ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x + Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = (1) x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số (1), biết d vuông góc với đường thẳng y = x + Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình 2cos x + sin x = sin 3x b) Giải bất phương trình log (2 x).log (3 x) > Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x x +1 dx Câu (1,0 điểm) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a , SA = SB = SC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC ) 60o Tính thể tích khối chóp S ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x3 + x − ( x + 1) x + = ( x ∈ \) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 6.a (2,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x + y − x − y + = đường thẳng d : x − y + m = Tìm m để d cắt (C ) hai điểm A, B cho n AIB = 120o , với I tâm (C ) b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng: ⎧x = t ⎪ d1 : ⎨ y = 2t (t ∈ \), ⎪z = − t ⎩ ⎧ x = + 2s ⎪ d : ⎨ y = + 2s (s ∈ \) ⎪ z = −s ⎩ Chứng minh d1 d cắt Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1 , d Câu 7.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i ) z − 2−i = (3 − i ) z Tìm tọa độ điểm biểu diễn z 1+ i mặt phẳng tọa độ Oxy B Theo chương trình Nâng cao Câu 6.b (2,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Các đường thẳng BC , BB ', B ' C ' có phương trình y − = 0, x − y + = 0, x − y + = 0; với B ', C ' tương ứng chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng AB, AC x − y +1 z +1 b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : mặt phẳng = = −1 −1 ( P ) : x + y − z = Đường thẳng Δ nằm ( P ) vuông góc với d giao điểm d ( P) Viết phương trình đường thẳng Δ Câu 7.b (1,0 điểm) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + + 2i = Tính z1 + z2 - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu (2,0 điểm) Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2x + x +1 (1) • Tập xác định: R \ {−1} • Sự biến thiên: - Đạo hàm: y ' = −1 0,25 , y ' < , ∀x ≠ −1 ( x + 1) - Hàm số nghịch biến khoảng (− ∞; −1) (−1; + ∞) - Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = ; tiệm cận ngang y = x→ − ∞ x→ + ∞ lim y = − ∞ x → ( − 1) − lim y = + ∞ ; tiệm cận đứng x = −1 x → ( − 1) + 0,25 - Hàm số cực trị - Bảng biến thiên: x −∞ −1 − y' y +∞ − +∞ 0,25 −∞ • Đồ thị: y 0,25 3 − -1 O x b) (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số (1), biết d vuông góc với đường thẳng y = x + d vuông góc với đường thẳng y = x + ⇔ d có hệ số góc −1 Hoành độ tiếp điểm x0 : y '( x0 ) = −1 ⇔ (2,0 điểm) ⎡ x0 = −1 = −1 ⇔ ⎢ ( x0 + 1) ⎣ x0 = −2 0,25 0,25 x0 = : Phương trình tiếp tuyến d y = − x + 0,25 x0 = −2 : Phương trình tiếp tuyến d y = − x − 0,25 a) (1,0 điểm) Giải phương trình: 2cos x + sin x = sin x Phương trình cho tương đương với: 2cos x + sin x − sin x = ⇔ 2cos x − 2cos x sin x = 1/4 0,25 ⎡ cos2 x = ⇔ 2cos x(sin x − 1) = ⇔ ⎢ ⎣sin x = cos x = ⇔ x = sin x = ⇔ x = π π +k π 0,25 0,25 + k 2π 0,25 b) (1,0 điểm) Giải bất phương trình log ( x ) log ( x ) > (1,0 điểm) Điều kiện x > Bất phương trình tương đương với (1 + log x )(1 + log x ) > 0,25 ⎡log x < − log ⇔ (1 + log x)(1 + log 2.log x) > ⇔ log x [ (log3 2).log x + log3 6] > ⇔ ⎢ ⎣log x > 0,25 log x < − log ⇔ < x < 0,25 ⎛ 1⎞ log x > ⇔ x > Tập nghiệm bất phương trình cho: ⎜ 0; ⎟ ∪ (1; +∞ ) ⎝ 6⎠ 0,25 Tính tích phân I = x ∫ x +1 Đặt dx x + = t ; dx = 2tdt ; x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 0,25 ∫ Ta có I = 2(t − 1)dt 0,25 ⎛ t3 ⎞ Suy I = ⎜ − t ⎟ ⎝3 ⎠1 0,25 I= (1,0 điểm) 0,25 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a , SA = SB = SC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC ) 60o Tính thể tích khối chóp S ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a Gọi H trung điểm BC ⇒ HA = HB = HC Kết hợp với giả thiết SA = SB = SC suy SH ⊥ BC , ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC n = 60o ⇒ SH ⊥ ( ABC ) SAH S 0,25 H 2a B 60o C a A ∆ABC vuông cân A : AC = AB = a ⇒ BC = 2a ⇒ AH = a 1 3a ∆SHA vuông : SH = AH tan 60o = a ⇒ VS ABC = AB AC SH = 3 2/4 0,25 Gọi O, R tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC ⇒ O thuộc đường thẳng SH ⇒ O thuộc mặt phẳng ( SBC ) ⇒ R bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆SBC 0,25 2a 2a SH = = 2a ⇒ ∆SBC có độ dài cạnh a ⇒ R = o o 2sin 60 sin 60 0,25 Xét ∆SHA, ta có SA = (1,0 điểm) Giải phương trình x3 + x − ( x + 1) x + = ( x ∈ \) Điều kiện x ≥ − Phương trình cho tương đương với: (2 x)3 + x = ( ) 0,25 2x + + 2x + (1) Xét hàm số f (t ) = t + t \ Với t ∈ \, f '(t ) = 3t + > 0,25 ⇒ f (t ) đồng biến \ Do (1) ⇔ x = x + 0,25 Giải phương trình nghiệm x = 1+ 0,25 6.a a) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x + y − x − y + = (2,0 điểm) đường thẳng d : x − y + m = Tìm m để d cắt (C ) hai điểm A, B cho n AIB = 120o , với I tâm (C ) Đường tròn (C ) có tâm I (1;2), bán kính R = 0,25 n = 120o ⇔ IH = IA cos60o = Gọi H hình chiếu I d , đó: AIB 0,25 |m− 2| =1 ⎡m = ⇔⎢ ⎣ m = −3 Do 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ⎧x = t ⎪ d1 : ⎨ y = 2t (t ∈ \), ⎪z = − t ⎩ ⎧ x = + 2s ⎪ d : ⎨ y = + s (s ∈ \) ⎪ z = −s ⎩ Chứng minh d1 d cắt Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1 , d ⎧t = + 2s ⎪ Xét hệ ⎨2t = + 2s (*) ⎪1 − t = − s ⎩ 0,25 ⎧t = ⇒ d1 , d cắt Giải hệ (*) ⎨ ⎩s = JJG JJG d1 có VTCP u1 = (1; 2; −1) , d có VTCP u2 = ( 2; 2; −1) Mặt phẳng cần tìm mặt phẳng qua G G điểm I (0;0;1) ∈ d1 có VTPT [u1 , u ] = ( 0; −1; −2 ) Phương trình mặt phẳng cần tìm: y + z − = 7.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i) z − 0,25 0,25 0,25 2−i = (3 − i ) z Tìm tọa độ điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa 1+ i độ Oxy Phương trình cho tương đương với (1 − 2i) z − (3 − i) z = 3/4 2−i 1+ i 0,25 ⇔ (−2 − i) z = ⇔z= − 3i 0,25 + i 10 10 0,25 0,25 ⎛1 7⎞ Điểm biểu diễn z M ⎜ ; ⎟ ⎝ 10 10 ⎠ 6.b (2,0 điểm) a) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Các đường thẳng BC , BB ', B ' C ' có phương trình y − = 0, x − y + = 0, x − y + = 0; với B ', C ' tương ứng chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng AB, AC ⎧x − y + = Tọa độ điểm B ' nghiệm hệ ⎨ , giải hệ ta ⎩x − 3y + = ⎧ x = −2 ⇒ B '(−2;0) ⎨ ⎩y = 0,25 Đường thẳng AC qua B ' vuông góc với BB ' nên AC có phương trình x + y + = ⎧x − y + = Tọa độ điểm B nghiệm hệ ⎨ , giải hệ ta ⎩y − = ⎧x + y + = Tọa độ điểm C nghiệm hệ ⎨ , giải hệ ta ⎩y − = ⎧x = ⇒ B (0; 2) ⎨ ⎩y = ⎧ x = −4 ⇒ C ( −4;2) ⎨ ⎩y = C '(3t − 2; t ) ∈ B ' C ', từ BC ' ⊥ CC ' suy C '(− ; ) C '( −2;0) 5 Nếu C '(− ; ) đường thẳng AB có phương trình x − y + = 5 Nếu C '(−2;0) đường thẳng AB có phương trình x − y + = 0,25 0,25 0,25 x − y +1 z +1 = = mặt −1 −1 phẳng ( P) : x + y − z = Đường thẳng ∆ nằm ( P) vuông góc với d giao điểm d ( P ) Viết phương trình đường thẳng ∆ b) (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Gọi I giao điểm d ( P) ; I (1; −2;0) JJG JJG ( P) có VTPT nP = (2;1; −2) , d có VTCP ud = (−1; −1;1) JJG JJG JJG JJG JJJG [ nP , ud ] = ( −1;0; −1) ∆ nằm ( P) vuông góc với d ⇒ ∆ có VTCP u∆ = [nP ; ud ] ⎧x = 1− t Phương trình đường thẳng ∆ : ⎪⎨ y = − ( t ∈ \) ⎪ z = −t ⎩ 7.b (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z − z + + 2i = Tính z1 + z2 Phương trình cho tương đương với ( z − 1) − (1 − i ) = ⇔ ( z − i )( z − + i ) = 0,25 0,25 ⎡z = i ⇔ ⎢ ⎣z = − i z1 + z2 =| i | + | − i |= + 0,25 0,25 HẾT 4/4 ... ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1 , Khối B Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu (2,0 điểm) Đáp án Điểm a) (1,0 điểm)... ⇒ SH ⊥ ( ABC ) SAH S 0,25 H 2a B 60o C a A ∆ABC vuông cân A : AC = AB = a ⇒ BC = 2a ⇒ AH = a 1 3a ∆SHA vuông : SH = AH tan 60o = a ⇒ VS ABC = AB AC SH = 3 2/4 0,25 Gọi O, R tâm, bán kính mặt... Ta có I = 2(t − 1)dt 0,25 ⎛ t3 ⎞ Suy I = ⎜ − t ⎟ ⎝3 ⎠1 0,25 I= (1,0 điểm) 0,25 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a , SA = SB = SC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC