Khoảng cách từ A đến mặt phẳng IBC là AK.
Trang 1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối: D
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
1 (1,0 điểm) Khảo sát…
Khi m=0, y x= 4−2 x2
• Tập xác định: D= \
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' 4= x3−4 ;x y' 0= ⇔ x= ±1 hoặc x=0
0,25
Hàm số nghịch biến trên: (−∞ −; 1) và (0;1); đồng biến trên: ( 1;0)− và (1;+ ∞)
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x= ±1, y CT = −1; đạt cực đại tại x=0, y CĐ =0
- Giới hạn: lim lim
- Bảng biến thiên:
0,25
• Đồ thị:
0,25
2 (1,0 điểm) Tìm m
Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và đường thẳng y= −1: x4−(3m+2)x2+3m= −1
Đặt t x t= 2, ≥0; phương trình trở thành: t2−(3m+2)t+3m+ =1 0 0,25
Yêu cầu của bài toán tương đương: 0 3 1 4
3 1 1
m m
< + <
⎧
⎨ + ≠
I
(2,0 điểm)
⇔ 1 1,
3 m
1 (1,0 điểm) Giải phương trình…
Phương trình đã cho tương đương: 3 cos5x−(sin 5x+sin ) sinx − x= 0
⇔ 3cos5 1sin 5 sin
2 x−2 x= x
x −∞ 1− 0 1
y' − 0 + 0 − 0 +
y
+∞
1
0
+∞
+∞
x O
y
2
1
−
1
8
0,25
II
(2,0 điểm)
⇔ sin 5 sin
π
⎛ − ⎞=
Trang 2⇔ 5 2
3 x x k
Vậy:
18 3
x= π +kπ hoặc
2 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình…
Hệ đã cho tương đương:
2 2
3
5
x y
x
x y
x
⎧ + + − =
⎪
0
⎪⎩
⎪
2
3 1
⇔
x y
x
⎧ + = −
⎪⎪
⎨
⎪⎜ − ⎟ − + =
⎪⎝ ⎠
3 1
4 6
2 0
x y x
x x
⎧ + = −
⎪⎪
⎨
⎪ − + =
⎪⎩
0,25
⇔
1 1 2
x
x y
⎧ =
⎪
⎨
⎪ + =
⎩
hoặc
1 1 2 1 2
x
x y
⎧ =
⎪⎪
⎨
⎪ + =
⎪⎩
0,25
1
x y
=
⎧
⎨
=
⎩ hoặc
2 3 2
x y
=
⎧
⎪
⎨
= −
⎪⎩
Nghiệm của hệ: ( ; ) (1;1)x y = và ( ; 3
0,25
) 2;
2
x y =⎛⎜ − ⎞⎟
Tính tích phân…
Đặt t e dx x, dt;x 1,t e x; 3,t e3
t
3
( 1)
e e
dt I
t t
=
−
3
1 1 1
e e
⎛ − ⎞
⎜ − ⎟
III
(1,0 điểm)
Tính thể tích khối chóp
IV
của tứ diện
IH⊥AC H∈AC ⇒ IH ⊥(ABC) IH
IABC
⇒ IH AA// ' ⇒ 2
IH CI
a
IH = AA =
AC= A C −A A =a BC= AC2−AB2 =2 a
Diện tích tam giác ABC 1 2
2
ABC
SΔ = AB BC = a
Thể tích khối tứ diện IABC:
3
a
V = I H SΔ =
0,50
C' A'
B
B'
M
K
I
H
a 2a
3a
Trang 3Hạ AK⊥A B K' ( ∈A B' ) Vì BC⊥(ABB A' ') nên AK⊥BC ⇒ AK⊥(IBC)
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( IBC) là AK 0,25
'
AA B
AK
Δ
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…
Do x y+ =1, nên: S =16x y2 2+12(x3+y3) 9+ xy+25x y
0,25
16x y 12 (⎡ x y) 3 (xy x y)⎤ 34xy
= + ⎣ + − + ⎦+ =16x y2 2−2xy+12
Đặt t xy= , ta được: S=16t2− +2t 12; 0 ( )2 1
x y
≤ ≤ = ⇒ 0;1
4
t ⎡ ⎤
∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Xét hàm f t( ) 16= t2− +2t 12 trên đoạn 0;1
4
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦ '( ) 32 2;
f t = t− f t'( ) 0= ⇔ 1 ;
16
t= (0) 12,f = 1
16
f ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ = 191,
16
1 4
f ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 25
2
1 0;
4
1 25
f t f
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟=
⎝ ⎠ 0;1
4
1 191
16 16
f t f
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟=
⎝ ⎠
0,25
Giá trị lớn nhất của bằng S 25;
2 khi
1 1 4
x y xy
+ =
⎧
⎪
⎨
=
1 1 ( ; ) ;
2 2
= ⎜ ⎟
V
(1,0 điểm)
Giá trị nhỏ nhất của bằng S 191;
16 khi
1 1 16
x y xy
+ =
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
⇔ ( ; ) 2 3 2; 3
x y = ⎜⎛ + − ⎞
⎟
x y = ⎜⎛ − + ⎞
⎟
0,25
1 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…
Toạ độ A thoả mãn hệ: 7 2 3 0 ⇒
x y
x y
− − =
⎧
⎨
− − =
B đối xứng với A qua M suy ra , B=(3; 2).−
0,25
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng 6x y− − = 0.4
Toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng BC thoả mãn hệ: 7 2 3 0
6 9 0
x y
x y
− − =
⎧
⎨ + + =
3 0; 2
N⎛⎜ − ⎞⎟
⇒ JJJGAC=2.MNJJJJG= − −( 4; 3 ;) phương trình đường thẳng AC: 3x−4y+ =5 0 0,25
2 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm D
( 1;1;2),
AB= −
JJJG
phương trìnhAB
2 1
2
z t
= −
⎧
⎪ = +
⎨
⎪ =
⎩
0,25
VI.a
(2,0 điểm)
D thuộc đường thẳng AB ⇒D(2−t;1+t t;2 ) ⇒ CDJJJG= −(1 t t t; ;2 ) 0,25
Trang 4Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) :P nG=(1;1;1).
C không thuộc mặt phẳng ( ).P
CD P ⇔ n CDG JJJG= 1.(1 ) 1 1.2 0 1
2
⇔ − + + = ⇔ = − Vậy 5 1; ; 1
2 2
D⎛⎜ − ⎞⎟
0,50
Tìm tập hợp các điểm…
Đặt z x yi x y= + ( , ∈\); z− + = − +3 4i (x 3) (y+4 )
VII.a
Từ giả thiết, ta có: ( ) (2 )2 ( ) (2 )2
(1,0 điểm)
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm z I(3; 4− ) bán kính R=2 0,25
1 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M
Gọi điểm M a b( ); Do M a b( ); thuộc ( )C nên ( )2 2
a− +b = O∈( )C ⇒ IO IM= =1 0,25
Tam giác IMO có OIMn= 120Dnên OM2=IO2+IM2−2 IO IM.cos120D ⇔a2+b2=3 0,25
Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ ( )2 2
3
3
2
a
⎧ =
⎪
⎧ − + =
+ =
Vậy 3; 3
=⎜⎜ ± ⎟⎟
2 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…
Toạ độ giao điểm của với I Δ ( )P thoả mãn hệ:
x
⎪
−
⎨
⎪ + − + =
⎩
⇒ I( 3;1;1).− 0,25
Vectơ pháp tuyến của ( ) :P nG=(1;2; 3);− vectơ chỉ phương của Δ: uG=(1;1; 1).− 0,25
Đường thẳng cần tìm qua và có vectơ chỉ phương d I vG=⎡⎣n uG G, ⎤⎦= − −(1; 2; 1) 0,25
VI.b
(2,0 điểm)
Phương trình d
3
1 2
1
= − +
⎧
⎪ = −
⎨
⎪ = −
⎩
0,25
Tìm các giá trị của tham số m
VII.b
Phương trình hoành độ giao điểm: x2 x 1 2x m
x
+ − = − + ⇔ 3x2+ −(1 m x) − =1 0 (x≠0) 0,25 (1,0 điểm)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x khác 0 với mọi 1, 2 m 0,25
I
1
6
I
m
-Hết -