Đang tải... (xem toàn văn)
2) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC; AT là tiếp tuyến vẽ từ A. Gọi D, E lần lượt là giao điểm của đường thẳng vừa vẽ với TK và TA. Chứng mi[r]
(1)Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD ,AB > CD ) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến với (O) A D cắt E Gọi I giao điểm AC BD
a Chøng minh tø gi¸c AEDI néi tiÕp b Chøng minh EI // AB
c EI cắt AD BC hình thang tơng ứng ë R vµ S Chøng minh a I lµ trung điểm RS (Nam Định 2002 -2003) b 1/AB + 1/CD = 2/RS
Bài Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) A M Q hai điểm phân biệt chuyển động d cho M, Qkhác A Các đờng thẳng BM BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N P
Chøng minh
1 Tích BM BN khơng đổi (Nam Định 2004 – 2005 ) Tứ giác MNPQ nội tiếp
3 BN + BP + BM + BQ > 8R
Bài Cho dây BC cố định đờng tròn (O; R) (0< BC < 2R ) Alà điểm di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AD , BE , CF tam giác ABC cắt H
1 Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp từ suy AE.AC = AF AB Gọi A’ trung điểm BC Chứng minh AH= 2A’O
Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) A Đặt S diện tích tam giác ABC , 2P chu vi tam giác DEF
a Chøng minh d // EF
b Chứng minh S= P.R (Nam Định 2005 – 2006 )
Bài Cho đờng tròn (O) đờng kính AB cố định Từ điểm I nằm Avà O cho AI= 2/3 AO Kẻ dây MN vng góc với AB I
Gọi Clà điểm tuỳ ý thuộc cung lín MN cho C kh«ng trïng víi M,N,B Nối AC cắt MN E Chứng minh
a Tø gi¸c IECB néi tiÕp
b Tam giác AME ~ tam giác ACM AM2 = AE.AC.
c AE.AC – AI.IB = AI2 (Nam Định 2006-2007)
Bi Cho ng trũn (O) hai điểm AB phân biệt thuộc (O) cho đờng thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm M khác A Từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME,MF với đờng tròn (E,F tiếp điểm ) Gọi H trung điểm dây AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm đờng thẳng EF với đ-ờng thẳng OM OH Chứng minh
a Năm điểm M,O,H,E,F thuộc đờng tròn b OH.OI = OK.OM
c IA,IB tiếp tuyến đờng tròn O (Nam Định 2007-2008 )
Bài Cho đờng trịn (O;R) có đờng kính AB điểm I nằm hai điểm A O Kẻ đờng thẳng vng góc với AB I đờng thẳng cắt (O;R) M N Gọi S giao điểm hai đờng thẳng BM AN Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN đờng thẳng cắt đờng thẳng AB AM lần lợt K H Chứng minh
d Tø gi¸c SKAM néi tiÕp vµ HS.HK = HA.HM
e KM lµ tiếp tuyến (O;R) (Nam Định 2008 -2009) f Ba điểm H,N,B thẳng hàng
Bi Cho ng trịn (O;R) điểm A nằm ngồi đờng trịn(O;R) Đờng trịn đờng kính AO cắt đờng trịn (O;R) M N đờng thẳng d đI qua A cắt đờng trịn (O;R) B C ( d khơng đI qua O, B nằm A C) Gọi H trung điểm BC
1 Chứng minh AM tiếp tuyến đờng tròn (O;R) H thuộc Đờng trịn đờng kính AO Đờng thẳng đI qua B vng góc với OM cắt MN D Chứng minh
a gãc AHN = gãc BDN
b DH // MC (Nam Định 2009 -2010) c HB + HD > CD
Bài 8 (3,0 điểm)Cho đường trũn (O; R) v àđiểm M nằm ngo i cho OM=2R Đường thẳng d qua M tiếp xúc với (O; R) A Gọi N giao điểm đoạn thẳng MO với đờng trịn(O; R)
1) Tính độ dài đoạn thẳng AN theo R Tính số đo góc NAM
2) Kẻ hai đờng kính AB CD khác (O;R) Các đờng thẳng BC BD cắt đờng thẳng d lần lợt P Q
a, Chøng minh tứ giác PQDC nội tiếp (Nam Định 2010 -2011) b, Chøng minh 3BQ 2AQ4R
Bµi : Cho nửa đường trịn (O)đường kính AB Điểm C thuộc nửa đường tròn (O)
( CB < CA, C khác B ) Gọi D điểm cung AC, E giao điểm AD BC 1) Chứng minh tam giác ABE cân B
(2)a Tứ giác EIBK ni tip (Nam Định 2011 -2012) b
HF EI EK
BC BIBK.
Bµi 10: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R vẽ tia tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến cắt Ax By E F
a) Chứng minh: AEMO tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Chng minh EO2 = AE.EF (Nam Định 2012 -2013)
c) Vẽ MH vng góc với AB (H AB) Gọi K giao điểm EB MH Tính tỷ số MK/MH
Bài 11 Cho tam giác ABC vng C có BC = 1/2BA cạnh BC lấy điểm E ( E khác B ,C ) Từ B kẻ đờng thẳng d vng góc với AE gọi giao điểm d với AE ,AC kéo dài lần lợt I K
a Tính độ lớn góc CIK b Chứng minh KA.KC = KB.KI
c Gọi H giao điểm đờng trịn đờng kính AK với AB
Chứng minh H , E, K thẳng hàng ( Hng Yªn 2001 – 2002 ) d Tìm quỹ tích điểm I E chạy BC
Bài 12 Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A B Đờng kính AC (O) cắt (O’) điểm thứ hai E Đờng kính AD (O’) cắt (O) điểm thứ hai F
a Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp ( Bắc Ninh 2002 – 2003) b Chứng minh ba điểm C,B,D thẳng hàng tứ giác OO’EF nội tiếp c Chứng minh A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BEF
d Chứng minh ba đờng thẳng CF , DE,AB đồng quy
e Với điều kiện vị trí hai đờng trịn (O) (O’) EF tiếp tuyến chung hai đờng tròn (O) (O’
Bài 13 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) gọi D E theo thứ tự điểm cung AB AC Gọi giao đỉêm DE với AB AC theo thứ tự H K
a Chøng minh tam gi¸cAHK cân
b Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh AI vuông góc với DE c Chøng minh tø gi¸c CEKI néi tiÕp
d Chøng minh KI // AB
Bµi 14 Cho (O;R) vµ (O;R) cắt A B Qua B vẽ cát tuyến chung CBD vuông góc với AB Vẽ cát tuyÕn chung EBF bÊt kú ( C,E thuéc (O), E thuéc cung BC , D,F thuéc (O’))
a Chứng minh ba điểm A , O , C thẳng hàng A ,O , D thẳng hàng
b Gọi K giao điểm đờng thẳng CE DF Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp c Chứng minh điểm K thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
d Khi E di chuyển cung BC K di chuyển đờng
Bài 15 Cho đờng tròn (O;R) dây BC < 2R tiếp tuyến với (O) B C cắt A Điểm M trên cung nhỏ BC Gọi H,I,K lần lợt hình chiếu M BC , CA, AB BM cắt IK P , CM cắt IH Q Chứng minh
a C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp b MI2 = MH.MK
c Tø gi¸c PIQM néi tiếp d PQ vuông góc với MI Bài 16
Cho đường tròn tâm O, vẽ dây cung BC không qua tâm.Trên tia đối tia BC lấy điểm M bất kì.Đường thẳng qua M cắt đường (O) hai điểm N P (N nằm M P) cho O năm bên góc PMC Trên cung nhỏ NP lấy điểm A cho cung AN cung AP.Hai dây cung AB,AC cắt NP D E
a)Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp b) Chứng minh : MB.MC = MN.MP
c) Bán kính OA cắt NP K Chứng minh: MK2 MB MC.
Bài 17. (3,5 điểm)Cho đường trịn O, đường kính AB = 2R Điểm C năm tia đối tia BA cho BC = R Điểm D thuộc đường tròn tâm O cho BD = R Đường thẳng vng góc với BC C cắt AD M
1 Chứng minh rằng:
(3)b) AB.AC = AD AM
c) CD tiếp tuyến đường tròn tâm O
2 Đường tròn tâm O chia tam giác ABM thành hai phần, tính diện tích phần tam giác ABM nằm ngồi đường trịn tâm O theo R
Bµi 18 Cho đường trịn (O), đường kính MN dây cung PQ vng góc với MN Tại I ( khác M, N) cung nhỏ NP lấy điểm J (khác N, P) Nối M với J cắt PQ H
a) Chứng minh: MJ phân giác góc PJQ b) Chứng minh: tứ giác HINJ nội tiếp
c) Gọi giao điểm PN với MJ G; JQ với MN K Chứng minh GK// PQ d) Chứng minh G tâm đường tròn nội tiếp PKJ .
Bµi 19 Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi d1 d2 hai tiếp tuyến đường tròn (O) hai điểm A B.Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A B) Đường thẳng d qua điểm E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1 d2 M, N
1) Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh ENIEBI MIN 90 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI
4) Gọi F điểm cung AB khơng chứa E đường trịn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng
Bµi 20
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường kính AD Gọi M điểm di động cung nhỏ AB ( M không trùng với điểm A B) a/ Chứng minh MD đường phân giác góc BMC b/ Cho AD = 2R Tính diện tích tứ giác ABDC theo R
c/ Gọi K giao điểm AB MD , H giao điểm AD MC Chứng minh ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy
Bµi 21
Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE tới đường tròn (B, C hai tiếp điểm; D nằm A E) Gọi H giao điểm AO BC
a) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AH.AO = AD.AE
c) Tiếp tuyến D đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự I K Qua điểm O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt tia AB P cắt tia AC Q
Chứng minh IP + KQ PQ
Bài 22: Trên nửa đờng trịn đờng kính BC, lấy hai điểm M, N cho M thuộc cung BN Gọi A giao điểm BM CN H giao điểm BN CM
a) CMR: tø gi¸c AMHN néi tiÕp
b) CM : Δ ABN đồng dạng Δ HCN c) Tính giá trị S = BM.BA + CN.CA Bài 23
Cho đường tròn (C) tâm O Từ điểm A (C) vẽ tiếp tuyến AB, AC với (C) (B,C tiếp điểm) Vẽ đường thẳng (d) qua C vng góc với AB, (d) cắt đường thẳng AB H cắt (C) E, C cắt đường thẳng OA D
1) Chứng minh CH // OB tam giác OCD cân 2) Chứng minh tứ giác OBDC hình thoi
3) M trung điểm EC, tiếp tuyến (C) E cắt đường thẳng AC K chứng minh O, M, K thẳng hàng
(4)Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) AD đường kính Gọi I điểm cung nhỏ BC; đường thẳng AI cắt dây cung BC đường thẳng DC E,M ; đường thẳng DI cắt dây cung BC đường thẳng AB F, N
a / C/m hai tam giác IAN IDM đồng dạng b / C/m tứ giác ANMD tứ giác nội tiếp c / C/m đẳng thức: IE.IA = IF.ID
d / C/m OI vng góc với MN Bài 25:
Cho hình vng ABCD cạnh a, lấy điểm M cạnh BC (M khác B C) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng DM H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC K
1 Chứng minh : BHCD tứ giác nội tiếp Chứng minh : KM DB
3 Chứng minh KC.KD = KH.KB
4 Ký hiệu SABM, SDCM diện tích tam giác ABM, DCM Chứng minh tổng (SABM + SDCM) khơng đổi Xác định vị trí điểm M cạnh BC để (SABM2 SDCM2 ) đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ theo a
Bµi 26
Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R Trên tiếp tuyến Ax đường tròn, lấy điểm M cho AM = 2R Vẽ tiếp tuyến MC đến đường tròn (C tiếp điểm)
1 Chứng minh: BC // MO
2 Giả sử đường thẳng MO cắt AC I Tính đoạn MC AI theo R
3 Giả sử đường thẳng MB cắt đường tròn N (khác B) Chứng minh tứ giác MNIA nội tiếp đường tròn
Bài 27
Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường trịn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F
1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC
3) Chứng minh CFD OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O)
4) Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB 2 .
Bài 28 Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M B M C) Qua B kẻ đờng thẳng vng góc với tia DM cắt đờng thẳng DM, DC theo thứ tự E F
1) Chứng minh tứ giác: ABED BDCE nội tiếp đờng trịn 2) Tính góc CEF
3) Đờng thẳng AM cắt đờng thẳng DC N Chứng minh đẳng thức:
AD2 =
1 AM2 +
1 AN2
Bµi 29
Cho tam giác ABC vng A có AB < AC, đờng cao AH Đờng trịn đờng kính AH cắt AB ở P, cắt AC Q.
1.Chøng minh PHQ = 900.
2.Chøng minh tø gi¸c BPQC néi tiÕp.
(5)4.Tính diện tích tứ giác EPQF trờng hợp tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = a vµ
ACB= 300.
Bµi 30: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BE CF cắt nhau H
a) Chứng minh: AEHF BCEF tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Gọi M N thứ tự giao điểm thứ hai đường tròn (O;R) với BE CF Chứng minh: MN // EF c) Chứng minh OA EF.
Bµi 31: Cho đường trịn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường trịn Tiếp tuyến B của đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F
a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE
c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn
d) Gọi S, S1, S2 thứ tự diện tích ∆AEF, ∆BCE ∆BDF Chứng minh: S1 S2 S
Bµi 32: Cho tam giác ABC vng A, M điểm thuộc cạnh AC (M khác A C ) Đường trịn đường kính MC cắt BC N cắt tia BM I Chứng minh rằng:
a) ABNM ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn b) NM tia phân giác góc ANI
c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2.
Bµi 33: Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB (CD khơng qua tâm O) Trên tia đối tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) điểm thứ hai M
a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC
b) Gọi H giao điểm MA BC; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp HK // CD
c) Chứng minh: OK.OS = R2.
Bµi 34: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F Chứng minh:
1) Tứ giác AFHE hình chữ nhật
2) Tứ giác BEFC tứ giác nội tiếp đường tròn
3) EF tiếp tuyến chung nửa đường trịn đường kính BH HC
Bµi 35: Cho đường trịn (O) với dây BC cố định điểm A thay đổi cung lớn BC cho AC > AB AC> BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q giao điểm cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE
1) Chứng minh rằng: DE//BC
2) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn 3) Gọi giao điểm dây AD BC F Chứng minh hệ thức:
1
CE =
1
CQ +
1 CF
Bµi 36: Cho điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm A C) Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC; AT tiếp tuyến vẽ từ A Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vng góc với BC, đường thẳng cắt BC H cắt đường tròn K (KT) Đặt OB = R.
a) Chứng minh OH.OA = R2.
b) Chứng minh TB phân giác góc ATH
(6)d) Chứng minh 3a −9√a (√a −3)(√a+3)=
3√a(√a −3) (√a −3)(√a+3)=
3√a √a+3
Bµi 37: Cho đường tròn (O) (O ) cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt (O), (O ) điểm thứ hai C, D Đường thẳng OA cắt (O),(O ) điểm thứ hai E, F.
1 Chứng minh đường thẳng AB, CE DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Cho PQ tiếp tuyến chung (O) (O ) (P (O), Q (O ) ) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng PQ
Bµi 38 Cho đường trịn (O) có đường kính AB điểm C thuộc đường trịn (C khác A , B ) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F
1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC
3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC tiếp tuyến đường trịn (O)
Bµi 39 Cho hai đường tròn (O, R) (O’, R’) với R > R’ cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung DE hai đường tròn với D (O) E (O’) cho B gần tiếp tuyến so với A
1) Chứng minh DAB BDE .
2) Tia AB cắt DE M Chứng minh M trung điểm DE
3) Đường thẳng EB cắt DA P, đường thẳng DB cắt AE Q Chứng minh PQ song song với AB
Bµi 40 Cho đường (O, R) đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB 1) Chứng minh điểm M, D, O, H nằm đường tròn
2) Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD
3) Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC, MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé
Bµi 41: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B, C thứ tự là tiếp điểm thuộc (O; R) (O’; R’))
a) Chứng minh BAC = 900 b) Tính BC theo R, R’
c) Gọi D giao điểm đường thẳng AC đường tròn (O) (DA), vẽ tiếp tuyến DE với đường tròn
(O’) (E (O’)) Chứng minh BD = DE
Bµi 42: Cho đường trịn (O), từ điểm A ngồi đường trịn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn (O) B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng khơng qua (O) cắt đường trịn (O) D; E (AD < AE) Đường thẳng vuông góc với AB A cắt đường thẳng CE F
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn
b) Gọi M giao điểm thứ hai FB với đường tròn (O), chứng minh DM AC c) Chứng minh: CE CF + AD AE = AC2.
Bài 43: Cho nửa đường tròn đường kính AB, gọi C điểm thuộc nửa đường tròn ( C khác A C khác B ) Kẻ đường cao CH tam giác ABC đường cao HK tam giác HBC
1) Chứng minh CH.BC = HK.AB
(7)Bài 44: Cho đường trịn (O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) Trên Ax lấy điểm M cho AM > AB, MB cắt (O) N (N khác B) Qua trung điểm P đoạn AM, dựng đường thẳng vng góc với AM cắt BM Q
a) Chứng minh tứ giác APQN nội tiếp đường tròn
b) Gọi C điểm cung lớn NB đường tròn (O) (C khác N C khác B)
Chứng minh: BCN OQN
c) Chứng minh PN tiếp tuyến đường tròn (O)
d) Giả sử đường trịn nội tiếp ANP có độ dài đường kính độ dài đoạn OA
Tính giá trị
AM AB
Câu 45 : Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn đối với AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B)
a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ADE ACO .
c) Vẽ CH vng góc với AB (H AB) Chứng minh MB qua trung điểm CH.
Câu 46 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B C cắt M AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D E trung điểm đoạn AD EC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Chứng minh rằng:
1) Tứ giác OEBM nội tiếp 2) MB2 = MA.MD.
3) BFC MOC . 4) BF // AM
Câu 47 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến đường trịn (O) A lấy điểm M ( M khác A) Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C tiếp điểm) Kẻ CH vng góc với AB (H AB ), MB cắt (O) điểm thứ hai K cắt CH N Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AKNH tứ giác nội tiếp b) AM2 = MK.MB
c) Góc KAC góc OMB d) N trung điểm CH
Bài 48:Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC.Lấy điểm A tia đối tia CB.Kẻ tiếp tuyến AF với nửa đường tròn (O) ( F tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx nửa đường tròn (O) D ( tia tiếp tuyến Bx nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)) Gọi H giao điểm BF với DO ; K giao điểm thứ hai DC với nửa đường tròn (O)
a/ Chứng minh : AO.AB=AF.AD b/ Chứng minh tứ giác KHOC nội tiếp
c/ Kẻ OM BC ( M thuộc đoạn thẳng AD).Chứng minh
BD DM = 1 DM AM
Bài 49 Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H giao điểm hai đường cao BD CE tam giác ABC (DAC, EAB)
a Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn
b Gọi I điểm đối xứng với A qua O J trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, J, I thẳng hàng
c Gọi K, M giao điểm AI với ED BD Chứng minh 2
1 1
DK DA DM
(8)bất kỳ ( M không trùng B ; C; H ) Từ M kẻ MP ; MQ vng góc với cạnh AB ; AC ( P thuộc AB ; Q thuộc AC)
1- Chứng minh :Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn
2- Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Chứng minh OH PQ 3- Chứng minh : MP +MQ = AH
Bài 51 : Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O) VẼ tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) cát tuyến MCD không qua O (C nằm M D) với đường tròn (O) Đoạn thẳng OM cắt AB (O) theo thứ tự H I
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn b) MC.MD = MA2
c) OH.OM + MC.MD = MO2 d) CI tia phân giác góc MCH
Bài 52 : Cho đường tròn (O) điểm A cho OA=3R Qua A kẻ tiếp tuyến AP AQ đường tròn (O),với P Q tiếp điểm.Lấy M thuộc đường tròn (O) cho PM song song với AQ.Gọi N giao điểm thứ đường thẳng AM đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ K
1.Chứng minh APOQ tứ giác nội tiếp 2.Chứng minh KA2=KN.KP
3.Kẻ đường kính QS đường trịn (O).Chứng minh tia NS tia phân giác gócPNM Gọi G giao điểm đường thẳng AO PK Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R
Bài Cho tam giác ABC đờng cao AH BK cắt I a) chứng minh tứ giác HIKC nội tiếp
b) Chøng minh gãc BAH = gãc ICH
c) M điểm đối xứng với I qua AC Chứng minh M thuộcđờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài Cho nửa đờng trịn ( O) đờng kính AB =2R Kẻ tiếp tuyến Bx với đờng tròn Gọi C D điểm thuộc nửa đờng tròn (khác A,B) Tia AC AD cắt Bx lần lợt I K Chứng Minh
a) Tam gi¸c ADB ~ Tam gi¸c BDK b) Tø gi¸c CDKI néi tiÕp
c) AC.AI = AD.AK có giá trị khơng đổi C,D di chuyển nửa đtrịn (O)
Bài Từ điểm C nằm đờng tròn (O) kẻ đờng thẳng d cắt (O) hai điểm phân biệt A B Gọi P điểm cung lớn AB từ P kẻ đờngkính PQ cắt AB D Gọi I giao điểm CP với nửa đơng tròn (O) IQ cắt AB K
a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) CI.CP = KC.CD
c) IC phân giác tam giác AIB
Bi Cho tam giác ABC vuông A Một điểm D nằm A B đờng tròn đờng
kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F G chứng minh
(9)b Tø gi¸c ADEC , Tø gi¸c ACBF néi tiÕp c AC // FG
d AC , DE, BF đồng quy
Bài Cho tam giác ABC vuông A đờng cao AH nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng trịn đờng kính BH cắt AB E.Vẽ nả đờng trịn đờng kính HC cắt AC F Chng minh
a Tứ giác AEHF hình chữ nhật b AE.AB = AF.AC
c Tứ giác BEFC néi tiÕp
Bài Cho tam giác ABC nhọn vẽ đờng trịn (O) đờng kính BC cắt AB K AC H BH cắt CK I a Chứng minh AI vng góc với BC
b AI cắt BC D Chứng minh tø gi¸c BKID néi tiÕp
c Chứng minh CK phân giác góc DKI I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DKH
Bài Cho đờng trịn (O;R) hai đờng kính AB,CD vng góc với gọi M Trung điểm CO , N giao điểm AM với đờng tròn Tiếp tuyến với đờng tròn N cắt đờng trung trực CO I Chứng minh
a Tø gi¸c OMNB, OMNI néi tiÕp b AM.AN = AO.AB = 2R2
c Tứ giác AMOI hình bình hành
Bi Cho im A nm ngoi đờng tròn (O:R).Từ A vẽ tiếp tuyến AB ,AC cát tuyến ADE với đờng tròn (O) Gọi H trung điểm DE
a Chứng minh A,B ,O,H,C thuộc đờng tròn b Chứng minh HA phân giác góc BHC
c DE c¾t BC t¹i I, Chøng minh AB2 =AI.AH
d Cho AB = R.(căn 3) OH = R/2 Tính HI theo R
Bài Cho tam giác ABC cân A nộitiếp đờng tròn (O) Tia phân giác góc ACB cắt AB M cắt (O)Tại E , Tia phân giác góc ABC cắt AC N cắt (O) D Chứng minh
a Tam gi¸c BCE ~ Tam giác MBE EB2=ME.EC b MN // BC
c Tø gi¸c MNDE néi tiÕp
Bài 10 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H OB Gọi I Trung điểm MN Từ A kẻ tia Ax vng góc với MN K.Gọi C giao điểm Ax với BI
a Chøng minh BN // MC
b Chøng minh tø gi¸c OIKC hình chữ nhật
c Tip tuyn Bt với đờng tròn (O) B cắt AM E cắt Ax F Gọi D giao điểm thứ hai Ax với đ-ờng tròn (O) Chứng minh tứ giác DMEF
Bài 11 Cho nửa đờng trịn (O ) đờng kính CD điểm A thuộc nửa đờng tròn (O) Từ A kẻ đờng thẳng song song với CD Từ D kẻ đờng thẳng song song với AC Hai đờng thẳng cắt B Kẻ AH vng góc với CB
a Chứng minh bón điểm A, B, D, H thuộc đờng tròn b Gọi E giao điểm CB với nửa đờng tròn (O)
Chøng minh BC AE = AB AD
Bài 12 Trên đờng tròn (O;R) đờng kính AB Lấy hai điểm M E theo thứ tự A,M,E,B ( M E khác A B ) AM cắt BE C AE cắt BM D
a Chøng minh tứ giác MCED nội tiếp CD vuông góc với AB b Gọi H giao điểm CD vµ AB Chøng minh BE.BC = BH.BA
c Chứng minh tiếp tuyến M E đờng tròn (O) cắt điểm nằm CD d Cho góc BAM = 450 góc BAE = 300 Tính diện tích tam giác ABC theo R.
Bài 13 Cho đờng tròn (O;R) Đờng kính AB cố định , CD đờng kính di động ( CD khơng trùng với AB CD khơng vng góc với AB )
a Chứng minh ACBD hình chữ nhật
b Các đờng thẳng BC BD cắt tiếp tuyến A đờng tròn (O) lần lợt E F Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
c Chøng minh AC AD = CE DF
Bài 14 Cho nửa đơng tròn (O) đờng kính BC vẽ dây AB gọi I điểm cung BA K giao điểm OI với BA
a Chøng minh OI // CA
b Từ A vẽ đờng thẳng song song với CI cắt BI H Chứng minh Tứ giác IHAK nội tiếp c Gọi P giao điểm KH BC Chứng minh AC.BK = BC.KP
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông cân C E điểm tuỳ ý nằm cạnh BC không trùng với B C qua B kẻ tia vuông góc với tia AE H cắt tia AC K Chứng minh
a Tø gi¸c BHCA néi tiÕp b KC.KA= KH.KB
c Khi E di chuyển BC BE.BC +AE.AH không đổi
Bài 16 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đờng thẳng qua A song song với BM cắt CM N
a Chứng minh tam giác AMN b Chứng minh MA + MB = MC
(10)Bài 17 Cho tam giác ABC nhọn nội tiép đờng tròn (O;R) Gọi E K theo thứ tự chân đờng cao kẻ từ đỉnh B ,C tam giác ABC đờng thẳng BE CK cắt (O;R)tai điểm thứ hai theo thứ tự M N
a Chøng minh tø gi¸c BCEK néi tiÕp b Chøng minh KE // MN
c Gäi D lµ trung điểm AC, SOAC diện tích tam giác AOC , SABC diện tích tam giác ABC Chứng minh R/BD + SOAC/SABC ≥
Bài 18 Cho tam giác ABC có góc B,C nhọn đờng trịn đờng kính AB ,AC cắt điểm thứ hai H (H khác A) Một đờng thẳng d qua A lần lợt cắt hai đờng trịn nói M N
a Chøng minh B,H,C thẳng hàng
b Gi P,Q ln lt trung điểm BC MN Chứng minh bốn điểm A,H,P,Q thuộc đờng tròn c Xác định vị trí d để MN có độ dài lớn
Bài 19 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn (O) đờng kính BD Các đờng chéo AC,BD cắt E.Biết AB = BC = cm , góc ADC = 600
a Gäi M,N,P,Q lần lợt trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA tứ giác ABCD Chứng minh tứ giác MNPQ hình ch÷ nhËt
b Tính độ dài đờng kính BD
c Xác định điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ hình vng
Bài 20 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R) đờng cao AD, BE cắt H (D thuộc BC ,E thuộc AC ,AB < AC)
a Chøng minh Tø gi¸c AEDB, CDHE néi tiÕp
b Chøng minh CE.CA = CD.CB vµ DB.DC = DH.DA
c Đờng phân giác AN góc A tam giác ABC cắt BC N cắt đờng tròn (O) K ( K khác A).Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp Tam giác CAN Chứng minh KO CI cắt điểm thuộc đờng tròn (O)
Bài 21 Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng (B nằm A C) vẽ đờng tròn tâm O đờng kính BC AT tiếp tuyến vẽ từ A Từ tiếp điểm T vẽ đờng thẳng vng góc với BC ,đờng ttẳng cắt CB H cắt đớng tròn T’ .Đặt OB = R
a Chøng minh OH.OA = R2
b Chứng minh BT phân giác góc ATH
c Từ B vẽ đờng thẳng song song với TC Gọi D E lần lợt giao điểm đờng thẳng vừa vẽ với TT’ và TA Chứng minh tam giác TED cân
d Chøng minh HB.AC = AB.HC
Bài 22 Cho hình bình hành ABCD ,có đỉnh D nằm đờng trịn Đờng kính AB hạ DM BN vng góc với đờng chéo AC Chứng minh
a Tø gi¸c CBMD néi tiÕp
b Khi B di động đờng trịn góc BMD + góc BCD khơng đổi c DB.DC = DN.DA
Bài 23 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn (O).Gọi D điểm cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến C D với đờng tròn (O)cắt E Gọi P Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB CD,AD CE
a Chøng minh BC // DE
b Chøng minh tø giác CODE ,APQC nội tiếp c Tứ giác BCQD h×nh g×
Bài 24 Cho tam giác ABC cân A có góc A nhọn đờng thẳng vng góc với AB A cắt BC E ,kẻ EN vng góc với AC Gọi M trung điểm BC ,hai đờng thẳng AM EN cắt F
a Các tứ giác nội tiếp ? sao? b CHứng minh EB phân giác góc AEF
c Chng minh M tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFN
Bài 25 Cho tam giác ABC có góc nhọn ,Góc A = 450 vẽ đờng cao BD CE tam giác Tam giác ABC ,gọi H giao điểm BD CE
a Chøng minh tø gi¸c ADHE néi tiÕp b Chøng minh HD = DC
c TÝnh tû sè DE/BC
d Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,Chứng minh OA vng góc với DE
Bài 26 Cho đờng tròn (O) dây CD Trên tia đối tia CD láy điểm M Kẻ tiếp tuyến MA,Mbtới đờng tròn (O), (A,B tiếp điểm) gọi H trung điểm CD AB giao với OH P giao với OM E Chứng minh
a Tø gi¸c EHPM néi tiÕp b OH.OP = OE.OM
c Tam gi¸c MED ~ Tam gi¸c MCO
d Góc CED khơng đổi N di chuyển tia đối tia CD
Bài 27 Cho đờng tròn (O) (O’) cắt A B kẻ đờng kính AOC, AO’D Một cát tuyến qua B cắt hai đ-ờng tròn M N ( M thuộc (O) , N Thuộc (O’)) MC cắt ND I
a Chøng minh C,B,D th¼ng hàng b Chứng minh tứ giác AMIN nội tiếp c Chøng minh tø gi¸c CAID néi tiÕp
(11)Bài 28 Cho Axlà tiếp tuyến đờng tròn (O;R) A tiếp điểm ,lấy B thuộc Ax cho AB < 2R Gọi M trung điểm AB đờng thẳng vng góc với AB M cắt (O) H K ( H nằm M K )
a Chøng minh tam gi¸c AMH ~ tam gi¸c AMK b Chøng minh AB2 = 4MH.HK
c AH cắt KB D Chứng minh tø gi¸c AMDK néi tiÕp
(12)Bài 29 Cho tam giác ABC vuông A Trên AB lấy điểm D( D khác A B ) Đờng trịn đờng kính BD cắt BC tại E Đờng thẳng AE cắt đờng trịn đờng kính BD điểm thứ hai G Đờng thẳng CD cắt đờng tròn đờng kính BD điểm thứ hai F Gọi S giao điểm AC BF Chứng minh
a.AC // FG
b SA.SC = SB.SF ( Nam Định 1998 - 1999 ) c.ES phân giác cña gãc AEF
Bài 30 Cho tam giác PBC nhọn PA vng góc với BC ,vẽ đờng trịn đờng kính BC Cắt PB PC theo thứ tự M N NA cắt đờng tròn đờng kính BC E
a Chứng minh bốn điểm A,B,P,N thuộc đờng tròn xác định tâm đờng trịn b Chứng minh ME vng góc với BC ( Nam Định 2000 – 2001)
c Gọi F đối xứng với N qua BC Chứng minh AM.AF = AN.AE
Bài 31 Cho tam giác ABC vuông A cạnh AC lấy điểm M khác A C Vẽ đờng trịn (O) đờng kính MC Gọi T giao điểm thứ hai (O) với BC Nối MB kéo dài cắt (O) điểm thứ hai D AD cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai S Chứng minh
a Tø gi¸c ABTM néi tiÕp
b Khi M di chuyển AC góc ADM có số đo khơng đổi
c AB // TS (Nam Định 2001 -2002 )
Bài 32 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD ,AB > CD ) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến với (O) A D cắt E Gọi I giao điểm AC BD
1 Chøng minh tø gi¸c AEDI néi tiÕp Chøng minh EI // AB
3 EI cắt AD BC hình thang tơng ứng ë R vµ S Chøng minh a I lµ trung điểm RS (Nam Định 2002 -2003) b 1/AB + 1/CD = 2/RS
Bài 33 Cho đường tròn (O) có tâm điểm O điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ với đường tròn (O), P Q tiếp điểm Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng AQ M
a) Chøng minh r»ng: MO = MA (Nam Định 2003 -2004)
b) Ly im N cung PQ đờng tròn (O) cho tiếp tuyến N đờng tròn (O) cắt tia AP v AQ
tơng ứng B C
b1) Chứng minh rằng: AB + AC - BC khơng phụ thuộc vào vị trí N b2) Chứng minh rằng: Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đờng trịn PQ // BC
Bài 34 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) A M Q hai điểm phân biệt chuyển động d cho M, Qkhác A Các đờng thẳng BM BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N P
Chøng minh
4 Tích BM BN không đổi (Nam Định 2004 – 2005 ) Tứ giác MNPQ nội tiếp
6 BN + BP + BM + BQ > 8R
Bài 35 Cho dây BC cố định đờng tròn (O; R) (0< BC < 2R ) Alà điểm di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AD , BE , CF tam giác ABC cắt H
3 Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp từ suy AE.AC = AF AB Gọi A’ trung điểm BC Chứng minh AH= 2A’O
Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng trịn (O) A Đặt S diện tích tam giác ABC , 2P chu vi tam giác DEF
a Chøng minh d // EF
b Chøng minh S= P.R (Nam §Þnh 2005 – 2006 )
Bài 36 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB cố định Từ điểm I nằm Avà O cho AI= 2/3 AO Kẻ dây MN vng góc với AB ti I
Gọi Clà điểm tuỳ ý thc cung lín MN cho C kh«ng trïng với M,N,B Nối AC cắt MN E Chøng minh
d Tø gi¸c IECB néi tiÕp
e Tam gi¸c AME ~ tam gi¸c ACM vµ AM2 = AE.AC.
f AE.AC – AI.IB = AI2 (Nam Định 2006-2007)
Bi 37 Cho ng tròn (O) hai điểm AB phân biệt thuộc (O) cho đờng thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm M khác A Từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME,MF với đờng tròn (E,F tiếp điểm ) Gọi H trung điểm dây AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm đờng thẳng EF với đờng thẳng OM OH Chứng minh
d Năm điểm M,O,H,E,F thuộc đờng tròn e OH.OI = OK.OM
(13)Bài 38 Cho đờng trịn (O;R) có đờng kính AB điểm I nằm hai điểm A O Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB I đờng thẳng cắt (O;R) M N Gọi S giao điểm hai đờng thẳng BM AN Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN đờng thẳng cắt đờng thẳng AB AM lần lợt K H Chứng minh
g Tø gi¸c SKAM néi tiÕp vµ HS.HK = HA.HM
h KM lµ tiÕp tuyến (O;R) (Nam Định 2008 -2009) i Ba điểm H,N,B thẳng hàng
Bi 39 Cho (O;R) Hai điểm C D thuộc Đờng tròn ,B điểm cung nhỏ CD Kẻ đờng kính BA tia đối tia AB lấy điểm S Nối SC cắt (O) M MD cắt AB K ,MB cắt AC H Chứng minh
a Tø gi¸c AMHK néi tiÕp
b HK // CD ( B¾c Giang 2003 -2004 ) c OK.OS =R2
Bài 40 Cho tam giác ABC vuông C có BC = 1/2BA cạnh BC lấy điểm E ( E khác B ,C ) Từ B kẻ đờng thẳng d vng góc với AE gọi giao điểm d với AE ,AC kéo dài lần lợt I K
a Tính độ lớn góc CIK b Chứng minh KA.KC = KB.KI
c Gọi H giao điểm đờng trịn đờng kính AK với AB
Chøng minh H , E, K thẳng hàng ( Hng Yên 2001 2002 ) d Tìm quỹ tích điểm I E chạy BC
Bài 41 Cho tam giác ABC vuông A Gọi H chân đờng cao hạ từ A xuống BC Đờng trịn tâm A bán kính AH cắt AB AC lần lợt M N Phân giác góc AHB góc AHC cắt MN lần lợt I K
a Chøng minh tø gi¸c HKNC néi tiÕp
b Chøng minh HI/AB = HK/AC ( Chung LHP Nam Định 1998 1999 )
c Gọi S S lần lợt diện tích tam giác ABC tam giác AMN Chứng minh S ≥ 2S’
Bài 42 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) D mộtđiểm cung BC không chứa A ( D khác B ,C ) Trên tia DC lấy điểm E cho
DE = DA
a Chứng minh tam giác ADE
b Chøng minh tam gi¸c ABD = tam gi¸c ACE
c Khi D di động cung BC không chứa A ( D khác B , C ) E chạy đờng ( Chung LHP Nam Định 2005 –2006 )
Bài 43 Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A B Đờng kính AC (O) cắt (O’) điểm thứ hai E Đờng kính AD (O’) cắt (O) điểm thứ hai F
f Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp ( Bắc Ninh 2002 – 2003) g Chứng minh ba điểm C,B,D thẳng hàng tứ giác OO’EF nội tiếp h Chứng minh A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BEF
i Chứng minh ba đờng thẳng CF , DE,AB đồng quy
(14)Bài 44 Cho tứ gíac ABCD nội tiếp đờng tròn (O) (AB > AC , AD >DC ) Gọi E giao điểm AB CD , F giao điểm AD BC
a Chøng minh EF vu«ng gãc víi AC b Chøng minh DA.DF = DC.DE
c đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AC M (M khác A) Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh tứ giác DIMF nội tiếp
d Gäi H lµ giao điểm AC EF Chứng minh AI.AM = AC.AH
Bài 45 Cho nửa (O;R) ,đờng kính AB C điểm cung AB điểm M thuộc cung AC (M khác A,C ) kẻ tiếp tuyến d nửa (O) tiếp điểm M Gọi H giao điểm MB OC.từ H kẻ đờng thẳng song song với AB đờng thẳng cắt d
t¹i E
a Chøng minh tø gi¸c OHME néi tiÕp
b Chøng minh EH = R ( Chung LHP Nam Định 2007 –2008 )
c Kẻ MK vng góc với OC K Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác OBC qua tâm đờng tròn nội tiếp tam giác OMK
Bài 46 Cho nửa (O) đờng kính AB =2R C điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy diểm E cho BE = AF
a Chøng minh tam gi¸c AFC = tam gi¸c BEC b Chứng minh tam giác FEC vuông cân
c Gọi D giao điểm AC tiếp tuyến B nửa (O) Chớng minh tứ giác BEFC néi tiÕp
d Giả sử F chuyển động cung AC Chứng minh E chuyển động cung trịn xác định cung trịn bán kính cung trịn
Bài 47 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) gọi D E theo thứ tự điểm cung AB AC Gọi giao đỉêm DE với AB AC theo thứ tự H K
e Chøng minh tam giácAHK cân
f Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh AI vuông góc víi DE g Chøng minh tø gi¸c CEKI néi tiÕp
h Chøng minh KI // AB
Bài 48 Cho tam giác ABC có góc nhọn vẽ đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB AC lần lợt D E Gọi giao điểm DC BE H
a Chøng minh AH vu«ng gãc víi CB
b Chứng minh đờng trung trực DH qua trung điểm I AH c Chứng minh OE tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE d Cho AB = 2R , AB = HC tính BE , EC theo R
Bµi 49 Cho (O;R) vµ (O’;R’) cắt A B Qua B vẽ cát tuyến chung CBD vuông góc với AB Vẽ cát tuyến chung EBF bÊt kú ( C,E thuéc (O), E thuéc cung BC , D,F thuéc (O’))
e Chøng minh ba điểm A , O , C thẳng hàng A ,O , D thẳng hàng
f Gi K giao điểm đờng thẳng CE DF Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp g Chứng minh điểm K thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
h Khi E di chuyển cung BC K di chuyển đờng
Bài 50 Cho tam giác ABC ( AC > AB , góc BAC > 900) I K theo thứ tự trung điểm AB AC Các đờng trịn đờng kính AB AC cắt điểm thứ hai
D tia BA c¾t (K) điểm thứ hai E , tia CA cắt (I) điểm thứ hai F a Chứng minh ba điểm B ,C ,D thẳng hàng
b Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp c Chứng minh AD, BF, CE đồng quy
d Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF Hãy so sánh đoạn thẳng DH ,DE
Bài 52 Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R ,C thuộc nửa đờng trịn (O) gọi I điểm cung AC E giao điểm AI v BC
a Tam giác ABE tam giác ? sao?
b Gọi K giao AC BI Chứng minh EK vuông góc víi AB
c Gọi F điểm đối xứng với K qua I Chứng minh AF tiếp tuyến nửa đờng tròn (O) d Khi C di chuyển nửa (O) E di chuyển đờng
Bài 53 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) đờng cao AE tam giác ABC cắt (O) F.AD đờng kính đờng trịn (O)
a Chứng minh tứ giác BFDC hình thang c©n b Chøng minh AD.AE = AB.AC
c Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh BC đờng trung tực HF DH qua trung điểm I BC
(15)