Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)BÀI TẬP ĐẠO HÀM
Bài 1: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số: y = 2x 1 x0 = 5 Giải: Tập xác định D =
1 x : x
2
Với x số gia x0 = cho 5+ x
y = 2(5 x) 1 - 10 1
Ta có:
y x
=
9 x
x
Khi đó: y’(5)= x
y lim
x
=
x
9 x x
lim
x x
=
x
9 x lim
x x
=
x
2 lim
9 x
=
1
Bài : Chứng minh hàm số
x y
x
liên tục x0 = 0, đạo hàm điểm đó.
HD: Chú ý định nghĩa: x =
x ,neáu x
-x ,neáu x<0
Cho x0 = số gia x
y = f(x0+x) –f(x0) = f(x) –f(0) = x x y
x
=
x
x x
Khi x 0+ ( x > 0) Ta có: x
y lim
x
= x
x lim
x x
= x
1 lim
x
=1
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =
x ,
,
neáu x
x neáu x<0
a) Cm hàm số liên tục x = 0b) Hàm số có đạo hàm điểm x = hay không ? Tại sao?
Bài 4: Chứng minh hàm số y = f(x) =
2
(x 1) , n , n
eáu x
-x ếu x<0 khơng có đạo hàm x = Tại x =
hàm số có đạo hàm hay khơng ?
Bài 5: Chứng minh hàm số y = f(x) =
2
(x 1) , ,
2
neáu x (x+1) neáu x<0
khơng có đạo hàm x0 = 0, liên
tục
HD:a) f(0) = (0-1)2 = 1; x
y lim
x
= -2; x
y lim
x
= 2 x
y lim
x
x
y lim
x
hàm số khơng có đạo
hàm x0 =
b) Vì lim f (x)x 0
=1; lim f (x)x 0
=1; f(0) = lim f (x)x 0
= lim f (x)x 0
(2) hàm số liên tục x0 = 0
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =
cos x, sin x
Neáu x Neáu x<0
a) Chứng minh hàm số khơng có đạo hàm x = 0.
b) Tính đạo hàm f(x) x =4
HD:a) Vì x 0lim f (x) =xlim cos x0 =1 xlim f (x)0 =xlim ( sin x)0 = 0; f(0) = cos0 = xlim f (x)0
xlim f (x)0
hàm số không liên tục x0 = (hàm số gián đoạn x0 = 0)
Bài 7: Tính đạo hàm hàm số sau:
1 y = (x2-3x+3)(x2+2x-1); Đs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9
2 y = (x3-3x+2)(x4 +x2 -1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x
3 Tìm đạo hàm hàm số: y =
2
3x x
x
Giải: y’ =
2
3x ' x
x
+
2
3x x '
x
=
2
3 x
x
=
2
3x
x x
=
2
3 x
x
+
1 3x
x x 2 x
3 y =
1
x 1
x
4 y =
3
3 x 1 x 3x
5 y = (x2-1)(x2-4)(x2-9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x)
7 y =
1 x
1 2x
8 y = 3
1 2x
1 2x
9 y =
x x
; Đs:-
1 (x 1)(x 1)
10 y =
2
1 x x
; Đs:- 2
2x (1 x )(1 x )
11 y = cos2
1 x
1 x
; Đs:
1 x
sin
x (1 x ) x
12 y = (1+sin2x)4; Đs:(1 sin x) sin 2x
13 y =sin2(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x
14 y =
sin x cos x sin x cos x
; Đs:
(3)15 y =
sin 3x sin x.cos x
518) y = f(x) =
x
1 cos x ; y’ =
2
1 cos x x sin x cos x
519) y = f(x) =
tan x
x ; y’ = 2
x sin x cos x x cos x
522) y = f(x) =
sin x
1 cos x ; y’ = 1 cos x
523) y = f(x) =
x
sin x cos x ; y’ =
sin x cos x x(sin x cos x) sin 2x
526) y = f(x) =
1 tan x
4 ; y’ = tan3x. cos x
527) y = f(x) = cosx
3
1 cos x
; y’ = -sin3x
528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ =
sin 2x(2 sin x)
2
529) y = f(x) =
1
3tan3x –tanx + x; y’ = tan4x
535) y = f(x) = tan
x
; y’ =
1 x 2cos
2
539) y = f(x) = cos34x; y’ = -12cos24x.sin4x
544) y = f(x) =
1 tan x
x
; y’ =
2
2
x
1
2x cos x tan x
x x
672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ =
2sin2x(cosx-2)
682) y = f(x) =
2sin x
cos 2x ; y’ =
2sin 2x cos 2x
684) y = f(x) =
x x
tan cot
2
x
; y’ = 2
2(x cos x sin x) x sin x
685) y = f(x) =
2 x x
sin cot
3 2; y’ =
1 x 2x
cot sin
3
2
1 x
sin
2
…
689) y = f(x) = tan x tan x ; y’ =
2
2
tan x(1 tan x) cos x tan x tan x
694) y = f(x) =
6
1
sin 3x sin 3x
18 24 ; y’ = sin53xcos33x
705) y = f(x) = cosx.
1 sin x
; y’ =
3
2sin x sin x
706) y = f(x) = 0.4
2
2x
cos sin 0.8x
2
; y’ = -0.8
2x
cos sin 0.8x
2
2x
sin cos 0.8x
2
(4)713) y = f(x) =
1
1 sin x ; y’ =
3
sin 2x sin x
721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2)
722) y = f(x) =
2cos x cos 2x ; y’ =
2sin x cos 2x cos 2x
BÀI TẬP ĐẠO HÀM BỔ SUNG
1.Tìm đạo hàm hàm số: y = x cot2x Giải: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ =
1
2 x cot2x
2 x sin 2x
2 Tìm đạo hàm hàm số: y = 3sin2xcosx+cos2x
y’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’
= 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx)
3 Cho hàm số : y =
x x x
Tìm TXĐ tính đạo hàm hàm số ? TXĐ: D = R
y’ =
2
2x
x x x
2 x x
x x
=
2
3
2(x x 1) x(2x 1)
x x
=… Bài : Chứng minh hàm số sau có đạo hàm khơng phụ thuộc x: a) y = sin6x + cos6x +3sin2xcos2x;
HD:
Cách 1: y = (sin2x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x
= [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x
=[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x
=
y’ = (đpcm)
Cách 2:
y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’]
= 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’]
= 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx cos2x-sin2x.2cosx.sinx]
= 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x)
b) y = cos2 x
+cos2 x
+cos2
2 x
+cos2
2 x
-2sin2x.
Bài : Cho hàm số y = f(x) = 2cos2(4x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị hàm số f'(x) Bài : Cho hàm số y = f(x) = 3cos2(6x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị hàm số f'(x)
Bài : Chứng minh hàm số sau thỏa mãn phương trình :
a) y = 2x x ; y3y"+1 = b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = c) y = e2xsin5x; y"-4y'+29y = 0
d) y = x3[cos(lnx)+sin(lnx)]; x2y"-5xy'+10y = e) y = 2
x x 1
; (1+x2)y"+xy'-4y = Bài : Cho hàm số
y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x
1/ Tính f’(x) f”(x), từ tính f’(0) f”() 2/ Giải phương trình f”(x) = 0.
Bài : Cho hàm số y = f(x) =
x
cos2x
(5)f(x) = 3x+
60
x
64 x
+5; b) f(x) =
sin 3x
3 +cosx-
cos3x sin x
3
Giải:
f’(x) =
60 x
+
2
64.3x
x == 3
60 x
+
64.3
x == 3
20 64
x x
f’(x) = 20 64
x x