BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn thi: TOÁN; Khối: A ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) x+2 Cho hàm số y = (1) 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A , B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Câu II (2,0 điểm) (1 − 2sin x ) cos x = Giải phương trình (1 + 2sin x )(1 − sin x ) Giải phương trình 3x − + − x − = ( x ∈ \ ) Câu III (1,0 điểm) π Tính tích phân I = ∫ ( cos3 x − 1) cos x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a , CD = a; góc hai mặt phẳng SBC ABCD 60D Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng SBI ( ) ( ) ( ) ( SCI ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x ( x + y + z ) = yz , ta có: ( x + y) + ( x + z) + ( x + y )( x + z )( y + z ) ≤ ( y + z ) PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) giao điểm hai đường 3 chéo AC BD Điểm M (1;5 ) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng Δ : x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (S ) : x ( P ) : x − y − z − = phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) mặt cầu + y + z − x − y − z − 11 = Chứng minh mặt đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn Câu VII.a (1,0 điểm) 2 theo 2 Gọi z1 z hai nghiệm phức phương trình z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x + y + x + y + = đường thẳng Δ : x + my − 2m + = 0, với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn ( C ) Tìm m để Δ cắt ( C ) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = hai đường thẳng x +1 y z + x −1 y − z +1 = = = = , Δ2 : Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng Δ1 cho −2 1 khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) Câu VII.b (1,0 điểm) ⎧⎪log ( x + y ) = + log ( xy ) Giải hệ phương trình ⎨ ( x, y ∈ \ ) ⎪⎩3x − xy + y = 81 Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Δ1 : Họ tên thí sinh: ; Số báo danh ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Khảo sát… ⎧ 3⎫ • Tập xác định: D = \ \ ⎨− ⎬ ⎩ 2⎭ • Sự biến thiên: −1 - Chiều biến thiên: y ' = < 0, ∀x ∈ D ( x + 3) 0,25 3⎞ ⎛ ⎛ ⎞ Hàm số nghịch biến trên: ⎜ −∞; − ⎟ ⎜ − ; +∞ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎠ - Cực trị: - Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = x →−∞ x →+∞ 1 ; tiệm cận ngang: y = 2 lim − y = −∞, lim + y = +∞ ; tiệm cận đứng: x = − ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ x →⎜ − ⎟ x →⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ 0,25 ⎝ 2⎠ - Bảng biến thiên: x −∞ y' y − − +∞ +∞ − 0,25 −∞ • Đồ thị: x=− y= y 0,25 O x (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến… Tam giác OAB vuông cân O, suy hệ số góc tiếp tuyến ±1 Gọi toạ độ tiếp điểm ( x0 ; y0 ) , ta có: −1 = ±1 ⇔ x0 = −2 x0 = −1 (2 x0 + 3) 0,25 0,25 • x0 = −1 , y0 = ; phương trình tiếp tuyến y = − x (loại) 0,25 • x0 = −2 , y0 = ; phương trình tiếp tuyến y = − x − (thoả mãn) Vậy, tiếp tuyến cần tìm: y = − x − 0,25 Trang 1/4 Câu II (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Giải phương trình… (*) Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: (1 − 2sin x)cos x = 3(1 + 2sin x)(1 − sin x) Điều kiện: sin x ≠ sin x ≠ − 0,25 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ cos x − sin x = sin x + cos x ⇔ cos ⎜ x + ⎟ = cos ⎜ x − ⎟ 3⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ π π 2π ⇔ x = + k 2π x = − + k 18 0,25 Kết hợp (*), ta nghiệm: x = − π 18 +k 2π (k ∈ ]) 0,25 0,25 (1,0 điểm) Giải phương trình… ⎧2u + 3v = Đặt u = 3 x − v = − x , v ≥ (*) Ta có hệ: ⎨ ⎩5u + 3v = 8 − 2u ⎧ − 2u ⎧ ⎪v = ⎪v = ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 3 ⎪(u + 2)(15u − 26u + 20) = ⎪15u + 4u − 32u + 40 = ⎩ ⎩ III 0,25 0,25 ⇔ u = −2 v = (thoả mãn) 0,25 Thế vào (*), ta nghiệm: x = −2 0,25 Tính tích phân… (1,0 điểm) π π 2 0 0,25 I = ∫ cos5 xdx − ∫ cos x dx Đặt t = sin x, dt = cos xdx; x = 0, t = 0; x = π π 2 0 π I1 = ∫ cos5 xdx = ∫ (1 − sin x ) cos xdx = ∫ (1 − t π , t = ) 2 1 ⎞ ⎛ dt = ⎜ t − t + t ⎟ = ⎠ 15 ⎝ π π 12 1⎛ π ⎞2 π I = ∫ cos x dx = ∫ (1 + cos x ) dx = ⎜ x + sin x ⎟ = Vậy I = I1 − I = − 20 2⎝ 15 ⎠0 IV 0,50 0,25 Tính thể tích khối chóp (1,0 điểm) ( SIB ) ⊥ ( ABCD) ( SIC ) ⊥ ( ABCD); suy SI ⊥ ( ABCD) n = 60D Kẻ IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SIK ) ⇒ SKI S A 0,50 B I D C K Diện tích hình thang ABCD : S ABCD = 3a 3a 3a ; suy S ΔIBC = 2 2S 5a n = 15a ⇒ SI = IK tan SKI BC = ( AB − CD ) + AD = a ⇒ IK = ΔIBC = BC 5 3 15a Thể tích khối chóp S ABCD : V = S ABCD SI = Tổng diện tích tam giác ABI CDI Trang 2/4 0,25 0,25 Câu V (1,0 điểm) Đáp án Điểm Chứng minh bất đẳng thức… Đặt a = x + y, b = x + z c = y + z Điều kiện x( x + y + z ) = yz trở thành: c = a + b − ab Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a3 + b3 + 3abc ≤ 5c3 ; a, b, c dương thoả mãn điều kiện c = a + b − ab = (a + b) − 3ab ≥ (a + b) − (a + b) = (a + b) ⇒ a + b ≤ 2c (1) 4 0,25 0,25 a + b3 + 3abc ≤ 5c ⇔ (a + b)(a + b − ab) + 3abc ≤ 5c ⇔ (a + b)c + 3abc ≤ 5c ⇔ (a + b)c + 3ab ≤ 5c 0,25 (1) cho ta: (a + b)c ≤ 2c 3ab ≤ (a + b) ≤ 3c ; từ suy điều phải chứng minh Dấu xảy khi: a = b = c ⇔ x = y = z VI.a (2,0 điểm) 0,25 (1,0 điểm) Viết phương trình AB Gọi N đối xứng với M qua I , suy N (11; −1) N thuộc đường thẳng CD A M B I D E N C 0,25 JJJG JJG E ∈ Δ ⇒ E ( x;5 − x ) ; IE = ( x − 6;3 − x ) NE = ( x − 11;6 − x) E trung điểm CD ⇒ IE ⊥ EN JJG JJJG IE.EN = ⇔ ( x − 6)( x − 11) + (3 − x)(6 − x) = ⇔ x = x = 0,25 JJG • x = ⇒ IE = ( 0; −3) ; phương trình AB : y − = 0,25 JJG • x = ⇒ IE = (1; −4 ) ; phương trình AB : x − y + 19 = 0,25 (1,0 điểm) Chứng minh ( P) cắt ( S ), xác định toạ độ tâm tính bán kính… ( S ) có tâm I (1;2;3), bán kính R = Khoảng cách từ I đến ( P) : d ( I ,( P) ) = 2− 4−3− = < R; suy đpcm 0,25 Gọi H r tâm bán kính đường tròn giao tuyến, H hình chiếu vuông góc I ( P) : IH = d ( I ,( P) ) = 3, r = R − IH = VII.a (1,0 điểm) 0,25 ⎧ x = + 2t ⎪ y = − 2t ⎪ Toạ độ H = ( x; y; z ) thoả mãn: ⎨ ⎪z = − t ⎩⎪2 x − y − z − = 0,25 Giải hệ, ta H (3; 0; 2) 0,25 Tính giá trị biểu thức… Δ = −36 = 36i , z1 = −1 + 3i z2 = −1 − 3i 0,25 | z1 | = (−1)2 + 32 = 10 | z2 | = (−1)2 + (−3)2 = 10 0,50 Trang 3/4 Câu Đáp án Điểm A = | z1 | + | z2 | = 20 VI.b (2,0 điểm) 0,25 (1,0 điểm) Tìm m (C ) có tâm I (−2; −2), bán kính R = 0,25 1 IA.IB.sin n AIB ≤ R = 1; S lớn IA ⊥ IB 2 −2 − m − m + R =1 ⇔ Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ : d ( I , Δ) = =1 + m2 Diện tích tam giác IAB : S = ⇔ (1 − 4m ) = + m ⇔ m = m = 15 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M G Δ qua A(1;3; −1) có vectơ phương u = (2;1; −2) M ∈ Δ1 ⇒ M (−1 + t ; t; −9 + 6t ) JJJG JJJG G JJJG G MA = (2 − t ;3 − t ;8 − 6t ), ⎣⎡ MA, u ⎦⎤ = (8t − 14; 20 − 14t ; t − 4) ⇒ ⎡⎣ MA, u ⎤⎦ = 29t − 88t + 68 JJJG G ⎡ MA, u ⎤ ⎣ ⎦ Khoảng cách từ M đến Δ : d ( M , Δ ) = = 29t − 88t + 68 G u Khoảng cách từ M đến ( P ) : d ( M ,( P) ) = 29t − 88t + 68 = 11t − 20 t = ⇒ M (0;1; −3); t = VII.b (1,0 điểm) −1 + t − 2t + 12t − 18 − 1 + ( −2 ) + 2 2 = ⇔ 35t − 88t + 53 = ⇔ t = t = 53 ⎛ 18 53 ⎞ ⇒ M ⎜ ; ; ⎟ 35 ⎝ 35 35 35 ⎠ 11t − 20 53 35 0,25 0,25 0,25 0,25 Giải hệ phương trình… 2 ⎪⎧ x + y = xy Với điều kiện xy > (*), hệ cho tương đương: ⎨ 2 ⎪⎩ x − xy + y = ⎧x = y ⎧x = y ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩ y = ±2 ⎩y = 0,25 0,50 Kết hợp (*), hệ có nghiệm: ( x; y ) = (2;2) ( x; y ) = (−2; −2) -Hết - Trang 4/4 0,25 ...ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu... a, b, c dương thoả mãn điều kiện c = a + b − ab = (a + b) − 3ab ≥ (a + b) − (a + b) = (a + b) ⇒ a + b ≤ 2c (1) 4 0,25 0,25 a + b3 + 3abc ≤ 5c ⇔ (a + b) (a + b − ab) + 3abc ≤ 5c ⇔ (a + b)c + 3abc... 3a 3a ; suy S ΔIBC = 2 2S 5a n = 1 5a ⇒ SI = IK tan SKI BC = ( AB − CD ) + AD = a ⇒ IK = ΔIBC = BC 5 3 1 5a Thể tích khối chóp S ABCD : V = S ABCD SI = Tổng diện tích tam giác ABI CDI Trang