mét sè bµi to¸n hay vµ khã mét sè bµi to¸n ®¹i sè vµ sè häc bµi1 cho c¸c sè x y tháa m n x y 2009 1 týnh gi¸ trþ cña bióu thøc a lêi gi¶i ta cã 1 2009y 2009 x y x

[r]

một số toán đại số s hc

Bài1: Cho số x, y thỏa m·n:

(x + x 2 2009)(y +

2009

y  ) = 2009 (1) Tính giá trị biểu thức A = x2009y2009

Lêi gi¶i:

+ Ta cã: (1)  2009(y +

2 2009

y  ) = 2009( x 2 2009 - x)  (y + y 2 2009) = ( x 2 2009 - x) (2)

+ T¬ng tù ta cịng cã:

(x + x 2 2009) = (

2 2009

y  - y) (3) Tõ (2) vµ (3) ta cã: x + y =  x = - y

VËy: A = x2009y2009 =

Bài2: Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mÃn:

x22y2 + 2xy - 5x- 5y = - (1) để x + y số nguyên?

Lời giải: (cách1)

(1) (x + y - 2)2

+ y2 -

1

4 = Do y2  nªn: (x + y - 2)2

-

1  0

 -

1

2  (x + y - 2) 

1

2   x + y

Vậy ta tìm đợc cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) (3;0)

Cách2: Đặt x + y = T  y = T – x vào (1) ta đợc phơng trình bậc hai

đối với ẩn x: x2 - 2Tx +2T2- 5T + = (2) Giá trị T có điều kiện có nghiệm phơng trình (2)  , = - T2+ 5T -   2  T  3

 2 x + y  3

Vậy ta tìm đợc cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) v (3;0)

Bài3: Cho số nguyên dơng khác nhau: a1; a2; ; a900 Chứng minh

phơng trình : 900

1 1

60

a  a   a  v« nghiƯm

Lời giải: Ta chứng minh đẳng thức:

2( n n 1)

n    víi n 1 ThËt vËy:

Ta cã:

1

n =

2 2 n <

2

n n =

1

n n = 2( n n1).

VËy:

1

2( n n 1)

n    (*)

1 900

1 1

a  a   a 

1 1

1 2  900 < 2(- 0+ 1 1 2   899 899 900) = 60 Suy ra:

1 900

1 1

a  a   a

< 60 Vậy phơng trình 900

1 1

60

a  a   a 

v« nghiệm

Bài4: Tìm GTNN biểu thức

C = x

2−2 x+2008

x2 (x 0)

Ta giải câu nhiều c¸ch nh sau:

C¸ch1:

Do x nªn ta cã: C = -

x +

2008

x2 Đặt

1

x = t, đó: Ta đa đa thức bậc hai nh sau:

C = 2008t2 – 2t + = 2008(t2 – 2t

2008 + 2008 )

C= 2008(t2 – 2t

2008 + 20082 -

1 20082 +

1 2008 )

C = 2008(t -

2008 )2 + 2007 2008

2007 2008

Suy ra: GTNN (C) = 2007

2008 ⇔ t =

2008 ⇔ x = 2008

Cách2: Ta giải cách khác nh sau: Do x nªn C = x

2

−2 x+2008

x2 ⇔ (C - 1) x

2 + 2x – 2008 =

(2)

+ NÕu C = suy x = 1004 (*)

+ NÕu C giá trị C có điều kiện có nghiệm ph-ơng trình (2)

, = + 2008(C - 1) ⇔ C 2007

2008 suy GTNN(C) = 2007

2008 ⇔ Δ, = ⇔ x = 2008.(**)

Từ (*) (**) ta tìm đợc GTNN(C) = 2007

2008 C¸ch3:Víi mäi a R Ta cã: C – a = x

2

−2 x+2008

x2 - a =

(1− a) x2−2 x+2008

x2 (3)

XÐt f(x) = (1- a)x2 -2x + 2008 Gäi Δ, = 2008a – 2007

Δ, = ⇔ a = 2007

2008 Víi a = 2007

2008 th×: C - 2007 2008 =

x − 2008¿2 ¿ ¿ ¿

DÊu b»ng xÈy vµ chØ a = 2008 ⇔ C = 2007

2008 VËy

GTNN(C) = 2007

2008 C¸ch4:

Ta cã: C = 2008 x

2−2 x 2008+20082

2008 x2 =

x2−2 x 2008+20082+2007 x2

2008 x2 =

x − 2008¿2+2007 x2

¿ ¿ ¿

=

x − 2008¿2 ¿ ¿ ¿

+ 2007

2008

2007

2008 (Do x 0)

DÊu b»ng xÈy vµ chØ khi: x = 2008 VËy GTNN(C) = 2007