BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Với giá trị m, phương trình x | x − | = m có nghiệm thực phân biệt ? Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình sin x + cos x sin x + cos3x = 2(cos x + sin x) ⎧ xy + x + = y ( x, y ∈ \) Giải hệ phương trình ⎨ 2 ⎩ x y + xy + = 13 y Câu III (1,0 điểm) 3 + ln x Tính tích phân I = ∫ dx ( x + 1) Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB ' = a, góc đường thẳng BB ' mặt phẳng ( ABC) n = 60D Hình chiếu vuông góc điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) 60D ; tam giác ABC vuông C BAC trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a Câu V (1,0 điểm) Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn ( x + y )3 + xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) hai đường thẳng Δ1 : x − y = 0, Δ : x − y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường tròn (C1 ); biết đường tròn (C1 ) tiếp xúc với đường thẳng Δ1 , Δ tâm K thuộc đường tròn (C ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1;2;1), B (−2;1;3), C (2; −1;1) D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A, B cho khoảng cách từ C đến ( P ) khoảng cách từ D đến ( P ) Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn: z − (2 + i ) = 10 z.z = 25 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(−1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng Δ : x − y − = Xác định toạ độ điểm B C , biết diện tích tam giác ABC 18 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = hai điểm A(−3;0;1), B(1; −1;3) Trong đường thẳng qua A song song với ( P ), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ Câu VII.b (1,0 điểm) x2 − Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt x A, B cho AB = Hết -1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 2) + y = Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn thi: TOÁN; Khối: B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Khảo sát… • Tập xác định: D = \ • Sự biến thiên: 0,25 - Chiều biến thiên: y ' = x3 − x; y ' = ⇔ x = x = ±1 Hàm số nghịch biến trên: ( −∞ ; − 1) (0;1); đồng biến trên: ( −1;0) (1; + ∞) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = ±1, yCT = −2; đạt cực đại x = 0, yCĐ = 0,25 - Giới hạn: lim y = lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ −1 y' − + − +∞ y + +∞ +∞ 0,25 −2 −2 y • Đồ thị: 16 0,25 −1 O −2 x −2 (1,0 điểm) Tìm m x x − = m ⇔ x − x = 2m 0,25 Phương trình có nghiệm thực phân biệt đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số y = x − x điểm phân biệt Đồ thị hàm số y = x − x 0,25 y 16 đường thẳng y = 2m 0,25 −2 −1 y = 2m O x Dựa vào đồ thị, yêu cầu toán thoả mãn khi: < 2m < ⇔ < m < Trang 1/4 0,25 Câu II (2,0 điểm) Đáp án (1,0 điểm) Giải phương trình… Phương trình cho tương đương: (1 − 2sin x)sin x + cos x sin x + cos3 x = cos x ⇔ sin x cos x + cos x sin x + cos3 x = 2cos x π⎞ ⎛ ⇔ sin 3x + cos3x = 2cos x ⇔ cos ⎜ 3x − ⎟ = cos x 6⎠ ⎝ ⇔ x = 3x − Vậy: x = − π π + k 2π x = −3x + + k 2π x = π +k 42 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình… π ⎧⎛ ⎪⎜ x + ⎪⎝ ⇔ ⎨ ⎪⎛ ⎪⎜ x + ⎩⎝ 2π (k ∈]) 0,25 ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎪⎜ x + ⎟ + ⎜ x + ⎟ − 20 = y⎠ ⎝ y⎠ ⎪ ⇔ ⎨⎝ ⎛ 1⎞ x 1⎞ ⎪x = 7−⎜x+ ⎟ ⎟ − = 13 ⎪ y⎠ y y⎠ ⎝ ⎩y 1⎞ x ⎟+ =7 y⎠ y 0,25 0,25 0,25 0,25 Tính tích phân… u = + ln x, dv = 1 dx ; du = dx, v = − ( x + 1) x x +1 3 + ln x dx I =− +∫ x + 1 x( x + 1) =− = IV 0,25 0,25 1 ⎧ ⎧ ⎪ x + = −5 ⎪x + = y y (I) ⎨ (II) ⇔ ⎨ ⎪ x = 12 y ⎪x = 3y ⎩ ⎩ ⎛ 1⎞ (I) vô nghiệm; (II) có nghiệm: ( x; y ) = ⎜1; ⎟ ( x; y ) = (3;1) ⎝ 3⎠ ⎛ 1⎞ Vậy: ( x; y ) = ⎜1; ⎟ ( x; y ) = (3;1) ⎝ 3⎠ (1,0 điểm) 0,25 + k 2π x ⎧ ⎪x + y + y = ⎪ Hệ cho tương đương: ⎨ (do y = không thoả mãn hệ cho) ⎪ x + x + = 13 ⎪⎩ y y2 III Điểm 0,25 0,25 3 + ln 3 dx + + ∫ dx − ∫ +1 x 1x 0,25 3 − ln 1⎛ 27 ⎞ + ln x − ln x + 1 = ⎜ + ln ⎟ 16 ⎠ 4⎝ 0,25 Tính thể tích khối chóp… (1,0 điểm) B' A' Gọi D trung điểm AC G trọng tâm tam giác ABC n ta có B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ B ' BG = 60D C' a 3a a n BG = ⇒ BD = ⇒ B ' G = B ' B.sin B ' BG = A B AB AB AB G D Tam giác ABC có: BC = , AC = ⇒ CD = 2 C AB AB 9a 3a 13 3a 13 9a BC + CD = BD ⇒ + = ⇒ AB = , AC = ; S ΔABC = 13 26 104 16 16 Trang 2/4 0,50 0,25 Câu V (1,0 điểm) Đáp án Điểm 9a Thể tích khối tứ diện A ' ABC : VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.SΔABC = 208 Tìm giá trị nhỏ biểu thức… 0,25 Kết hợp ( x + y )3 + xy ≥ với ( x + y )2 ≥ xy suy ra: ( x + y )3 + ( x + y )2 ≥ ⇒ x + y ≥ 0,25 3 x + y ) + ( x + y ) − 2( x + y ) +1 ( 2 2 3 ≥ ( x + y ) + ( x + y ) − 2( x + y ) + ⇒ A ≥ ( x + y ) − ( x + y ) + 4 0,25 ( x + y)2 ≥ ⇒ t ≥ ; A ≥ t − 2t + 2 9 ⎛1⎞ Xét f (t ) = t − 2t + 1; f '(t ) = t − > với t ≥ ⇒ f (t ) = f ⎜ ⎟ = ⎡1 ⎞ 2 ⎝ ⎠ 16 ⎢ ; +∞ ⎟ 0,25 A = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + = Đặt t = x + y , ta có x + y ≥ ⎣2 A≥ VI.a ⎠ 9 ; đẳng thức xảy x = y = Vậy, giá trị nhỏ A 16 16 0,25 (1,0 điểm) Xác định toạ độ tâm K (2,0 điểm) Gọi K (a; b); K ∈ (C ) ⇔ (a − 2) + b = (1); (C1 ) tiếp xúc Δ1 , Δ ⇔ a−b = a − 7b (2) 0,25 ⎧⎪5(a − 2) + 5b = ⎧5(a − 2)2 + 5b = ⎧5(a − 2) + 5b = (1) (2), cho ta: ⎨ (I) ⎨ (II) ⇔ ⎨ ⎪⎩5 a − b = a − 7b ⎩5(a − b) = a − 7b ⎩5(a − b) = 7b − a 0,25 ⎧25a − 20a + 16 = ⎧a = 2b ⎛8 4⎞ ⇔ (a; b) = ⎜ ; ⎟ (I) ⇔ ⎨ vô nghiệm; (II) ⇔ ⎨ ⎝5 5⎠ ⎩b = −2a ⎩25b − 40b + 16 = 0,25 Bán kính (C1 ) : R = a −b = 2 2 ⎛8 4⎞ Vậy: K ⎜ ; ⎟ R = 5 ⎝5 5⎠ 0,25 (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng ( P) Mặt phẳng ( P ) thoả mãn yêu cầu toán hai trường hợp sau: Trường hợp 1: ( P ) qua A, B song song với CD G JJJG JJJG Vectơ pháp tuyến ( P) : n = ⎡⎣ AB, CD ⎤⎦ JJJG JJJG G AB = ( −3; −1; 2), CD = ( −2; 4;0) ⇒ n = (−8; −4; −14) Phương trình ( P ) : x + y + z − 15 = Trường hợp 2: ( P ) qua A, B cắt CD Suy ( P ) cắt CD trung điểm I CD G JJJG JJG JJG I (1;1;1) ⇒ AI = (0; −1;0); vectơ pháp tuyến ( P) : n = ⎡⎣ AB, AI ⎤⎦ = (2;0;3) Phương trình ( P ) : x + 3z − = Vậy ( P) : x + y + z − 15 = ( P ) : x + 3z − = VII.a 0,25 0,25 0,25 0,25 Tìm số phức z (1,0 điểm) Gọi z = x + yi; z − (2 + i) = ( x − 2) + ( y − 1)i; z − (2 + i ) = 10 ⇔ ( x − 2) + ( y − 1) = 10 (1) 0,25 z.z = 25 ⇔ x + y = 25 (2) 0,25 Giải hệ (1) (2) ta được: ( x; y ) = (3;4) ( x; y ) = (5;0) Vậy: z = + 4i z = 0,50 Trang 3/4 Câu VI.b Đáp án Điểm (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm B, C (2,0 điểm) Gọi H hình chiếu A Δ, suy H trung điểm BC 2S AH = d ( A, BC ) = ; BC = ΔABC = AH A Δ B H C AB = AC = AH + 0,25 97 BC = 97 2 ⎧ ⎪( x + 1) + ( y − ) = Toạ độ B C nghiệm hệ: ⎨ ⎪⎩ x − y − = ⎛ 11 ⎞ ⎛3 5⎞ Giải hệ ta được: ( x; y ) = ⎜ ; ⎟ ( x; y ) = ⎜ ; − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2 2⎠ ⎛ 11 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 11 ⎞ Vậy B ⎜ ; ⎟ , C ⎜ ; − ⎟ B ⎜ ; − ⎟ , C ⎜ ; ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2 2⎠ ⎝2 2⎠ ⎝ 2⎠ 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… B Q VII.b A H Gọi Δ đường thẳng cần tìm; Δ nằm mặt phẳng (Q ) qua A song song với ( P) Phương trình (Q) : x − y + z + = 0,25 K K , H hình chiếu B Δ, (Q) Ta có BK ≥ BH nên AH đường thẳng cần tìm 0,25 ⎧ x −1 y +1 z − = = ⎪ ⎛ 11 ⎞ Toạ độ H = ( x; y; z ) thoả mãn: ⎨ −2 ⇒ H = ⎜ − ; ; ⎟ ⎝ 9 9⎠ ⎪⎩ x − y + z + = 0,25 JJJG ⎛ 26 11 ⎞ x + y z −1 = = AH = ⎜ ; ; − ⎟ Vậy, phương trình Δ : 26 11 −2 ⎝ 9 9⎠ 0,25 Tìm giá trị tham số m (1,0 điểm) ⎧ x2 − ⎧2 x − mx − = 0, ( x ≠ 0) (1) = −x + m ⎪ Toạ độ A, B thoả mãn: ⎨ x ⇔ ⎨ ⎩ y = − x + m ⎪ y = −x + m ⎩ Nhận thấy (1) có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 khác với m Gọi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) ta có: AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )2 = 2( x1 − x2 ) m2 Áp dụng định lí Viet (1), ta được: AB = ⎡⎣ ( x1 + x2 ) − x1 x2 ⎤⎦ = + AB = ⇔ m2 + = 16 ⇔ m = ± -Hết - Trang 4/4 0,25 0,25 0,25 0,25 .. .B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn thi: TOÁN; Khối: B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM... thể tích khối chóp… (1,0 điểm) B' A' Gọi D trung điểm AC G trọng tâm tam giác ABC n ta có B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ B ' BG = 60D C' a 3a a n BG = ⇒ BD = ⇒ B ' G = B ' B. sin B ' BG = A B AB AB AB G D ... ⎩5(a − b) = a − 7b ⎩5(a − b) = 7b − a 0,25 ⎧25a − 20a + 16 = ⎧a = 2b ⎛8 4⎞ ⇔ (a; b) = ⎜ ; ⎟ (I) ⇔ ⎨ vô nghiệm; (II) ⇔ ⎨ ⎝5 5⎠ b = −2a ⎩2 5b − 4 0b + 16 = 0,25 B n kính (C1 ) : R = a b = 2 2