* Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan sau đó tìm tiếp điểm M0x0; y0 bằng cách giải phương trình f/x0 = k và viết phương trình tiế[r]
(1)I KiÕn thøc c¬ b¶n Bảng đạo hàm các hàm số Hµm sè §¹o hµm (y = f(x)) (y’ = f’(x)) Hµm sè §¹o hµm cos x sin x y=c y = tanx y=x y = cotx y = xn nxn-1 y = ex ex y = ax ax lna y = lnx 1/x y = logax ln a x y = 1/x y x x2 x y = sinx cosx y = cosx -sinx §¹o hµm cña hµm hîp Ta xét hàm số y = f(u(x)) Ta tính đạo hàm hàm số đã cho theo x sau y x' f x' fu' u x' Bảng đạo hàm hàm số hợp Hµm sè §¹o hµm y = un y = 1/u y u Hµm sè n.un-1.u’ y = tanu u ' u2 u ' u y = cotu §¹o hµm u’ cos u u’ sin u y = eu u’.eu y = sinu u’.cosu y = au u’.au lna y = cosu - u’.sinu y = lnu u ' u y = logau ln a u ' u Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm hàm hợp ta chú ý ban đầu tính đạo hàm hàm số theo biến u nhân với đạo hàm hàm số u theo biến x Các phép toán đạo hàm Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x) Khi đó *) (u + v)’ = u’ + v’ *) (u - v)’ = u’ – v’ *) (uv)’ = u’v + v’u *) (ku)’ = k.u’ ( k lµ h»ng sè) ' u u ' v v 'u *) v2 v Lop12.net (2) §¹o hµm bËc cao cña hµm sè Đạo hàm bậc n hàm số y = f(x) là đạo hàm bậc đạo hàm bậc n – hàm số y = f(x) ( n > 1) II C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n Dạng Tính đạo hàm hàm số Phương pháp Ta vận dụng các quy tắc và phép tính đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm hàm hợp Nếu yêu cầu tính đạo hàm điểm ta cần tính đạo hàm thay vào đe kết Ví dụ Tính đạo hàm các hàm số sau a) y x x x b) y sin x cos x tan x c) y x x d) y cot x x Gi¶i ' a) Ta cã y ' x x x x x 3 2 b) Ta cã y sin x cos x tan x cos x sin x ' ' 4x cos x x ' ' d) Ta cã y cot x x 3 sin x c) Ta cã y x x ' ' Ví dụ Tính đạo hàm các hàm số sau các điểm tương ứng a) y x x x t¹i x0 = -1 b) y sin x cos x t¹i x0 c) y x x t¹i x0 = Gi¶i ' a) Ta cã y x x x 3 x x suy y ( 1) 3 13 ' ' b) Ta cã y sin x cos x 2cos x sin x ' ' 2cos sin 4 2 4 ' 1 ' c) Ta cã y 2 x 2x suy y ' 2 2 x suy y ' Ví dụ Tính đạo hàm các hàm số sau x 3x 2x b) y c) y x x x 1 x2 d) y sin(2 x 1) cos(1 x) e) y x a) y f) y g) y tan( x x 1) Gi¶i x2 x x x 1 x x 1 x x x a) Ta cã y 2 x2 x 2 x 2 x 2 ' ' ' ' ' x x (2 x 3)( x 1) ( x x 1) x x b) Ta cã y 2 x 1 x 1 x 1 ' ' c) Ta cã y x x x x ' d) Ta cã y sin(2 x 1) cos(1 x) 2cos(2 x 1) sin(1 x) ' ' Lop12.net (3) e) Ta cã y f) Ta cã y ' ' 3x ' 2x x2 x x2 x ' 3x g) Ta cã x ' y ' tan( x x 1) x 2 cos ( x x 1) 2x x 1 x2 x2 x ' cos ( x x 1) 2x x x cos ( x x 1) Dạng Giải phương trình y’ = Phương pháp Ta tính y’ sau đó giải phương trình Ví dụ Giải phương trình y’ = biết x2 a) y x 1 x2 x d) y x 1 b) y x x c) y x 12 x x x 3x e) y x 1 x x2 h) y x 1 g) y x x y’ = 2 x4 f) y 3x 2 2x x i) y x 1 Gi¶i ' x2 x2 x x x2 x ' a) Ta có y suy y x2 x 2 x 1 x x x 1 ' Vây phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x = và x = b) Ta cã y x x ' 3x ' x x suy y ' x x x Vây phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x = và x = ' c) Ta cã y x 12 x x 12 x 24 x ' 2 x ' Suy y 12 x 24 x x Vây phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x ,x 2 ' x2 x x2 x d) Ta cã y x x 1 ' suy y ' x x2 x x 1 x 2 x2 x Vậy phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x = và x = -2 ' x 3x x x e) Ta cã y x x 1 ' Lop12.net (4) suy y ' x x2 x x 1 x 2 x2 x Vậy phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x = và x = -2 ' x4 5 3x x3 x f) Ta cã y 2 x ' Suy y x x x ' Vậy phương trình y’ = có ba nghiệm phân biệt x 0, x ' g) Ta cã y x x 4 x x ' Suy y 4 x x x Vậy phương trình y’ = có nghiệm x = ' ' x2 x x2 x h) Ta cã y x x 1 ' Suy y ' ' x2 x x 1 x 1 x2 x x Vậy phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x = -1 và x = ' x2 x x2 x i) Ta cã y x x 1 ' 2 x 2x 4x ' Suy y x2 x x 1 2 x 2 2 Vậy phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x ,x 2 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm Phương pháp: Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi đặc biệt là hàm lượng giác VÝ dô Chøng minh r»ng a) y’ – y2 -1 = víi y = tanx b) y’ + 2y2 + = víi y = cot2x c) y’2 + 4y2 = víi y = sin2x Gi¶i a) Ta cã y ' cos x Khi đó sin x sin x cos x y y 1 1 cos x cos x cos x sin x cos x 0 cos x cos x ' VËy ta cã ®iÒu cÇn chøng minh Lop12.net (5) b) Ta cã y ' sin 2 x 2 sin 2 x cos 2 x 2cos 2 x Khi đó y y 2 0 sin 2 x sin 2 x sin 2 x ' VËy ta cã ®iÒu cÇn chøng minh c) Ta cãy’ = 2cos2x Khi đó y ' y 4cos 2 x 4sin 2 x VËy ta cã ®iÒu cÇn chøng minh III Bµi tËp tù luyÖn Bài Tính đạo hàm các hàm số sau x2 x x 1 d) y x x a) y x2 x x 3x c) y x 1 x 1 3 e) y x x f) y x x b) y Bài Tính đạo hàm các hàm số sau x2 x 1 3 x d) y x2 a) y x2 x 1 b) y x x c) y 3 x x e) y 2x f) y 2 x x 4 Bài Tính đạo hàm các hàm số sau các điểm tương ứng x 3x a) y t¹i ®iÓm x0 = -1 x 1 b) y x x t¹i ®iÓm x0 = 2 c) y x x x t¹i ®iÓm x0 Bài Giải phương trình y’ = các trường hợp sau x 3x a) y x 1 d) y x x x2 b) y x 1 e) y 2 x x c) y x x f) y x x I KiÕn thøc c¬ b¶n TiÕp tuyÕn t¹i mét ®iÓm: Cho hµm sè y= f(x) (C), x0 lµ mét ®iÓm thuéc vµo TX§ cña hµm sè trªn và tồn đạo hàm đó Khi đó ta có tiếp tuyến với (C) điểm (x0; f(x0)) có phương trình là y = y/(x0)(x-x0) + f(x0) NhËn xÐt: ë trªn ta cã y/(x0) lµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn Ta cÇn t×m ®îc hÖ sè gãc vµ tiÕp ®iÓm trường hợp này muốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong nào đó Các bài tập hay gặp phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung độ tiếp điểm; hay giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng nào đó Điều kiện tiếp xúc hai đồ thị Cho hai hµm sè y = f(x) (C1), y = g(x) (C2) f ( x) g ( x) Khi đó (C1) tiếp xúc với (C2) và hệ phương trình ' ' f ( x) g ( x) cã nghiÖm Chó ý: Lop12.net (6) + Nếu hai đồ thị (C1) và (C2) là hai đường cong thì chúng tiếp xúc với hai điểm hệ trªn cã hai nghiÖm ph©n biÖt + Nếu hai đường là đường thẳng thì để có hai tiếp tuyến ta cần hệ trên có hai nghiệm ph©n biÖt II D¹ng to¸n c¬ b¶n Dạng Viết phương trình tiếp tuyến điểm Phương pháp: Ta cần tìm toạ độ tiếp điểm dựa vào các kiện bài toán đã cho Nhận xét: Trong dạng này ta thường gặp các trường hợp sau + Cho biết tọa độ tiếp điểm + Cho biết hoành độ tiếp điểm điều kiện nào đó để tìm hoành độ tiếp điểm + Biết tung độ tiếp điểm điều kiện nào đó để tìm tung độ tiếp điểm + Tiếp điểm là giao điểm đồ thị với đồ thị khác Khi đó ta cần giải hệ phương trình để tìm toạ độ tiếp điểm Dạng Tiếp tuyến qua điểm: Cho hàm số y= f(x) (C) viết phương trình tiếp tuyến với (C) ®i qua ®iÓm M(xM; yM) Phương pháp: C¸ch 1: T×m tiÕp ®iÓm Giả sử tiểp tuyến với (C) cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0) Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0) Mà tiếp tuyến qua điểm M(xM; yM) suy yM = f/(x0)(xM-x0) + f(x0) giải phương trình này ta tìm hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y0 = f(x0) viết phương trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng C¸ch 2: Sö dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc Giả sử đường thẳng qua M(xM; yM) có hệ số góc k đó nó có phương trình y = k(x-xM) + yM f ( x ) k ( x xM ) y M Ta cã ®êng th¼ng y = k(x-xM) + yM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng cong (C) / f ( x) k giải hệ này ta tìm hoành độ tiếp điểm sau đó viết phương trình tiếp tuyến tương ứng NhËn xÐt: ë trªn cã bao nhiªu nghiÖm x ta cã bÊy nhiªu tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm M Dạng Tiếp tuyến cho trước hệ số góc: Phương pháp C¸ch T×m tiÕp ®iÓm Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0) Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0) Khi đó theo giải thiết ta có f/(x0) = k Giải phương trình này ta tìm hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y0 = f(x0) viết phương trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng NhËn xÐt: Trong d¹ng nµy ta cã thÓ gÆp c¸c bµi tËp nh sau: *) Tiếp tuyến có hệ số góc k đó ta tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải phương trình f/(x0) = k sau đó viết phương trình tiếp tuyến tương ứng *) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b đó tiếp tuyến có hệ số góc là k = sau t×m a tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax+ b đó tiếp tuyến có hệ số góc là k= a sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc đó hệ số góc tiếp tuyến là k = tan sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương øng *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax +b góc đó hệ số hóc tiếp tuyến là k thoả mãn k a tan chúng ta dùng tích vô hướng hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau đó ka tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương øng III VÝ dô Ví dụ 1: Cho hàm số y f ( x) x x x (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết a) Hoành độ tiếp điểm là -1; 3; b) Tung độ tiếp điểm là -4 Lop12.net (7) c) TiÕp ®iÓm lµ giao cña (C) víi trôc hoµnh Gi¶i TX§: D / / Ta cã y f ( x) x x a) Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có y0 = f(x0) = f(-1) = - 4; f ( x0 ) f ( 1) suy tiếp tuyến với (C) đó có phương trình y = f/(-1)(x+1) – hay y = - / / Với hoành độ tiếp điểm x0 = ta có y0 = f(x0) = f(3) = 44; f ( x0 ) f (3) 40 suy tiếp tuyến với (C) đó có phương trình y = f/(3)(x-3) + 44 hay y = 40x – 76 b) Với tung độ tiếp điểm y0 = - ta có x0 = -1 x0 = / / Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có f ( x0 ) f ( 1) suy tiếp tuyến với (C) đó có phương trình y = f/(-1)(x+1) – hay y = - / / Với x0 = ta có f ( x0 ) f (0) suy tiếp tuyến với (C) đó có phương trình y = f/(0)(x+1) – hay y = x – c) Giao điểm (C) với trục hoành có hoành độ là nghiệm phương trình / / y x3 x x ( x 1)( x x 4) x / Khi đó f (1) suy tiếp tuyến với (C) đó có phương trình y = f/(1)(x-1) hay y = 8x – Ví dụ 2: Cho hàm số y f ( x) x m( x 1) (Cm) Viết phương trình tiếp tuyến (Cm) giao điểm nó với Oy, tìm m để tiếp tuyến trên chắn trên hai trục tạo tam giác có diện tích b»ng Gi¶i TX§: D Ta cã (Cm) giao víi Oy t¹i ®iÓm A(0; -m) y / f / ( x) x m Khi đó tiếp tuyến cần tìm là y = y/(0)x +1 – m hay y =-mx +1-m 1 m ; 0) (m 0) suy m 1 1 m SOAB | y A | | xB | |1 m | | | 16 | m | m 2m 2 m m 16m m 2m m 14m 2 16 m m m m 18 m m TiÕp tuyÕn trªn c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm B ( Với m = thì đồ thị hàm số đã cho không cắt trục hoành suy không tồn tam giác OAB Vậy với m thì tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo tam giác có diện tích m 3 Ví dụ 3: Cho hàm số y f ( x) x x (C ) viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết a) Tiếp tuyến đó có hệ số góc k = b) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y x Gi¶i TX§: D Ta cã y f ( x) x x a) Gọi A(xA; yA) là tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm đó ta có / / x 1 f / ( x A ) x A2 x A x A2 x A A xA Với x A 1 ta có y A 4 đó tiếp tuyến với (C) cần tìm là y = 9(x+1) – hay y=9x+5 Với xA = ta có yA = đó tiếp tuyến với (C ) cần tìm là y =9(x-3) hay y= 9x – 27 VËy cã hai tiÕp tuyÕn víi (C) cã hÖ sè gãc lµ k = lµ y=9x+5 vµ y= 9x – 27 Lop12.net (8) b) Gäi M(xM ;yM) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn cÇn t×m TiÕp tuyÕn cÇn t×m vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y x suy hÖ sè gãc cña nã lµ k = -3 (Làm tương tự phần a) Ví dụ 4: Cho hàm số y x x 12 x (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) các trường hợp sau a) TiÕp tuyÕn song song víi ®êng th¼ng y = 6x – b) TiÕp tuyÕn t¹o víi ®êng th¼ng y x mét gãc 450 Gi¶i TX§: D Ta cã y x x 12 a) V× tiÕp tuyÕn song song víi ®êng th¼ng y = 6x – suy hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn lµ k = Gọi M0(x0; y0) là tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Khi đó ta có / 13 x0 y / ( x0 ) x02 x0 12 x02 x0 13 x0 13 20 13 23 Víi x0 ta cã y0 đó tiếp tuyến cần tìm là 2 13 20 13 23 26 13 29 y 6( x ) y 6x 2 13 13 23 Víi x0 ta cã y0 đó tiếp tuyến cần tìm là 2 13 13 23 13 13 29 y 6( x ) y 6x 2 b) V× tiÕp tuyÕn cÇn t×m t¹o víi ®êng th¼ng y x mét gãc 450 suy hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn lµ k tho¶ m·n 1 k k k k tan 45 2k | k | k k k 2 k 1 k 3 k sau đó làm tương tự phần a (Tìm tiếp điểm) 19 ; 4 12 Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : y x x qua điểm A Gi¶i 19 19 ; có hệ số góc k, đó nó có dạng y kx k (d) 12 12 Gi¶ sö ®êng th¼ng ®i qua A Ta có (d) tiếp xúc với (C) và hệ phương trình sau có nghịêm 19 2 x x kx k (1) 12 6 x x k (2) Thay (2) vµo (1) ta cã Lop12.net (9) x3 x (6 x x) x 19 (6 x x) x3 25 x 19 x 12 x 1 ( x 1)(8 x 17 x 2) x x 19 ; ( Tự viết phương trình tiếp tuyến) 12 VÝ dô Cho hµm sè y x x x (C ) VËy cã ba tiÕp tuyÕn víi (C) ®i qua ®iÓm A a) CMR: Không tồn hai điểm nào trên (C ) cho tiếp tuyến hai điểm đó vuông góc với b) Tìm k cho trên (C) có ít điểm cho tiếp tuyến đó vuông góc với đường th¼ng y = kx + m Gi¶i a) Giả sử trên (C) có hai điểm M1(x1; y1) và M2(x2; y2) mà tiếp tuyến với (C) đó vuông góc với Ta cã y’ = 3x2 + 6x + = 3(x+1)2 Khi đó ta có -1 = y'(x1 ).y'(x1 ) = 9.(x1 +1) (x + 1) 1 v« lý Suy gi¶ sö lµ sai hay ta cã ®iÒu cÇn chøng minh b) VÝ dô Cho hµm sè y = x - x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm A(3; 0) Gi¶i §êng th¼ng (∆) ®i qua A(3; 0) vµ cã hÖ sè gãc k cã d¹ng: y = k(x - 3) +) (∆) lµ tÕp tuyÕn víi (C) k = x2 x x x k ( x 3) 3 ThÕ (1) vµo (2): (1) (2) HÖ cã nghiÖm x x ( x x )( x 3) x0 2x3 -12x2 + 18x = x +) Víi x1 = k1 = PTT2: y = +) Víi x2 = k2 = PTT2: y = 3x - Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho thoả mãn yêu cầu bài toán y = vµ y = 3x – x2 x Ví dụ Tìm a để đồ thị hàm số y (C) tiÕp xóc víi (P) : y = x2 + a x 1 Gi¶i Lop12.net (10) x2 x (1) 2x = ( x 1)2 Điều kiện tiếp xúc đồ thị (C) với (P) x x x a (2) x HÖ cã nghiÖm Gi¶i (1) x = ThÕ vµo (2) a = - Vậy với a = -1 đồ thị (1) tiếp xúc với (P) x2 2x VÝ dô Cho ®êng cong y (C) x 1 Tìm các điểm trên Ox từ đó kẻ hai tiếp tuyến với (C) mà hai tiếp tuyến này vu«ng gãc víi Gi¶i: Gäi M(a; 0) Ox; ∆ lµ ®êng th¼ng qua M cã hÖ sè gãc k: y = k(x - a) k ( x 1)2 (∆) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) k ( x a) x x 1 (1) (I) HÖ cã nghiÖm (2) k ( x 1) x (1) x k ( x a) x (2) x 1 (2) - (1) k (1 a) (3) x 1 k KÕt hîp (3) vµ (1) ta cã: k (1 a)2 (4) k (4) k2(1 - a)2 + 4k - = Tõ M kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi tíi (C) HÖ trªn cã hai nghiÖm ph©n biÖt k1, k2 vµ k1.k2 = -1 a 1 4 (1 a)2 1 a a = - 1, a = VËy c¸c ®iÓm cÇn t×m lµ (-1; 0); (3; 0) Nhận xét: Từ hệ (I) ta phải biến đổi thành hệ tương đương mà có a và k Nhận thấy tính theo a và k thay vào phương trình (1) thì hệ tương đương đó có x 1 phương trình chứa a và k từ đó ta có phép biến đổi trên và cách giải này là ngắn gọn Lop12.net 10 (11) x2 2x VÝ dô 10 Cho ®êng cong y x 1 (C) Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến góc với (C), hai tiếp tuyến này vu«ng gãc víi Gi¶i: (∆) lµ ®êng th¼ng ®i qua M(a; b) vµ cã hÖ sè gãc k nªn PT (∆): y = k(x - a) + b k ( x 1)2 (∆) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) k ( x a) b x x 1 k ( x 1) x x 1 k ( x a) b x x 1 LÊy (4) - (3) (1) HÖ cã nghiÖm (2) (3) (4) k (1 a) b (5) k (1 a) b x 1 x 1 k 1 KÕt hîp (5) vµ (1) ta cã hÖ k (1 a) b k (6) ( k v× tõ (1) nÕu k = th× x, hÖ v« nghiÖm.) k 1 2 k (1 a) 2((1 a)b 2)k b (7) V× tõ M kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi tíi (C) hÖ trªn cã hai nghiÖm ph©n biÖt k1, k2 vµ k1.k2 = - a 1 b 1 (8) 1 a (1 a)2 2((1 a)b 2) b2 (9) a 1 (1 a)2 b2 1 a b (10) (11) (I) ThÕ (10) vµo (9): 2[(1 - a)b + 2] (1 - a)b + Tõ (10) (1 - a)2 + b2 + 2(1 - a)b = + 2(1 - a)b (1 - a + b)2 = 2(2 + (1 - a)b) V× 2+ (1 - a)b - a + b Lop12.net 11 (12) VËy ta cã tËp hîp c¸c ®iÓm M cÇn t×m lµ ®êng trßn t©m I(1; 0) b¸n kÝnh R = 2, bá ®i ®iÓm lµ giao các đường thẳng x = và - x + y + = với đường tròn đó là các điểm (1; 2); ( 2; ); ( 2; ) VÝ dô 11 Cho ®êng cong: y 2x2 x (C) x 1 Tìm tất các điểm trên đường thẳng y = mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến với đường cong (C) mà hai tiếp tuyến đó hợp với góc = 450 Gi¶i: Gäi M ®t: y = M(a; 7) Phương trình đường thẳng (∆) qua M có hệ số góc k: y = k(x - a) + (1) k ( x 1)2 (∆) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) HÖ cã nghiÖm k ( x a) x (2) x 1 k ( x 1) 2( x 1) x (3) k ( x a) x (4) x 1 LÊy (4) - (3): k (1 a) (5) k (1 a) x 1 x 1 k KÕt hîp (5) vµ (1) k (1 a) k k 2 k (1 a) 8k (2 a) (6) Tõ M kÎ hai tiÕp tuyÕn hîp víi gãc y = 450 Kh«ng mÊt tÝnh chÊt tæng qu¸t Ta gi¶ sö: 1 450 2 2 O tan 2 k2 k1 tan 1 tan 2 k2 1 x k1 - k1.k2 = + k2 (7) V× (6) ph¶i cã hai nghiÖm ph©n biÖt mµ c cã mét nghiÖm b»ng vµ mét a nghiÖm kh¸c Lop12.net 12 (13) a 1 a 1 VËy tõ (6) k1 hoÆc k1 (8) k k k1 hoÆc k KÕt hîp (8) vµ (7) ta cã: k1 k2 a NÕu k1 = 1, tõ (6) : a (1 a)2 8(2 a) a=52 a NÕu k2 = -1 , tõ (8) : a (1 a)2 8(2 a) a =-32 VËy c¸c ®iÓm t×m ®îc lµ : M1;2 ( 2 ; 7); M3;4( 3 ; 7) Ví dụ 12 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai (P) sau : y = x2 - 3x + (1) vµ y = - x2 + 7x - 11 (2) Gi¶i: Gäi tiÕp tuyÕn chung lµ : y = ax + b Gäi M0(x0 ; y0) vµ M ' ( x ' ; y ' ) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn víi Parabol (1) vµ (2) Theo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cña hai ®êng ta cã hÖ sau : (1) a x0 a 2 x ' (2) HÖ cã nghiÖm x x ax b (3) 0 x '20 x '0 11 ax '0 b (4) Tõ (1) vµ (2) x x ' (5) Tõ (3) vµ (4) (5 x ' ) x ' 11 2 Gi¶i t×m ®îc x ' 0(1) a1 3; b1 7 x '0(2) a2 1; b2 2 KÕt luËn: TiÕp tuyÕn chung lµ: y = 3x - vµ y = x – Ví dụ 13 Tìm tiếp tuyến cố định họ đường cong có phương trình: y (m 1) x m xm (m 0) Gi¶i: Gọi đường thẳng: y = ax + b là tiếp tuyến cố định họ đường cong Hệ phương trình sau có nghiệm m ≠ Lop12.net 13 (14) m2 m x m ax b m a ( x m)2 LÊy (3) - (4): (1) (2) m2 m ax b xm m a( x m) x m m(a 1) b xm 2m KÕt hîp (2) vµ (5) ta ®îc: a (3) (4) (5) (m(a 1) b 1)2 4m (a + 1)2m2 + 2(a - 1)(b + 1)m + (b + 1)2 = (a 1)2 a = 1 Phương trình này thỏa mãn m ≠ 2( a 1)( b 1) b 1 (b 1)2 Kết luận: Vậy họ đường cong có tiếp tuyến cố định là: y = - x - IV Bµi tËp tù luyÖn Bài Cho (Cm ) : y x mx Tìm m để (Cm ) cắt đường thẳng y = -x + ba điểm A(0; 1), B, C cho tiÕp tuyÕn víi (Cm ) t¹i B vµ C vu«ng gãc víi Bài Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y x x mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường 3 3 Bµi Cho hµm sè y x x (C ) CMR: Trªn (C) cã v« sè cÆp ®iÓm mµ tiÕp tuyÕn t¹i tõng th¼ng y x cặp điểm đó song song với đồng thời các đường thẳng nối các cặp điểm này đồng quy điểm cố định Bµi Cho y x x x (C ) T×m tiÕp tuyÕn víi (C) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt y x x x (C1 ) Bµi Cho Viết phương trình tiếp tuyến với hai đồ thị trên giao y x x x (C2 ) ®iÓm cña chóng Bài Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) y x k ( x 1) giao điểm nó với trục Oy Tìm k để tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Bµi Cho hµm sè (C ) : y x x x Viết phương trình tiếp tuyến với (C) các trường hợp sau a) Cã hÖ sè gãc k = - b) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc 600 c) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc 150 d) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc 750 e) TiÕp tuyÕn t¹o song song víi ®êng th¼ng y = - x + f) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y = 2x – g) TiÕp tuyÕn t¹o víi ®êng th¼ng y= 3x + gãc 450 Bµi Cho hµm sè (C ) : y x x a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua điểm A( 23 ; 2) b) T×m trªn ®êng th¼ng y = - nh÷ng ®iÓm kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C) vu«ng gãc víi Lop12.net 14 (15) Bµi Cho hµm sè (C ) : y x x T×m trªn trôc hoµnh nh÷ng ®iÓm kÎ ®îc ba tiÕp tuyÕn víi (C) (§H SPHN2- KB-1999) Bài 10 Cho hàm số (C ) : y x x Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua điểm A(2; 0) (§H THHN- 1994) 3x Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tạo với trục hoành góc 450 x 1 4x Bµi 12 Cho hµm sè (C ) : y Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tạo với đường thẳng y = x 1 Bµi 11 Cho hµm sè (C ) : y 3x gãc 450 Bài 13 Tìm trên Oy điểm kẻ đúng tiếp tuyến với (C ) : y x 1 x 1 x2 x Bµi 14 Cho hµm sè (C ) : y T×m M trªn (C) cho tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i M c¾t hai trôc x 1 Ox, Oy t¹i A, B t¹o tam gi¸c OAB vu«ng c©n Bµi 15 Cho hµm sè (C ) : y (HVBCVTHN - 1997) x 5x CMR: TiÕp tuyÕn víi (C) t¹i mäi ®iÓm M tïy ý lu«n t¹o víi x2 hai tiệm cận tam giác có diện tích không đổi Bài 16 Tìm các điểm trên đồ thị (C ) : y th¼ng y x 3 x x mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường 3 (§H Ngo¹i Ng÷ Hµ Néi 2001) Bài 17 Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ với đồ thị (C ) : y x x x (ĐH Ngoại Thương TPHCM 1998) Bài 18 Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ với đồ thị (C ) : y x3 mx x m ( Häc viÖn quan hÖ quèc tÕ 2001) Bài 19 Tìm điểm M trên đồ thị (C ) : y x x 12 x cho tiếp tuyến với (C) tai M qua gốc tọa độ ( §H C«ng §oµn 2001) Bài 20 Viết phương trình tiếp tuyến các điểm cố định mà đồ thị (Cm ) : y x mx m Tìm quỹ tích giao điểm các tiếp tuyến đó ( §H an ninh 2000_ k A) Bài 21 Cho đồ thị hàm số (C ) : y x x 23 ; 2 a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua điểm A b) Tìm trên đường thẳng y = -2 điểm mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến với (C) và chúng vuông gãc víi Bài 22 Cho hàm số y x x (C ) Tìm các điểm trên đường thẳng x = kẻ đúng ba tiếp tuyÕn víi (C) ( §H cÇn th¬ 2000_ k A) Bµi 23 Cho hµm sè y 2 x (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song x 1 với đường thẳng y = -x ( ĐH đà lạt 2000_ k A) Bài 24 Cho hàm số y x x (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm A(1; 3) ( §H t©y nguyªn 2000_ k A) Lop12.net 15 (16) Bµi 25 Cho hµm sè y x x (C ) §êng th¼ng y = tiÕp xóc víi (C) t¹i A vµ c¾t (C ) t¹i điểm B, tìm tọa độ điểm B ( ĐH tây nguyên 2000_ k D) Bài 26 Cho hàm số y x x (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) qua điểm A(1; 0) ( §H an ninh nh©n d©n 2000_ k D) Bài 27 Tìm các điểm trên trục hoành kẻ đúng tiếp tuyến với đồ thị x2 x (C ) : y x2 x2 x Bài 28 Cho đồ thị (C ) : y CMR trªn ®êng th¼ng y = cã bèn ®iÓm cho tõ mçi x 1 ®iÓm kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C) vµ t¹o víi mét gãc 450 Bài 29 Cho đồ thị (C ) : y x Tìm tậ hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ Oxy thoả mãn x a) Từ đó không kẻ tiếp tuyến nào với đồ thị (C) b) Từ đó kẻ ít tiếp tuyến với đồ thị (C) c) Từ đó kẻ đúng tiếp tuyến với đồ thị (C) d) Từ đó kẻ đúng hai tiếp tuyến với đồ thị (C) e) Từ đó kẻ đúng hai tiếp tuyến với đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đo vuông góc với x2 x Bài 30 Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm A(1; 0) tới đồ thị (C ) : y x 1 ( ĐH dược 1999) x2 x Bài 31 Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm A(-1; ) tới đồ thị (C ) : y x 1 ( §H x©y dùng 1995) Bài 32 Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm A(0; 5/4 ) tới đồ thị (C ) : y x2 x x 1 ( §Hsp vinh 1998) x2 x Bài 33 Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm A(1; ) tới đồ thị (C ) : y x2 ( ĐH đà lạt 1999) I KiÕn thøc c¬ b¶n Khai triÓn nhÞ thøc Newt¬n Ta cã a b n n C a b k 0 k n k nk Cn0 a n Cn1a n1.b Cnn1a.b n1 Cnn b (1) Trong đó: + a, b lµ hai sè thùc + n là số nguyên dương NhËn xÐt: + Trong khai triển trên số mũ a giảm dần từ trái sang phải, ngược lại số mũ b tăng dần từ trái sang phải Số mũ a và b số hạng cộng lại n + Trong khai triÓn trªn cã n + sè h¹ng k k nk + Sè h¹ng tæng qu¸t khai triÓn (1) lµ T Cn a b (0 k n) k 1 k 1 + Sè h¹ng thøc k khai triÓn (1) lµ Cn a Một vài khai triển thường dùng Ta cã Lop12.net .b nk 1 (1 k n 1) 16 (17) x 1 n n Cnk x k Cn0 Cn1 x Cnn1 x n1 Cnn x n (2) k 0 Thay x = vào hai vế (2) ta có đẳng thức sau n Cnk Cn0 Cn1 Cnn1 Cnn n k 0 Thay x = - vào hai vế (2) ta có đẳng thức sau n Cnk Cn0 Cn1 Cnn1 (1) n1 Cnn (1) n k 0 Mèi liªn hÖ cña hai hµm sè b»ng Ta cã hai hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) NÕu f(x) = g(x) th× f’(x) = g’(x) II Dạng toán tính tổng tổ hợp liên quan tới đạo hàm Ta cã mét vµi chó ý gÆp tÝnh tæng cña tæ hîp + Nếu vế tính tổng không có Cn thì ta cần dùng khai triển đạo hàm hai vế theo x hai vế sau đó thay x giá trị thích hợp + Nếu vế tính tổng không có Cn và Cn thì ta dùng khai triển đạo hàm hai vế theo x hai lần sau đó thãy giá trị thích hợp III VÝ dô VÝ dô Chøng minh r»ng 2008 2008 2009 a) 2009.2 C2009 2C2009 2008C1009 2009C2009 b) 2009.2008.2 x 1 2007 2008 2009 2C2009 3.2C2009 2008.2007C1009 2009.2008C2009 Gi¶i 2009 2008 2008 2009 2009 C2009 C2009 x C2009 x C2009 x3 C2009 x C2009 x (*) a) Ta cã §¹o hµm hai vÕ cña (*) theo x ta cã 2009 x 1 2008 2008 2007 2009 2008 (a) C2009 C2009 x 2008C2009 x 2009C2009 x Thay x = vào đẳng thức (a) ta có 2008 2009 2009.22008 C2009 2C2009 2008C1009 2009C2009 Vậy ta có đẳng thức cần chứng minh b) §¹o hµm hai vÕ cña (*) hai lÇn theo x ta cã 2009.2008. x 1 2007 2008 2006 2009 2007 2C2009 3.2C2009 x 2008.2007C2009 x 2009.2008C2009 x Thay x = vào đẳng thức trên ta có 2008 2009 2009.2008.22007 2C2009 3.2C2009 2008.2007C1009 2009.2008C2009 VËy ta cã ®iÒu cÇn chøng minh Lop12.net 17 (18)