dùng phương pháp Ferrari để giải phương trình bậc phương pháp có thể lâu dùng MTBT Đối với phương trình bậc đơn giản, tức là dùng lệnh SOLVE ta tìm nghiệm dạng số nguyên hay hữu tỉ thì thật dễ dàng cho bước tiếp theo, vì cần tách ta phương trình bậc dùng chương trình cài sẵn máy giải tiếp Đối với phương trình máy tính tìm dạng vô tỉ thì ta sử dụng định lý Viet đảo để tìm cách phân tích nó Ví dụ: giải phương trình: (22) Dùng máy tính ta nhập vào phương trình, sau đó dùng SOLVE để giải, điều quan trọn phương pháp này là ta phải biết đổi số đầu cho phù hợp để tìm càng nhiều ngiệm càng tốt Như phương trình trên, ta ấn CALC nhập các số đầu sau đây để xem biến thiên hàm số sau đó dùng lệnh SOLVE: giả sử ban đầu nhập 0, kết 10 nhập 1, kết -6 có nghiệm nằm (0;1) ta chia đôi và thử với 0,5, kết 5,75>0 nghiệm nằm (0,5;1) tiếp tục chia đôi, ta nhập 0,75, kết 0,7421875 kết đã xuất số phần nguyên thì chứng tỏ số đầu ta khá gần nghiệm, và đến lúc này có thể cho máy tự giải Dùng số đầu đó ta sử dụng SOLVE để giải kết tìm nghiệm 0,780776406 Nhập số đó vào A để sử dụng sau và tiếp tục tiềm nghiệm khác Sử dụng cách tương tự trên ta tiếp tục tiềm nghiệm khác nhập vào các biến B,C,D giả sử Sau đó ta tính tổng và tích đôi thì thấy: Như ta có: tương đương từ đây ta có thể giải phương trình dạng thức dễ dàng III> Thuật toán tìm số chữ số luỹ thừa: Ví dụ tìm xem có bao nhiêu chữ số Ta có làm tròn thành Như gồm số Lưu ý: đây là logarit số 10 IV Thuật toán tìm ƯCLN, BCNN: Giả sử cần tìm UCLN và BCNN số A,B Cách đơn giản biết đó là ấn A/B tối giản nó (23) Trong số trường hợp vì A,B khá lớn và dạng tối giản A/B không đủ màn hình để chứa thì dạng số thập phân Với trường hợp này các bạn nên dùng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố cách kiểm tra số nguyên tố để phân tích A,B dạng sở Trường hợp tìm UCLN,BCNN A,B,C thì sao? Rất đơn giản (A,B,C)= ((A,B),C) và [A,B,C]=[[A,B],C] Tuy nhiên có số trường hợp tìm BCNN cách trên khó khăn vì số tràn màn hình, để xử lý thì nên dùng công thức [A,B,C]=ABC(A,B,C)/{(A,B).(B,C).(C,A)} VD: tìm ƯCLN( ) ta làm sau (không phân số) bạn bấm vào phím replay thì trỏ xuất trên màn hình sửa thành ta lại lập PS lại làm lại thì ta có thể gán các số vào máy sau đó kết phép tính thưc ba lại gán vô cho số lớn hai số cần tìm ta dùng kiến thức này là với (Tác giả:vanhoa ) Nếu dùng mà ko được: Đối với loại máy ms : số A [shift] [sto] A [=] số B [shift] [sto] B [=] [mode] fix a[=] nhập vào biểu thức: 10^(log Ans)-0.5:Ans/b[=] : 10^(log Ans) -0.5: b/Ans[shift][sto] B thực dãy lặp: [shift][rnd][=] đến có lỗi -Đối với máy ES: số A [shift] [sto] A [=] số B [shift] [sto] B [=] [mode] fix (24) a[=] nhập vào biểu thức: 10^(log Ans)-0.5:[shift][rnd]Ans/b[=] : 10^(log Ans) -0.5: [shift] [rnd]b/Ans[shift][sto] B thực dãy lặp: [=][=] Hình là tính UCLN còn BCNN thi lấy tích A và B chia cho UCLN là xong V Chuyển số thập phân tuần hoàn và không tuần hoàn phân số: Chuyển số thập phân tuần hoàn sang phân số Công thức tổng quát đây: * Dạng 1/ Ví dụ Ta có: (123 gồm số) *Dạng 2/ Ví dụ Ta có: số) gồm số), Chuyển số thập phân không tuần hoàn sang phân số VD 1: A=0.152647975 1/A=6.551020412 gán A A-6=0.551020412 gán A 1/A=1.814814804 gán A A*999=1812.999989 gán A Làm tròn A=1813 A/999=1813/999=49/27 gán A 1/A=27/49 gán A A+6=321/49 gán A (hồi nãy trừ thì bây cộng 6) 1/A=49/321 gán A Kết A=0.152647975 =49/321 (36 gồm (25) VD 2: gán A gán A gán A gán A gán A gán A Làm tròn A=86 gán A gán A (hồi nãy trừ thì bây cộng 2) gán A gán A (hồi nãy trừ thì bây cộng 5) gán A gán A (hồi nãy trừ thì bây cộng 1) Kết VI Phân tích số thừa số nguyên tố: Giả sử muốn kiểm tra a là số nguyên tố hay không ? Sử dụng máy 570MS Cách 1: nhiều người biết thời gian kiểm tra lâu: |a| |shift| |sto| |A| {gán a vào biến A máy} |1| |shift| |sto| |B| B=B+2:A/B CALC = = = là số nguyên thì B là ước A Kiểm tra hạ xuống A thì ngưng {chú ý: với cách này xem A có chia hết cho không?} Cách 2: ít người biết, thời gian kiểm tra rút ngắn còn nửa so với cách 1: |a| |shift| |sto| |A| xem A có chia hết cho 2, cho hay không? (chuyện này đơn giản) lấy A chia cho 3: A/3 = Ấn tiếp: A/(A/Ans+2) Sau đó ấn = = = để kiểm tra, số trên màn hình hạ xuống A thì ngưng VII Tìm chu kì phép chia có dư: (daisunhantan) Thí dụ (26) Ta nói phép chia có chu kì là Nhận xét rằng, với phép chia trên, chu kì có thể dễ dàng tìm mtbt Tuy nhiên với số lớn ví dụ ; việc tìm chu kỳ khó khăn nhiều Phương pháp chung, có lẽ biết, là bấm 1*(10^8)/57 để tìm chu kì( là phần nguyên), lấy 1*10^8-phần nguyên vừa tìm được*57; lấy kết đó vào số ta tìm chi kỳ Tuy nhiên tìm lượt phải bấm ko 20 phím, để tiết kiệm sức, mình xin nêu cách bấm, sau giải thuật ban đầu, bấm dấu = ta tìm khoảng số chu kỳ cách bấm sau: A=1 B=57 (((A*10^8)/B)+9.5)*10^-11+1-1)*10^11-10{ĐỌC CHU KÌ}:A=A*10^8-ANS*B (littlestar_monica) C2: nhấn MODE MODE (BASE), nhấn fím x^2( chữ DEC màu xanh đó) Chẳng hạn tìm chu kì |shift| |sto| |A| (chỉ số thôi) Ax10000000-49 x |ans| |shift| |sto| |A| ấn dấu mũi tên lên nhấn |shift| |copy| việc nhấn = = = là chu kì fép chia ĐS: ) Lưu ý: phép chia luôn cho ta chữ số thập fân, hay chữ số, ta hiểu ngầm có hay chữ số trước!!!!! VIII Tìm n chữ số tận cùng luỹ thừa: Để tìm n chữ số tận cùng luỹ thừa , ta tìm dư luỹ thừa đó với 10^n Heheh , có phải hay không nào Tuy nhiên Nếu người ta kiu tìm từ đến chữ số tận cùng luỹ thừa mà ta làm theo bài học trên thì thật là , quá oải Chính vì , tui xin post bài sau : _ Tìm chữ số tận cùng : * Nếu a có chữ số tận cùng là , , thì có chữ số tận cùng là , , * Nếu a có chữ số tận cùng là , , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác : 2^4k đồng dư ( mod 10 ) 3^4k đồng dư ( mod 10 ) (27) 7^4k đồng dư ( mod 10 ) Do đó để tìm chữ số tận cùng a^n với a có số tận cùng là , , ta lấy n chia cho Giả sử n = 4k + r với r thuộc { , , , } Nếu a đồng dư ( mod 10 ) thì a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 ) Nếu a đồng dư ( mod 10 ) thì a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 ) _ Tìm chữ số tận cùng a^n Ta có nhận xét sau : 2^20 đồng dư 76 ( mod 100 ) 3^20 đồng dư ( mod 100 ) 6^5 đồng dư 76 ( mod 100 ) 7^4 đồng dư 01 ( mod 100 ) Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= và 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >= Suy kết sau với k là các số tự nhiên khác : a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) a đồng dư ( mod 10 ) a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) a đồng dư ( mod 10 ) a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) Vậy túm lại , để tìm chữ số tận cùng a^n ta lấy số mũ chia cho 20 _ Ta có : a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) a đồng dư ( mod 10 ) a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) a đồng dư ( mod 10 ) a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) Túm lại , để tìm chữ số tận cùng luỹ thừa , ta tìm chữ số tận cùng số mũ Nhưng dù thì cái nguyên tắc Để tìm n chữ số tận cùng a^b thì ta tìm số dư a^b với 10^n IX: Một bài toán tìm hệ số: TQ: Tổng các hệ số khai triển bạn chứng minh- đề thi APMO) Do đó xét bài toán cụ thể sau: Tìm tổng các hệ số là (đề nghị các (28) Lời giải (kinhbac_edu): Đặt thì khai triển Khi đó tổng các hệ số X Tìm số dư phép chia: Các dạng thường gặp: 1) Chia số có nhiều 10 chữ số cho số có ít 10 chữ số Phương pháp: Chia để trị (divide and conquer) chặt số có 10 chữ số thành nhiều số nhỏ có nhiều 10 chữ số Ví dụ: Lấy số nhỏ chia cho số chia, sau có kết dư nhớ nhân với lũy thừa số 10 cùng với nó 2) Chia số là lũy thừa bậc cao cho số khác: Phương pháp: quan sát xem có nằm dạng Fermat không? Nếu không, hãy quan sát chu kỳ số dư Nếu không có chu kỳ số dư hãy làm bước: lấy số lũy thừa lên vài bậc (không tràn máy), tìm số dư tiếp tục lũy thừa lên số mũ nhỏ dần Chú ý sử dụng tính chất: phép chia cho b và phép cho b có cùng số dư với để làm nhỏ a lại, tạo điều kiện tính nhanh XII Giải pt dạng Nghiệm PT là x*ln(x)=ln(a) và a>0 Suy x=ln(a)/ln(x) Giải trên máy Casio FX-500/570/991 MS/ES, các máy có phím Ans - Nhập a - Nhập ln(a)/ln(Ans), nhấn = liên tục hội tụ nghiệm Trích: Posted by Nguyen Van Linh on diendan3t.net Finished by QuangMinh Bài viết này đã ghi rõ nguồn đầu ! XIII : Các bài toán tính lãi suất Có loại thường gặp 1) Lãi suất từ giá trị không đổi qua thời gian Công thức áp dụng trực tiếp với các bài toán tiền gửi ngân hàng Số tiền sau n tháng (29) 2) Lãi suất từ giá trị thêm vào vào theo quãng thời gian Công thức áp dụng trực tiếp với các bài toán tiền gửi ngân hàng Cuối tháng thứ n-1 Đầu thàng thứ n Với a là số tiền gửi vào hàng tháng ; x là lãi suất Sau đây là số dạng khác Tính tổng n số hạng đầu tiên dãy số Ví dụ: Cho dãy số Tính xác định bởi: và tổng 20 số hạng đầu tiên Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES): X=X+1:B=5A-2X:C=C+B:X=X+1:A=5B-2X:C=C+A Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 1= A? Bấm 1= C? Bấm 1= === Trong đó X là số hạng thứ X; A, B là các giá trị của X số hạng đầu tiên - dãy Tính tích n số hạng đầu tiên dãy số Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi: ; C là tổng (30) Tính tích 10 số hạng đầu dãy Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:C=B+2A: D=DC:X=X+1:A=C+2B: D=DA:X=X+1:B=A+2C: D=DB Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 2= B? Bấm 1= A? Bấm 1= D? Bấm 1= === Trong đó X là số hạng thứ X; A, B, C là các giá trị của X số hạng đầu tiên - dãy ; D là tích Chú ý: Trên đây ta xét các ví dụ minh họa đơn giản! (^_^) Một số dạng bài tập liên quan đến dãy số Bài 1: Cho dãy số Tính ? Bài 2: Cho dãy số Tính xác định bởi: và tính tổng 16 số hạng đầu tiên dãy Bài 3: Cho dãy số Tính xác định bởi: xác định sau: ; tính tích 16 số hạng đầu tiên dãy (31) Bài 4: Cho dãy số xác định sau: Tính , tổng 26 số hạng đầu tiên và tích 24 số hạng đầu tiên dãy số Một số bài toán liên quan đến tính tổng Ví dụ: Cho Tính ? Thuật toán: Cách 1: Dùng chức có sẵn ,bấm quy trình sau (fx 570ES): |shift| |log_□| |ALPHA| |X^| |Replay| |→| |1| |Replay| |→| |30| |=| Đọc kết Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:A=A+X^3 Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 0= A? Bấm 0= ===…… Trong đó X là tổng thứ X; A là giá trị tổng thứ X Một số dạng toán tính tích Ví dụ: Cho Tính ? (n là số lẻ) (32) Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:A=AX^2 Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 0= A? Bấm 1= === …… Trong đó X là tích thứ X; A là giá trị tích thứ X Tìm điều kiện x để tổng tích thỏa mãn điều kiện đề cho Ví dụ: Tìm giá trị gần đúng x để: Thuật toán: Cách 1: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570ES): Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 0= Bấm = = = … nhiều lần đến nào kết gần là thì dừng Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:B=B+ Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 0= B? Bấm 0= (33) Bấm = = = … nhiều lần nào kết gần là dừng Một số bài toán liên quan đến tổng và tích Bài 1: Cho Tính ? Bài 2: Cho Tính ? Bài 3: Cho Tính ? Bài 4: Cho Tính ? Bài 5: Tìm giá trị gần đúng x thỏa: a) b) c) Tìm số dư phép chia dạng lũy thừa bậc cao Ví dụ: Tìm số dư phép chia Ta có: (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) cho thì (34) (mod ) (mod ) Suy (mod ) Vậy số dư phép chia cho Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia Vì là cho là số nguyên tố Theo định lý Fermat ta có: (mod ) Suy ra: (mod (mod 2003) Vậy số dư phép chia ) cho là Chú ý: Phương pháp trên trình bày dạng các ví dụ (^_^)! Phương pháp tìm giới hạn hàm số Ví dụ: Tìm lim n dần đến Ghi vào màn hình: Bấm CALC máy hỏi A? Bấm máy Bấm CALC máy hỏi A? Bấm máy Bấm CALC máy hỏi A? Bấm máy (35) Bấm CALC máy hỏi A? Bấm máy Bấm CALC máy hỏi A? Bấm máy Bấm CALC máy hỏi A? Bấm máy Từ đó kết luận lim = (36)