Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối B
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
Câu Đáp án Điểm
a) (1,0 điểm)
Khi m=1, ta có: y=x3−3x2+3 • Tập xác định: D= \
• Sự biến thiên:
− Chiều biến thiên: y' 3= x2−6 ;x ' 0y = ⇔ x= x=
0,25
Các khoảng đồng biến: (−∞; 0) (2;+ ∞ , khoảng nghịch biến: ) (0; 2) − Cực trị: Hàm số đạt cực đại x= y0, CĐ = 3; đạt cực tiểu x= y2, CT = −1 − Giới hạn: lim
x→−∞y= −∞ x→+ ∞lim y= +∞
0,25 − Bảng biến thiên:
0,25
• Đồ thị:
0,25
b) (1,0 điểm)
2
' ;
y = x − mx ' ⇔ y = x=0 x=2 m
Đồ thị hàm số có điểm cực trị m≠ (*) 0,25 Các điểm cực trị đồ thị làA(0; 3m3) B(2 ;m −m3)
Suy OA=3 |m3| d B OA( , ( )) | | = m
0,25 48
OAB
S∆ = ⇔ 3m4 =4 0,25
1 (2,0 điểm)
⇔ thỏa mãn (*) m= ±2, 0,25
O
2
−1
x y
+∞
–1
−∞ y
'
y + – + x −∞ +∞
Trang 1/4
(2)Phương trình cho tương đương với: cos 2x+ sin 2x=cosx− sinx 0,25 ⇔ cos 2( ) ( )π cos π
3
x− = x+ 0,25
⇔ π ( )π 2π ( )
3
x− =± + +x k k∈] 0,25
2 (1,0 điểm)
⇔ 2π 2π
3
x= +k 2π ( )
x=k k∈] 0,25
Điều kiện: 0≤ ≤ −x x≥ + (*) Nhận xét: x=0là nghiệm bất phương trình cho
Với x>0,bất phương trình cho tương đương với: x x x x
+ + + − ≥ (1)
0,25
Đặt t x (2), x
= + bất phương trình (1) trở thành 6 3
t − ≥ −t
2
3
3
6 (3 ) t t t t − < ⎡ ⎢ − ≥ ⇔ ⎧ ⎢⎨ ⎢ − ≥ − ⎣⎩ 0,25 t
⇔ ≥ Thay vào (2) ta
2
x x
x
+ ≥ ⇔ ≥
2
x≤ 0,25
3 (1,0 điểm) x
⇔ < ≤ Kết hợp (*) nghiệm x ≥4 x= ta tập nghiệm bất phương 0, trình cho là: 0;1 [4; )
4
⎡ ⎤ ∪ +∞ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
0,25
Đặt t x suy = 2, dt=2xdx Với x= t= với 0; x= 1.1 t= 0,25 Khi
1 2
2
0
1 d d
2 ( 1)( 2) (
x x x t t
I t t x x = = 1)( 2) + + + +
∫ ∫ 0,25
( ) ( )
1
0
1 1
d ln| 2| ln| 1|
2 t t t t t
= − = + − +
+ +
∫ 0,25
4 (1,0 điểm)
= ln3 3ln2
− 0,25
Gọi D trung điểm cạnh AB O tâm ∆ABC Ta có
AB⊥CD AB⊥SO nên AB⊥(SCD), AB⊥SC 0,25 Mặt khác SC⊥AH, suy SC⊥(ABH) 0,25
Ta có: 3,
2
a a
CD= OC= nên 2 33
3 a SO= SC −OC =
Do 11
4 SO CD a DH
SC
= = Suy
2 1 ABH a S∆ = AB DH=
0,25 5
(1,0 điểm)
Ta có 2
4 a SH SC HC SC= − = − CD −DH =
Do .
3
S ABH ABH
a 11
6 H S∆
(3)Với x+ + =y z x2+y2+z2=1, ta có:
2 2 2
0 (= + +x y z) = + + +x y z (x y z+ +) 2yz= −1 2x +2 ,yz nên 2 yz x= − Mặt khác
2 1
,
2
y z x
yz≤ + = − suy ra:
2
2 1 ,
2
x
x − ≤ − 6
3 x
− ≤ ≤ (*)
0,25
Khi đó: P = x5+(y2+z2)(y3+z3)−y z2 2(y+ z)
= (1 2) ( 2)( ) ( ) ( )2
2 x + −x ⎣⎡ y +z y z+ −yz y z+ ⎤⎦+ x − x = (1 2) (1 2) ( ) ( )2 2
2
x + −x ⎡⎢−x −x +x x − ⎤⎥+ x −
⎣ ⎦ x = ( )
5
2
4 x − x
0,25
Xét hàm f x( ) 2= x3− x 6;
3 ,
⎡ ⎤
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦ suy
2
'( ) 1;
f x = x − '( )
6 f x = ⇔ = ±x
Ta có 6
9 ,
3
f⎛⎜− ⎞⎟=f⎛⎜ ⎞⎟=−
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
3
f⎛⎜ ⎞⎟= −f⎛⎜ ⎞⎟=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
9 Do
6
( )
9 f x ≤
Suy 36 P≤
0,25 6
(1,0 điểm)
Khi 6,
3
x= y z= =− dấu xảy Vậy giá trị lớn P 5
36 0,25
(C1) có tâm gốc tọa độ O Gọi I tâm đường tròn (C) cần viết phương trình, ta có A
Trang 3/4
B⊥OI Mà AB⊥d O∉ nên OI//d, OI có phương trình y = x d
0,25 Mặt khác I∈(C ,2) nên tọa độ I thỏa mãn hệ:
2
3
(3;3)
12 18
y x x
I y
x y x
=
⎧ ⎧ =
⎪ ⇔ ⇒
⎨ ⎨ =
+ − + = ⎩
⎪⎩
0,25
Do (C) tiếp xúc với d nên (C) có bán kính R d I d= ( , ) 2.= 0,25 7.a
(1,0 điểm)
Vậy phương trình (C) (x−3)2+(y−3)2 = 8. 0,25 Gọi (S) mặt cầu cần viết phương trình I tâm (S)
Do I d∈ nên tọa độ điểm I có dạng I(1 ; ; ).+ t t − t 0,25 Do A B, ∈( )S nên AI BI= , suy (2 1)t− + − +2 ( 1)t 4t2=(2 3)t+ 2+ −( 3)t 2+(2 2)t+ 2⇒ =− t 0,25 Do I( 1; 1; 2)− − bán kính mặt cầu IA= 17 0,25 8.a
(1,0 điểm)
Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm (x+1)2+(y+1)2+ −(z 2)2 = 17 0,25 Số cách chọn học sinh lớp C254 =12650 0,25 Số cách chọn học sinh có nam nữ 2
15 10 15 10 15 10
C C +C C +C C 0,25
= 11075 0,25
9.a (1,0 điểm)
Xác suất cần tính 11075 443 12650 506
P= = 0,25
B
A I d
(C2) (C)
(C1)
(4)Trang 4/4
Giả sử ( ):E x22 y22 1(a 0)
a b
b
+ = > > Hình thoi ABCD có
AC= BD A, B, C, D thuộc (E) suy OA=2OB
0,25 Khơng tính tổng quát, ta xem A a( ;0)
( )0; a
B Gọi H hình chiếu vng góc O AB, suy OH bán kính đường trịn ( )C :x2+y2=4
0,25
Ta có: 12 12 12 12
4 =OH =OA +OB =a +a2 0,25
7.b (1,0 điểm)
Suy a2=20, b2=5. Vậy phương trình tắc (E)
2
1 20
x y
+ = 0,25
Do ,B∈Ox C∈Oy nên tọa độ B C có dạng: B b( ; 0; 0) C(0; ; 0).c 0,25 Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy ra: G( ); ;
3 b c
0,25 Ta có JJJJGAM=(1;2; 3)− nên đường thẳng AM có phương trình
1
x= =y z− − Do G thuộc đường thẳng AM nên
3
b = =c −
− Suy b= c=
0,25 8.b
(1,0 điểm)
Do phương trình mặt phẳng (P) 1,
2
x+ + = nghĩa y z
( ) : 6P x+3y+4z−12 0.= 0,25 Phương trình bậc hai z2−2 3i z− = có biệt thức ∆ = 0,25 Suy phương trình có hai nghiệm: z1= +1 3i z2= − +1 3i 0,25 • Dạng lượng giác z1 1 cosπ sinπ
3
z = ⎛⎜ +i ⎞⎟
⎝ ⎠ 0,25
9.b (1,0 điểm)
• Dạng lượng giác z2 2 cos2π sin2π
3
z = ⎛⎜ +i ⎞⎟
⎝ ⎠ 0,25
O H
x y
D
A B
C
- HẾT -