Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)đề thi Ơ-lim -pic huyện Mơn Tốn Lớp Năm học 2006-2007
(Thêi gian lµm bµi 120 phút) Bài 1. Phân tích thành nhân tử
a) a3 2a2 13a 10
b) (a2 4b2 5)2 16(ab 1)2
Bµi 2 Cho sè tù nhiªn a, b, c Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho th× a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hÕt cho 6.
Bµi 3. a) Cho a – b = Chøng minh a2 + b2
2
b) Cho 6a – 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a2 + 25b2
Bài 4. Đa thức bậc có hệ số bậc cao thoả mÃn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21 TÝnh f(-1) + f(5)
Bài 5 Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lÊy ®iĨm N cho NM = MA; CN cắt AB E Chứng minh:
a) Tam giỏc BNE đồng dạng với tam giác BAN
b)
AB NB AN NC
đáp ỏn toỏn 8
Bài 1. Phân tích thành nhân tử.(4 điểm, câu điểm)
a)Ta nhận thÊy a = 1, a = lµ nghiƯm cđa ®a thøc nªn: a3 2a2 13a 10
(a1)(a 2)(a5)
2 2 2 2
2
) ( 5) 16( 1) ( 4)( 4)
( ) ( ) ( 1)( 1)( 3)( 3) b a b ab a b ab a b ab
a b a b a b a b a b a b
(2)Bµi 2 Cho sè tù nhiªn a, b, c Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho th× a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hÕt cho (3 ®iĨm)
A = a + b + c =>2A 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 C = B + 2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c
= a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2)
a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp nªn chia hÕt cho => C 6 => B 6
Bµi 3. a) Cho a – b = Chøng minh a2 + b2
2
(*).(4 điểm, câu điểm)
Từ a – b =1 => a =1 + b => a2 =1 + 2b + b2, thay vµo (*) ta cã: + 2b + 2b2
2
=> 4b2 + 4b +1
=>(2b + 1)2 BĐT Vậy a2 + b2
2
DÊu b»ng xÈy <=> (2b + 1)2 <=> b =-
2
vµ a =
2
; b) Cho 6a – 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a2 + 25b2
Đặt x = 2a; y = - 5b áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: (3x + y)2
(x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2
10
Hay 4a2 + 25b2
10
DÊu b»ng xÈy <=> x3 1y <=> 3y = x <=> - 15 b = 2a <=> 6a = - 45b <=>
20 a ; 50
1
b
Bài 4. Đa thức bËc cã hƯ sè bËc cao nhÊt lµ thoả mÃn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21 TÝnh f(-1) + f(5) (4 ®iĨm)
NhËn xÐt: g(x) = 2x2 + tho¶ m·n g(1) = 5; g(2) = 11; g(3) = 21.
Q(x) = f(x) - g(x) đa thức bậc cã nghiÖm x = 1, x = 2, x = VËy Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - a); ta cã:
f(-1) = Q(-1) + 2(-1)2 + = 29 + 24a.
f(5) = Q(5) + 2.52 + = 173 - 24a.
=> f(-1) + f(5) = 202
Bài 5 Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) M trung điểm AC, BM lấy điểm N cho NM = MA; CN cắt AB E Chứng minh:
a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.
b)
AB NB AN NC
(3)
a)ANC vuông N (v× AM = MC = MN)
CNM + MNA = 1v BAN + NAC = 1v
Mµ MNA = NAC => CNM = BAN
Mặt khác CNM = BNE (®®) =>BNE = BAN => BNE BAN
b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F cho FM = MN
Tứ giác ANCF hình chữ nhật (vì có đờng chéo cắt trung điểm đờng)
=> CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) =>BAN BFA =>
AB NB AN NC AB
NB AB AN NC AB
NB FN AN NC BA
BF AN FA
(Đpcm)
Cách kh¸c: b) Ta cã:ACN EAN => CNAN ACEA ENAN (1)
BNE BAN => AN BA (2)va BE NB (3)
NE BN BN AB Tõ (1) vµ (2) => BN = AE Tõ CN AC CN AB AE EB EB EB 4
AN EA AN AE AE AE BN
Tõ (3) vµ (4) => CN NB
AN AB (§pcm) C
F M
N