ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x + x − x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = − Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình cos x + 12sin x − = Giải bất phương trình x − 3.2 x + x2 − x − Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ − 41+ x2 − x − > 2x +1 dx x( x + 1) Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 30o Gọi M trung điểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị tham số thực m để phương trình sau có nghiệm + x + (4 − x)(2 x − 2) = m + 4 − x + x − ( x ∈ \) ( ) PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y + = Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2; − 4) tạo với đường thẳng d góc 45o Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 2; 3), B(1; 0; −5) mặt phẳng ( P) : x + y − 3z − = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho ba điểm A, B, M thẳng hàng Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z + z = 4i − 20 Tính môđun z B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x + y − = 0, BC: x + y − = 0, CA : 3x + y − = Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC x −1 y +1 z −1 = = Viết phương trình Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : −3 mặt cầu có tâm I(1; 2; − 3) cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB = 26 Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z − 2(1 + i ) z + 2i = Tìm phần thực phần ảo - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: .; Số báo danh: z ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x + x − x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = − Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình cos x + 12sin x − = Giải bất phương trình x − 3.2 x + x2 − x − Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ − 41+ x2 − x − > 2x +1 dx x( x + 1) Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 30o Gọi M trung điểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị tham số thực m để phương trình sau có nghiệm + x + (4 − x)(2 x − 2) = m + 4 − x + x − ( x ∈ \) ( ) PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y + = Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2; − 4) tạo với đường thẳng d góc 45o Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 2; 3), B(1; 0; −5) mặt phẳng ( P) : x + y − 3z − = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho ba điểm A, B, M thẳng hàng Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z + z = 4i − 20 Tính môđun z B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x + y − = 0, BC: x + y − = 0, CA : 3x + y − = Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC x −1 y +1 z −1 = = Viết phương trình Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : −3 mặt cầu có tâm I(1; 2; − 3) cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB = 26 Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z − 2(1 + i ) z + 2i = Tìm phần thực phần ảo - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: .; Số báo danh: z ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 03 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) • Tập xác định: D = \ ⎡x =1 • y ' = − x + x − 3; y ' = ⇔ ⎢ ⎣ x = • Giới hạn: 0,25 lim y = + ∞, lim y = − ∞ x →− ∞ x→ + ∞ • Bảng biến thiên: x −∞ y’ +∞ y − − + +∞ − 0,25 −∞ - Hàm số đồng biến khoảng (1; 3); nghịch biến khoảng (− ∞; 1) (3; + ∞) - Hàm số đạt cực đại x = 3, yCĐ = 1; đạt cực tiểu x = 1, yCT = − ⋅ • Đồ thị: 0,25 y O −− 3 x 0,25 (1,0 điểm) II (2,0 điểm) Tọa độ giao điểm (C) với trục tung (0; 1) 0,25 Hệ số góc tiếp tuyến k = y '(0) = − 0,25 Phương trình tiếp tuyến y = k ( x − 0) + 0,25 ⇔ y = −3 x + 0,25 (1,0 điểm) Phương trình cho tương đương với 2cos 2 x − + 6(1 − cos x) − = 0,25 ⇔ cos 2 x − 3cos x + = 0,25 • cos2x = 2: Vô nghiệm 0,25 • cos x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z) 0,25 Trang 1/3 Câu Đáp án Điểm (1,0 điểm) Điều kiện: x ≤ −1 x ≥ Bất phương trình cho tương đương với x − Đặt t = x − x − x −3 − 3.2 x − x − x −3 0,25 − > x − x −3 0,25 > 0, bất phương trình trở thành t − 3t − > ⇔ t > (do t > 0) ⇔ x2 − x − < x − ⇔ < x < ⋅ Kết hợp với điều kiện, ta nghiệm bất phương trình cho ≤ x < ⋅ III (1,0 điểm) 0,25 0,25 ⎞ ⎛1 Ta có I = ∫ ⎜ + ⎟ dx x x +1⎠ 1⎝ • ∫ x dx = l n | x | = ln 2 • 0,25 0,25 ∫ x + dx = l n | x + 1| = ln − ln 0,25 IV Do I = ln S 0,25 (1,0 điểm) M A C Ta có SA ⊥ BC, AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC n = 30o Do đó, góc (SBC) (ABC) SBA 0,25 1 VS ABM = VS ABC = SA AB.BC 12 0,25 BC = AB = a; SA = AB.tan 30o = Vậy VS ABM = V (1,0 điểm) B Điều kiện: ≤ x ≤ Xét f ( x) = − x + x − 2, ≤ x ≤ −1 f '( x) = + ; f '( x) = ⇔ x = 4− x 2x − • Bảng biến thiên (hình bên) a ⋅ 0,25 a3 ⋅ 36 0,25 x f’(x) 3 + − 0,25 f(x) Đặt t = − x + x − Phương trình cho trở thành t − 4t + = m (1) Dựa vào bảng biến thiên, ta phương trình cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm t thỏa mãn Xét g (t ) = t − 4t + 4, ≤ t ≤ g '(t ) = 2t − 4; g '(t ) = ⇔ t = • Bảng biến thiên (hình bên) t g’(t) ≤ t ≤ 3 − 7−4 0,25 + 0,25 g(t) VI.a (2,0 điểm) Dựa vào bảng biến thiên, ta giá trị m cần tìm ≤ m ≤ 1 (1,0 điểm) JJG Phương trình đường thẳng ∆ qua A(2; − 4) có vectơ pháp tuyến v = (a; b) a( x − 2) + b( y + 4) = 0, với a + b ≠ JJG Vectơ pháp tuyến d u = (1; 1) Do cos(d , ∆ ) = |a+b| a + b ⋅ 0,25 0,25 0,25 cos(d , ∆ ) = cos 45o ⇔ ab = 0,25 Với a = 0, ta có phương trình ∆ : y + = 0; với b = 0, ta có phương trình ∆ : x − = 0,25 Trang 2/3 Câu Đáp án Điểm (1,0 điểm) VII.a (1,0 điểm) A, B, M thẳng hàng ⇔ M thuộc đường thẳng AB JJJG Ta có AB = (2; −2; −8) = 2(1; −1; − 4); M ∈ AB ⇒ M (−1 + t ; − t ; − 4t ) 0,25 M ∈ ( P ) ⇒ 2(−1 + t ) + (2 − t ) − 3(3 − 4t ) − = 0,25 0,25 ⇒ t = Vậy M (0; 1; − 1) Đặt z = a + bi (a, b ∈ \ ) Đẳng thức cho trở thành (−3 + 4i )(a + bi ) + (a − bi ) = 4i − 20 ⎧a + 2b = 10 ⇔⎨ ⎩a − b = ⎧a = ⇔⎨ ⎩b = (2,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 Do | z | = 42 + 32 = VI.b 0,25 0,25 (1,0 điểm) ⎧x + 3y − = Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình ⎨ ⎩3x + y − = ⇒ A(1; 2) JJG Đường cao kẻ từ A có vectơ pháp tuyến n = (5; − 4) Phương trình đường cao 5( x − 1) − 4( y − 2) = ⇔ x − y + = 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Mặt phẳng (P) qua I vuông góc với d có phương trình 4( x − 1) − 3( y − 2) + ( z + 3) = ⇔ x − y + z + = 0,25 ⎧ x −1 y +1 z −1 = = 1⎞ ⎪ ⎛ Tọa độ giao điểm H d (P) thỏa mãn hệ ⎨ ⇒ H ⎜ −1; ; ⎟ −3 2⎠ ⎝ ⎩⎪4 x − y + z + = 0,25 VII.b (1,0 điểm) ⎛ AB ⎞ Bán kính mặt cầu R = IH + ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 0,25 Phương trình mặt cầu ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 3) = 25 0,25 Phương trình bậc hai theo z có ∆ = 4(1 + i )2 − 8i = ⇒ z =1+ i 1 1 ⇒ = = − i z 1+ i 2 1 1 Vậy phần thực , phần ảo − ⋅ z z 0,25 - Hết - Trang 3/3 0,25 0,25 0,25 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 03 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) • Tập xác định: D = \ ⎡x =1 • y ' = − x + x − 3; y ' = ⇔ ⎢ ⎣ x = • Giới hạn: 0,25 lim y = + ∞, lim y = − ∞ x →− ∞ x→ + ∞ • Bảng biến thiên: x −∞ y’ +∞ y − − + +∞ − 0,25 −∞ - Hàm số đồng biến khoảng (1; 3); nghịch biến khoảng (− ∞; 1) (3; + ∞) - Hàm số đạt cực đại x = 3, yCĐ = 1; đạt cực tiểu x = 1, yCT = − ⋅ • Đồ thị: 0,25 y O −− 3 x 0,25 (1,0 điểm) II (2,0 điểm) Tọa độ giao điểm (C) với trục tung (0; 1) 0,25 Hệ số góc tiếp tuyến k = y '(0) = − 0,25 Phương trình tiếp tuyến y = k ( x − 0) + 0,25 ⇔ y = −3 x + 0,25 (1,0 điểm) Phương trình cho tương đương với 2cos 2 x − + 6(1 − cos x) − = 0,25 ⇔ cos 2 x − 3cos x + = 0,25 • cos2x = 2: Vô nghiệm 0,25 • cos x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z) 0,25 Trang 1/3 Câu Đáp án Điểm (1,0 điểm) Điều kiện: x ≤ −1 x ≥ Bất phương trình cho tương đương với x − Đặt t = x − x − x −3 − 3.2 x − x − x −3 0,25 − > x − x −3 0,25 > 0, bất phương trình trở thành t − 3t − > ⇔ t > (do t > 0) ⇔ x2 − x − < x − ⇔ < x < ⋅ Kết hợp với điều kiện, ta nghiệm bất phương trình cho ≤ x < ⋅ III (1,0 điểm) 0,25 0,25 ⎞ ⎛1 Ta có I = ∫ ⎜ + ⎟ dx x x +1⎠ 1⎝ • ∫ x dx = l n | x | = ln 2 • 0,25 0,25 ∫ x + dx = l n | x + 1| = ln − ln 0,25 IV Do I = ln S 0,25 (1,0 điểm) M A C Ta có SA ⊥ BC, AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC n = 30o Do đó, góc (SBC) (ABC) SBA 0,25 1 VS ABM = VS ABC = SA AB.BC 12 0,25 BC = AB = a; SA = AB.tan 30o = Vậy VS ABM = V (1,0 điểm) B Điều kiện: ≤ x ≤ Xét f ( x) = − x + x − 2, ≤ x ≤ −1 f '( x) = + ; f '( x) = ⇔ x = 4− x 2x − • Bảng biến thiên (hình bên) a ⋅ 0,25 a3 ⋅ 36 0,25 x f’(x) 3 + − 0,25 f(x) Đặt t = − x + x − Phương trình cho trở thành t − 4t + = m (1) Dựa vào bảng biến thiên, ta phương trình cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm t thỏa mãn Xét g (t ) = t − 4t + 4, ≤ t ≤ g '(t ) = 2t − 4; g '(t ) = ⇔ t = • Bảng biến thiên (hình bên) t g’(t) ≤ t ≤ 3 − 7−4 0,25 + 0,25 g(t) VI.a (2,0 điểm) Dựa vào bảng biến thiên, ta giá trị m cần tìm ≤ m ≤ 1 (1,0 điểm) JJG Phương trình đường thẳng ∆ qua A(2; − 4) có vectơ pháp tuyến v = (a; b) a( x − 2) + b( y + 4) = 0, với a + b ≠ JJG Vectơ pháp tuyến d u = (1; 1) Do cos(d , ∆ ) = |a+b| a + b ⋅ 0,25 0,25 0,25 cos(d , ∆ ) = cos 45o ⇔ ab = 0,25 Với a = 0, ta có phương trình ∆ : y + = 0; với b = 0, ta có phương trình ∆ : x − = 0,25 Trang 2/3 Câu Đáp án Điểm (1,0 điểm) VII.a (1,0 điểm) A, B, M thẳng hàng ⇔ M thuộc đường thẳng AB JJJG Ta có AB = (2; −2; −8) = 2(1; −1; − 4); M ∈ AB ⇒ M (−1 + t ; − t ; − 4t ) 0,25 M ∈ ( P ) ⇒ 2(−1 + t ) + (2 − t ) − 3(3 − 4t ) − = 0,25 0,25 ⇒ t = Vậy M (0; 1; − 1) Đặt z = a + bi (a, b ∈ \ ) Đẳng thức cho trở thành (−3 + 4i )(a + bi ) + (a − bi ) = 4i − 20 ⎧a + 2b = 10 ⇔⎨ ⎩a − b = ⎧a = ⇔⎨ ⎩b = (2,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 Do | z | = 42 + 32 = VI.b 0,25 0,25 (1,0 điểm) ⎧x + 3y − = Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình ⎨ ⎩3x + y − = ⇒ A(1; 2) JJG Đường cao kẻ từ A có vectơ pháp tuyến n = (5; − 4) Phương trình đường cao 5( x − 1) − 4( y − 2) = ⇔ x − y + = 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Mặt phẳng (P) qua I vuông góc với d có phương trình 4( x − 1) − 3( y − 2) + ( z + 3) = ⇔ x − y + z + = 0,25 ⎧ x −1 y +1 z −1 = = 1⎞ ⎪ ⎛ Tọa độ giao điểm H d (P) thỏa mãn hệ ⎨ ⇒ H ⎜ −1; ; ⎟ −3 2⎠ ⎝ ⎩⎪4 x − y + z + = 0,25 VII.b (1,0 điểm) ⎛ AB ⎞ Bán kính mặt cầu R = IH + ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 0,25 Phương trình mặt cầu ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 3) = 25 0,25 Phương trình bậc hai theo z có ∆ = 4(1 + i )2 − 8i = ⇒ z =1+ i 1 1 ⇒ = = − i z 1+ i 2 1 1 Vậy phần thực , phần ảo − ⋅ z z 0,25 - Hết - Trang 3/3 0,25 0,25 0,25 ... liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: .; Số báo danh: z ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 03 trang)... ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 03 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm)... 0,25 (1,0 điểm) M A C Ta có SA ⊥ BC, AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC n = 30o Do đó, góc (SBC) (ABC) SBA 0,25 1 VS ABM = VS ABC = SA AB.BC 12 0,25 BC = AB = a; SA = AB.tan 30o = Vậy VS ABM = V (1,0 điểm)