Đường tròn (J ) ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) tại điểm thứ hai là K.. Áp dụng điều trong chứng minh định lí Brocard ta có: M P, F Q, HE đồng quy do đó: M, P, J thẳng hàng hay điều phải[r]
(1)Bình luận số tốn hình học số đề thi chọn HSG thi VMO 2018 tỉnh
Lời nói đầu: Cứ đến tháng 9, tháng 10 tỉnh lại bắt đầu có thi để chọn HSG thi VMO Các hình đề chọn tuyển hàng năm ln thú vị có nhiều điều đáng để khai thác Như năm, giới thiệu lời giải bình luận số tốn hình học đề
Bài toán 1(Chọn đội tuyển Bình Dương) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có hai đường chéo AC BD vng góc H Hình chiếu H lên AB,BC,CD,AD I, J, K, L trung điểm AD, AB, BC, CD làM, N, P, Q
a) Chứng minh rằng:M, N, P, Q, I, J, K, L đồng viên b) Chứng minh rằng:IK, LJ, OH đồng quy
(2)a) Theo định líBramagupta ta có:I, H, Qthẳng hàng, L, H, P thẳng hàng M, H, J thẳng hàng vàN, H, K thẳng hàng Để ý rằng:∠HLM = ∠HJ P = 90◦ đó: L, M, J, P đồng viên GọiT trung điểm củaOH ta có đường trung bình hình thang vngLHOM trung trực LM ta dễ dàng có: T tâm (LM J P) Tương tự ta có: T tâm (IN KQ) Gọi BD∩M Q=S ta có: M QkAC đó: LM SH QKSH tứ giác nội tiếp dẫn đến: DS.SH = DM.DL = DK.DQ hay là: L, M, K, Q đồng viên đó: I, N, J, P, Q, K, L, M đồng viên đường trịn tâm T
b) Ta có:HIAL, HIBJ tứ giác nội tiếp đó:∠HIL=∠CAD=∠HBJ =∠HLJ Tương tự ta có:LH, J H, KH phân giác góc ILK, IJ K, J KL đó: LIJ K tứ giác ngoại tiếp Khi ý rằng: tứ giác ILKJ vừa nội tiếp (T) vừa ngoại tiếp(H)do đó: IK, LJ, T H đồng quy hay điều phải chứng minh
(3)Lời giải: Gọi AO ∩EF = I Áp dụng định lí Brocard tính chất trục đẳng phương ta có: AH.AD = AF.AB = AE.AC Ta chứng minh: 2AI.AO = AE.AC đủ hay là: AI.AO = AE.AM(M trung điểm AC) Để ý rằng: EF đối song BC đó: AI vng EF hay là: AI.AO =AE.AM (P HK)đi qua O cố định
Nhận xét: Bài tốn khơng khó q năm ngày 2, khai thác nhẹ nhàng tính chất trục đẳng phương mơ hình điểm Miquel thân thuộc
Bài tốn 3(Chọn đội tuyển Hà Tĩnh, ngày 2) Cho tam giácABC nội tiếp(O)và ngoại tiếp(I).D, E, F tiếp điểm(I)với BC, CA, AB M trung điểm cung BC không chứa A (O).M D cắt M D∩(O) =M, N AN ∩BC =P
a) Chứng minh rằng:AN I tam giác vuông vàAIHP tứ giác nội tiếp
(4)Lời giải: a) Gọi (AEF)∩ (O) = A, N0 ta có: N
0B
N0C =
F B CE =
DB
DC đó: N
0D đi qua M hay là: N ≡ N0 Đường thẳng qua I vng
góc AI cắt BC P0 Xét (AI),(IBC),(O) có trục đẳng phương đơi là: tiếp tuyến I (BIC), AN, BC đó: P ≡ P0 đó: P I2 =P B.P C =P N.P A hay là:∠AIP =∠AHB = 90◦ ta có điều phải chứng minh
b) GọiEF ∩BC =R Gọi J trung điểm DR Ta có:∠DAH =∠CRF =∠IP H đó:IPkEF Ta dễ thấy theo hàng điều hồ thì: (RD, BC) =−1 đó:∠DN R = 90◦ Theo hệ thức N ewton thì: J D2 =J R2 =J N2 =J B.J C do đó: J N tiếp xúc (O) Ta chứng minhRD
và P Q có trung điểm Hay là: P R=QD Để ý rằng: ∠P N Q=∠P N S =∠IM H Từ câu a) ta có: ∠M IH =∠N P Q đó: N P N Q =
M I M H Áp dụng định lí hàm số sinta có: N P
RP =
sinN M K sinAN K =
N K AK =
M I
M D Tương tự thì: N Q QD =
N M SM =
M H
M D(do M D.M N =M I
(5)giác N SHD nội tiếp) Tức điều phải chứng minh tương đương: N P N Q =
M I
M H(đúng) Nhận xét: Ta để ý lấyG hình chiếu D lên EF I, G, N thẳng hàng
Bài tốn 4(Chọn đội tuyển KHTN ngày 3) Cho tam giácABC, nội tiếp (O), ngoại tiếp(I).I AO cho IP vuông gócBC Tiếp tuyến (O) A cắt BC Q.(AP Q) cắt (O)tại R Chứng minh RI phân giác góc BRC
Lời giải: Bổ đề: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có tâm nội tiếp I Tiếp điểm đường tròn A−M ixtilinear nội với (O) R Khi đó: RI phân giác góc BRC
Quay trở lại tốn Gọi D hình chiếu củaI lên BC Ta có: D ∈(P Q) Gọi R0 tiếp điểm đường tròn A−M ixtilinear nội Ta biết kết quen thuộc rằng: ∠AR0B =∠DR0C(các bạn đọc "Tìm tịi sáng tạo số chủ đề hình học phẳng tơi" chun đề 17 để biết rõ chứng minh tính chất Do ta có: 4DR0C ∼ 4BR0A(g.g) dẫn đến: ∠R0DQ = ∠180◦ −∠ABR0 = ∠ACR0 =∠QAR0 đó: R0 ∈(P Q) Vậy ta có: R≡R0 điều phải chứng minh theo bổ đề
Bài toán 5(Chọn đội tuyển Hưng Yên ngày 1) Cho tam giác ABC nội tiếp(O) M trung điểm cung BAC (O) I tâm nội tiếp tam giác ABC Lấy E, F đối xứngB, C qua IC, IB Và M I∩(BIC) =I, N Đường thẳng qua I vng góc AI cắt BC K
a) Chứng minh rằng:EF ⊥OI
(6)Lời giải: a) Ta có:IE2−IF2 =IB2−IC2(doE, F đối xứngB, C quaIC, IB) GọiP, Qlà trung điểm củaAB, AC Ta có:OF2 =OP2+P F2 OE2 =OQ2+QE2 Ta có: P F =BC−AB
2 QE =BC− AC
2 Do đó: OE
2−OF2 =OQ2−OP2+QE2 −P F2 = (OA2− AC2
4 )−(OA
2−
AB2
4 ) +BC.AB−BC.AC+
AC2
4 − AB2
4 =BC.AB−BC.AC =BC(AB−AC) =IB
2−IC2 Do đó: EF ⊥OI(theo định lí điểm).
b) Gọi D trung điểm cung BC khơng chứa A D tâm (BIC).Ta có: M B, M C tiếp tuyến đến: (BIC) đó: IBN C tứ giác điều hồ dẫn đến: KN tiếp xúc (BIC)
Bài toán 6(Chọn đội tuyển Hưng Yên ngày 2).: Cho tam giácABC có tâm bàng tiếp góc B, C làB1, C1 B1C1∩(ABC) = A, D Đường
thẳng qua B1 C1 vng gócAC, AB cắt tạiE
(7)b) Tiếp tuyến tạiDcủa(ADE)cắtAE tạiF Đường thẳng quaDvng gócAE cắtAF tạiGvà(ADE)tạiHkhácD.(HF G)∩(ADE) =I, H Kẻ DJ ⊥AH(J ∈AH) Chứng minh rằng: AI chia đôi DJ
Lời giải: a) Đổi lại tốn mơ hình trực tâm sau: Cho tam giác A1B1C1 có chân đường cao cạnh đối diện A, B, C Ta
biết kết quen thuộc trực tâm tam giác ABC tâm(ABC) liên hợp đẳng giác đó: E tâm(ABC) Do B1C1 phân giác ngồi góc
BAC đó:DB =DC dẫn đến: D trung điểm B1C1 hay là: ∠ADE = 90◦
(8)Gọi F I∩(O) =I, K ta có: ∠HIK = 90◦ Do đó: H, K, O thẳng hàng Ta có: AKkDJ đó: ý rằng: A(KIHD) =−1(do tứ giác DIHK điều hoà) hay là: A(KIJ D) =−1 nên có ngay:AI chia đơi DJ(điều phải chứng minh)
Bài toán 7(Chọn đội tuyển VMO 2018 Hà Nội).: Cho hai đường tròn (O)và (O0) cắt A, B Các đường thẳng qua d1 d2 qua
(9)(10)Chứng minh: Gọi đường thẳng qua B song song P Q cắt (AB) H Hình chiếu C lên AH L Ta có: K trung điểm BC theo tính chất đường trung bình hình thang thì: P K chia đôi HL P K vuông AH nên P K trung trực HL đó: P H = P L dẫn đến: ∠AHP =∠P LH =∠AQP đó:HP vng AQ hay ta có: H trực tâm tam giácAP Q
Bài toán 8(Chọn đội tuyển Vĩnh Long 2018) Cho tam giácABC cóAB > AC đường trung tuyến phân giác góc∠BAC cắt BC M, N tương ứng Đường thẳng qua N vng gócAN cắt AM, AB Q, P tương ứng Đường thẳng qua P vng góc AB cắt AN R Chứng minh rằng: QR⊥BC
Lời giải(Kim Vu)(Bạn đọc tự vẽ hình): Đường đối trung 4ABC cắt (ABC) T;AN ∩(ABC) = S;P N ∩AC =V L điểm đối xứng N quaM Dễ suy T tâm vị tự quay biếnP →B, V →C, Q→L, R→S,
nên P RQ[ =BSL[ Mặt khác tính đối xứng nên∠BSL=∠N SC =∠ABC Suy ra∠P RQ=∠ABC(1) Gọi QR∩BC =U Từ (1) suy tứ giác BP RU nội tiếp nên∠BRU = 90◦ ⇒QR⊥BC
Bài toán 9(Chọn đội tuyển Bắc Giang 2018) Cho tam giácABCkhông cân ngoại tiếp(I).D, E, F tiếp điểm của(I)vớiBC, CA, AB a) GọiS =EF ∩BC Chứng minh rằng: SI ⊥AD
(11)Lời giải: a) Gọi AD∩(I) = D, K ta có: F KED tứ giác điều hồ đó: SK tiếp xúc (I) dẫn đến: SI trung trực KD mà A, K, D thẳng hàng đó: SI ⊥AD
b) Gọi AX∩(O) = U, A Ta có: 4XF B ∼ 4XCE(g.g) 4XBE ∼ 4U BC(g.g) dẫn đến: U B U C =
F B CE =
DB
DC ta gọi AU ∩BC =T thì: T B
T C = AB AC
DB
DC(1) Tương tự gọi BY ∩AC =W W A W C =
EC EA
BC
AB(2) CZ∩AB =R RA RC =
AC BC
F A
F B(3) Nhân ba vế (1)(2)(3) ta có AX, BY, CZ đồng quy theo định líCeva
Nhận xét: Bài toán kết quen thuộc Cách giải sử dụng bổ đề cát tuyến từ cho thấy mối liên hệ chặt chẽ đường tròn nội tiếp ngoại tiếp giả thiết toán
Bài toán 10(Chọn đội tuyển Lạng Sơn) Cho hình chữ nhậtABCD nội tiếp (O)cóM, N trung điểm cung BC, ADcủa (O).I, J trung điểm OM, ON K đối xứngO qua M
a) Chứng minh rằng: tứ giác DJ BK nội tiếp
(12)Lời giải: a) Ta có: OJ.OK = OM
2 2OM =OM
2 =OB.ODdo đó: BKDJ nội tiếp.
b) Ta quy chứng minh tốn sau: Cho tam giác ABC vng A.K trung điểmBC M trung điểm cung AC nhỏ của(ABC) I trung điểm KM vàJ đối xứngK qua M Chứng minh rằng: BI, BJ đẳng giác
Chứng minh(Bạn đọc tự vẽ hình): Ta có: IJ ⊥AC đó: ABkIK dẫn đến: ∠J BA=∠BJ K ta cần chứng minh rằng:∠IBC =∠KJ A hay là: KB2 =KI.KJ Ta có: KI.KJ = KM
2 2KM =KM
2 =KB2 do ta có điều phải chứng minh.
Bài tốn 11(Chọn đội tuyển Ninh Bình): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) D điểm thay đổi cạnh BC OD∩(BOC) =P, O AP ∩(O) =A, Q
a) Chứng minh rằng:A, O, Q, D đồng viên gọi tâm K
(13)Lời giải: a) Ta có: OD.OP =R2 do xét phép nghịch đảo cực O phương tích R2 ta có: D↔ P,(O)↔(O) do đó: Q↔Q, A↔ A và đó
chú ý: A, Q, P thẳng hàng nên A, O, D, Qđồng viên
b) Ta xét ba đường trịn (O),(BOC),(K) có trục đẳng phương đơi là: BC, AQ, OE BC, AQ, OE đồng quy c) Chứng minh tương tự a) ta có: A, F, R, O đồng viên Ta có:∠F RQ =∠F OA= 2∠F QR đó: RF =RQ
Bài tốn 12(Chọn đội tuyển Hà Nam): Cho tam giác ABC nội tiếp (O)nội tiếp (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt tạiH Đường tròn (J)ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) điểm thứ hai K AM ∩(J) = Q, A.EF ∩AD=P.P M ∩(J) = N(N A phía với BC)
(14)Lời giải: a) Ta áp dụng định lí Pascal cho điểm A, K, F, H, Q, E ta có giao điểm cặp đường thẳng (KF, EQ) (HF, AE) với (HE, AF) thẳng hàng
b) GọiM P ∩(AEF) = S, N ta có: tứ giác IF N E điều hồ dó: EF tiếp tuyến tạiI N (AEF)cắt S0 theo hàng điều hồ thì: (S0P F E) = −1 ý rằng: (SD, BC) = −1 suy ra: A(SP, F E) = −1 dẫn đến: S ≡ S0 Do đó: SN2 =SF.SE =SB.SC = SD.SM dẫn đến: SN tiếp tuyến trung (DM N) (BN C)
(15)Đổi mơ hình ta tốn hay sau:
Bài toán 12*: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AK đường kính (O) Tiếp tuyến B, C (O) cắt T T A∩(O) = Q AK ∩BC =P Gọi T P ∩(O) = N
a) Chứng minh rằng:P T, KC, BQ đồng quy
b) Hình chiếu củaT lên AK I Chứng minh rằng: (T N I)tiếp xúc (O)
Bài toán 13(Chọn đội tuyển Nam Định ngày 1): Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC D hình chiếu A lên BC Đường thẳng qua D vng góc AB cắt AC E đường thẳng qua D vng góc AC cắt AB F Tiếp tuyến A (O) cắt EF, BC G, S M, R trung điểm củaBC, AD
a) Chứng minh rằng:GR ⊥AM
(16)Lời giải: a) Ta có D trực tâm tam giác AEF Do đó: AD ⊥ EF dẫn đến: BCkEF Gọi O0 tâm (AEF) ta có: A, O, O0 thẳng hàng Ta có kết quen thuộc rằng: DT cắt AO (AEF) điểm tạo với F, D, E hình bình hành đó:RTkOA hay là:T R ⊥GA hay là: R trực tâm tam giác AGT suy điều phải chứng minh
(17)Chứng minh: Ta gọi U, V hình chiếu M lên AB, AC Từ chứng minh câu a),b) ta có: AIHJ hình bình hành Ta có: M U M V =
AC AB Ta để ý rằng: M P
M Q = J C
BI Mà ta có: 4AIB ∼ 4F AC(g.g) dẫn đến: IB AB =
AC
F C Tương tự thì: J C AC =
AB
EB đó: IB J C =
F C EB =
AC AB dẫn đến: U VkP Q Dựng tứ giác điều hoà: ABKC ta có: AK ⊥ U V(bởi AM đường kính (AV U) mà AK đẳng giác với AM) Do ta có: OSkU VkP Q