[r]
(1)một số toán đại số s hc
Bài1: Cho số x, y thỏa m·n:
(x + x 2 2009)(y +
2009
y ) = 2009 (1) Tính giá trị biểu thức A = x2009y2009
Lêi gi¶i:
+ Ta cã: (1) 2009(y +
2 2009
y ) = 2009( x 2 2009 - x) (y + y 2 2009) = ( x 2 2009 - x) (2)
+ T¬ng tù ta cịng cã:
(x + x 2 2009) = (
2 2009
y - y) (3) Tõ (2) vµ (3) ta cã: x + y = x = - y
VËy: A = x2009y2009 =
Bài2: Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mÃn:
x22y2 + 2xy - 5x- 5y = - (1) để x + y số nguyên?
Lời giải: (cách1)
(1) (x + y - 2)2
+ y2 -
1
4 = Do y2 nªn: (x + y - 2)2
-
1 0
-
1
2 (x + y - 2)
1
2 x + y
Vậy ta tìm đợc cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) (3;0)
Cách2: Đặt x + y = T y = T – x vào (1) ta đợc phơng trình bậc hai
đối với ẩn x: x2 - 2Tx +2T2- 5T + = (2) Giá trị T có điều kiện có nghiệm phơng trình (2) , = - T2+ 5T - 2 T 3
2 x + y 3
Vậy ta tìm đợc cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) v (3;0)
Bài3: Cho số nguyên dơng khác nhau: a1; a2; ; a900 Chứng minh
phơng trình : 900
1 1
60
a a a v« nghiƯm
Lời giải: Ta chứng minh đẳng thức:
2( n n 1)
n víi n 1 ThËt vËy:
Ta cã:
1
n =
2 2 n <
2
n n =
1
n n = 2( n n1).
VËy:
1
2( n n 1)
n (*)
(2)1 900
1 1
a a a
1 1
1 2 900 < 2(- 0+ 1 1 2 899 899 900) = 60 Suy ra:
1 900
1 1
a a a
< 60 Vậy phơng trình 900
1 1
60
a a a
v« nghiệm
Bài4: Tìm GTNN biểu thức
C = x
2−2 x+2008
x2 (x 0)
Ta giải câu nhiều c¸ch nh sau:
C¸ch1:
Do x nªn ta cã: C = -
x +
2008
x2 Đặt
1
x = t, đó: Ta đa đa thức bậc hai nh sau:
C = 2008t2 – 2t + = 2008(t2 – 2t
2008 + 2008 )
C= 2008(t2 – 2t
2008 + 20082 -
1 20082 +
1 2008 )
C = 2008(t -
2008 )2 + 2007 2008
2007 2008
Suy ra: GTNN (C) = 2007
2008 ⇔ t =
2008 ⇔ x = 2008
Cách2: Ta giải cách khác nh sau: Do x nªn C = x
2
−2 x+2008
x2 ⇔ (C - 1) x
2 + 2x – 2008 =
(2)
+ NÕu C = suy x = 1004 (*)
+ NÕu C giá trị C có điều kiện có nghiệm ph-ơng trình (2)
, = + 2008(C - 1) ⇔ C 2007
2008 suy GTNN(C) = 2007
2008 ⇔ Δ, = ⇔ x = 2008.(**)
Từ (*) (**) ta tìm đợc GTNN(C) = 2007
2008 C¸ch3:Víi mäi a R Ta cã: C – a = x
2
−2 x+2008
x2 - a =
(1− a) x2−2 x+2008
x2 (3)
XÐt f(x) = (1- a)x2 -2x + 2008 Gäi Δ, = 2008a – 2007
(3)Δ, = ⇔ a = 2007
2008 Víi a = 2007
2008 th×: C - 2007 2008 =
x − 2008¿2 ¿ ¿ ¿
DÊu b»ng xÈy vµ chØ a = 2008 ⇔ C = 2007
2008 VËy
GTNN(C) = 2007
2008 C¸ch4:
Ta cã: C = 2008 x
2−2 x 2008+20082
2008 x2 =
x2−2 x 2008+20082+2007 x2
2008 x2 =
x − 2008¿2+2007 x2
¿ ¿ ¿
=
x − 2008¿2 ¿ ¿ ¿
+ 2007
2008
2007
2008 (Do x 0)
DÊu b»ng xÈy vµ chØ khi: x = 2008 VËy GTNN(C) = 2007