Đáp án đề thi đại học môn toán khối B năm 2012 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về t...
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3m3 (1), m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2(cos x + sin x) cos x = cos x − sin x + Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x + + x − x + ≥ x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x3 x + 3x2 + dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vuông góc A cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Câu (1,0 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x5 + y5 + z II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1 ): x + y = 4, (C2 ): x + y − 12 x + 18 = đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2 ), tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai điểm phân biệt A B cho AB vuông góc với d x −1 y z hai = = −2 điểm A(2;1; 0), B (−2;3; 2) Viết phương trình mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng d Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Câu 9.a (1,0 điểm) Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 0;3), M (1; 2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cắt trục Ox, Oy B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM Câu 9.b (1,0 điểm) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z − i z − = Viết dạng lượng giác z1 z2 HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) (2,0 điểm) Khi m = 1, ta có: y = x3 − 3x + • Tập xác định: D = \ • Sự biến thiên: 0,25 − Chiều biến thiên: y ' = x − x; y ' = ⇔ x = x = Các khoảng đồng biến: (− ∞; 0) (2; + ∞) , khoảng nghịch biến: (0; 2) − Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 3; đạt cực tiểu x = 2, yCT = −1 − Giới hạn: lim y = −∞ lim y = + ∞ x→−∞ − Bảng biến thiên: 0,25 x→+ ∞ x −∞ y' + +∞ – + +∞ 0,25 y −∞ • Đồ thị: –1 y 0,25 O x −1 b) (1,0 điểm) y ' = x − 6mx; y ' = ⇔ x = x = 2m Đồ thị hàm số có điểm cực trị m ≠ (*) Các điểm cực trị đồ thị A(0; 3m3 ) B (2m; − m3 ) Suy OA = | m3 | d ( B, (OA)) = | m | 0,25 0,25 S ∆OAB = 48 ⇔ 3m4 = 48 0,25 ⇔ m = ± 2, thỏa mãn (*) 0,25 Trang 1/4 Phương trình cho tương đương với: cos x + sin x = cos x − sin x (1,0 điểm) π π ⇔ cos x − = cos x + 3 ) ( ) 0,25 ( ) 0,25 ( π π ⇔ x − = ± x + + k 2π (k ∈]) 3 ⇔ x= 0,25 2π 2π + k 2π x = k (k ∈]) 3 0,25 Điều kiện: ≤ x ≤ − x ≥ + (*) (1,0 điểm) Nhận xét: x = nghiệm bất phương trình cho Với x > 0, bất phương trình cho tương đương với: x+ + x + − ≥ (1) x x x+ Đặt t = x + (2), bất phương trình (1) trở thành x ⇔ t ≥ Thay vào (2) ta ⎡3 − t < t − ≥ − t ⇔ ⎢⎢⎧3 − t ≥ ⎢⎣⎩⎨t − ≥ (3 − t ) 2 ≥ ⇔ x ≥ x x≤ 0,25 0,25 0,25 x ≥ Kết hợp (*) nghiệm x = 0, ta tập nghiệm bất phương trình cho là: ⎡⎢0; ⎤⎥ ∪ [4; +∞) ⎣ 4⎦ ⇔0< x≤ (1,0 điểm) Đặt t = x , suy dt = xdx Với x = t = 0; với x =1 t =1 Khi I = = ∫ ∫( ∫ ) ( 0,25 ) 1 dt = ln|t + 2| − ln|t +1| − t + t +1 = ln3 − (1,0 điểm) 0,25 x 2 xdx td t = ( x +1)( x + 2) (t +1)(t + 2) 0 0,25 ln2 0,25 Gọi D trung điểm cạnh AB O tâm ∆ABC Ta có AB ⊥ CD AB ⊥ SO nên AB ⊥ ( SCD ), AB ⊥ SC S Mặt khác SC ⊥ AH , suy SC ⊥ ( ABH ) Ta có: CD = H C A D 0,25 a a a 33 nên SO = SC −OC = , OC = 3 SO.CD a 11 11a Do DH = = Suy S ∆ABH = AB.DH = SC Ta có SH = SC − HC = SC − CD − DH = O B Do VS ABH 11a = SH S ∆ABH = 96 Trang 2/4 7a 0,25 0,25 0,25 0,25 Với x + y + z = x + y + z = 1, ta có: (1,0 điểm) = ( x + y + z ) = x + y + z + x( y + z ) + yz =1− x + yz , nên yz = x − 2 y + z − x2 − 1 x 6 Mặt khác yz ≤ = (*) , suy ra: x − ≤ , − ≤ x≤ 2 2 3 0,25 Khi đó: P = x5 + ( y + z )( y + z ) − y z ( y + z ) ( ) 12 x 1 x = (2 x3 − x) = x5 + (1− x )⎡− x(1− x ) + x x − ⎤ + x − ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ 6 6⎤ Xét hàm f ( x) = x3 − x ⎢ − ; ⎥ , suy f '( x) = x − 1; f '( x) = ⇔ x = ± ⎦⎥ ⎢⎣ ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ 6 , f ⎜ ⎟ = f ⎜− Ta có f ⎜ − ⎟= f ⎜ ⎟=− ⎟ = Do f ( x) ≤ 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = x5 + (1− x ) ⎡⎣( y + z )( y + z ) − yz ( y + z )⎤⎦ + x − 0,25 ( ) ( ) Suy P ≤ Khi x = 36 6 dấu xảy Vậy giá trị lớn P , y = z =− 36 7.a (1,0 điểm) (C) A 0,25 d I (C1) có tâm gốc tọa độ O Gọi I tâm đường tròn (C) cần viết phương trình, ta có AB ⊥ OI Mà AB ⊥ d O ∉ d nên OI//d, OI có phương trình y = x 0,25 0,25 Mặt khác I ∈ (C2 ), nên tọa độ I thỏa mãn hệ: ⎧⎪ y = x ⎧x = ⇔⎨ ⇒ I (3;3) ⎨ 2 ⎪⎩x + y −12 x +18 = ⎩ y = 0,25 Do (C) tiếp xúc với d nên (C) có bán kính R = d ( I , d ) = 2 0,25 Vậy phương trình (C) ( x − 3) + ( y − 3) = 0,25 B (C1) (C2) 8.a (1,0 điểm) Gọi (S) mặt cầu cần viết phương trình I tâm (S) Do I ∈ d nên tọa độ điểm I có dạng I (1+ 2t ; t ; − 2t ) 0,25 Do A, B∈( S ) nên AI = BI , suy (2t −1) + (t −1) + 4t = (2t + 3) + (t −3) + (2t + 2) ⇒ t =−1 0,25 Do I (−1; − 1; 2) bán kính mặt cầu IA = 17 0,25 Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = 17 0,25 9.a (1,0 điểm) Số cách chọn học sinh lớp C25 =12650 0,25 1 Số cách chọn học sinh có nam nữ C15 C103 + C152 C102 + C153 C10 0,25 = 11075 0,25 Xác suất cần tính P = 11075 443 = 12650 506 Trang 3/4 0,25 7.b (1,0 điểm) y B H A C O D x2 + y2 =1( a > b > 0) Hình thoi ABCD có a b2 AC = BD A, B, C, D thuộc (E) suy OA = 2OB Giả sử ( E ): 0,25 Không tính tổng quát, ta xem A(a;0) x B 0; a Gọi H hình chiếu vuông góc O AB, suy OH bán kính đường tròn (C ) : x + y = 0,25 1 1 = = + = + 2 2 OH OA OB a a2 0,25 ( ) Ta có: x2 y + = Suy a = 20, b2 = Vậy phương trình tắc (E) 20 8.b Do B ∈ Ox, C ∈ Oy nên tọa độ B C có dạng: B(b; 0; 0) C (0; c; 0) (1,0 điểm) b c Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy ra: G ; ; 3 JJJJG x y z−3 Ta có AM = (1;2; −3) nên đường thẳng AM có phương trình = = −3 b c −2 Do G thuộc đường thẳng AM nên = = Suy b = c = −3 ( Do phương trình mặt phẳng (P) ) x y z + + = 1, nghĩa ( P) : x + y + z − 12 = 9.b Phương trình bậc hai z − i z − = có biệt thức ∆ = (1,0 điểm) Suy phương trình có hai nghiệm: z1 = + i z2 = −1 + 3i 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 π π • Dạng lượng giác z1 z1 = 2⎛⎜cos + isin ⎞⎟ 3⎠ ⎝ 0,25 2π 2π • Dạng lượng giác z2 z2 = 2⎛⎜cos + isin ⎞⎟ 3⎠ ⎝ 0,25 HẾT Trang 4/4 .. .B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a) (1,0... =1( a > b > 0) Hình thoi ABCD có a b2 AC = BD A, B, C, D thuộc (E) suy OA = 2OB Giả sử ( E ): 0,25 Không tính tổng quát, ta xem A(a;0) x B 0; a Gọi H hình chiếu vuông góc O AB, suy OH b n kính... OA OB a a2 0,25 ( ) Ta có: x2 y + = Suy a = 20, b2 = Vậy phương trình tắc (E) 20 8 .b Do B ∈ Ox, C ∈ Oy nên tọa độ B C có dạng: B( b; 0; 0) C (0; c; 0) (1,0 điểm) b c Gọi G trọng tâm tam giác ABC,