Đáp án đề thi đại học môn toán khối A năm 2009

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A , B và

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009

Môn thi: TOÁN; Khối: A

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số 2

x y x

+

= + (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại

hai điểm phân biệt A , B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O

Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình ( )

1 2sin cos

3

1 2sin 1 sin

−

=

2 Giải phương trình 2 33 x− +2 3 6 5− x − =8 0 (x∈\ )

Câu III (1,0 điểm)

Tính tích phân 2( )

0

cos 1 cos

π

Câu IV (1,0 điểm)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB=AD=2a, CD a= góc giữa ; hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD bằng ) 60 D Gọi là trung điểm của cạnh I AD Biết hai mặt phẳng (SBI )

và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD , tính thể tích khối chóp ) S ABCD theo a

Câu V (1,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực dương , ,x y z thoả mãn x x y z( + + )=3 ,yz ta có:

( ) (3 )3 ( )( )( ) ( )

x y+ + x z+ + x y x z y z+ + + ≤ y z+

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm là giao điểm của hai đường chéo

(6;2)

I

AC và BD Điểm M( )1;5 thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh thuộc đường thẳng Viết phương trình đường thẳng

CD

:x y 5 0

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x−2y z− − = và mặt cầu 4 0 ( )S :x2+y2+z2−2x−4y−6z−11 0.= Chứng minh rằng mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo một

đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó

Câu VII.a (1,0 điểm)

Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình z1 z2 z2+2z+10= Tính giá trị của biểu thức 0 2 2

A= z + z

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn ( )C :x2+y2+4x+4y+ = và đường thẳng 6 0

với m là tham số thực Gọi là tâm của đường tròn ( Tìm để :x my 2m 3

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P x: −2y+2z− = và hai đường thẳng 1 0

1

:

x+ y z+

1 2

x− y− z+

− Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho 1

khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ và khoảng cách từ M đến mặt phẳng 2 ( )P bằng nhau

Câu VII.b (1,0 điểm)

3x xy y 81

x y

− +

⎨

=

- Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009

Môn: TOÁN; Khối A

(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

1 (1,0 điểm) Khảo sát…

• Tập xác định: \ 3

2

D= ⎧− ⎫

⎨ ⎬

⎩ ⎭

\

• Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

1

x

−

Hàm số nghịch biến trên: ; 3

2

⎛−∞ − ⎞

⎝ ⎠ và

3

; 2

⎛− +∞⎞

⎜ ⎟

- Cực trị: không có

0,25

- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1

2

→−∞ = →+∞ = ; tiệm cận ngang: 1

2

y=

= −∞ = +∞ ; tiệm cận đứng: 3

2

- Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

2 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến…

Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng ± 1 0,25

Gọi toạ độ tiếp điểm là ( ; )x y , ta có: 0 0 2

0

1

1 (2x 3)

−

= ± + ⇔ x0= − hoặc 2 x0 = −1 0,25

• x0= −1, y0=1; phương trình tiếp tuyến y= − (loại) x 0,25

I

(2,0 điểm)

• x0= −2, y0=0; phương trình tiếp tuyến y= − − (thoả mãn) x 2

Vậy, tiếp tuyến cần tìm: y= − −x 2

x −∞ 3

2

− +∞

y' − −

y

1 2

−∞

+∞

1 2

y

x O

1 2

y=

3 2

x= −

0,25

Câu Đáp án Điểm

1 (1,0 điểm) Giải phương trình…

Điều kiện: sinx≠ và 1 sin 1

2

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 2sin )cos− x x= 3(1 2sin )(1 sin )+ x − x

⇔ cosx− 3 sinx=sin 2x+ 3 cos 2x ⇔ cos cos 2

⎛ + ⎞= ⎛ −

⎞

⎟

⎠

0,25

2

x= +π k π

x= −π +k π

0,25

Kết hợp (*), ta được nghiệm: 2 ( )

x= −π +k π k∈]

0,25

2 (1,0 điểm) Giải phương trình…

Đặt u=33x− và 2 v= 6 5 ,− x v≥ (*) Ta có hệ: 0 2 3 3 28

u v

⎧

⎨

8

⇔

8 2 3

u v

−

⎧ =

⎪

⎨

⎩

⇔

2

8 2 3 ( 2)(15 26 20) 0

u v

−

⎧ =

⎪

⎨

⎩

0,25

II

(2,0 điểm)

Tính tích phân…

III

Đặt t sin ,x cos ;

(1,0 điểm)

2

x= t= x=π t=

1

0,50

2 2

π

15 4

Tính thể tích khối chóp

(SIB) (⊥ ABCD) và (SIC) (⊥ ABCD ;) suy ra SI⊥(ABCD)

Kẻ IK ⊥BC (K BC∈ ) ⇒ BC⊥(SIK) ⇒ nSKI = 60 D

0,50

Diện tích hình thang ABCD : S ABCD =3 a2

Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI bằng

2

3

; 2

a

suy ra

2

3 2

IBC

a

IV

(1,0 điểm)

5

5

IBC

IK BC

Δ

S

5

a

SI=IK SKI= Thể tích khối chóp S ABCD :

3

a SI

0,25

I

C

Chứng minh bất đẳng thức…

Đặt a x y b x z= + , = + và c y z= +

Điều kiện (x x y z+ + =) 3yz trở thành: c2=a2+b2−ab

a +b + abc≤ c a b c, ,

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

3 3 3 5 ; 3 dương thoả mãn điều kiện trên

0,25

c =a +b −ab =(a b+ )2−3ab 2 3 2

4

4 a b+ ⇒ a b+ ≤2c(1) 0,25

a +b + abc≤ c a b a+ ( +b −ab) 3+ abc≤5c3

⇔ ( ) 2 2

⇔ (a b c+ ) 2+3abc≤5c3

⇔ (a b c+ ) +3ab≤5c2

0,25

V

(1,0 điểm)

(1) cho ta: (a b c+ ) ≤2c2 và 3 2 2

) 3 ; 4

ab≤ a b+ ≤ c

3 ( từ đây suy ra điều phải chứng minh

1 (1,0 điểm) Viết phương trình AB

Gọi N đối xứng với M qua suy ra I, N(11; 1− và N thuộc đường thẳng ) CD 0,25

VI.a

(2,0 điểm)

E∈ Δ ⇒ E x( ;5−x); IEJJG=(x−6;3−x) và JJJGNE=(x−11;6−x)

E là trung điểm CD ⇒ IE⊥EN

IE EN=

JJG JJJG

⇔ (x−6)(x−11) (3+ −x)(6−x) 0= ⇔ x= hoặc 6 7

x=

0,25

• x=6 ⇒ IEJJG=(0; 3 ;− ) phương trình AB y: − = 5 0 0,25

• x=7 ⇒ IEJJG=(1; 4 ;− ) phương trình AB x: −4y+19 0.= 0,25

2 (1,0 điểm) Chứng minh ( )P cắt ( ),S xác định toạ độ tâm và tính bán kính…

( )S có tâm I(1;2;3), bán kính R= 5

Khoảng cách từ đến I ( ) :P d I P( ,( ))= 2 4 3 4 3

− − −

Gọi H và lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, r

H là hình chiếu vuông góc của trên I ( ) :P IH d I P= ( ,( ))=3, r= R2−IH2 = 4 0,25

Toạ độ H=( ; ; )x y z thoả mãn:

1 2

2 2 3

= +

⎧

⎪ = −

⎪

⎨ = −

⎪

⎪ − − − = .

⎩

0,25

Tính giá trị của biểu thức…

2

36 36 ,i

VII.a

(1,0 điểm)

1

| |z = −( 1) +3 = 10 và 2 2

2

A

I

C

Câu Đáp án Điểm

| | | | 20

1 (1,0 điểm) Tìm m

Diện tích tam giác IAB: 1 sinn

2

S = IA IB AIB ≤ 1 2

1;

2R = lớn nhất khi và chỉ khi S IA IB⊥ 0,25

Khi đó, khoảng cách từ đến I Δ: ( , ) 1

2

R

d I Δ = = ⇔

2

1 1

m

=

⇔ (1 4− m)2 = +1 m2 ⇔ m=0 hoặc 8

15

2 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M

2

Δ qua A(1;3; 1)− và có vectơ chỉ phương uG=(2;1; 2).−

1

M∈Δ ⇒ ( 1 ; ; 9 6 ).M − +t t − + t

(2 ;3 ;8 6 ),

MA= −t −t − t ⎡MA u, ⎤ (8t 14;20 14 ;t t 4)

JJJG

JJJG G

⇒ ⎡⎣MA uJJJG G, ⎤⎦ =3 29t2−88t+68

0,25

2

,

u

JJJG G

Khoảng cách từ M đến ( ) :P ( )

( )2

3

+ − +

0,25

29 88 68

3

t

− + = ⇔ 35t2−88t+53 0= ⇔ t= hoặc 1 53

35

VI.b

(2,0 điểm)

1

t= ⇒ M(0;1; 3);− 53

35

t= ⇒ 18 53 3; ;

35 35 35

Giải hệ phương trình…

VII.b

Với điều kiện xy>0 (*), hệ đã cho tương đương: 2 2

2 4

x xy y

⎪

⎨

(1,0 điểm)

x y y

=

⎧

⎨

=

x y y

=

⎧

⎨ = ±

⎩

( ; ) (2;2)x y = ( ; ) ( 2; 2).x y = − −

-Hết -