TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG HÀM SỐ

1.. c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.. Bài 3: Biện luận theo m sự tương giao của:.. Chứng minh rằng:. a) M là trung điểm của PQ[r]

(1)

HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CẦN NẮM

Chương I

ĐẠO HÀM – VI PHÂN

I ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN NẮM

Nhóm Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))

Đạo hàm hàm số sơ cấp cơ bản

Đa thức

(u )α.uα '  α ' u

'

1 ' u

( ) 2

u  u

' u ' ( u) 2 u 

α ' α 1

(x )α.x 

1 ' 1

( ) 2

x  x

1 '

( x )

2 x



Lượng giác

(sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = - u’.sinu

(tgu)’ =

'

u u (1 tg u)' 2

2

cos u  

(cotgu)’ = - ' u

2 sin u

(sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx

(tgx)’ =

1 2

(1 tg x) 2

cos x  

(cotgx)’ = -

1 (1 cotg x)2

2

sin x  

Mũ (eu)’ = u’.eu (au)’ = u’.au.lna

(ex)’ = ex (ax)’ = ax.lna

Lôgarit

(ln|u|)’ = u' u

' u '

(log |u|)a

u.lna



(ln|x|)’ = x

1 '

(log |x|)a

x.lna



II VI PHÂN:

(2)

 d(u  v) = du  dv  d(uv) = udv + vdu



u vdu udv

d( ) 2 (v 0)

v v



 

Chương II

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I ĐỊNH LÝ LAGRĂNG:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a ; b] có đạo hàm (a ; b) tồn

điểm c (a ; b) cho: f ’(c) =

f(b) f(a) b a

  II TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1 Hàm số không đổi: f ’(x) =  f(x) = c 2 Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm (a ; b)

a) Nếu f(x) tăng (a ; b)  f ’(x)   x (a ; b) b) Nếu f(x) giảm (a ; b)  f ’(x)   x (a ; b) 3 Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm (a ; b)

a) Nếu f ’(x) > x (a ; b)  f(x) tăng (a ; b) b) Nếu f ’(x) < x (a ; b)  f(x) giảm (a ; b)

 Chú ý: Nếu điều kiện đủ, f’(x) = số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) kết luận đúng.

III QUY TẮC TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f(x) Qui tắc 1:

1) Tính đạo hàm y’ = f’(x)

2) Tìm điểm tới hạn xi : Là nghiệm phương trình f’(x) = điểm f ’(x) khơng xác định

(3)

a) f ’(x) đổi dấu từ âm sang dương f(x) đạt cực tiểu điểm đó b) f ’(x) đổi dấu từ dương sang âm f(x) đạt cực đại điểm đó c) f ’(x) khơng đổi dấu f(x) khơng đạt cực trị điểm đó Qui tắc 2:

1) Tính f ’(x), f ’’(x)

2) Tìm điểm xi f ’(x) = (nghiệm phương trình này) 3) Tính f ’’(x

i): a) Nếu f ’’(x

i) > f(x) đạt cực tiểu điểm b) Nếu f ’’(x

i) < f(x) đạt cực đại điểm

CHÚ Ý:

 Giữa hai điểm tới hạn kề x1 x2 , f’(x) giữ nguyên dấu  Cách tính giá trị điểm cực trị hàm số:

- Trong trường hợp điểm cực trị x0 (xCĐ , xCT) số vô tỉ thì:

1) Nếu f(x) hàm hữu tỉ

U(x) f (x)

V(x)



' 0

0 '

0

U (x ) f(x ) =

V (x ) 2) Nếu f(x) hàm đa thức: Ví dụ hàm đa thức bậc

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)

Ta chia f(x) cho f ’(x) dư hàm bậc (mx + n) ta có: f(x) = f’(x).(px + q) + (mx + n) f(x0) = (mx0 + n) (vì f’(x

0) = 0) VD: Hãy tìm điểm cực trị giá trị chúng trường hợp sau:

1)

2

x 2x 3

f (x)

x 1

 



 2) f(x) =

3

x 2x2 x 1

3   

IV GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Qui tắc tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) khoảng (a ; b) - Lập bảng biến thiên hàm số để kết luận, ý:

(4)

+ Nếu có điểm cực đại x0 f(x0) = Max y

+ Nếu có điểm cực đại cực tiểu ta phải tìm thêm giới hạn f(x) biên a, b để kết luận thích hợp

2 Qui tắc tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) đoạn [a ; b] - Giải phương trình f ’(x) = 0, tìm nghiệm x

1, x2, …, xn (Chỉ chọn nghiệm thuộc đoạn [a ; b])

- Tính f(a),f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) - So sánh f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)

 Số lớn M GTLN hàm số y = f(x) đoạn [a ; b],

KH: M =

max ( ) [ ; ]a b f x

Số nhỏ m GTNN hàm số y = f(x) đoạn [a ; b],

KH: m =

min ( ) [ ; ]a b f x

CHÚ Ý:  Nếu giải phương trình f ’(x) = vô nghiệm  f(x) đơn điệu [a ; b] ta cần so sánh f(a) f(b): Số lớn Max y số nhỏ Min y

 Ngoài ta dùng phương pháp sau:

 Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN hàm số

(xem chuyên đề bất đẳng thức)

 Giải phương trình f(x) = y với x  [a ; b] tìm điều

kiện để phương trình có nghiệm [a ; b]

V TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG

1 Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x) khoảng (a ; b) đó:

(5)

b) Nếu f ’’(x) > với x (a ; b) đồ thị hàm số lõm khoảng

2 Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x) khoảng (a ; b) khi đó:

a) Nếu f ’’(x) đổi dấu đối số x qua x

0 M0(x0 ; f(x0)) điểm uốn đồ thị

b) Nếu f ’’(x) không đổi dấu đối số x qua x

0 điểm M0(x0 ; f(x0)) điểm uốn đồ thị

VI TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x) 1 Tiệm cận đứng

 Nếu

lim f(x)

x xo  đường thẳng x = x

o tiệm cận đứng (C) 2 Tiệm cận ngang

 Nếu xlim f(x)  yo đường thẳng y = yo tiệm cận ngang (C) 3 Tiệm cận xiên

 Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b tiệm cận xiên (C)  x  lim [f(x) – (ax +b)] =

 Cách xác định hệ số a, b đường tiệm cận xiên y = ax +b theo công thức: a =

f(x) lim

x  x , b = xlim [f(x) – ax ]

4 Phương pháp tìm tiệm cận (C): y = f(x): - Tìm TXĐ f(x) D suy mút (biên) - Tính giới hạn hàm số mút

+ Nếu thoả mãn (1), (2) ta có TC đứng, ngang

+ Nếu xlim f(x) = ta tính a =

f(x) lim

x  x :

(6)

Nếu b ≠  ta có tiệm cận xiên: y = ax + b.

VII KHẢO SÁT HÀM SỐ

Các bước khảo sát hàm số: B1: Tìm TXĐ

B2: Xét biến thiên (đồng biến, nghịch biến) hàm số điểm cực trị (cực đại, cực tiểu)

B3:  Tính giới hạn đặc biệt (tại mút TXĐ)  Tìm tiệm cận (Đối với hàm phân thức hữu tỉ B4: Xét tính lồi, lõm tìm điểm uốn (Đối với hàm đa thức) B5: Lập bảng biến thiên

B6: Đồ thị:

+ Tìm giao điểm với trục Ox, Oy (nếu được)

+ Lập bảng giá trị cần (khi tìm giao với Ox không được…) + Vẽ đồ thị

+ Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) đồ thị 2 Khảo sát số hàm số thường gặp

a) Hàm đa thức

 y = ax2 + bx + c (a 0)  y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)  y = ax4 + bx2 + c (a 0) b) Hàm phân thức hữu tỉ

 y =

ax b cx d



 (c 0, D = ad – bc 0)

B CÁC DẠNG TOÁN

CHỦ ĐIỂM 1

(7)

Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau:

1) y x  x2  1 2) y  x2  4x3 3) y  x2 4 4) y =

2

1 1

x x x

 

 5) y =

2 2 2

3

x x

x

 

 6) y = 3  x3 3x2

VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Bài 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc ba sau:

1) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (ĐH KA – 2006) 2) y = -x3 + 3x2 - (ĐH KB – 2007)

Bài 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số trùng phương sau:

1) y = x4 - 8x2 + 10 (ĐH KB – 2002)

2)

4

2

x

y 2(x 1)

2

  

(ĐH DB KA – 2006) Bài 3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số biến sau:

1)

3x 1 y

x 1

 



 (ĐH KD – 2002)

2)

2x y

x 1



 (ĐH KB – 2007)

VẤN ĐỀ 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

PHƯƠNG PHÁP:

Nếu hàm số y = f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì:  Xét dấu biểu thức bên dấu giá trị tuyệt đối

 Phân định miền xác định thành nhiều khoảng, khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối

 Vẽ đồ thị phần tương ứng khoảng miền xác định Đồ thị f(x) hợp phần

Các hàm có dạng:y = |f(x)| , y = f(|x|)  Hàm số dạng: y = |f(x)|

(8)

- Lấy phần đồ thị (C) phía Ox

- Lấy đối xứng phần (C) nằm Ox qua trục Ox Hợp hai phần lại ta có đồ thị (C’) y = |f(x)|

 Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối xứng qua Oy) - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)

- Lấy phần bên phải Oy (C) (ứng với x  0) ta có (C0) - Lấy đối xứng phần (C0) qua trục Oy ta có (C1)

Hợp hai phần (C0)và (C1) lại ta có đồ thị (C’) y = f(|x|)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số: y = f(x) =

x 1 x 2

 

2) Từ (C) suy đồ thị hàm số:

a) y =

| x | 1 | x | 2



 b) y =

| x 1| x 2

 

c) y =

x 1

| |

x 2



 d) y =

x 1 | x |

  3) Một số toán áp dụng (bài giảng)

CHỦ ĐIỂM 2

MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1

(9)

Cho (C): y = f(x) có đạo hàm D Viết phương trình tiếp tuyến (C) thoả mãn số điều kiện cho sẵn:

1 Tiếp tuyến (C) điểm M0(x0,y0) thuộc (C) có phương trình là: y – y0 = f’(x0).(x – x0) (k = f’(x0): hệ số góc)  Các dạng khác đề bài:

 Cho x0: Tính y0 = f(x0) f’(x0)

 Cho y0: Giải phương trình y0 = f(x0) để có x0 tính f’(x0)  Cho hệ số góc k tiếp tuyến:

Giải phương trình f’(x

0) = k để có x0 tính y0 = f(x0) 2 Tiếp tuyến (C) qua điểm M(x1,y1)

( M(x1,y1) thuộc hay khơng thuộc (C) )

 Cách 1:  Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(x1,y1) có hệ số góc k: y – y1 = k(x – x1) ⇔ y = k(x – x1) + y1 (1)

 (d) tiếp xúc với (C) điểm có hồnh độ x0 ⇔ x0 k nghiệm

hệ pt:

f(x) k(x x ) y1 1

'

f (x) k

  

  

 

 (I)  k thay vào (1).

 Cách 2: (Tìm hồnh độ tiếp điểm x0)

 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (x0,y0) là: y – f(x0) = f’(x0).(x – x0) (1)

 Vì tiếp tuyến qua M(x1,y1) nên x1 y1 nghiệm (1): y1 – f(x0) = f’(x0).(x1 – x0)(2)

 Giải (2) ta có x0 x0 vào (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm 3 Chú ý tốn tìm tham số để từ M(x1; y1) kẻ n tiếp tuyến

Phương pháp thông thường bắt hệ (I)

f(x) k(x x ) y1 1

'

f (x) k

  

  

 

 có n nghiệm 

f(x) = f ’(x)(x – x

1) + y1 có n nghiệm

4 Chú ý tính chất hàm hữu tỉ y =

2

ax + bx + c

' '

(10)

Cho M  (H), I giao hai tiệm cận (H):

 Nếu tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A B thì: + M trung điểm AB

+ Tam giác AIB có diện tích khơng đổi

 Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận số  IA.IB = const

B Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho (C): y = x4 – 2x2 – Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành (ĐS: y 8 3(x 3)

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 + 3x2 - (C), điểm A(0, -1) a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) A

b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A

Bài 3: Cho hàm số y =

2

x 3x 3

x 2

 

 (H)

Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): 3y – x + =

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = - x3 – 3x2 + 4 biết tiếp tuyến qua P(1;0)

Bài 5: Cho (C): y = x3 – 3x2 +

a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ điểm A(

23 ; 2)

9 

b) Tìm đường thẳng y = -2 điểm từ kẻ đến đồ thị tiếp tuyến vng góc với

Bài 6: Cho (Cm): y =

(m 1)x m x m

 



(11)

song song với đường phân giác thứ hai góc hệ trục tọa độ

Bài 7: Cho hàm số y = 2x +

2

x 1 (H)

Gọi M điểm thuộc đồ thị I giao tiệm cận (H) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (H)

2) Chứng minh rằng:

a) Nếu tiếp tuyến M cắt tiệm cận A B M trung điểm AB tam giác AIB có diện tích khơng đổi, M thay đổi

b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận số c) Tìm điểm (H) có tọa độ nguyên

2

x 3x 3

x 2

 

 (H)

Gọi M điểm thuộc đồ thị I giao tiệm cận (H) Nếu tiếp tuyến M cắt tiệm cận P Q Chứng minh rằng:

1) M trung điểm PQ

2) Tam giác AIB có diện tích khơng đổi 3) IQ.IP khơng đổi

VẤN ĐỀ 2

TÍNH DƠN ĐIỆU  CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI  ĐIỂM CỰC TIỂU

Bài 1: Cho hàm số y = – x3 + mx2 – m Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1; 2) ĐS : m 3

Bài 2: Tìm m để hàm số

3 2

y = x3  mx2  2x3

khoảng (1 ; + )

(HD: m1)

Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 Tìm để hàm số ln đồng biến ĐS :

6

6 m

(12)

Bài 4: Cho hàm số 3 2 x x y mx 3 2   

Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu điểm có hồnh độ lớn m (ĐS : m < -2)

Bài 5: Tìm m để hàm số

1 3 1 2

y = 3x 2x (m1)x

đạt cực trị điểm có hồnh độ x > m

3

( , 1)

m  m

Bài 6: Cho hàm số

2

x 2m x m

y

x 1

 





Tìm m để hàm số có cực trị (ĐS : |m| < 1)

Bài 7: Định m để hàm số y = mx4(m2 9)x210 có ba điểm cực trị. ĐS : 3 m m       

Bai 8: Với giá trị a hàm số

3

2

y = (a 1) ( 1) 3

x a x x

    

đồng biến 

? HD: a  1 a2

Bài 9: Định m để hàm số

2

y = x x x m1

 đạt cực tiểu x = (ĐS: m = 1)

2

y = x x x m1

 có điểm cực trị nằm hai phía trục tung (ĐS: m > 0)

1

y = ( 1)

3x  m x  x có độ dài khoảng nghịch biến bằng 5 ĐS: (x1x )2 2 4x x1 2 20 m 2,m 4.

2

y = x mx m ( m )

x m

 



 có giá trị cực đại giá trị cực tiểu

trái dấu HD:0m4

Bài 13: Cho hàm số y = 2x3 3(2m1)x26 (m m1)x1 Với giá trị m đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng (d): y = x +

1 : 1 17

(13)

Bài 14: Chứng minh hàm số

2 8

y =

1

x mx m

x

  

 ln có cực trị với m Tìm m để

giá trị cực đại giá trị cực tiểu thỏa mãn: y + y2cd ct2 72

  2 ( y = m + )

HD : D = \ , y = =

2 ( y = m )

( 1)

2 2

y CÑ+ y CT 72 ( 8) ( 4) 72

x x x

x x

m m m

  

  



 

 



        



Bài 15: Tìm m để hàm số y = 2x33(m1)x26(m 2)x1 có hai cực trị thuộc khoảng (-2, 3)

 

2

: D = , y = 6x 6( 1) 6( 2) 6[ ( 1) ( 2)] 1,

1

1 ( 2;4) \ 3

, ( 2;3) 2

1

HD m x m x m x m

x x m

x x m m

YCBT x x  m  m m

 

 

          

   

    

     

        



DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ

Bài 1: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 3m – 5 a) Định m để đồ thị hàm số có điểm cực trị

b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị HD: a) | |m  b) y = 2(3-m2)x + 6m – 5, | |m  Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3x2 - 9x + m

a) Định m để đồ thị hàm số có điểm cực trị

b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị HD: a) m b) y = -8x + m -

2

x (m 1)x m 1

y

x m

   





a) CMR với m, hàm số ln có CĐ, CT

(14)

c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (ĐS : y=2x+m+1)

2

2x 3x m

y

x m

 



 Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu

thỏa mãn: |yCĐ – yCT| > (ĐS:

1 5

2

m    m  ) Bài 5: Cho hàm số y = x33x2mx1.

a) Tìm m để hàm số có cực trị

b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số c) Tìm m để ymax + ymin =

ĐS:

1

) 3 b) y = [(23 6) 3 ] , 3 ) m =

a m m x  m m c

VẤN ĐỀ 3

TÍNH LỒI LÕM ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ (Ban NC)

Bài 1: Chứng minh đồ thị hàm số

2x 1

y 2

x x 1

 

 

có điểm uốn thẳng hàng (Ba điểm uốn : A(1,1), B(-2,-1), C(

1



,0)) Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3(m - 1)x2 + 3x – 5

a) Tìm m để (-5; 2) khoảng lồi hàm số

b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hồnh độ x0 > m2 – 2m – ĐS: a) m3, b) -1 < m < 4

Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a

 0): Thì hệ số góc tiếp tuyến điểm uốn đồ thị lớn a < nhỏ a > 0, so với hệ số góc tiếp tuyến điểm khác

(15)

ĐS: a =

1

4  b 

Bài 5: Cho hàm số y x 3 3mx2 9x 1 (1) Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x +

VẤN ĐỀ 4

TRỤC ĐỐI XỨNG – TÂM ĐỐI XỨNG – CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG DẠNG 1: Đồ thị (cặp điểm) nhận Ox, Oy, O: Làm Trục - Tâm đối xứng A Phương pháp:

+ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng  f(x) = f(-x) (Hàm số chẵn x)

+ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng + Đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng  f(x) = - f(x)

(Hàm số chẵn y) B Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho (C): y = 2x3 + 3mx2 - 3m + 1

Tìm m để (C) có điểm đối xứng qua gốc O ĐS: m < m>1/3

Bài 2: Cho (C):

2 2

x 2m x m

y

x 1

 





Tìm m để (C) có điểm đối xứng qua gốc O

ĐS:

2 1; |m| >

2

m

Bài 3: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + (m2 + 2m - 3)x + 4 (C m)

Tìm m để (Cm) có điểm cực đại điểm cực tiểu hai phía trục tung (ĐS: - < m < 1)

(16)

Bài 4: Tìm hai điểm phân biệt (Cm): y = x3 – 3x2 - (m-2)x + m + đối xứng qua trục tung cho MN =

DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM

Cho (C): y = f(x)

2) Chứng tỏ (C) nhận I(x0; y0) làm tâm đối xứng (1)

1) Chứng tỏ (C) có tâm đối xứng (2) A Phương pháp:

- Đổi trục tọa độ

0

x X x y Y y

  



 

 , ta phương trình Y = g(X) + Nếu Y = g(X) hàm lẻ (C) nhận I(x0; y0) làm tâm đối xứng  (1) + Buộc Y = g(X) hàm số lẻ hay ta tính x0, y0  (2) B Bài tập tự luyện:

Bài 1: Chứng tỏ (H):

2

2x 5x 4

y

x 1

 



 có tâm đối xứng giao điểm đường tiệm cận (ĐS: I(1, -1))

Bài 2: Chứng tỏ (H):

2x 5 y

x 2

 

 có tâm đối xứng giao điểm đường tiệm cận (ĐS: I(-2, 2))

Bài 3: Cho (Cm):

3

2

x

y 3mx 2

m

  

Tìm m để (Cm) nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng (ĐS: m = 1)

DẠNG 3: ĐỐI XỨNG TRỤC

Cho (C): y = f(x)

1) Chứng tỏ (C) nhận (d): x = x0 làm trục đối xứng (1’) 2) Chứng tỏ (C) có trục đối xứng có phương Oy (2’) A Phương pháp: - Bài toán chưa cho x0, y0 chưa cho trước

+ Ta đổi trục tọa độ

0

x X x y Y

  

 

(17)

+ Nếu Y = g(X) hàm chẵn (C) nhận (d): x = x0 làm trục đối xứng  (1’)

+ Buộc Y = g(X) hàm chẵn ta tính x0  (2’) B Bài tập tự luyện:

Bài 1: Chứng tỏ (C): y = x4 – 4x3 + 4x2 nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng

4

y x 4x mx

1) Với m = 4, Chứng tỏ (C4) có trục đối xứng (ĐS: x = -1) 2) Tìm giá trị m để (Cm) có trục đối xứng // Oy

ĐS : m = 4, x = -1

Bài 3: Cho hàm số y = x4 + 4ax3 – 2x2 – 12ax (C a) Tìm a để (Ca) có trục đối xứng song song với Oy ĐS : a = 0, x = ; a = 1, x = 1

VẤN ĐỀ 5

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (XEM CHUYÊN ĐỀ: BĐT – GTLN  GTNN)

VẤN ĐỀ 6

SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH A Phương pháp:

 Cho hai đường: '

(C) : y f (x) (C ) : y g(x)

 



 

 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C’) là: f(x) = g(x) (1)  Nhận xét:

(18)

(C’) Khi tung độ điểm chung y0 = f(x0) hay y0 = g(x0)

 Biện luận:

 (1) có n nghiệm đơn  (C) (C’) cắt n điểm  (1) có nghiệm bội k   (C) (C’) tiếp xúc  (1) vô nghiệm  (C) (C’) khơng có điểm chung  CHÚ Ý:

 Điều kiện tiếp xúc:

(C) tiếp xúc (C’)

 Hệ

' '

f (x) g(x) f (x) g (x)

 





 có nghiệm

 Tìm tọa độ giao điểm y = f(x) trục tung (Oy): Cho x =  y

 Tìm tọa độ giao điểm y = f(x) trục hoành (Ox): Cho y =  x

 Với (Cm): y = f(x, m), ta biện luận số điểm chung (Cm) với trục hoành nhờ vào dạng (Cm) vị trí (Cm) hệ trục

 Đặc biệt ý đồ thị hàm số bậc ba giao với Ox: Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C)

(C) cắt Ox điểm phân biệt 

'

f (x)

max

>

y .y 0

  

 

x y

0

y

0

(19)

(C) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dương  ' f (x) max max >

y .y 0

x 0, x 0

ad 0            

(C) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ âm 

'

f (x)

max

>

y .y 0

x 0, x 0

ad 0            

(C) cắt trục hoành điểm (sẽ có tiếp điểm) 

'

f (x)

max

>

y .y 0

  

 

(C) cắt trục hoành điểm 

' ' f (x) f (x) max 0 >

y .y 0

           

 Dạng đồ thị hàm trùng phương giao với Ox: Bài giảng

 Chú ý tốn “tìm tham số m để phương trình có n nghiệm”

Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) dùng lý luận sau đây:

 Phương trình (1) có nghiệm m thuộc miền giá trị hàm số f(x)

 Số nghiệm phương trình số điểm chung đồ thị hàm f(x) với đường thẳng (d): y = g(m)

B Bài tập tự luyện:

Bài 1: Xét tương giao hai đường:

(C): y = x3 + 9x và (C’): y = 6x2 + 4

Bài 2: Cho (C): y =

2 1

x x



 đường thẳng (d): y = -2x + m + 1

(20)

(C): y = x3 - 6x2 + 9x - (C’): y = mx – 2m – 4 Bài 4: Tìm m để (Cm) tiếp xúc với hoành, biết:

a) (Cm): y = x3 - mx + m –

b) (Cm): y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx – c) (Cm): y = 2x3 + 3mx2 - 2m +

Bài 5: Cho (Cm): y = 2x3 – 3(m + 2)x2 + 6(m + 1)x – 3m + Tìm m để (Cm) cắt trục hoành điểm khác

3

2

x m

y mx (m 1)x

3 3

    

Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ dương Bài 7: Cho (Cm): y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m +1

Định m để (Cm) cắt trục hoành điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng

Bài 8: Cho (C):

2

x x 1

y

x 1

 



 (P): y = x2 + a Tìm a để (C) tiếp xúc với (P)

Bài 9: Cho đường (C):

2

x 2x 2

y

x 1

 





(Δ1): y = - x + m (Δ2): y = x +

Tìm m để (Δ1)cắt (C) hai điểm A B đối xứng qua (Δ2) Bài 10: Chứng minh rằng, đồ thị hàm số: y = x3 + ax2 + bx + c

cắt trục hồnh điểm cách điểm uốn nằm trục hoành Bài 11: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x – (C) Tìm m để (C) cắt trục hồnh điểm phân biệt x1, x2, x3 cho 2x2 = x1 + x3 Tìm nghiệm

Bài 12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: 4x3 - 3x + m = 0 ĐS: -1< m < Bài 13: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x + m = m √x2+1

(21)

a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để PT có nghiệm

Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + = m x2 1 Bài 16: Cho phương trình: √x2+x+1−√x2− x+1=m

a) Giải phương trình với m = - 12 b) Tìm m để PT có nghiệm

Bài 17: Tìm m để PT sau có nghiệm thực: 3 √x −1+m√x+1=2√4 x2−1

(Đại học Khối A – 2007) Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: √x4

+4x+m+√4 x4+4x+m=6

Bài 19: Tìm m để PT sau có nghiệm: m(

√1+x2−√1− x2+2¿=2√1− x4+√1+x2−√1− x2 (ĐH K B – 2004) Bài 20: CMR với ∀ m > 0: PT sau có nghiệm thực phân biệt:

x2 + 2x - = m x.( 2) (ĐH K

B – 2007) Bài 21: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt:

√x2+mx+2=2x+1 (ĐH K B – 2006)

Bài 22: Tìm m để phương trình

x x x mx

x



    

có nghiệm

GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH CT TỪ NĂM 2002 – 2009 (Với m tham số)

Bài 1: Cho hàm số: y = – x3 + 3mx2 +3(1 - m2)x + m3 - m2 (C m) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

2) Tìm k để phương trình: – x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = có nghiệm phân biệt 3) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị (C)

(ĐH KA – 2002) Bài 2: Cho hàm số: y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10

(22)

2) Tìm m để hàm số có điểm cực trị (ĐH KB – 2002) Bài 3: Cho hàm số:

2

(2m 1)x m y

x 1

 



 (Cm) (ĐH KD – 2002)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = -1

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C-1) hai trục tọa độ 3) Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (d): y = x

Bài 4: Cho hàm số: y = x3 – 3x2 + m (C

m) (ĐH KB – 2003)

1)Tìm m để đồ thị (C) có điểm phân biết đối xứng qua gốc tọa độ 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

Bài 5: Cho hàm số:

2

mx x m

y

x 1

  

 (Cm) (ĐH KA – 2003)

2) Tìm m để (C) cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hồnh độ dương

2

x 2x 4

y

x 2

 



 (C) (ĐH KD – 2003)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

2) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + – 2m cắt (C) điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số: y =

1 3x

3 - 2x2 + 3x (C) (ĐH KB – 2004)

2) Viết phương trình tiếp tuyến Δ (C) điểm uốn chứng minh Δ tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ

Bài 8: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 9x + (C

m) (ĐH KD – 2004)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để điểm uốn (Cm) thuộc đường thẳng (d): y = x +

2

x 3x 3

y

2(x 1)

  



 (C) (ĐH KA – 2004)

2) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) hai điểm A, B cho AB = Bài 10: Cho hàm số: y =

1 3x

3 –

m 2 x2 +

1

3 (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

(23)

(ĐH KD – 2005)

2

x (m 1)x m 1

y

x 1

   



 (Cm)

2) CMR với m, (Cm) có điểm cực đại điểm cực tiểu khoảng cách

2 điểm 20 (ĐH KB – 2005)

1 y mx

x

 

(Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

1 4

2) Tìm m để hàm số có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm)

đến tiệm cận xiên (Cm)

1

2 . (ĐH K A – 2005)

2

x x 1

y

x 2

  

 (C)

2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vng góc với

tiệm cận xiên (C) (ĐH KB – 2006)

Bài 14: Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + (C)

2) Gọi (d) đường thẳng qua A(3; 20) có hệ số góc m

Tìm m để (d) cắt (C) điểm phân biệt (ĐH KD – 2006) Bài 15: Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – (C) (ĐH KA – 2006)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt (tương giao): y = 2|x|3 – 9x2 + 12|x| = m

2x y

x 1



 (C) (ĐH KD – 2007)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A B cho tam giác OAB có diện tích

1 4

(24)

2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị (Cm)

cách gốc tọa độ O (ĐH KB – 2007)

2 2

x 2(m 1)x m 4m

y

x 2

   



 (Cm)

2) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị (Cm) với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O

(ĐH KA – 2007) Bài 19: Cho hàm số:

2 (3 2) 2

3

mx m x

y

x m

  



 (1) (m tham số)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) đồ thị hàm số (1) ứng với m = 1 2) Tìm giá trị m để góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số

(1) 450. (ĐH KA-2008)

Bài 20: Cho hàm số y = 4x3-6x2 +1 (1).

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1),biết tiếp tuyến

qua điểm M (-1;-9) (ĐH KB-2008)

Bài 21: Cho y x  3x2 4 (1)

2) Chứng minh đường thẳng qua I(1;2) với hệ số góc k ( k >3) cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt I,A,B đồng thời I

trung điểm đoạn thẳng AB (ĐH KD-2008)

x 2x



 (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung laµn lượt hai điểm phân biệt A, B tam giác

OAB cân gốc tọa độ O (ĐH KA-2009)

Bài 23: Cho hàm số y 2x – 4x (1)

1) Khảo sát biến thiên, vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Với giá trị m, phương trình

2

x x  m

có nghiệm

(25)

Bài 24: Cho hàm số  

4

y x – 3m x  3m

có đồ thị (Cm), m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m =

2) Tìm m để đường thẳng y1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt

có hồnh độ nhỏ (ĐH KD-2009)

GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH & CĐ KHÁC Bài 25: Cho hàm số: y = mx3 – (m – 1)x2 – (2 + m)x + m – 1 (C

m)

1) Tìm đường thẳng y = điểm từ kẻ tiếp tuyến đến (C1)

2) Tìm điểm cố định mà (Cm) ln qua (ĐH QG TP HCM KD) Bài 26: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 3(m2 - 1)x – m3 (C

m)

Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt, có hai điểm có

hồnh độ âm (ĐH QG TP HCM KA)

2x y

x 1



 (C) (ĐH QG TP HCM KD)

1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số

2) Từ (C) suy đồ thị (C1) hàm số:

2 | x | y

| x | 1 



3) Dùng (C1) để biện luận theo m số nghiệm phương trình: (m – 2).|x| - m = đoạn [-1, 2]

Bài 28: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 (C

m) (CĐ H.Q)

Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0, 1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với

2

x x 4

y

x 1

 



 (C) (TT BD YT TP HCM)

Dùng (C) để biện luận theo m, số nghiệm t[0,π] phương trình: cos2t – (1 + m)cost + + m = 0

Bài 30: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m (C

m) (CĐ SP TPHCM) 1) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x =

2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến qua A(0, 6) Bài 31: Cho hàm số: y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx - 8 (C

(26)

Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành (ĐH AN NINH P.H.TPHCM)

Bài 32: Vẽ đồ thị hàm số:

2

x x 1

y

| x 1|

  

 (C) (ĐH CKN K.A+B)

Bài 33: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = x4 – 6x2 + (C) (ĐH ĐN KA)

2) Cho điểm M (C) có hồnh độ xm = a Tìm giá trị a để tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm khác M

Bài 34: 1) Vẽ đồ thị hàm số:

2

(x 1) y

x 2

 

 (ĐH KT QD HN)

2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình:

2

(x 1) | x |



 = m

Bài 35: Cho hàm số: y = x + +

4

x 1 (C) (ĐH TS NHA TRANG)

Tìm điểm (C) có tọa độ số nguyên

Bài 36: Cho hàm số: y = x3 – 3x (HV NH TP.HCM) Tìm đường thẳng y = điểm từ kẻ tiếp tuyến đến (C)

2

x (m 1)x m 4m 2

y

x 1

    



 (ĐH QG HN)

Tìm giá trị m để hàm số có cực trị Tìm m để ycđ.yct đạt GTNN

Bài 38: Cho hàm số: y =

2

x

x 1 (C) (ĐH HÀNG HẢI)

Tìm điểm A, B (C) đối xứng qua đường thẳng: y = x -

Bài 39: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + (m2 + 2m - 3)x + 4 (C m)

Tìm m để (Cm) có điểm cực đại điểm cực tiểu hai phía trục tung (ĐH A.N HN K.D) Bài 40: Cho hàm số:

2

x mx m 8

y

x 1

  



 (Cm)

Tìm m để (Cm) có điểm cực đại điểm cực tiểu hai phía đường thẳng: 9x

– 7y – = (ĐH A.N HN K.A)

2

x mx m

y

x m

  



(27)

1) Tìm m để (Cm) có cực đại cực tiểu

2) Với m tìm câu 1, viết phương trình đường thẳng nối điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (Cm)

4

2

x 9

y 2x

4 4

  

(C) (ĐH NN HN) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm với Ox Bài 43: Cho hàm số:

x 2 y

x 2

 

 (C) (ĐH NGOẠI THƯƠNG TP.HCM)

1) Tìm (C) điểm cách hai trục tọa độ

2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(-6, 5) 3) Tìm hai điểm đò

Bài 44: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 2x2 = m4 – 2m2

(ĐH MỎ - ĐỊA CHẤT) Bài 45: Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m– 2)x - 1 (C

m)

1) Viết phương trình tiếp tuyến (C2) biết chúng qua A(0, -1)

2) Tìm m để (Cm) có cực trị đường thẳng nối điểm cực trị vng góc với

đường thẳng y = x (CĐ KT ĐN)

Bài 46: Cho hàm số: y = f(x) = x3 + mx + (C

m)(ĐH BK HA NỘI) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành điểm

Bài 47: Cho (Hm):

(m 1)x m y

x m

 





1) Tìm đồ thị (H1) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ

2) Tìm (H1) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khách mà có AB ngắn

(Bổ sung)

Bài 48: Cho (C):

2 5

2 x x y

x

  



1) Tìm (H1) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khách mà có AB ngắn

2) Gọi M điểm thuộc đồ thị I giao tiệm cận (H) Nếu tiếp tuyến M cắt tiệm cận P Q Chứng minh rằng:

a) M trung điểm PQ

b) Tam giác AIB có diện tích không đổi c) IQ.IP không đổi

(28)

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	885,62 KB