BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: B Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − (2m − 1) x + (2 − m) x + (1), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Tìm giá trị m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) có hoành độ dương Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình (1 + 2sin x)2 cos x = + sin x + cos x Giải bất phương trình x + + x − ≤ x + ( x ∈ \) Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ (e−2 x + x)e x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB = a, SA = a Gọi M , N P trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Câu V (1,0 điểm) Cho a b hai số thực thỏa mãn < a < b < Chứng minh a ln b − b ln a > ln a − ln b PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương trình Tìm tọa độ đỉnh A B Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt ( P2 ) : x + y − z + = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) hai mặt phẳng ( P1 ) ( P2 ) có C ( −1; − 2), đường trung tuyến x + y − = x + y − = phẳng ( P1 ) : x + y + z + = qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 + i )2 (2 − i) z = + i + (1 + 2i) z Tìm phần thực phần ảo z B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ1 : x − y − = Δ : x + y + = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ1 cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ⋅ 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B (0; 2; 1) trọng tâm G (0; 2; − 1) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm C vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Câu VII.b (1,0 điểm) z − − 7i Giải phương trình sau tập hợp số phức: = z − 2i z −i Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị … Khi m = 2, hàm số (1) trở thành y = x3 − x + • Tập xác định: \ • Chiều biến thiên: - Ta có y ' = x − x; y ' = ⇔ x = x = - Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) (2; + ∞) - Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) • Cực trị: - Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = - Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) = −2 • Các giới hạn vô cực: lim y = − ∞ lim y = + ∞ x→−∞ • Bảng biến thiên: x + − +∞ +∞ −∞ Đồ thị 0,25 + y • 0,25 x→+ ∞ −∞ y' 0,25 −2 y 2 O 0,25 x −2 (1,0 điểm) Tìm giá trị m … Ta có y ' = 3x − ( 2m − 1) x + − m m thỏa mãn yêu cầu toán phương trình y ' = có hai nghiệm dương phân biệt ⎧ ⎪Δ ' = (2m − 1) − 3(2 − m) > ⎪ 2(2m − 1) ⎪ ⇔ ⎨S = >0 ⎪ 2−m ⎪ ⎪⎩ P = > ⇔ < m < Trang 1/4 0,25 0,25 0,50 Câu II (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Giải phương trình… Phương trình cho tương đương với (sin x + 1)(2sin x − 1) = 0,50 π + k 2π (k ∈ ]) π 5π • sin x = ⇔ x = + kπ x = + kπ (k ∈ ]) 12 12 (1,0 điểm) Giải bất phương trình … • sin x = −1 ⇔ x = − 0,25 0,25 Điều kiện: x ≥ 0,25 ( x + 1)( x − 2) ≤ Bất phương trình cho tương đương với III (1,0 điểm) 0,25 ⇔ −2 ≤ x ≤ 0,25 Kết hợp điều kiện ta tập hợp nghiệm bất phương trình cho [ 2; 3] 0,25 −x I = ∫ e dx + ∫ xe dx = −e x 1 + ∫ xe dx = − + ∫ xe x dx e 0 −x x 0,25 Đặt u = x dv = e x dx, ta có du = dx v = e x 1 1 I = − + xe x − ∫ e x dx = − + e − e x e e IV (1,0 điểm) 0,25 0,25 = 2− ⋅ e 0,25 Ta có MN //CD SP ⊥ CD, suy MN ⊥ SP 0,50 Gọi O tâm đáy ABCD a Ta có SO = SA2 − OA2 = ⋅ 1 VAMNP = VABSP = VS ABCD a 1 = SO AB = ⋅ 48 S M N 0,50 A D P O B V (1,0 điểm) C Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ln a a2 + < ln b b2 + ⋅ (t + 1) − 2t ln t ln t t Xét hàm số f (t ) = , t ∈ (0; 1) Ta có f '(t ) = > 0, ∀t ∈ (0; 1) t +1 (t + 1) Do f (t ) đồng biến khoảng (0; 1) Mà < a < b < 1, nên f (a ) < f (b) Vậy ln a a +1 Trang 2/4 < ln b b2 + ⋅ 0,25 0,50 0,25 Câu VI.a (2,0 điểm) Đáp án (1,0 điểm) Tìm tọa độ đỉnh A B … Đường thẳng AC qua C vuông góc với đường thẳng x + y − = Do AC : x − y + = ⎧5 x + y − = ⇒ A(1; 4) Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ ⎨ ⎩3x − y + = Điểm B thuộc đường thẳng x + y − = trung điểm BC thuộc đường ⎧x + 3y − = ⎪ thẳng x + y − = Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ ⎨ ⎛ x − ⎞ y − ⎪5 ⎜ ⎟ + − = ⎠ ⎩ ⎝ VII.a (1,0 điểm) VI.b (2,0 điểm) Điểm 0,25 0,25 0,25 ⇒ B (5; 0) 0,25 (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (P) … JJG • (P1) có vectơ pháp tuyến n1 = (1; 2; 3) JJG • (P2) có vectơ pháp tuyến n2 = (3; 2; − 1) JJG • (P) có vectơ pháp tuyến n = (4; − 5; 2) 0,25 (P) qua A(1; 1; 1) nên ( P ) : x − y + z − = 0,50 Hệ thức cho tương đương với (1 + 2i ) z = + i 0,25 ⇔ z = − 3i 0,50 0,25 Do z có phần thực phần ảo −3 (1,0 điểm) Tìm tọa độ điểm M … M ∈ Δ1 ⇒ M (2t + 3; t ) 0,25 0,25 Khoảng cách từ M đến Δ d ( M , Δ ) = | 2t + + t + 1| ⋅ ⎡t = −1 ⇔⎢ d (M , Δ ) = ⎢t = − ⋅ ⎣ 5⎞ ⎛ Vậy M (1; − 1) M ⎜ − ; − ⎟ ⎝ 3⎠ 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng Δ … ⎧1 + x ⎪ =0 ⎪ ⎪ 3+ y = ⇒ C ( − 1; 3; − 4) Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ ⎨ ⎪ ⎪ 1+ z ⎪ = −1 ⎩ JJJG JJJG Ta có AB = ( − 1; 1; 1), AG = ( − 1; 1; − 1) JJG Mặt phẳng ( ABC ) có vectơ pháp tuyến n = (1; 1; 0) ⎧ x = −1 + t ⎪ Phương trình tham số đường thẳng Δ ⎨ y = + t ⎪ z = − ⎩ Trang 3/4 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu VII.b (1,0 điểm) Đáp án Điểm Điều kiện: z ≠ i Phương trình cho tương đương với z − (4 + 3i ) z + + 7i = 0,25 Δ = − 4i = (2 − i ) 0,50 Nghiệm phương trình cho z = + 2i z = + i 0,25 -Hết - Trang 4/4 .. .B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM... tâm đáy ABCD a Ta có SO = SA2 − OA2 = ⋅ 1 VAMNP = VABSP = VS ABCD a 1 = SO AB = ⋅ 48 S M N 0,50 A D P O B V (1,0 điểm) C B t đẳng thức cần chứng minh tương đương với ln a a2 + < ln b b2 + ⋅ (t... Do f (t ) đồng biến khoảng (0; 1) Mà < a < b < 1, nên f (a ) < f (b) Vậy ln a a +1 Trang 2/4 < ln b b2 + ⋅ 0,25 0,50 0,25 Câu VI.a (2,0 điểm) Đáp án (1,0 điểm) Tìm tọa độ đỉnh A B … Đường thẳng