Baøi 34 : Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn .ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AC caét AB taïi F .ñöôøng troøn taâm O’ ñöôøng kính AB caét AC taïi E .BE caét (O) taïi P vaø CF caét ñ[r]
(1)TUYỂN TẬP CÁC B ÀI TOÁN HAY H ÌNH HỌC
Bài 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi C điểm cung AB Gọi M điểm di động cung BC, dây AM cắt OC E.Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác OME thuộc đoạn thẳng cố định
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H Gọi E, F trung điểm AH, BC Các đường phân giác góc ABH ACH cắt P.Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O),H trực tâm tam giác ABC.Gọi E điểm đối xứng H qua BC
a) Chứng minh E thuộc đường tròn (O)
b) Gọi I giao điểm hai đường phân giác tam giác ABC D điểm đối xứng I qua BC Tìm điều kiện tam giác ABC để D thuộc đường tròn (O)
Bài 4: Các đường cao AH, BE,CF tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác điểm thứ tương ứng M,N,P.Chứng minh :
a) AM BN CP+ + = 4 AH BE CF
b) HA.HM + BE.EN + FC.FK≤1(AB + AC + BC )2 2 2 4
Bài : (BMO 2004)Cho hai đường tròn tiếp xúc M Đường tiếp tuyến với đường tròn bên P cắt đường tròn bên Q R.Chứng minh : QMP = RMP
Bài : (BMO 2000)Hai đ ường tròn (O) (O’) cắt M, N.Vẽ tiếp tuyến chung PQ (gần N )của hai đường tròn.(P (O);Q (O') PN cắt đường tròn (O’) R.Chứng ∈ ∈ ) minh:
a) MQ phân giác PMR
b) Diện tích hai tam giác MNP MNQ c) OMO' = 2PMQ
Bài 7: (BMO 2004)Từ điểm A ngồi đường trịn (O)vẽ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (O) PQ đường kính PA, PB, PC cắt đường tiếp tuyến Q đường tròn (O) theo thứ tự điểm L, M, N.Chứng minh: L trung điểm MN
Bài : (BMO 2004)Cho AB đường kính đường trịn tâm O CD dây cung thẳng góc với AB Một dây cung AE cắt CO M, DE cắt BC taị N Chứngminh.:CM.CB=CN.CO
Bài : (BMO 1999)Cho đường trịn đường kính AB Điểm C cố định AB Điểm P bất kỳ đường tròn.Chứng minh :
tgAPC
tgPACkhông đổi
Bài 10: (BMO 1994)Cho đ ờng tr òn (O) T ểm P ngồi đ ờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến PQ PR ( Q R hai tiếp ểm ) Trên PQ nối dài, lấy điểm A Đường tròn ngoại tiếp tam giác PAR cắt đường tròn (O) B AR cắt đường
tr òn (O) C.Chứng minh PAR = ABC
Bài 11: (BMO 1996)Tam giác ABC có góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O.Vẽ đường tròn tâm O' ngoại tiếp tam giác ABO Đường thẳng CA cắt đường
tròn (O’) P CB cắt đường trịn (O’) Q Chứng minh: CO vng góc PQ
Bài 12 : (BMO 2001)Cho hai đường tròn tiếp xúc A Từ điểm P đường tròn
(2)lớn, vẽ tiếp ến PX PY với đường tròn nhỏ , PX v PY cắt đường tròn lớn điểm Q R Chứng minh QAR = 2XAY
Bài 13 : (BMO 2004)Cho tam gi ác ABC điểm D cạnh BC Một đường tròn tiếp xúc với BC D, cắt cạnh AB M, N cắt cạnh AC P, Q
Chứng minh: BD+AM+AN=CD+ AP + AQ
Bài 14 : (BMO 2004)Cho tam giác ABC c ó AD BE hai đường cao Đường thẳng AD cắt nửa đường trịn đường kính BC P.Đường thẳng BE cắt nửa đường trịn đường kính AC Q Chứng minh : CP = CQ
Bài 15: Cho hai tam giác ABC DEF có hai đáy AB DE nằm đường thẳng DF//AC EF//BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD cắt C, G Chứng minh C, G, F thẳng hàng
Bài 16 :(BMO 2005) Cho tam giác ABC có số đo góc A 1200 AD, BE, CF ba đường phân giác tam giác ABC Chứng minh đường trịn đường kính EF qua D
Bài 17 : (BMO1995)Tam giác ABC với ba trung điểm D, E, F cạnh BC , AC , AB Chứng minh: DAC = ABE AFC = ADB=
Bài 18 :(BMO1997)Cho tam giác ABC Đường cao CF trung tuyến BM Nếu BM = CF MBC = FCM , Chứng minh tam giác ABC
Bài 19 :(BMO 2001)Cho tam giác ABC ( C > B ) Phân giác góc A cắt BC D.Điểm E AB cho góc EDB vng.Điểm F AC cho BED = DEF Chứng minh: BAD = FDC
Bài 20: (BMO 2001) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) DA CB cắt P.Gọi giao điểm hai đường chéo AC BD Cho biết : CD = CP = CQ, Chứng minh : CAD = 60 0
Bài 21: (BMO 2002)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tr òn (O, R ) đường cao AD Hạ DE DF thẳng góc với hai cạnh AB AC Tính độ dài EF theo R tỉ số lượng giác góc tam giác ABC
Bài 22: (BMO 2005) Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AC phân giác góc A Lấy điểm E AD.Chứng minh : CE = CA DE = AB
Bài 23: (BMO 2007) Tam giác có ba góc ABC nhọn với AB > AC, BAC = 60 Gọi O 0 tâm đường ngoại tiếp, H trực tâm tam giác ABC , OH cắt cạnh AB P AC Q Chứng minh : PO = HQ
Bài 24: (BMO 2008) Tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp vịng trịn Lấy điểm Q cung BC có chứa điểm A Kẻ đường kính QP.Từ Q, hạ đường thẳng góc xuống AC AB, theo thứ tự điểm V W Chứng minh hai tam giác PBC AWV đồng dạng
Bài 25: Cho tam giác ABC nội tiếp vòng tròn Phân giác ba góc A, B, C cắt đường trịn A', B', C' Đường A'B' cắt BC N đường C'B'
cắt AB M Chứng minh MN qua tâm O đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 26:Cho tam giác ABC vuông A.Trên BC lấy điểm D cho BDA = 2.BAD Chứng minh : 2 = 1 + 1
AD BD CD
Bài 27: Cho hình bình hành ABCD.Lấy điểm E cho AE thẳng góc AB EC thẳng góc BC Chứng minh DEA = CEB
(3)Bài 28 : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt M N Gọi d tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) A B (d gần M N ) Qua M vẽ đường thẳng song song với d cắt hai đường tròn (O) (O’) C D Biết CA BD cắt E , AN cắt CD P , BN cắt CD Q Chứng minh :
a) Tứ giác AEBN tứ giác nội tiếp b) EP = EQ
Bài 29 : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) N Tiếp tuyến A đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) M Biết BN cắt đường tròn (O) Q , BM cắt đường tròn (O’) P Chứng minh MP = NQ
Bài 30 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) AD đường kính đường trịn Tiếp tuyến D đường tròn (O) cắt BC P Đường thẳng PO cắt AC AB M N Chứng minh OM = ON
Bài 31 : Cho M điểm đoạn thẳng AB ( MB < MA ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vng AMCD MBFE Hai đường trịn ngoại tiếp hai hình vng AMCD MBEF cắt N Chứng minh ba điểm A, F ,N thẳng hàng Bài 32 : Cho đường tròn (O) có AB đường kính C D hai điểm hai tia đối tiếp tuyến B đường tròn AC AD cắt đường tròn E F CF DE cắt đường tròn G H Chứng minh BG = BH
Bài 33 : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt P Q Một đường thẳng qua P cắt hai đường tròn A A’ Một đường thẳng qua Q song song AA’cắt hai đường tròn B B’(A B thuộc đường tròn ).Chứng minh hai tam giác PBB’ QAA’ có chu vi
Bài 34 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường trịn tâm O đường kính AC cắt AB F đường tròn tâm O’ đường kính AB cắt AC E BE cắt (O) P CF cắt đường tròn (O’) Q Chứng minh AP = AQ
Baøi 35* : P điểm đường cao AD tam giác ABC BP, CP cắt AB AC theo thứ tự E, F.Chứng minh: AD phân giác góc EDF
Bài 36: (3 điểm) Cho tam giác PNM Các đường phân giác góc M N cắt K, đường phân giác ngồi góc M N cắt H.a) Chứng minh KMHN tứ giác nội tiếp
b) Biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác KMHN 10cm đoạn KM 6cm, tính diện tích tam giác KMH
(4)
K I
F H
P E
C B
A
TUYỂN TẬP CÁC B ÀI TỐN HAY H ÌNH HỌC
Bài 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi C điểm cung AB Gọi M điểm di động cung BC, dây AM cắt OC E.Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác OME thuộc đoạn thẳng cố nh
Giải
Ta có tứ giác BMEO nội tiếp đường tròn tâm I trung điểm EB
ð I thuộc trung trực OB ð I thuộc đoạn HK cố định
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H Gọi E, F trung điểm AH, BC Các đường phân giác góc ABH ACH cắt P.Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng Gi¶i
Ta cã:
90
PBC PCB ABH AHB AHC ABH BAC
+ = + +
= + =
=> ∠BPC = 900 => PF = FC = BF
=> ∠PFB = 2∠PCF = ∠ACB + HCK (1) Gọi I trung điểm BH => FI // HC => ∠IFB = ∠HCK (2)
=> EI //AB ; EI =
2AB
Ta cã: ∆ ABK ~ ∆ CHK => EI AB AK
IF = HC = CK => ∆ EIF ~ ∆AKC (G.C.G) => ∠EIF = ∠ACK (3)
tõ (2) (3) => ∠EFB = ∠ACB + ∠HCK KÕt hỵp (1) => ∠EFB = ∠ PFB => F, P, E Thẳng hàng
Bi 3: Cho tam giỏc ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O),H trực tâm tam giác ABC.Gọi E điểm đối xứng H qua BC
a) Chứng minh E thuộc đường tròn (O)
b) Gọi I giao điểm hai đường phân giác tam giác ABC D điểm đối xứng I qua BC Tìm điều kiện tam giác ABC để D thuộc đường trịn (O)
Gi¶i
a) Do H đối xứng E qua BC
=> ∠BEC = ∠BHC = 1800 - ∠BAC => ∠BEC + ∠BAC = 1800
=> E thuộc đường tròn tâm O
b) Gọi D đối xứng với I qua BC; D thuộc đường tròn tâm O <=> ∠BHE =∠BEH ; ∠EHI = ∠HED => ∠BHI = ∠BED
∠ICB =∠BCD Mµ ∠BCD + ∠BED = 1800 =>∠BHI +∠ICB = 1800 => tø gi¸c BHIC néi tiÕp
=> ∠BHC =∠BIC => 180-0 - ¢ = 900 + ¢/2 <=> ¢ = 600
E
I M
O
K H C
B A
D O I H
E
C B
A
(5)N
M
O I
F
H P
E
C B
A
O'
R Q
M O
H
P
O'
R
Q N
M
O
K
I H
P
Bài 4: Các đường cao AH, BE,CF tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác điểm thứ tương ứng M,N,P.Chứng minh :
a) AM BN CP+ + = 4 AH BE CF
b) HA.HM + BE.EN + FC.FK≤1(AB + AC + BC )2 2 2 4
Gi¶i
a)Ta cã: IH = MH ; IE = EN ; FI = FP => AM BN CP HI IE FI
AH + BE+CF = +AH +BE+FC = 3+ BIC
ABC
S
S +
AIC ABI
ABC ABC
S S
S +S = + =
b) AH.HM = BH.HC ≤
4
BC (1) BE.EN = AE.EC ≤
4
AC
(2) CF.FP = AF.FB ≤
2
4
AB (3)
Cộng => dpcm Dấu xảy <=> ABC tam giác
Bài : (BMO 2004)Cho hai đường tròn tiếp xúc M Đường tiếp tuyến với đường tròn bên P cắt đường trịn bên ngồi Q R.Chứng minh : QMP = RMP
Gi¶i
DƠ cã O’P // OH
mµ O’P ⊥ QR ⇒ OH QR
H điểm cña cung QR
⇒ ∠QMP = ∠PMR
Bài : (BMO 2000)Hai đ ường tròn (O) (O’) cắt M, N.Vẽ tiếp tuyến chung PQ (gần N )của hai đường tròn.(P (O);Q (O') PN cắt đường tròn (O’) R.Chứng ∈ ∈ ) minh:
a) MQ phân giác PMR
b) Diện tích hai tam giác MNP MNQ c) OMO' = 2PMQ
Gi¶i
a) ∠MQP = ∠MNR=∠NPM+∠NMP =∠NPM+∠NPQ=∠MPQ
L¹i cã: ∠MQP = ∠MRQ (= 1/2 sđ cung MQ)
PMQ = QMR
MQ ph©n gÝac cđa ∠PMR b)PI2 = QI2 = IM.IN ⇒PI=QI
⇒ SMPN = SMNQ
c) N, H, K,thẳng hàng MHN MPN
MKN NRM
= ∠
∠ = ∠
⇒∠OMO’=∠PMR=2∠PMQ
(6)N
M
D
O E
C
B A
S R P
O
H K
L Q
M
N C
B
A
Bài 7: (BMO 2004)Từ điểm A ngồi đường trịn (O)vẽ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (O) PQ đường kính PA, PB, PC cắt đường tiếp tuyến Q đường tròn (O) theo thứ tự điểm L, M, N.Chứng minh: L trung điểm MN
Gi¶i
vÏ tiÕp tuyÕn RPS ⇒ RS // MN ⇒ ∠SOK = 900
Ta cã : ∠PSO = ∠QOK ( cïng phô ∠POS)
⇒ ∆ OSP ~ ∆ KOQ ⇒ PS OP PS R
OQ = KQ⇒ R = KQ (1) Tương tự:
PR R
R = HQ (2) lÊy (1) : (2) ta cã: PS HQ PS HQ
PR= KQ⇒ PR+PS = KQ+HQ⇒
PS HQ PS RS RS = HK ⇒ HQ = HK L¹i cã: RP AP PS; AP
HL= AL LK = AL
⇒ RP PS PS RP PS
HL LK LK HL LK +
= ⇒ =
+ (TÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau)
⇒ PS RS
LK = HK ⇒
PS PS
LK = HQ ⇒ LK = HQ HQ = LK ⇒ MH = LK
Vµ HL = QK = KN
⇒ LM = LN
Bài : (BMO 2004)Cho AB đường kính đường trịn tâm O CD dây cung thẳng góc với AB Một dây cung AE cắt CO M, DE cắt BC taị N Chứngminh.:CM.CB=CN.CO
Gi¶i
AC=AD ⇒ ∠AED =∠ABC = ∠OCB Hay ∠MEN = ∠MCN
⇒ Tø gi¸c ENMC néi tiÕp
⇒ ∠ENC = ∠EMC
mµ: ∠ECN = ∠EAB ⇒ MN = AB
⇒ CM CN
CO = CB ⇒ CN.CO = CM.C
Bài : (BMO 1999)Cho đường tròn đường kính AB Điểm C cố định AB Điểm P bất kỳ đường tròn.Chứng minh :
tgAPC tgPAC
không đổi
(7)D
O P
C
B A
x O'
R Q
O I
P
C B A
x O'
Q O
P
C B
A
Y X
R Q
P
A Gi¶i
PC cắt đường tròn tâm O D
∠APC = ∠ABD
⇒ tan tan
tan tan
g APC g ABD AD AP AP AD BD BP BD BP g PAC = g PAB = =
= AC DC AC
DC BC = BC không đổi
Bài 10: (BMO 1994)Cho đ ờng tr òn (O) T ểm P đ ờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến PQ PR ( Q R hai tiếp ểm ) Trên PQ nối dài, lấy điểm A Đường tròn ngoại tiếp tam giác PAR cắt đường tròn (O) B AR cắt đường
tr òn (O) C.Chứng minh PAR = ABC
Gi¶i BC cắt đường tròn tâm O I
Ta có: ∠APR = ∠RBx (1) ∠API = ∠ABI (2) ∠ARP = ∠CBR (3)
Céng (1) (2) (3) ta cã: ∠APR +∠ARP = 1800
⇒ PI // AR ⇒ AI =PR⇒ ∠PAR = ∠ABC
Bài 11: (BMO 1996)Tam giác ABC có góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O.Vẽ đường tròn tâm O' ngoại tiếp tam giác ABO Đường thẳng CA cắt đường
tròn (O’) P CB cắt đường trịn (O’) Q Chứng minh: CO vng gúc PQ Giải
Kẻ tiếp tuyến Cx ta có BCx = BAC
Mà tứ giác ABQP nội tiếp
⇒ ∠BAC = ∠PQC ⇒ ∠PQC = ∠BCx
⇒ PQ // Cx
L¹i cã Cx ⊥ OC ⇒ OC ⊥ PQ
Bài 12 : (BMO 2001)Cho hai đường tròn tiếp xúc A Từ điểm P đường tròn lớn, vẽ tiếp ến PX PY với đường tròn nhỏ , PX v PY cắt đường tròn lớn điểm Q R Chứng minh QAR = 2XAY
GiảI
Theo ta có:
AQX = ∠XAP ; ∠PAY = ∠YAR
⇒ ∠QAR = ∠XAY
(8)Q
D
P E
C B
A
a b
a
D F
E
B
A
C Bài 13 : (BMO 2004)Cho tam gi ác ABC điểm D cạnh BC Một đường tròn tiếp xúc với BC D, cắt cạnh AB M, N cắt cạnh AC P, Q
Chứng minh: BD+AM+AN=CD+ AP + AQ Gi¶i
AM.AN = AP.AQ
⇔ (a – BM)(a – BN) = (a – CP)(a – CQ)
⇔ a2 – a(BM + BN) + BM.BN = a2 – a(CP + CQ)+ CP.CQ
⇔ -a(BM + BN – CP – CQ) = (CD – BD)(CD +BD)
⇔ -a(BM + BN – CP – CQ) = a (CD – BD)
⇔ CD – CP – CQ = BD – BM – BN
⇔CD – (a – AP) – (a – AQ) = BD – (a – AM)- (a- AN)
⇔ CD + AP + AQ = BD + AM + AN
Bài 14 : (BMO 2004)Cho tam giác ABC c ó AD BE hai đường cao Đường thẳng AD cắt nửa đường trịn đường kính BC P.Đường thẳng BE cắt nửa đường trịn đường kính AC Q Chứng minh : CP = CQ
Gi¶i
áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: CQ2 = CE CA
CP2 = CD.CB
MỈt kh¸c tø gi¸c néi tiÕp
⇒ CE CA = CD CB
⇒ CQ2 = CP2 ⇒ CQ = CP
Bài 15: Cho hai tam giác ABC DEF có hai đáy AB DE nằm đường thẳng DF//AC EF//BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD cắt C, G Chứng minh C, G, F thẳng hàng
Gi¶i
Từ E kẻ tia song song với BC cắt CG t¹i F’
⇒ ∠F’ED = ∠CBA (góc có cạnh tương ứng //) Lại có : ∠CBA = ∠DGF’ (Cùng bù với ∠CBD)
⇒ ∠F’GD = ∠F’ED
⇒ Tø gi¸cF’GED néi tiÕp
⇒ ∠EGx = ∠F’DE
Mµ ∠EGx = ∠CAE (Cïng bï víi ∠CGE)
⇒ ∠F’DE = ∠CAE ⇒ DF’ // AC
⇒ F’ trùng F C,F ,G thẳng hàng
Bi 16 :(BMO 2005) Cho tam giác ABC có số đo góc A 1200 AD, BE, CF ba đường phân giác tam giác ABC Chứng minh đường tròn đường kính EF qua D
Gi¶i
Tõ B kẻ đường thẳng // AC cắt AD I
⇒∆ ABI có cạnh a Đặt AC = b
a
Q N
M
D O
P
C B
A
x
A B D E
F'
C
G
(9)D I
F E
C B
A
F E
C B
A
Q
D
H P
C B
A
;
AD DI DI BD a DI DI AC = BI = a BC =a b+ = AI = a
⇒ FA EB
AD BD AC = BC
AD AC BD BC
⇒ = = FA
FB ⇒ DF phân giác ∠ ADB Tương tự DE phân giác ∠ADC ⇒ ∠EDF = 900
Bài 17 : (BMO1995)Tam giác ABC với ba trung điểm D, E, F cạnh BC , AC , AB Chứng minh: DAC = ABE AFC = ADB
Gi¶i
∠AFC = ∠ADB ⇒ tø gi¸c BFID néi tiÕp
⇒ ∠ABE = ∠ADF
L¹i cã : FD // AC ⇒ ∠FDA = ∠DAC (so le)
⇒ ∠DAC = ∠ABE
Bài 18 :(BMO1997)Cho tam giác ABC Đường cao CF trung tuyến BE Nếu BE = CF EBC = FCE , Chứng minh tam giỏc ABC u
Giải
E trung ®iĨm cđa AC
⇒ FE = EC ⇒ ∠EFC = ∠ECF = ∠EBC
⇒ Tø gi¸c EFBC néi tiếp
BE AC ABC cân B
Mặt khác BE = CF ⇒ AB = AC ⇒∆ ABC
Bài 19 :(BMO 2001)Cho tam giác ABC ( C > B ) Phân giác góc A cắt BC D.Điểm E AB cho góc EDB vng.Điểm F AC cho BED = DEF Chứng minh: BAD = FDC
Giải
D tâm đường tròn bàng tiÕp gãc A cđa tam gi¸c AEF
⇒ DF phân giác EFC
EDF = 1800
- ∠DEF - ∠DFE = 3600
2
BEF CFE
− − =
90
2
B C+ = −A
= 900 - ∠DAC L¹i cã: ∠CDF = 900 - ∠EDF ⇒ ∠FDC = ∠DAC
Bài 20: (BMO 2001) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) DA CB cắt P.Gọi Q giao điểm hai đường chéo AC BD Cho biết : CD = CP = CQ, Chứng minh : CAD = 60 0
Gi¶i
Ta cã : CPD = CDP = CBA
BAP cân A AB = AP
Mặt khác : CDQ = ∠CQD ; ∠CDQ = CAB ; ∠CQD = ∠BQA
ABQ cân B AB = BQ AP = BQ (1) AC cắt đường tròn tâm C H
Ta có tứ giác ABCD nội tiếp ⇒ ∠CAP = ∠CBQ (2) ∠BQC = ∠APH (3) (cïng bï víi ∠DQH)
Tõ (1);(2);(3) ⇒∆PAH = ∆QBC (g.c.g)
⇒ PH = QC ⇒∆ PHC
D
F E
C B
A
(10)D
O
K
F E
C B
A
D O
E
C B A
Q
O
I
H P
E
C B
A
w X
R
O
C
B A
⇒ ∠CHP = 600⇒ ∠ABD = 600
Bài 21: (BMO 2002)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tr òn (O, R ) đường cao AD Hạ DE DF thẳng góc với hai cạnh AB AC Tính độ dài EF theo R tỉ số lượng giác góc tam giỏc ABC
Giải
Tứ giác AEDF nội tiếp
EF = AD sinA
Mặt khác ABD ~ ∆ ACK
⇒ AD AC
AB = AK ⇔
AC AB AD
R =
⇒ sin (2 sin ).(2 sin ).sin
2
AB AC A R C R B A FE
R R
= =
= 2R.sinA.sinB.sinC
Bài 22: (BMO 2005) Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AC phân giác góc A Lấy điểm E AD.Chứng minh : CE = CA DE = AB
Gi¶i
AB = DE (gt)
DC = CB (C điểm cung DB) CDE = ∠ABC (Cïng bï ∠ADC)
⇒∆ ABC = EDC (c.g.c)
⇒ AC = CE
Bài 23: (BMO 2007) Tam giác có ba góc ABC nhọn với AB > AC, BAC = 60 Gọi O 0 tâm đường ngoại tiếp, H trực tâm tam giác ABC , OH cắt cạnh AB P AC Q Chứng minh : PO = HQ
Gi¶i: Ta có OI AC ; CH cắt AB E
⇒ AE =
2AC = AI
∠BAO = ∠CAH ⇒ ∠EAH = ∠OAI
⇒∆ AEH ~ ∆ AIO
⇒ AH = AO ⇒ ∠AOH = ∠AHO
⇒ ∠AOP = ∠AHQ ⇒∆AOP = ∆ AHQ ( C.G.C)
⇒ PO = HQ
Bài 24: (BMO 2008) Tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp vòng tròn Lấy điểm Q cung BC có chứa điểm A Kẻ đường kính QP.Từ Q, hạ đường thẳng góc xuống AC AB, theo thứ tự điểm V W Chứng minh hai tam giác PBC AWV đồng dạng
Gi¶i: ∠XAC = ∠CPB ( Cïng bï ∠ CAB) (1) ∠QAW = ∠CPQ
⇒∆QAW ~ ∆ QPC (g.g)
⇒ ∠AQW = ∠CQP
L¹i cã: ∠aqw = ∠ AXW ( Tø gi¸c AXQW néi tiÕp) ∠CQP = ∠ CBP
⇒ ∠CBP = ∠AXW (2)
(11)C B
A
D I
H
C B A
D
H
E Tõ (1) ; (2) ⇒∆ CBP ~ ∆ WXA (g.g)
Bài 25: Cho tam giác ABC nội tiếp vịng trịn Phân giác ba góc A,B, C cắt đường tròn A', B', C' Đường A'B' cắt BC N đường C'B'cắt AB M Chứng minh MN qua tâm O đường trịn nội tiếp tam giác ABC
Gi¶i: Ta cã: ∠CC’B’ = ∠ABB’ =
2s® 'AB
⇒ Tø gi¸c BONA’ néi tiÕp
⇒ ∠BON = 1800 - ∠BA’N (2)
(1) + (2) ⇒ ∠MOB + ∠BON = 1800
⇒ Ba ®iĨm M, O, N thẳng hàng
Bi 26:Cho tam giỏc ABC vuông A.Trên BC lấy điểm D cho BDA = 2.BAD Chứng minh : 2 = 1 + 1
AD BD CD
Giải: Kẻ CBX = CAD cắt AD H
Tứ giác ABHCnội tiÕp
⇒ AD CD
BD= DH ;
AD BD DC = DH
⇒ 1 BC
AD
BD DC DH
+ =
(1)
Gọi I trung điểm BC
HIC = DBH = DAC
Mặt khác IDH = ∠ADC = 1800 - ∠ADB = 1800 – ∠BAD = ∠DAC
⇒ ∠HID = ∠HDI ⇒ HI = HD ⇒ HD =
2BC (2) từ (1) Và (2) đpcm
Bi 27: Cho hình bình hành ABCD.Lấy điểm E cho AE thẳng góc AB EC thẳng góc BC Chứng minh DEA = CEB
Gi¶i: ∠BAE = ∠BCE = 900
⇒ Tø gi¸c BAEC néi tiÕp
⇒ ∠BEC = ∠BAC = ∠ACD (1) DÔ thÊy D trực tâm AEC
AED = ∠ACD (2) Tõ (1) ; (2) ⇒ ∠AED = ∠BEC
Bài 28 : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt M N Gọi d tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) A B (d gần M N ) Qua M vẽ đường thẳng song song với d cắt hai đường tròn (O) (O’) C D Biết CA BD cắt E , AN cắt CD P , BN cắt CD Q Chứng minh :
a)Tứ giác AEBN tứ giác nội tiếp b)EP = EQ
Gi¶i: a) ∠ANB =∠ANM + ∠MNB
= ∠MCA + ∠MDB = ∠BAE + ∠ABE = 1800
⇒ Tø gi¸c ANBE néi tiÕp
b) Ta cã: ∠EAB = ∠BAM ; ∠ABM = ∠ABE
⇒∆MAB = ∆ EAB (g.c.g)
C'
B'
A' N M
O
C B
A
N
M O
C
B A
O'
Q D
I P
E
(12)N M
O
B A
O'
Q P
T
N
M O
C B
A
Q
K H
P
N
M O
C
B A
O'
D
I
F E
⇒ AM = AE ; MB = BE
⇒ ME AB ME PQ (1) Mặt khác: MN cắt AB I
IA = IB ⇒ PM = MQ (2)
Tõ (1) vµ (2) PEQ cân E PE = QE
Bi 29 : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) N Tiếp tuyến A đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) M Biết BN cắt đường tròn (O) Q , BM cắt đường tròn (O’) P Chứng minh MP = NQ
Gi¶i: Ta cã: ∠MAB = ∠ANB ; ∠AMB = ∠BAN
⇒ ∠ABN = ∠ABM ⇒ ∠ABQ = ∠AQP
⇒ ∠AQM = ∠AMQ ⇒ AQ = AM Tương tự: AP = AN
DÔ cã: ∠AQB = ∠AMB
⇒∆ AQN = ∆ AMN ⇒ QN = MP
Bài 30 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) AD đường kính đường tròn Tiếp tuyến D đường tròn (O) cắt BC P Đường thẳng PO cắt AC AB M N Chứng minh OM = ON
Giải: Hạ OH BC Tứ giác OHPQ nội tiếp Từ C kẻ đường thẳng // NQ cắt AP K ; AB t¹i T
⇒ KHPC néi tiÕp ⇒ ∠khc = ∠cpa = ∠abc
⇒ KH // AB mµ BH = HC ⇒ TK = KC
⇒ NO = MO
Bài 31 : Cho M điểm đoạn thẳng AB ( MB < MA ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vng AMCD MBFE Hai đường trịn ngoại tiếp hai hình vng AMCD MBEF cắt N Chứng minh ba điểm A, F ,N thng hng Giải: OO cắt MN I ⇒ OI // DN ; O’I // NE
⇒ D, N, E thẳng hàng AND = DMA = 450
l¹I Cã : ∠DNF = ∠FME = 450
⇒ DNA = ∠DNF
⇒ n, f, a thẳng hàng
Bi 32 : Cho ng trũn (O) có AB đường kính C D hai điểm hai tia đối tiếp tuyến B đường tròn AC AD cắt đường tròn E F CF DE cắt đường tròn G H Chứng minh BG = BH
Giải: Ta có: BH BD BH BD BE BE = BE⇒ = DE Tương tự: BG = CB BF
FC
(13)G
O
C
B A
D F
H E
B'
A' N
M
O B
A
O' Q
K H
P
N M
C B
A
D K
F
H P E
O
C B
A
O'
Q F
P
E
BF =
AB BD CB BF AB BD BC AD ⇒ FC = AD FC
BE =
AB BC BD BE AB BC BD AC ⇒ DE = AC DE BH = BG <=> AD.FC = AC.DE
Lại có: Tứ giác FECD nội tiếp AFC ~ ∆AED
⇒ AD.FC = AC.DE ⇒ BH = BG
Bài 33 : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt P Q Một đường thẳng qua P cắt hai đường tròn A A’ Một đường thẳng qua Q song song AA’cắt hai đường tròn B B’(A B thuộc đường tròn ).Chứng minh hai tam giác PBB’ QAA’ có chu vi
Gi¶i: Ta cã BQ // AP
=> Tø gi¸c ABQP hình thang cân => BP = AQ (1)
Tương tự : PB’ = A’Q (2) Từ O hạ HK ⊥ BQ ; AP Từ O’ hạ MN ⊥ QB’ PA’
⇒ HM = KN ⇒ BB’ = AA’ (3) Tõ (1); (2); (3) ⇒ ®fcm
Bài 34 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường trịn tâm O đường kính AC cắt c¹nh AB F đường trịn tâm O’ đường kính AB cắt c¹nh AC E BE cắt (O) P CF cắt đường tròn (O’) Q Chứng minh AP = AQ
Giải: Tương tự 14
Baøi 35 : P điểm đường cao AD tam giác ABC BP, CP cắt AB AC theo thứ tự E, F.Chứng minh: AD phân giác góc EDF
Gi¶i: Từ P kẻ đường thẳng // BC ( Hình Vẽ)
⇒ MP BD HP; DC PN; BC
PN = DC MP = BC PK = BD
⇒ HP
PK = ⇒ HP = PK Mµ DP HK
DP phân giác gãc EDF
(14)N M
K
H P
Baøi 36: (3 điểm) Cho tam giác PNM Các đường phân giác góc M N cắt K, đường phân giác ngồi góc M N cắt H.a) Chứng minh KMHN tứ giác nội tiếp
b) Biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác KMHN 10cm đoạn KM 6cm, tính diện tích tam giác KMH
Gi¶i: a) Ta cã: KM ⊥ MH ; KN ⊥ NH
⇒ Tø gi¸c MKNH néi tiÕp b) KH = 20
⇒ 2 2
20 91
MH = KH −MK = − =
⇒ 91
2
KMH
MK MH
s = = (cm2)
http://www.fineprint.com