Đang tải... (xem toàn văn)
Trong mäi trêng hîp A(n) lu«n chøa mét thõa sè chia hÕt cho 3.[r]
(1) Tên chuyên đề: Dạy học giải tốn chia hết Lí thuyết liên quan đến chuyên đề:
C¸c tÝnh chÊt chia hÕt 1) chia hÕt b b 2) a chia hÕt a a
3) NÕu a chia hÕt cho b; b chia hÕt cho c th× a chia hÕt cho c
4) NÕu a chia hÕt cho m; b chia hÕt cho m th× a b chia hÕt cho m
5) NÕu a chia hÕt cho m; b kh«ng chia hÕt cho m a b không chia hết cho m 6) NÕu a b chia hÕt cho m; a chia hÕt cho m th× b chia hÕt cho m
7) Cho tÝch a1.a2 an
NÕu chia hÕt cho ; i = 1; n th× a1.a2 an chia hÕt cho m
8) NÕu a chia hÕt cho m th× an chia hÕt cho m (n N*)
9) NÕu a chia hÕt cho m; b chia hÕt cho n th× ab chia hÕt cho mn => a chia hÕt cho b th× an chia hÕt cho bn.
10) NÕu a chia hÕt cho b; a chia hÕt cho c; (b; c) = th× a chia hÕt cho bc 11) NÕu ab chia hÕt cho m; (b; m) = th× a chia hÕt cho m
12) NÕu ab chia hÕt cho p, p số nguyên tố a chia hết cho p b chia hÕt cho p 13) Cho a, b Z; n N; n th×:
(an - bn) chia hÕt cho a - b nÕu a b.
(a2n + 1 + b2n +1) chia hÕt cho (a + b) nÕu a - b.
C¸c dÊu hiƯu chia hÕt
1) DÊu hiÖu chia hÕt cho 2: Mét sè chia hÕt cho <=> ch÷ sè tËn cïng chữ số chẵn
2) DÊu hiƯu chia hÕt cho (hc 9): mét sè chia hết cho (hoặc 9) <=> tổng chữ sè cđa nã chia hÕt cho (hc 9)
* Chó ý: mét sè chia hÕt cho (hc 9) d tổng chữ số chia cho (hoặc 9) d nhiêu
3) DÊu hiÖu chia hÕt cho 5: Mét sè chia hÕt cho <=> ch÷ sè tËn cïng cđa
4) Dấu hiệu chia hÕt cho (hc 25): Mét sè chia hÕt cho (hoặc 25) <=> số tạo chữ số tËn cïng cđa nã chia hÕt cho hc 25
5) DÊu hiƯu chia hÕt cho (hc 125) <=> số tạo chữ số tận nã chia hÕt cho hc 125
6) DÊu hiÖu chia hÕt cho 11: Mét sè chia hÕt cho 11 <=> hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho 11
Các Phơng pháp giải toán chia hết:
(I) §Ó chøng minh A(n): k cã thÓ sÐt mäi trêng hỵp vỊ sè dù chia n cho k.
VD: Chøng minh:
a) TÝch cđa hai sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) TÝch cđa ba sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho
c) Tổng quát: tích n số nguyên liên tiếp chia hÕt cho n
Gi¶i a) A(n) = n (n+1)
+ NÕu n kh«ng chia hÕt cho (n+1) chia hết cho ngợc lại Trong trờng hợp + A(n) chứa thừa số chia hÕt cho VËy A(n) chia hÕt cho (®pcm)
b) A(n) = n(n+1)(n+2)
XÐt mäi trêng hỵp : n chia hÕt cho 3; n=3q+1; n = 3q+2 + NÕu n chia hÕt cho 3, hiĨn nhiªn A(n) chia hÕt cho + NÕu n = 3q+1 => n+2 = 3q+3 chia hÕt cho
(2)Trong trờng hợp A(n) chứa thõa sè chia hÕt cho VËy A(n) chia hÕt cho (®pcm)
c) Giả sử dãy số là: a; a+1; a+2; ; a+(n-1)
Giả sử dÃy số không số chia hÕt cho n => Khi chia n sè cña d·y cho n sÏ cã n-1 sè d lµ 1; 2; 3; ; n-1
Dãy có n số mà chia cho n lại có n-1 số d Vậy tồn số chia cho n có số d Giả sử số là: a+i; a+k (0 i < k)
=> (a+k) - (a+i) chia hÕt cho n <=> (k-i) chia hÕt cho n
mµ < k-i < n => (k-i) kh«ng chia hÕt cho n (k-i) chia hết cho n vô lí Vậy dÃy phải tồn số chia hết cho n
=> tÝch cđa c¶ d·y sè chia hÕt cho n (đpcm)
(II) Để chứng minh A(n) chia hết cho k cã thĨ ph©n tÝch k thõa sè k = p q
+ NÕu (p ; q) =1 ta tìm cách chứng minh A(n) chia hết cho p vµ A(n) chia hÕt cho q
+ NÕu (p, q) khác ta phân tích A(n)= B(n) C(n) råi chøng minh B(n) chia hÕt cho p; C(n) chia hÕt cho q
VD1: chøng minh r»ng A(n) = n ( n+1 ).(n+2) chia hÕt cho Gi¶i
Ta cã : = 2.3 ; (2;3) =
Theo vÝ dơ ë phÇn (I) ta cã A(n) chia hÕt cho 2; A(n) chia hÕt cho VËy A(n) chia hÕt cho (®pcm)
VD2: chøng minh rằng: tích số chẵn liên tiếp chia hÕt cho Gi¶i: A(n) = 2n( 2n + ) = 4n( n+1 )
= 2.4; ( 2; 4) 1
NhËn xÐt : chia hÕt cho => 4.n(n+1) chia hÕt cho 4.2 n(n+1) chia hÕt cho =>A(n) chia hÕt cho (®pcm)
(III) Để chứng minh A(n) chia hết k viết A(n) dới dạng tổng nhiều hạng tử và chứng minh hạng tử chia hết cho k
Để chứng minh A(n) khơng chia hết cho k ta viết A(n) dới dạng tổng nhiều hạng tử có hạng tử khơng chia hết cho k
VD: Chøng minh r»ng:
a) A(n) = n3 - 13n chia hÕt cho 6
b) B(n) = n2 + 4n + kh«ng chia hết cho (với n lẻ)
Giải a) A(n) = (n3 - n) - 12n = (n-1).n(n+1) - 12n
(n-1).n(n+1) chia hÕt cho (theo vÝ dơ phÇn I) 12n chia hÕt cho
VËy A(n) chia hÕt cho (®pcm) b) B(n) = n2 + 4n + 5
víi n = 2k + ta cã: B(n) = (2k + 1)2 + 4(2k +1) + 5
B(n) = 4k(k +1) + 8(k + 1) + NhËn xÐt: 4k(k +1) chia hÕt cho
8(k + 1) chia hÕt cho => B(n) = 4k(k +1) + 8(k+1) + chia hÕt cho kh«ng chia hÕt cho
(IV) Để chứng minh A(n) chia hết cho k phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân tử k.
A(n) = k B(n)
(3)* (an - bn ) chia hÕt cho (a - b) víi (a b; n ch½n)
(an - bn ) chia hÕt cho (a - b) víi (a - b; n lỴ)
VD: Chøng minh r»ng: 27 + 37 + 57 chia hÕt cho 5
Giải Vì số lẻ nên (27 + 37) chia hÕt cho (2 + 3)
hay 27 + 37 chia hÕt cho 5
=>
7 + 37 + 57 chia hÕt cho (đpcm)
mà 57 chia hết cho
(V) Dùng nguyên tắc Đirichlet:
NÕu nhèt k chó thá vµo m chng ( k > m ) phải nhốt thá vµo chung chuång
VD: Chøng minh r»ng : Trong m+1 số nguyên tån t¹i sè cã hiƯu chia hÕt cho m
Giải
Khi chia số nguyên cho m số d m sè: 0; 1; 2; ; m -
Theo nguyên lí Đirichlet chia m + số nguyên cho m phải có sè cã cïng sè d HiƯu cđa sè nµy chia hết cho m (đpcm)
(VI) Dùng qui nạp to¸n häc:
VD: Chøng minh r»ng: 16n - 15n - chia hết cho 225
Giải Đặt A(n) = 16n - 15n - 1.
+ Với n = => A(1) = 16 - 15 - = chia hết cho 225 (đúng) + Giả sử A(n) với n = k Tức là:
16k - 15k - chia hÕt cho 225
Ta cần chứng minh A(n) với n = k + Tức là: A(k +1) chia hết cho 225 Xét A(k +1) = 16k + 1 - 15(k + 1) - 1
= 16.16k - 15k - 15 -1
= (16k - 15k -1) + (15.16k - 15)
= A(k) + 15(16k - 1).
Do A(k) chia hÕt cho 225 16k - chia hÕt cho 16 - (= 15) => 15(16k - 1) chia hÕt cho 225
=> A(k + 1) chia hÕt cho 225 Mét sè tập áp dụng * Sử dụng phơng pháp (I)
Bµi tËp 1: Chøng minh r»ng(CMR): Trong k sè nguyên liên tiếp có số chia hÕt cho k
Bµi tËp 2: CMR: Trong m số nguyên có sè chia hÕt cho m hc Ýt nhÊt sè cã tỉng chia hÕt cho m
* Sư dụng phơng pháp (II)
Bi 3: CMR: Tớch số phơng với số tự nhiên đứng liền trớc số chia hết cho 12
Bµi tËp 4: CMR: A(n) = (n - 1)(n + 1).n2(n2 + 1) chia hÕt cho 60 n Z
Bµi tËp 5: CMR:
a) n2 + 4n + chia hÕt cho 8 ( n lỴ)
b) n3 + 4n2 - n - chia hÕt cho 48 ( n lỴ)
(4)*Sử dụng phơng pháp (III) Bài tập 7: Cho a, b N CMR:
a) NÕu a + 4b chia hÕt cho 13 th× 10a + b chia hết cho 13 ngợc lại b) Nếu 3a + 2b chia hÕt cho 17 th× 10a + b chia hết cho 17 ngợc lại Bài tập 8: CMR:
a) NÕu 3n + chia hÕt cho 10 th× 3n + 4 + chia hÕt cho 10
b) NÕu (mn + pq) chia hÕt cho (m - p), th× (mq + np) chia hÕt cho (m - p) ( m, n, p, q Z; m p)
c) NÕu a - b chia hÕt cho th×: a + 5b chia hÕt cho 6; a + 17b chia hÕt cho b; a - 14b không chia hết cho
Bài tập 9: CMR:
a) Nếu bx + 11y chia hết cho 31 k + 7y chia hết cho 31 Điều ngợc lại có khơng ? b) (5x + 2y) chia hết cho 17 <=> 9x + 7y chia hết cho 17
*Sử dụng phơng pháp (IV)
Bài tËp 10: CMR: (13 + 33 + 53 + 73) chia hÕt cho 23
Bµi tËp 11: CMR: (3 + 33 + 35 + 37 + + 32n – 1) chia hÕt cho 30 (n Z+)
Bµi tËp 12: CMR: (122n + 1 + 11n +2) chia hÕt cho 133 (n Z+)
Bµi tËp 13: CMR: S1 = (5 + + + + 5100) chia hÕt cho
S2
= (2 + 2 + 3 + + 2100) chia hÕt cho 31
S3
= (16 5 + 15) chia hÕt cho 33
*Sö dụng phơng pháp (V)
Bài tập 14: CMR:Trong m số nguyên có số chia hÕt cho m hc cã Ýt nhÊt sè cã tæng chia hÕt cho m
BT15: CMR: Trong số tự nhiên tìm đợc số có hiệu chia hết cho BT16: CMR: Tồn bội số 1989 đợc viết toàn chữ số
*Sư dơng ph¬ng pháp (V) Bài tập 17: CMR n Z a) 4n - 15n - chia hÕt cho 9
b) 10n + 18n - 28 chia hÕt cho 27
Bµi tËp 18: CMR n N