[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn thi: TỐN; Khối: B
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1 (1,0 điểm) Khảo sát… • Tập xác định: D= \ • Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' 8= x3−8 ;x y' 0= ⇔ x=0 x= ±1.
Hàm số nghịch biến trên: (−∞ −; 1) (0;1); đồng biến trên: ( 1;0)− (1;+ ∞)
0,25
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x= ±1, yCT = −2; đạt cực đại x=0, yCĐ =0 - Giới hạn: lim lim
x→−∞y=x→+∞y= +∞
0,25 - Bảng biến thiên:
Trang 1/4
0,25
• Đồ thị:
0,25
2 (1,0 điểm) Tìm m
2 2
x x − = m ⇔ 2x4−4x2 =2 m
0,25 Phương trình có nghiệm thực phân biệt đường thẳng cắt đồ thị
hàm số
6 y=2m
4
2
y= x − x điểm phân biệt 0,25
Đồ thị hàm số y= 2x4−4x2
và đường thẳng y=2m
0,25 I
(2,0 điểm)
Dựa vào đồ thị, yêu cầu toán thoả mãn khi: 2< m<2 ⇔ 0< <m
x −∞ −1 +∞
+ +∞
x y' − + −
y +∞
2
− −2
0
O y
2 −
2 −
−
16
2
y
O x
2
2
−
16
2 −
2 y= m
(2)Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm
1 (1,0 điểm) Giải phương trình…
Phương trình cho tương đương: (1 2sin− 2x)sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2cos 4
II
x
⇔ sin cos 2x x+cos sin 2x x+ cos3x=2cos 4x 0,25 ⇔ sin 3x+ cos3x=2cos 4x ⇔ cos cos
6
x π x
⎛ − ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠ 0,25
⇔
6
x= x− +π k π
x= − + +x π k π 0,25
Vậy:
6
x= − +π k π ( )
42
x= π +k π k∈] 0,25
2 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình…
Hệ cho tương đương:
2
2
1
13 x
x
y y x x
y y ⎧ + + = ⎪⎪
⎨
⎪ + + = ⎪⎩
(do y=0 không thoả mãn hệ cho) 0,25
⇔
1
7
1
13 x x
y y
x x
y y
⎧⎛ ⎞
+ + =
⎪⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎪ ⎨
⎛ ⎞
⎪ + − =
⎜ ⎟
⎪⎝ ⎠ ⎩
⇔
2
1
20
7
x x
y y
x
x
y y
⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎪ +⎜ ⎟ +⎜ + ⎟− =
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎨
⎛ ⎞
⎪ = − +
⎜ ⎟
⎪
⎝ ⎠
⎩
0,25
⇔
1 12 x
y
x y
⎧ + = − ⎪
⎨ ⎪ = ⎩
(I)
4 x
y x y ⎧ + = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩
(II) 0,25
(2,0 điểm)
(I) vô nghiệm; (II) có nghiệm: ( ; ) 1;1 x y = ⎜⎛ ⎞⎟
⎝ ⎠ ( ; ) (3;1).x y = Vậy: ( ; ) 1;1 ( ;
3 x y = ⎜⎛ ⎞⎟
⎝ ⎠ x y) (3;1).=
0,25
Tính tích phân… ln ,
u= + x 2;
( 1) dx dv
x =
+
1 , du dx
x
=
1 v
x = −
+ 0,25
I
3
1
3 ln
1 ( 1)
x dx
x x x
+
= − +
+ ∫ + 0,25
3
1
3 ln 3
4
dx dx
1
x x
+
= − + + −
+
∫ ∫ 0,25
III (1,0 điểm)
3
1
3 ln 27
ln ln ln
4 x x
− ⎛ ⎞
= + − + = ⎜⎝ + 16⎟⎠ 0,25
Tính thể tích khối chóp…
Gọi D trung điểm AC trọng tâm tam giác G ABC ta có 'B G⊥(ABC) ⇒ nB BG' = 60D
⇒ ' ' sin 'n
2 a B G B B= B BG=
2 a
BG= ⇒
a BD=
Tam giác ABC có: 3,
2
AB AB
BC= AC= ⇒
4 AB CD=
0,50 IV
(1,0 điểm)
2 2
B A
BC +CD =BD ⇒ 2
6
3
4 16
AB AB a
+ = ⇒ 13,
13 a
AB= 13;
26 a AC=
2
9
104 ABC
a
SΔ = 0,25
'
B C
'
G
(3)Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm
Thể tích khối tứ diện A ABC' : ' ' '
A ABC B ABC ABC V =V = B G SΔ
3
9 208
a
= 0,25
Tìm giá trị nhỏ biểu thức…
Kết hợp (x y+ )3+4xy≥ 2 với (x y+ )2≥ y suy ra: 4x (x y+ )3+ +(x y)2≥2 ⇒ x y+ ≥1. 0,25
A=3(x4+y4+x y2 2) 2(− x2+y2) 1+ = 3( 2)2 3( 4) 2( 2)
2 x +y +2 x +y − x +y +1
0,25
≥ 3( 2)2 3( 2)2 2( 2) 1
2 x +y +4 x +y − x +y + ⇒ ( ) ( )
2
2 2
9
2
4
A≥ x +y − x +y +
Đặt t x= 2+y2, ta có 2 ( )2
2
x y
x +y ≥ + ≥ ⇒ 1;
t≥ 2 1
4
A≥ t − + t Xét ( ) 2 1;
4
f t = t − + t '( ) 2
f t = t− > với t≥ ⇒
1;
1
min ( )
2 16 f t f
⎡ +∞⎟⎞ ⎢⎣ ⎠
⎛ ⎞ = ⎜ ⎟=
⎝ ⎠
0,25 V
(1,0 điểm)
9 ; 16
A≥ đẳng thức xảy
x y= = Vậy, giá trị nhỏ A
16 0,25
1 (1,0 điểm) Xác định toạ độ tâm K
Gọi K a b( ; );K∈( )C ⇔ ( 2)2
5
a− +b = (1); ( )C1 tiếp xúc Δ1, Δ2 ⇔ VI.a
7
2
a b− a− b
= (2) 0,25
(1) (2), cho ta:
2
5( 2)
5
a b
a b a b
⎧ − + =
⎪ ⎨
− = −
⎪⎩ ⇔ (I) (II)
2
5( 2)
5( )
a b
a b a b
⎧ − + =
⎨
− = − ⎩
2
5( 2)
5( )
a b
a b b a
⎧ − + =
⎨
− = −
⎩ 0,25
(2,0 điểm)
(I) ⇔ vô nghiệm; (II)
2
25 20 16
a a
b a
⎧ − + =
⎨ = −
⎩ ⇔
2 8 4
( ; ) ; 5 25 40 16
a b
a b
b b
=
⎧ ⎛ ⎞
⇔ =
⎨ − + = ⎜⎝ ⎟⎠
⎩ 0,25
Bán kính ( ) :C1
2 a b
R= − = Vậy: 4; 5 K⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠
2
R= 0,25
2 (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P
Mặt phẳng ( )P thoả mãn yêu cầu toán hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: ( )P qua ,A B song song với CD 0,25 Vectơ pháp tuyến ( ) P : nG= ⎣⎡JJJG JJJGAB CD, ⎤⎦
( 3; 1;2), AB= − −
JJJG JJJG
( 2;4;0)
CD= − ⇒ nG= − − −( 8; 4; 14) Phương trình ( )P : 4x+2y+7z− =15 0,25 Trường hợp 2: ( )P qua ,A B cắt CD Suy ( )P cắt CD trung điểm
vectơ pháp tuyến
I CD (1;1;1) (0; 1;0);
I ⇒ JJGAI = − ( ) :P nG=⎡⎣JJJG JJGAB AI, ⎤ =⎦ (2;0;3) 0,25 Phương trình ( ) : 2P x+3z− =5
Vậy ( )P : 4x+2y+7z− =15 ( ) : 2P x+3z− =5 0,25 Tìm số phức z
Gọi z x yi= + ; z (2 i) (x 2) (y 1) ;i VII.a
2
(2 ) 10 ( 2) ( 1) 10
z− + =i ⇔ −x + −y =
− + = − + − (1) 0,25
2
25 25
z z= ⇔ x +y = (2) 0,25
(1,0 điểm)
(4)Trang 4/4
Câu Đáp án Điểm
1 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm , B C
Gọi H hình chiếu A Δ, suy H trung điểm BC
( , ) ;
2
AH=d A BC = BC 2S ABC AH
Δ
= =
VI.b
2
2 97.
4
BC AB AC= = AH + =
0,25
Toạ độ B C nghiệm hệ: ( ) ( )
2 97
1
2
x y
x y
⎧ + + − = ⎪
⎨
⎪ − − = ⎩
0,25 Giải hệ ta được: ( ; ) 11 3;
2 x y = ⎜⎛
⎝ ⎠
⎞
⎟ ( ; )x y =⎝⎜⎛23;−25⎞⎟⎠ 0,25
Vậy 11 3; , 3;
2 2
B⎛⎜ ⎞⎟ C⎛⎜ −
⎝ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
3 11
; , ;
2 2
B⎛⎜ − ⎞⎟ C⎛⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞ ⎟
⎠ 0,25
2 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…
Gọi đường thẳng cần tìm; nằm mặt phẳng qua song song với Δ Δ
( )Q A ( ).P
Phương trình ( )Q x: −2y+2z+ =1 0,25
,
K H hình chiếu B Δ ( )., Q Ta có BK BH≥ nên AH đường thẳng cần tìm 0,25
Toạ độ H=( ; ; )x y z thoả mãn:
1
1 2
2
x y z
x y z
− + −
⎧ = =
⎪
− ⎨
⎪ − + + = ⎩
⇒ 11 7; ; 9 H= −⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ 0,25
(2,0 điểm)
26 11 ; ; 9 AH =⎛⎜ −
⎝ ⎠
JJJG
H
B C
A Δ
B
⎞
⎟ Vậy, phương trình :
26 11
x+ y z−
Δ = =
− 0,25
Tìm giá trị tham số m
Toạ độ ,A B thoả mãn:
2 1
x
x m x
y x m
⎧ − = − + ⎪
⎨
⎪ = − + ⎩
⇔
2
2 0, ( 0)
x mx x
y x m
⎧ − − = ≠
⎨
= − + ⎩
(1)
0,25
Nhận thấy (1) có hai nghiệm thực phân biệt x x khác với 1, 2 m Gọi A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y2 2 ta có: 2 2
1 2
( ) ( ) 2( )
AB = x −x + y −y = x −x 0,25
Áp dụng định lí Viet (1), ta được:
2
2
1 2
2 ( ) 4
2 m
AB = ⎡⎣ x +x − x x ⎤⎦= + 0,25
VII.b (1,0 điểm)
2
4 16
2 m
AB= ⇔ + = ⇔ = ±m 0,25
-Hết - Q
K