T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn OABC... TÝnh tØ sè thÓ tÝch gi÷a c¸c tø diÖn ABCE vµ BCDE.[r]
(1)Bài 1: Cho x, y thoả mÃn điều kiện x2+y2xy=1 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn F=x
2
(x2+1)+y2(y2+1) x2
+y2−3
Bài 2: Có số tự nhiên có chữ số, có chữ số lẻ khác nhau, có chữ số chẵn khác chữ số chẵn có mặt hai lần?
Bài 3: Cho ts giác lồi ABCD, O giao điểm hai đờng chéo AC BD Gọi A1, B1, C1, D1 lần lợt trọng tâm A2, B2, C2, D2 lần lợt trực tâm tam giác OAB, OBC, OCD, ODA Chứng minh rằng:
A1C1⊥B2D2, B1D1⊥A2C2 Bài 4: Cho dãy ( Xn) xác định bởi: {x1=2005, x2=2006 , , xn(xn −1+xn+1)=2xn−1.xn+1 Tìm n →∞limxn Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đờng chéo BD chia tứ giác ABCD thành hai tam giác tơng đơng, AB = 1, BC = CD, SA+SD=√2 thể tích khối chóp S ABCD
6 Chøng minh hình chóp S ABCD có mặt
cu ngoại tiếp Xác định tâm bán kính mt cu ú
Bài 6: Tìm tất hàm f thoả mÃn phơng trình hàm: (x y).f(x+y)(x+y).f(x y)=4 xy (x2 y2) Bài 7: Giả sử a, b, c nghiệm phơng trình: x3
− x −1=0 H·y tÝnh: S=11− a +a+
1− b
1+b+
1−c
1+c Bµi 8: Cho tam giác ABC với cạnh BC = a, CA = b, AB = c vµ cã diƯn tÝch S Chøng minh:
4√3S ≤2(a.b+bc+ca)−(a2+b2+c2)
Bµi 9: Cho tø diÖn ABCD cã AB = CD, AC = BD, AD = BC Gäi α , β , số đo góc mà mặt ABD, ABC, ACD tạo với mặt BCD Giả sử hình chiếu A ( BCD) thuộc miền tam giác BCD Cho x, y, z lµ sè tuú ý thoả mÃn x2+y2+z2=1 Chứng minh rằng: cos(x+cos)+cos(y+cos)+cos(z+cos)<1
Bài10: Giải phơng trình: log2006(x 2x 1+x+34x 1)=2006(x2x1+x+34x11)1
Bi 11: Cho hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu bán kính R Gọi r bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp Tìm điều kiện hình chóp để tỉ số R/r đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
Bµi12: Cho dÃy số {an} {bn} thoả mÃn:
{a1=
2005 2006 ,b1=
2007
2006 , an+1=an+
1
bn, bn+1=bn+
1
an(n=1,2,3, ) T×m n →lim+∞
304
an+bn
Bài13: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, O điểm tuỳ ý tứ diện Đờng thẳng OG cắt mặt phẳng ( BCD), ( ACD), ( ABC) lần lợt A, B, C, D’ Chøng minh r»ng: A ' O
A ' G+ B ' O B ' G+
C ' O C ' G+
D ' O D ' G=4
Bài14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD cã AB = a, AD = b vµ AA’ = c Đờng chéo AC tạo với cạnh AB, AD AA lần lợt thành góc , β , γ Chøng minh r»ng: a
12
cos18α + b12
cos18β + c12
cos18γ ≥59 049V
với V thể tích hình hộp chữ nhật cho
Bài 15: Tìm hàm số f xác định R thoả mãn điều kiện: f(x+y)≥ f(x).f(y)≥2006x+y,∀x , y∈R
Bài 16: Cho tứ diện S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc với Gọi A’, B’, C’ lần lợt trung điểm BC, CA, AB; α , β , γ lần lợt số đo nhị diện cạnh A’B’, B’C’, C’A’ tứ diện SA’B’C’ Chứng minh rằng:
2+cosα+
1 2+cosβ+
1 2+cosγ≥
9
Bµi 17: Cho a, b > Chøng minh r»ng:
a+b¿4 ¿ ¿
a4+b4
¿
Bài 18: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau,OA = x, OB = y, OC = z , x+y+z=3 Tìm giá trị lớn bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC
Bµi 19: Cho sè thùc a, b, c, d kh¸c thoả mÃn: a2+b2+c2+d2=1 Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: P=abcd
(1− a)(1− b)(1− c)(1− d)
Bài 20: Cho a, b, c số thực không đồng thời thoả mãn: a2+b2+c2=2(ab+bc+ca) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: F(a , b , c)= a
3
(2)Bµi 21: Cho d·y sè ( an) tho¶ m·n: an+2=an+1−an Gi¶ sử tổng 2003 số hạng 2005 tổng 2005 số hạng 2003 Tính tổng 2004 số hạng
Bi 22: Cho điểm O bên tứ diện ABCD, tia AO, BO, CO, DO lần lợt cắt mặt đối diện A1, B1, C1, D1 Tìm giá trị nhỏ F=
OA1
OA +
OB1
OB +
OC1
OC +
OD1
OD
Bài 23: Giải phơng trình: 3x2
+x+2
+(x3−3x+1) 32x − x
3
=34x+1 Bài 24: Tìm ớc chung lớn của: C20061 ,C20063 , C20065 , C20062005
Bµi 25: Trên cạnh AB, BC, CD, DA, AC BD tứ diện ABCD lần lợt lấy điểm M, N, P, Q, S vµ R Gäi V1, V2, V3, V4, V lần lợt thể tích khối tứ diện ASMQ, BMNR, CNPR, DPQR ABCD Tìm giá trị nhỏ tỉ số: V
4 V1V2V3V4
Bài 26: Tìm giá trị tham số a để phơng trình sau có nghiệm thực:
√x+√x −4−√x −1−√x −3=a√x −3 x
Bµi 27: Cho a, b, c số thực dơng Chøng minh r»ng;
c+a¿2+b2 ¿
a+b¿2+c2 ¿ ¿ ¿
F(a , b , c)= a(b+c) (b+c)2+a2+
b(c+a)
Bài 28: Giải hệ phơng tr×nh sau:
¿
log2√sinx+3=log3(3 cosy)
log2√cosy+3=log3(3 sinx)
¿{
¿
Bµi 29: Cho x, y, z dơng thoả mÃn: xzzyyx=1 Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa P= 2x
1+x2−
2y2
1+y2+
3z2
1+z2 Bài 30: Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đơn vị Các điểm M, N lần lợt thuộc đoạn A’B’ A’D’ cho nhị diện [M ,AC ',N] nhị diện vng Xác định vị trí điểm M N để hình chóp A A’MC’N tích nhỏ
Bài 31: Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh AD E Tính tỉ số thể tích tứ diện ABCE BCDE Biết tang góc hai mặt phẳng (P) ( BCD) 5√2
7
Bài 32: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm nhất: m−1¿2
4m+3¿2
1+¿log5(1−3x2)=log6(4x −4x2)+log5(1−3x2)
1+¿ log6(4x −4x2)+¿ ¿
Bµi 33: Cho a, b, c số dơng thoả mÃn: a.b.c=1 Tìm giá trị nhỏ của: F= a
5
b3+c2+ b5 c3+a2+
c5 a3+b2+
1 4(a
4
+b4+c4)
Bài 34: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng (P) thay đổi nhng cắt cạnh SA, SB, SC, SD lần lợt A’, B’, C’, D’( A’, B’, C’, D’ không trùng với đầu mút cuả đoạn thẳng SA, SB, SC, SD) Chứng minh hai tỉ số SA'+SC'
SB'+SD' vµ
SB' SD'
SA'.SC' ln có số khơng lớn mặt phẳng (P) thay đổi
Bµi 35: Tìm a cho phơng trình: 4|x a| log√3(x 2−2x
+3)+2− x
2
+2xlog
1
(3)Bài 36: Cho tứ diện ABCD, lấy M thuộc mặt bên BCD Qua M dựng đờng vng góc đến mặt bên ( ABC), ( ABD), ( ACD) MH, MK, ML Chứng minh thể tích tứ diện MHKL ln nhỏ
45 thĨ
tÝch tứ diện ABCD
Bài 37: Tìm cặp số nguyên dơng ( n; k) cho (n+1)k1=n! Bài 38 Giải phơng trình: (1+lgx)(2+4lgx)=3 4lgx
Bi 39: Hãy xác định góc tam giác ABC, biết rằng: cos5A +cos
5B
2 +cos 5C
2 =
3√3
Bµi 40: Tìm giá trị lớn biểu thức: T=(a+b c+d)(
a+c a+d+
b+d
b+c) Trong a, b, c số thực thuộc đoạn [1
2; 3]
Bài 41: Giải hệ phơng trình:
x3(1+3y)=8 x(y31)=6
{
¿
Bµi 42: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng:
2a+b+c¿2006 ¿
a+2b+c¿2006 ¿
a+b+2c¿2006
(¿¿)
¿ ¿
1
¿
1
a2006+
1
b2006+
1
c2006≥4 2006
¿
Bµi 43: Cho tam giác ABC nhọn thoả mÃn điều kiện:
1+cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA −(cosA+cosB+cosC)=2cosAcosBcosC Chứng minh tam giác ABC tam giỏc u
Bài 44: Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: F=x
+y3+z3
xyz với x, y, z thuộc đoạn [1003;2006]
Bài 45: Giải phơng trình: 63 x+1=8x34x 1
Bài 46: Giải hệ phơng trình:
6x2
=y(1+9x2)
6y2
=z(1+9y2)
6z2=x(1+9z2)
¿{ {
¿
Bµi 47: Cho a, b, c > tho¶ m·n a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T=ab
c(b+c)+
bc
a(c+a)+
ca
b(a+b)
Bài 48: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c góc thoả mÃn B = 2A, C = 4A TÝnh S=R2( a2+
1
b2+
1
c2) , với R bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 49: Gọi K tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, B1, C1 theo thứ tự trung điểm cạnh AC, AB Đờng thẳng C1K cắt đờng thẳng AC B2, đờng thẳng B1K cắt đờng thẳng AB C2 cho diện tích tam giác ABC diện tích tam giác AB2C2 Tính góc CAB
Bài 50: Chứng minh tam giác ABC bÊt k× ta cã: sin A
2 sin
B
2+sin
B
2sin
C
2+sin
C
2 sin
A
2 ≤ 8+
r
(4)Bµi 51: Cho n sè thùc x1, x2, x3, ., xn thoả mÃn điều kiện: x1
+x2
+x3
+ .+xn
2
=1 Chøng minh r»ng: x1
1+x12+ x2
1+x12+x22+ .+
xn
1+x12+x22+ +xn2<√ n
2
Bài 52: Giải hệ phơng trình:
y+z¿2=(3x2+x+1)y2z2
¿
z+x¿2=(4 y2+y+1)z2x2
¿
z2
(y+x)2=(5z2
+z+1)x2y2
¿ ¿
x2
Bài 53: Cho a, b, c số thực không âm thoả mÃn: a+b+c=3 Tìm giá trị lớn của: A=9 ab+10 ac+22 bc
Bài 54: Giải phơng trình: (x+1)x22x+3=x2+1
Bi 55: Cho tam giác ABC, có cạnh BC = a, AC = b, AB = c, ma, mb, mc, lần lợt độ dài đờng trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C Chứng minh rằng: Tam giác ABC khi:
a+b+c=2ma2+m2b+m2c
Bài 56: Cho số thực dơng a, b, c Chøng minh r»ng:
2a+b+c¿2 ¿
b+c¿2 ¿
2b+c+a¿2 ¿
c+a¿2 ¿
2c+a+b¿2 ¿
a+b¿2 ¿
2c2+¿ ¿
2b2 +¿
2a2+
Bài 57: Giải phơng trình: x33x=
x+2
Bài 58: Cho số thực dơng a, b, c thoả mÃn điều kiện: a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thøc:
M=
1−2(ab+bc+ca)+
1 abc
Bài 59: Cho đa thức bậc 4: P(x)=2006x4+2004x3+2007x2+2003x+2005 Chứng minh rằng: P(x)>0xR
Bài 60: Cho số thùc a, b, c, d tho¶ m·n: {0<a ≤ b ≤ c ≤ d ,1 a+
2
b+ d c≥3,
2
b+ d
c≥2 Chứng minh rằng: a4+b4+c4d417
Bài 61: Cho số thực a, b, c dơng thoả mÃn: a2+b2
+c2+2 abc=1 Tính giá trị nhỏ biÓu thøc: T=
1− a2+
1 1− b2+
1 1−c2−(a
2
+b2+c2) Bµi 62: Cho số dơng a, b, c thoả mÃn:
a+
1
b+
1
c=3 Chøng minh r»ng:
√a3+√4b3+√4c3≥√3a2+√3b2+√3c2 Bµi 63: Chøng minh r»ng: xy+yz+zx≤2
7+ xyz
7 Trong x, y, z số thực không âm thoả mãn điều
(5)Bài 64: Tìm tất giá trị a , b , c , d , e∈[0,1] cho:
A= a
1+bcde+ b
1+cdea+ c
1+deab+ d
1+eabc+ e
1+abcd=4 Bµi 65: Cho bÊt phơng trình: a+1 x2006+ x
2004 +16
a+√1− x2006≤2√x 2004
+16 Tìm số thực a lớn để bất phơng trình có hai nghiệm
Bài 66: Giải phơng trình: 1
2 x√1− x
2
=1−2x2 Bµi 67: Cho tam giác ABC thoả mÃn: tg A
2 tg
B
2=
1
2 Chứng minh rằng: Điều kiện cần đủ để tam giác ABC
vuông là: sin A
2 sin
B
2sin
C
2=
1 10
Bài 68: Giải phơng trình: (x+1)x22x+3=x2+1
Bi 69: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c, B = 2A, C = 4A, bán kính đờng trịn ngoại tiếp R Tính T=R2(
a2+
1
b2+
1