TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 6 : Biến đổi tương đương dưa về dạng cơ bản Giải các phương trình lượng giác sau :.[r]

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Cung liên kết

a) Cung đối: cos x cos ; sinx  x  sin ; x b) Cung bù: cos  x  cos ; sinx   x sin ; x c) Cung phụ:

cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan

2 x x x x x x x x

   

     

       

     

     

d) Cung  : cos x  cos ; sinx  x  sin ; x e) Cung

 :

cos sin ; sin cos ;

2 x x x x

 

   

   

   

   

2 Công thức lượng giác

a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi

 

cos cos cos sin sin

sin( ) sin cos cos sin tan tan

tan( )

1 tan tan cot a cot cot( )

cot a cot

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b b a b b               2 2 sin 2sin cos

cos2 cos sin

2cos 2sin

2 tan tan

1 tan

a a a

a a a

a a a a a         

c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc

3

3

sin 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

a a a

a a a

 

 

2

3

1 cos2 cos

sin ; cos

2

3sin sin 3cos cos3

sin ; cos

4

a a

a a

a a a a

a a

 

 

 

 

e) Cơng thức tích thành tổng f) Cơng thức tổng thành tích

 

 

 

1

cos cos cos( ) cos( )

2

sin sin cos( ) cos( )

2

sin cos sin( ) sin( )

2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

   



   

   

cos cos 2cos cos

2

cos cos 2sin sin

2

sin sin 2sin cos

2

sin sin 2cos sin

2

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b                

3 Hằng đẳng thức thường dùng

 

2 4 6

2

2

2

1

sin cos sin cos sin 2a sin cos sin

2

1

1 tan 1+cot sin sin cos

cos sin

a a a a a a a

a a a a a

a a

       

4 Phương trình lượng giác bản

2

sin ( ) ( ) arcsin ; sin sin

2

( ) arcsin

VN m

x k

f x m f x m k x

x k

m

f x m k

 

 

  

 

 

  



          

 

   

 

2

cos ( ) ( ) arccos ; cos cos

2

( ) arccos

VN m

x k

f x m f x m k x

x k

m

f x m k

 

 

 



 

  



         

 

  

 

tan ( )f x  m f x( ) arctan m k ; tanxtan  x  k cot ( )f x  m f x( ) arccot m k ; cotxcot  x  k

5 Phương trình thường gặp a Phương trình bậc 2

2 2

2 2

2

2

.sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( )

.cos ( ) sin ( ) ( ) sin ( )

cos2 ( ) cos ( ) cos2 ( ) 2cos ( )

cos2 ( ) sin ( ) cos2 ( ) 2sin ( )

.t

a f x b f x c Thay f x f x

a f x b f x c Thay f x f x

a f x b f x c Thay f x f x

a f x b f x c Thay f x f x

a

     

     

     

     

cos

1

an ( ) cot ( ) cot ( )

tan ( )

f x b f x c Thay f x

f x

    

b Phương trình dạng asin ( )f x bcos ( )f x c  Điều kiện có nghiệm: a2 b2 c2

 Chia vế cho a2 b2 , dùng công thức cộng chuyển dạng theo sin cos. c Phương trình đẳng cấp

 Dạng a.sin2 x b sin cosx x c cos2x d

 Xét cosx = có thỏa mãn phương trình hay khơng.

 Xét cosx 0, chia vế cho cos2x để phương trình bậc theo tanx.  Có thể thay xét cosx, ta thay việc xét sinx.

 Dạng a.sin3x b sin2 xcosx c sin cosx 2x d cos3x0  Xét cosx = có thỏa mãn phương trình hay khơng.

 Xét cosx 0, chia vế cho cos3x để phương trình bậc theo tanx.  Có thể thay xét cosx, ta thay việc xét sinx.

d Phương trình đối xứng loại 1: a(sinxcos )x b.sin cosx x c  Đặt t = sinx cosx, điều kiện t 

 Thay vào phương trình ta phương trình bậc theo t. e Phương trình đối xứng loại : tan cot ) (tan cot 

n n

a x x b x x 

 Đặt t = tanx - cotx t R ; Đặt t = tanx + cotx t 2.  Chuyển phương trình theo ẩn t.

f Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát

 Phương pháp đặt ẩn phụ.  Phương pháp đối lập.

 Phương pháp tổng bình phương.

B BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Dạng : Phương trình lượng giác bản. Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1

cos sin

3

x  x

 

  

 

  2 cos x cos x

 

   

   

   

    3 tan tanx x1

4 sin2 xsin tan2 x 2x3 5 5cos2xsin2x4 3

1 3sin cos

cos

x x

x

 

7 cos 24 xsin3x sin 24 x 8

tan tan

4

x  x

 

  

 

  9

3

sin cos cos sin

4

x x  x x

10 sin4xcos4xcos 4x 11 cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) 12 sin + cos =

13 sin 52 xcos 32 x1 14

2 cos cos cos4

16

x x x

15 sinsinx 1 16

2

cos sin

1 sin cos

x x

x  x

  17

1

cosx sin 2x sin 4x 18 4sin 23 x 6sin2x 3

 

Bài : Cho phương trình tancosx cotsinx

1. Tìm điều kiện xác định phương trình.

2. Tìm tất nghiệm thuộc đoạn 3 ;  phương trình.

Bài : Cho phương trình sin6x + cos6x = m. 1 Xác định m để phương trình có nghiệm.

2 Xác định m để phương trình có nghiệm khoảng 0;

Bài 4: Giải biện luận phương trình 2m cos2 x2 sinm 2x3m 0 Dạng : Phương trình bậc nhất, bậc hai. Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1

2

2cos 5sin

3

x  x 

   

    

   

    2

5

cos2 4cos

2

x x 

3 sin4xcos4xcos 2x 4

4

cos sin sin

2

x x x

5  

2

2 cos 3x 2 cos3x 1

6

4

cos sin 2sin

2

x x

x

  

7  

6

4 sin cos cos

2

x x    x

  8 2 tanx3cotx4

9

4

cos sin

4

x x

10

2

6

cos sin

4cot

sin cos

x x

x

x x

 



11

1 tan cot 2sin

sin

x x x

x

  

12

8 17

sin cos cos

16

13 4cosx cos4x 1 2cos2x 14 4sin5xcosx 4cos sin5x xcos 42 x1

15 cos 4xcos 32 x cos2x1 16 sin 3xcos 2x  1 2sin cos 2x x

Bài : Cho phương trình sin 3x m cos2x (m1)sinx m 0

1. Giải phương trình m = 2.

2. Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0;2

Dạng : Phương trình bậc theo sinx, cosx. Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1 sinx cosx 0 2 3sinx 4sin 3x cos3x 3

4

sin cos

4

x x  

  4  

4

2 cos xsin x  3sin 4x2

5 2sin 2x sin 4x0 6 3sin 2x2cos2x3

7

9 3cos 3sin

2

x x

8 4cos3x 3sin 3x 5

9 sin cosx x sin2xcos 2x 10 tanx 3cotx4 sin x cosx

11 2sin 3x cos7xsin 7x0 12 cos5x sin 3x cos3 x sin 5x 13 2sinx cosx 1 cos x sin2 x 14 1 cos xsin 3xcos3x sin 2x sinx

15 3sinx 4sin 3x cos3x 16

3sin cos 2cos

3

x x x  

 

Bài : Cho phương trình sinm x2m cos x 3m1

1. Giải phương trình m = 1.

2. Xác định m để phương trình có nghiệm.

Bài : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 1

cos sin

sin 2cos

x x

y

x x

 



  2

cos3 sin cos3

x x

y

x

 





3

1 3sin 2cos

2 sin cos

x x

y

x x

 



  4

2 sin cos cos

sin cos

x x x

y

x x

 



Dạng : Phương trình đẳng cấp Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1 2sin2 xsin cosx x 3cos2x0 2 2sin 2x 3cos2x5sin cosx x 0

3 sin2xsin 2x 2cos2 x0,5 4 sin 2x 2sin2x2cos2x

5 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1 6

2

4 3

2 2

os x sin sin x

c  x 

7  

2

3sin x4sin 2x cos x0

9

3

3 cos 5sin 7sin cos

3

x x x x

10

3 5sin cos 6sin 2cos

2cos2

x x

x x

x

 

11

2

sin sin

4

x  x

 

 

 

  12 3 cosx sinx cos3x3 sin sin 2x x

13 3sin2x 2sin 2xcos2x 0 14

3

12 sin sin

4

x  x

 

 

 

 

Bài : Cho phương trình msin2x m sin 2 xm cos 2x0

1. Xác định m để phương trình có nghiệm.

2. Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0,

4 

 

 

 .

Dạng : Phương trình đối xứng loại 1 Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1 2 sin xcosx sin 2x 1 2 sin cosx x6 sin x cosx 1 3

sin 2 sin

4

x x  

  4 tanx 2 sinx1

5 sin3xcos3x 1 6 1 sin x 1 cos x 2

7

2sin tan cot

 

  

 

x  x x

p

8  

3

sinxcosx sin cosx x 0

9  

4

sinxcosx  3sin 2x 0 10 cos3x sin3x cos 2x

 

11 sin3xcos3x2 sin xcosx  3sin 2x0 12  

3

sinx cosx  1 sin cosx x

13

1

sin cos tan cot

sin cos

x x x x

x x

      

14 1 sin 2 x sinxcosx cos 2x Bài : Cho phương trình cos3x sin3x m Xác định m để phương trình có nghiệm.

Dạng : Phương trình đối xứng loại 2 Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1    

2

3 tanxcotx  tan xcot x  0

2 tan7xcot7xtanxcotx

3 tanxtan2 xtan3xcotxcot2xcot3x 6 4    

4 2 2

9 tanxcotx 48 tan xcot x 96

5 3 tan x cotx tan2xcot2 x6 6    

4 2

3 tanxcotx  tan xcot x 21

Bài : Cho phương trình    

2 2

tan xcot x2 m2 tanxcotx  m m Xác định m để phương trình có nghiệm.

1

3 3

sin cos sin cos

8

x x x x

2 cos2 xcos 22 xcos 32 xcos 42 x2

3  

3 5

sin xcos x2 ins xcos x

4  

8 10 10

sin cos sin cos cos2

4

x x x x  x

5

sin cot cot

x x

x  6 6 tanx5cot 3xtan 2x

Dạng : Biến đổi biến đổi tích 0

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0 3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0

5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/

3

2 sin2x+ 2cos2x+ 6cosx=0

7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/

sin sin

3

x x



9/ 2cos2x-8cosx+7=

1

cosx 10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+

5

4cos2x

11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/

2sin3x-1

sinx=2cos3x+

1

cosx

15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0 16/cos2x-2cos3x+sinx=0

17/

tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx-1

cosx)=0 18/sin2x=1+ 2cosx+cos2x

Dạng : Biến đổi biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1 sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x sin2x + sin22x = sin23x + sin24x

3. sin2x + sin22x + sin23x + sin24x =

2 2

cos cos cos

2

x x x

sin5x.cos6x+ sinx = sin7x.cos4x

1

sin sin

3 x x

 

   

  

   

    7.

1

sin cos

4 x 12 x

 

   

  

   

    cosx cos4x - cos5x=0

9 sin6x.sin2x = sin5x.sin3x 10 + sinx.sin3x = cos 2x

Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2

3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0 4/ cos3x+ sin7x=2sin2(

5

4

x

 

)-2cos2

9

x

5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x 6/sin24x-cos26x=sin(10,5 10x)

7/ cos4x-5sin4x=1 8/4sin3x-1=3- 3cos3x

9/ sin22x+ sin24x= sin26x 10/ sin2x= cos22x+ cos23x

Giải phương trình lượng giác sau :

1 tan 2x 2tanxsin 2x0 2.

2

cosx cos x cosx cos x 3 3

5

3sin cos

3sin cos

x x

x x

  

  4.

2

cos x2 cos x2

Dạng : Phương pháp đối lập Giải phương trình lượng giác sau :

1 sin3xcos4x1 2 sin2010 xcos2010 x1

3cos2x 1 sin 72 x 4 sin3 cos4x x1

5 sin3xcos3x 2 sin 22 x 6 cos2 cos5x x1

Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương Giải phương trình lượng giác sau :

1  

3

cos2x cos6x4 3sinx 4sin x1 0

2 sin 2x 2sin2x 4cosx 6

2sin 2xcos2x2 sinx 0 4 cos2x 3sin 2x4sin2x 2sinx 4 3cosx

C BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài cos2 x sin 2x 1 sin2x

Bài cos3x 4sin3x 3cos sinx xsinx0 Bài Giải phương trình: sin 2x2 tanx3

3 sin sin 2x xsin 3x6cos x

Bài

2

cos

cot sin sin

1 tan

x

x x x

x

   



Bài sin 3xcos3x2cosx0

Bài sinx 4sin3xcosx0

Bài 7tan sinx 2x 2sin2x3(cos 2xsin cos )x x Bài cos3x 4cos 2x3cosx 0

Bài (2cosx1)(2sinxcos ) sin 2x  x sinx Bài 10 cosxcos 2xcos3xcos 4x0

Bài 11 sin2xsin 32 xcos 22 xcos 42 x Bài 12 sin3xcos3xcos3xsin 3xsin 43 x Bài 13 4sin3x3cos3x 3sinx sin2xcosx0 Bài 14 Giải phương trình:

2 (2sinx1)(3cos 4x2sinx 4) 4cos x3

Bài 15 sin6xcos6 x2(sin8xcos )8 x

Bài 16

1 cos cos cos cos8

16

x x x x

Bài 17

8cos cos3

3

x  x

 

 

 

 

Bài 18 Giải phương trình: (2sinx1)(2sin 2x1) 4cos  x

Bài 19 Giải phương trình:

cos 2x cos8xcos 6x1

Bài 20 Giải phương trình:

sin 4x 4sinx4cosx cos 4x1

Bài 21 Giải phương trình:

3sinx2cosx 2 3tanx

Bài 22 Giải phương trình:

2cos xcos 2xsinx0

Bài 23 Giải phương trình:

2(tanx sin ) 3(cotx  x cos ) 0x   Bài 24 Giải phương trình:

4cosx 2cos 2x cos 4x1

Bài 25 Giải phương trình:

sin sin sin

3

cos cos cos3

x x x

x x x

 



Bài 26 Giải phương trình:

sin sin cos cos sin

6

x x   x x x

 

Bài 27 Giải phương trình: 2

1 sin sin cos sin os

2

x x x

x x c  

     

 

Bài 28 Giải phương trình:

2cos 2x sin 2x2(sinxcos )x

Bài 29 Giải phương trình:

1

cos cos cos3

2

x x x

Bài 30 Giải phương trình:

sin sin

4

x  x

 

 

 

 

Bài 31 Giải phương trình:

1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

Bài 32 Giải phương trình:

2 3

tanxtan xtan x cotx cot x cot x   6

Bài 33 Giải phương trình: 1 sin 3 xsinxcos 2x Bài 34 Giải phương trình:

4

sin cos cot cot

8

x x x    x

   

Bài 35 Giải phương trình:

2

cos 2x2(sinxcos )x  3sin 2x 0 Bài 36 Giải phương trình:

4(sin 3x cos ) 5(sinx  x1)

Bài 37 Giải phương trình: sinx 4sin3xcosx0 Bài 38 Giải phương trình:

3

cos10x 1 cos8x6cos3 cosx xcosx8cos cos 3x x

Bài 39 Giải phương trình:

4

sin cos

4 x x

 

Bài 40 Giải phương trình:

3

cos cos3 sin sin

x x x x

Bài 41 Giải phương trình:

3 3 (sinxsin 2xsin )x sin xsin 2xsin 3x

Bài 42 Giải phương trình:

3

8sin

cos sin

x

x x

 

D GIỚI THIỆU ĐỀ THI TUYỂN SINH CÁC NĂM

A02:T×m no thc (0;2 ) cđa PT:

 

 

 



  



cosx sin3x

sinx cos2x

1 2sin2x

B02: GPT: sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x.2    D02: T×m no thuéc [0;14] cña PT:

cos3 4cos 3cosx x x A03: Giải phơng trình:

cos 2x

cot x sin x sin 2x tan x

 

B03: Giải phơng trình:

2

cot x tan x sin 2x

sin 2x

  

D03: Giải phơng trình

x x

2 2

sin tan x cos

2



 

  

 

 

B04: Giải phơng trình

2 sin x 2 3 sin x tan x.

D04: Giải phơng trình

2cos x 2sin x cos x sin 2x sin x.     A-05: GPT: cos23x.cos2x-cos2x = 0

A-06: GPT:

 6 

2 sin cos sin cos 2sin

x x x x

x

 

 

B-06: GPT:

cot sin tan tan

2 x

x x  x 

 

2

A07: GPT: (1 sin ) cos (1 cos ) sin sin 2

B07: GPT: 2sin sin sin

D07: GPT: sin cos cos

2

x x x x x

x x x

x x

x

    

  

 

  

 

 

A08: GPT

1

4sin

sin

sin

2

x x

x

 

  



 

 

   

 

 

B08: GPT

3 2

sin x cos xsin cosx x sin xcos x

D08: GPT

2sin (1 cos ) sin 2x  x  x  1 cos x A09: GPT

(1 2sin ) cos

3 (1 2sin )(1 s inx)

x x

x





  .

B09: GPT

3 sinx cos sin 2 x x os3c x2( os4c xsin ).x

D09: GPT

3 os5c x 2sin cos 2x x sinx 0.

A10: GPT

(1 sinx os2 )sin

1

cos

1 t anx

c x x

x



 

    

 

 

B10: GPT

(sin 2x c os2 )cosx x2cos 2x sinx 0.

D10: GPT