Tìm M trên đồ thị hàm số (1) sao cho diện tích tam giác ABM đạt nhỏ nhất. 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SI.. Theo chương[r]
(1)Trần Sĩ Tùng Ôn thi Đại học
Trang SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG QUỐC HỌC QUY NHƠN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC Lần NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN - Khối A, A1, B, D I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x x
2 1 (1)
-=
+
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1)
2) Cho A(0; 1), B(3; 2) Tìm M đồ thị hàm số (1) cho diện tích tam giác ABM đạt nhỏ Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: sin 22 x 1sin2x sin2 sin x 2x
+ =
2) Giải hệ phương trình: y x
x y y
3
6 (1)
2
39
2(2 ) (2)
ì - + =
ïï í
ï + - + =
-ïỵ
Câu III (1 điểm): Tính tích phân I x dx x
2
-=ò
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang cân với AD // BC, AB = BC = CD = a, AD = 2a SA^(ABCD), mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc 600, I trung điểm AD
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB SI
Câu V (1 điểm): Cho số thực dương x, y, z thoả mãn x2+y2+z2=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
M x y z
y z z x x y
3 3
2 2
= + +
+ + +
II PHẦN RIÊNG (3 điểm): A.Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): x2+y2-2x+4y- =4 0và đường thẳng (D): x-2y=0 Viết phương trình đường trịn (T1) qua điểm A(4; 0), tiếp xúc ngồi với đường trịn
(T) có tâm thuộc đường thẳng (D)
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (a): x y z+ - - =1 0, hai đường thẳng (D): x y z
1 1
- = =
- - , (D¢):
x y z 1
+
= = Viết phương trình đường thẳng (d) nằm mặt phẳng (a) cắt (D¢); (d) (D) chéo mà khoảng cách chúng
2 Câu VIIa (1 điểm): Tìm số phức z thoả mãn: z z z i
i 20,
2
-= =
+
B Theo chương trình nâng cao Câu VIb (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho DABC cân A, trọng tâm G 7; 3
ổ
ỗ ÷
è ø Đường thẳng AC
CG có phương trình 3x+4y-23 0,= x+8y-21 0= Tìm tọa độ A, B, C
2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y-2 10 0z+ = , hai đường thẳng (D1): x y z
1 1
-
-= -=
- , (D2):
x y z 1
- +
= = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (D1), tiếp
xúc với (D2) mặt phẳng (P)
Câu VIIb(1 điểm): Tìm phần thực, phần ảo số phức: z i
20 cos sin
5
p p
ỉ
= -ỗ + ữ
ố ứ
(2)-Ôn thi Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang Hướng dẫn
Câu I. 2) AB= 10 Phương trình AB: x-3y+ =3 0 Giả sử 0
3 1
1
M x C
x
; ( )
ổ - ửẻ
ỗ + ữ
è ø
Ta có: 0 0
0
1 1 9 1 9
3 1 4
2 2 1 2 1
MAB
S AB d M AB x x
x x
( , )
= = + - = + +
-+ +
Để SMAB nhỏ x0+ >1 0 Khi đó: 0
0
1 9
1 2 1
2 1
MAB
S x
x
³ + + - ³
+ (vì
0 9
1 6
1
x
x
+ + ³
+ ) Dấu '=" xảy Û x0 =2 Vậy M( ; )2 1 Khi SMAB=1
Câu II.
1) PT Û 0
8 2 4 2 9 0
x
x x VN
sin
cos sin ( )
é =
ê - + =
ë Û x k= p
2) (1) Û 6 3 2
x+ = -y Û
2 3 15 4 3
2
x y y
y
ì
= -
-ï í ï ³ ỵ
Thay vào (2) ta được: 3 15 2 2 6 39
4 4
y - y- + ( -y y) + = - Û ((y- -2) y+6)2=4
Û 2 6 2 3
2 6 2 4
y y
y y
( ) ( ) é - - + =
ê
- - + =
-êë
· Với (3) Þ 9 41 53 3 41
2 4
y= + Þ =x - · Với (4) Þ 3 15
4
y= Þ = -x
Câu III. Đặt
2 2
2 2 4
1 1
x t
t x dx dt
x t (t )
-= Þ = - Þ =
-
-Þ
7
2 2
2 4
1
t
I dt
t
( ) =
-ò =
7
2
2
1 1 1 1
1 1 1 1 dt
t t (t ) (t )
ổ ử
- + +
ỗ - + ÷
- +
è ø
ị
=
7
2
1 1
1 1
1 1
t t
t t
ln ln
æ - - + - - ử
ỗ - + ữ
è ø
Cách 2: Trước tiên đặt t= x, sau đặt t2- = -2 u t
Câu IV. Dễ chứng minh CD ^ AC Þ CD ^ SC Þ·SCD=600 Þ SA=3a 1)
2 3 3
4 ABCD a
S = Þ 1 3 3
3 4
S ABCD ABCD a
V . = S .SA=
2) Ta có AB // CI Þ AB // (SCI) Þ d AB SI( , )=d AB SCI( ,( ))=d A SCI( ,( )) Trong đáy (ABCD), vẽ AE ^ CI Þ CE ^ (SAE) Þ (SCI) ^ (SAE)
Trong DSAE, vẽ AH ^ SE Þ AH ^ (SCI) Þ d A SCI( ,( ))=AH Tính 3
2
a
AE= Þ 12 12 12 132
9
AH = SA + AE = a Þ
3 13 13
a
AH= Þ 3 13
13
(3)Trần Sĩ Tùng Ôn thi Đại học
Trang Câu V. Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho số:
3 3
1 2 2 2
x y z
a a a
y z, z x, x y
= = =
+ + +
và b1= x y( +2z b), 2= y z( +2x b), 3= z x( +2y), ta có:
( )
x y z x y z y z x z x y x y z
y z z x x y
3 3
2 2
( ) ( ) ( )
2 2
ỉ
+ + + + + + + + + =
ỗ ữ
ỗ + + + ữ
ố ứ
Þ 3M xy yz zx( + + )³1Þ 1 1
3 3
M
xy yz zx
( )
³ ³
+ + (vì 2
1 1
1
xy yz zx x+ + ³ +y +z = )
Dấu "=" xảy Û 3 3
x y z= = = Vậy 1
3
M
min = 3
3
x y z= = = Câu VIa.
1) (T) có tâm I( ; )1 2- , bán kính R=3 Gọi J a a( ; ) ( )2 Ỵ D tâm R1 bán kính ( )T1 Ta có: IJ = 5a2+5, R =AJ1 = 5a2-16a+16
1
T
( ) tiếp xúc (T) Û IJ R R= + 1 Û 5a2+ = +5 3 5a2-16a+16 Û a=2
Þ J( ; ),4 2 R1=2 Þ Phương trình đường trịn ( )T1 : (x-4)2+ -(y 2)2=4 2) (a) có VTPT nr=( ; ; )1 1- , (D) có VTCP urD = - -( ; ; )1 1 Þ (D) ^ (a)
Gọi A=( ) ( )DÂ ầ a ị A( ; ; )0 1- ; B=( ) ( )D Ç a Þ B( ; ; )1 0 Þ uuurAB=( ; ; )1 1
Vì (d) Ì (a) (d) cắt (D¢) nên (d) qua A (D) ^ (a) nên đường thẳng nằm (a) không qua B chéo với (D)
Gọi urd =( ; ; )a b c VTCP (d) Þ u n a b cr rd. = + - =0 (1) urd không phương với uuurAB (2) Ta có: d d( , )D =d B d( , ) Þ 6
2 d d
AB u u
,
é ù
ëuuur r û =
r Û 2
2 2
2 6
2
b a c
a b c
( )
+ - =
+ + (3)
Từ (1) (3) Þ ac=0 Û 0 0
a c
é = ê = ë
· Với a=0 Chọn b c= =1Þ urd =( ; ; )0 1 Þ
0 1
x d y t
z t
:ì =ïí = ï = - + ỵ
· Với c=0 Chọn a= - =b 1Þ urd = -( ; ; )1 0 Þ
1
x t
d y t
z
:ì =ïí = ï = -ỵ
Câu VIIa. Giả sử z a bi a b R= + ( , Ỵ ) Ta có: 20 3 2
z z
z. i i
ì =
í - = +
ỵ Û
2
2
20
3 5
a b
a (b )
ì + = ï
í
+ - =
ïỵ Û
2 4
a b
ì = ± í =
ỵ
Vậy có số phức thoả YCBT z= +2 4i z= - +2 4i Câu VIb.
1) Ta cú C = (AC) ầ (CG) ị C( ; )5 2 Gọi M trung điểm AB Þ uuurMC=3MGuuuur ị 1 5 2
Mổỗ ; ửữ ố ø Giả sử 4 23 3
4
A aổỗ ; - aửữẻ(AC)
ố ứ ị
3 2 3
4
Bổỗ - a a; - ư÷
(4)Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang
DABC cân A Û AB2 =AC2 Û100 110 185 25 125 625
4 2 16
a - a+ = a - a+ Û
1 4 23 60
a a
é = ê ê ê = ë · Với 1
4
a= Þ A( ; ), ( ; )1 5 B1 0 Vậy A( ; ), ( ; )1 5 B1 0 , C( ; )5 2
· Với 23 60
a= Þ 23 23 7 2 15 5 15 5
Aổỗ ; ử ổữ ỗ,B ; ư÷ è ø è ø Vậy
23 23 7 2
5 2 15 5 15 5
Aổỗ ; ử ổữ ỗ,B ; ửữ, ( ; )C
è ø è ø
2) 1
2 1
x t
y t
z t
:
D ì = +ïí = ï = -ỵ
; D2 qua điểm A( ; ; )2 3- có VTCP ur2=( ; ; )1 4 Giả sử I(2+t t; ;1- Ît) D1 tâm R bán kính mặt cẩu (S)
Ta có: uurAI =( ; ;t t 4-t) Þ ëéuur rAI u, 2ûù =(5t-4 0; - t; )Þ 2 2
5 4 3
AI u t
d I
u
,
( , )D = éëuur rr ùû =
2 2 2 1 10 10
3 1 4
t t t t
d I P( ,( ))= + - - ( - +) = + + +
(S) tiếp xúc với D2 (P) Û d I( , )D2 =d I P( ,( )) Û 5t- = +4 t 10 Û 72 1
t t
é = ê ê = -ë
· Với 7 2
t= Þ 11 7 5
2 2 2
Iổỗ ; ;- ửữ
ố ứ,
9 2
R= Þ PT mặt cầu (S):
2 2
11 7 5 81
2 2 2 4
x y z
æ ư ỉ ư ỉ ư
- + - + + =
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
è ø è ø è ø
· Với t= -1 Þ I( ; ; ),1 2- R=3 Þ PT mặt cầu (S): (x-1)2+ +(y 1)2+ -(z 2)2=9 Câu VIIb. Đặt 1
5 5
u= -cosp +i.sinp
Þ 2 2
10 10 10
u= sin p + isinp cos p = 2
10 10 i 10 sinp ổỗsinp + cosp ửữ
è ø=
2 2
2
10 5 i 5
sinp ổỗcos p + sin p ửữ
ố ứ
ị
20
20 2 8 8
10
z u= =ổỗ sinp ư÷ (cos p +isin )p
è ø =
20 2
10 sinp
ổ ử
ỗ ÷
è ø
Vậy z có phần thc
20 2
10
a= ỗổ sinp ư÷
è ø , phần ảo b=0