Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn cũng như cách giải một vài dạn[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRUNG TÂM GDTX&DN TAM ĐẢO
BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CẤP: CƠ SỞ ; TỈNH:
Tên sáng kiến kinh nghiệm: khắc phục số khiếm khuyết giải phương trình vơ tỉ
Mơn/nhóm mơn: Tốn Tổ mơn: KHTN Mã môn: 52
Người thực hiện: Hà Văn Chung
Điện thoại: 0974267185 Email: info@123doc.org
Vĩnh Phúc, năm 2016
(2)MỤC LỤC
Nội dung Trang
PHẦN I MỞ ĐẦU
I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
VI CẤU TRÚC CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHẦN II NỘI DUNG I.CƠ SỞ LÝ LUẬN
5
II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
III CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC
6 Sai lầm giải phương trình vơ tỷ biến đổi tương
đương
6 Sai lầm giải tốn có chứa tham số phương pháp đặt ẩn phụ
18
V KẾT QUẢ THỰ HIỆN: 24
PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN
24
II KIẾN NGHỊ 25
TÀI LIỆU THAM KHẢO 26
(3)I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Mơn Tốn có vị trí quan trọng đặc biệt mơn học nhà trường phổ thơng, sở nhiều mơn học khác
Phương trình khái niệm quan trọng tốn học toán học nghiên cứu mối quan hệ số lượng hình dạng khơng gian giới khách quan Quan hệ nhau, lớn hơn, nhỏ hai đại lượng quan hệ số lượng Các nhà tốn học cổ điển như: Viet, Điơphăng…đã phát triển lý thuyết phương trình thành lý thuyết đại số số học cổ điển Phương trình trở thành sở nội mơn tốn Các ngành khoa học khác như: Vật lý, Hóa học, Kỹ thuật tính tốn…khơng thể thiếu kiến thức phương trình (ví dụ như: cân phương trình hóa học, tốn vật lý chuyển hóa lượng…) Khi giải vấn đề đời sống thực tế thường dẫn đến giải tốn phương trình
Thơng qua giải phương trình củng cố đào sâu kiến thức tập hợp, logic toán, phép biến đổi đồng nhất, hàm số…Từ rèn luyện tư khả sáng tạo cho học sinh
Trong thực tế dạy học, phương trình đưa vào phổ thông từ lớp cách ẩn tàng, lúc em chưa học, chưa biết khái niệm phương trình Lên lớp phương trình đưa vào cách tường minh Phương trình vơ tỷ đưa vào chương trình lớp
Trong chương trình Tốn THPT, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu cũng cách giải vài dạng toán phần Tuy nhiên thực tế tốn giải phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng Đặc biệt, đề thi Đại học - Cao đẳng - THCN em gặp lớp tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ mà chỉ có số em biết phương pháp giải trình bày còn lủng củng, chưa gọn gàng sáng sủa, chí còn mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày
(4)căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có kĩ biến đổi tốn học nhanh nhẹn thục Muốn vậy, tiết luyện tập giáo viên cần tổng kết lại cách giải dạng phương trình thường gặp, nhắc nhở va khắc phục sai lầm thường mắc phải học sinh, cũng bổ sung thêm dạng tập nâng cao, đặc biệt rèn luyện cho học sinh kĩ giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ
Vì tất lý tơi nghiên cứu xin trao đổi với đồng nghiệp sáng kiến kinh nghiệm: Khắc phục khiếm khuyết giải phương trình vơ tỉ Để q đồng nghiệp tham khảo đóng góp ý kiến cho tơi để bước hồn thiện
II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Học sinh hiểu biết rõ sai lầm để không mắc phải từ làm thi thành tích cao
III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tìm tòi phát vấn đề yêu cầu học sinh cần đạt với thực tế học sinh làm
- Tìm giả thiết nghiên cứu.
- Khắc phục sai lầm học sinh giải phương trình vơ tỉ - Đúc rút kết đạt được.
IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đề tài thực Trung tâm giáo dục thường xuyên Tam Đảo hai năm 2013 – 2014 2014 - 2015
Cụ thể: Năm 2013 – 2014 đề tài thực lớp 10A Năm 2014 - 2015 đề tài thực lớp 12A
V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp:
- Nghiên cứu luận
- Điều tra quan sát thực tiễn - Thực nghiệm sư phạm
VI CẤU TRÚC CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Sáng kiến kinh nghiệm gồm ba phần:
(5)Phần II: Nội dung gồm sở lý luận, thực trạng vấn đề Khắc phục sai lầm học sinh giải phương trình vơ tỉ
Phần III: Kết luân kiến nghị
PHẦN II NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN
Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT, BTTHPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy, việc giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt kiến thức thuộc mơn Toán học việc làm cần thiết
Muốn học tốt mơn Tốn, em phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào từng tốn cụ thể Điều thể việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, ttrong trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học nghiên cứu mơn Tốn cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào tập, biết phân dạng tập giải tập với nhiều cách khác
II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ.
Bài tốn giải phương trình bất phương trình vơ tỉ học sinh chỉ học chương trình Đại số 10 Tuy nhiên, thời lượng dành cho phần này ít, học sinh khơng tiếp cận nhiều dạng toán khác Trong SGK Đại số lớp 10 chỉ đưa dạng bản: A B Tuy nhiên, thực tế phương trình và
bất phương trình vô ti đa dạng phong phú Trong q trình học Tốn lớp 11 12, gặp phải toán đưa phương trình vơ tỉ, đa số học sinh lúng túng, thường giải sai chí khơng biết cách giải Đặc biệt, đề thi Đại học - Cao đẳng em gặp phương trình vơ tỉ nhiều dạng khác không chỉ nằm khuôn khổ dạng trên, đối tượng học sinh đa phần có lực học trung bình yếu kiến thức Vì vậy, tơi nghĩ việc giúp cho em có kĩ tốt, cũng cung cấp thêm phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô ti cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế Một điều quan trọng trình giải phương trình và bất phương trình vô ti, giáo viên cần phải lưu ý cho học sinh sai lầm thường mắc phải phân tích nguyên nhân sai lầm để em hiểu sâu nhằm có giải tốt sau
(6)sinh khối 10 hệ THPT ôn tập cho em học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng tốt nghiệp THPTQG, Cao đẳng Đai học Mục đích đề tài khơng có ý nêu tất phương pháp giải phương trình vơ tỷ mà chủ yếu chỉ sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình vơ tỷ hai phương pháp: Biến đổi tương đương đặt ẩn phụ Các thầy cô học sinh sử dụng tốn đề tài làm toán gốc để đặt giải tập cụ thể Sau ví dụ, tác giả có nhận xét bình luận khắc phục sai lầm giúp học sinh chọn cho phương pháp giải tối ưu nhất, để có lời giải gọn gàng sáng sủa
III CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC
Trong trình giải phương trình sai lầm mà học sinh thường mắc phải sử dụng phép biến đổi không tương đương dẫn tới làm mở rộng thu hẹp miền xác định phương trình dẫn tới miền nghiệm khơng xác làm nghiệm thêm nghiệm Khi giải phương trình vơ tỷ học sinh thường mắc sai lầm sau
1 Sai lầm giải phương trình vơ tỷ biến đổi tương đương a) Sai lầm giải điều kiện xác định
Có tốn giải phương trình vơ tỷ mà lời giải nằm gần hồn tồn việc tìm điều kiện xác định Nghĩa là, tìm điều kiện xác định ta dễ nhìn thấy làm, chí điều kiện xác định chỉ vài giá trị Ta chỉ cần thay giá trị vào phương trình cho có kết tốn Tuy việc tìm điều kiện xác định thường dẫn tới giải bất phương trình tích, dễ gây nhầm lẫn cho học sinh
Ví dụ 1: Giải phương trình
2 1 1 1
x x x (1) Có học sinh giải sau:
ĐK:
2 1 0 ( 1)( 1) 0 1 0
1
1
1
x x x
x
x x
x x
x x
(7)Khi (1) (x1)(x1) x 1 x Do x 1 nên chia hai vế cho x 1 ta có
x1 1 x1
Với x 1 ta có x1 x 1 x1 1 x1 phương trình cho vơ
nghiệm
- Sai lầm do:
+ Thói quen thường gặp học sinh đầu cấp THPT còn ảnh hưởng bởi việc phân tích biểu thức thành nhân tử phân chia trường hợp để xét dấu nhân tử theo cách làm cấp THCS Sở dĩ cấp THCS phải làm em chưa học định lý dấu tam thức bậc hai
+ Sau phân tích biểu thức ban đầu thành nhân tử, cộng với kiến thức biến đổi tương đương còn chưa tốt, em dễ mắc sai lầm sau
0 0 AB A A B
-Biện pháp khắc phục sai lầm trên: + Giáo viên yêu cầu học sinh ghi nhớ:
có nghiã 0 0 A B AB A A B
, tương tự
0 có nghiã 0 0 A B AB A A B .
+ Tuy điều vừa nói mặt kiến thức, còn thực hành giáo viên dạy cho học sinh giải điều kiện bất phương trình bậc hai cách gọn gàng, dễ làm Định lý dấu tam thức bậc hai khơng phân tích tam thức bậc hai thành tích hai nhị thức bậc lời giải sai Giáo viên lưu ý thêm cho học sinh: Sau giải triệt để điều kiện xác định nên dựa vào điều kiện xác định để phân trường hợp nhằm xét dấu biểu thức bậc hai( bậc chẵn ), giúp ta rút gọn vế phương trình, đánh giá vế phương trình…
(8)
2 1 0
1
1
1
x x
x x
x
x
Ta thấy x 1 nghiệm phương trình cho.
(1) (x1)(x1) x 1 x
Nếu x 1 nên chia hai vế cho x 1 ta có
x1 1 x1
Với x 1 ta có x1 x 1 x1 1 x1, phương trình cho vơ
nghiệm trường hợp
Vậy phương trình cho có nghiệm x 1
Tuy vậy, tìm điều kiện cho phương trình vơ tỷ dẫn tới phải giải bất phương trình bậc 3(hoặc bậc cao hơn) điều khơng tránh khỏi phải phân tích biểu thức bên vế trái thành nhân tử Sẽ khơng có vấn đề nhân tử nhị thức bậc với lũy thừa bậc lẻ (thường bậc 1), biểu thức xuất nhân tử nhị thức bậc với số mũ chẵn (thường gặp bậc 2) học sinh lại dễ mắc sai lầm
Ví dụ 2: x33x 2 x 1
Học sinh thường làm sau Điều kiện để thức có nghĩa:
3 3 2 0 3 2 0 ( 1) (2 2) 0
1 1
2
1
x x x x x x
x x x
x x
x x
Vậy không tồn giá trị x để hai thức đồng thời có nghĩa nên phương trình vơ nghiệm
Có thể chỉ với x 1 hai thức có nghĩa x 1 là
nghiệm phương trình Học sinh sai giải bất phương trình
2
(x1) (x2) 0 x 2
(9)+ Học sinh lực học yếu trung bình hay nhầm rằng: A2 0, A R,
vì lẽ nên gặp vế có nhân tử dạng A2
em thường rút gọn cách ngây thơ mà bỏ qua trường hợp A 0 Do có nhân tử là
2
A nằm vế bất phương trình mà ta giải để tìm điều kiện xác định giáo viên cần cho học sinh phân làm hai trường hợp:
0
A A 0 A2 0
, để từ tìm điều kiện xác nhân tử
còn lại
Lời giải đúng:
Điều kiện để thức có nghĩa:
3 3 2 0 3 2 0 ( 1) (2 2) 0
1 1
1
1
1
x x x x x x
x x x
x
x x
x
Thử x 1vào phương trình ta có 2 2 nên x 1 nghiệm nhất.
Ở ví dụ ta thấy việc giải điều kiện xác định cũng gần đồng nghĩa với việc giải bất phương trình Vì dạng kiểu giải điều kiện xác định nghĩa làm toán Tiếp tục xoay quanh vấn đề trên, giáo viên lưu ý thêm cho học sinh: Nếu điều kiện bỏ dấu =, ta bất phương trình: A B 2 0
có khác trước?
Bây học sinh hiểu rằng: Nếu A 0 bất phương trình vơ
nghiệm, A 0 A2 0, bất phương trình trở thành: B 0
b) Sai lầm đặt điều kiện để biến đổi phương trình +Sai lầm giải phương trình dạng f x( )g x( )
Trong giải phương trình f x( )g x( ) học sinh thường biến đổi sau:
2 ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x , đỡ nhầm chút
2 ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x f x g x
f x g x
(10)Sau giải nghiệm học sinh khơng thử lại vào phương trình ban đầu mà khẳng định nghiệm phương trình cho chỉ kiểm tra điều kiện f x ( ) kết luận nghiệm phương trình ban đầu Ví dụ 3: Giải phương trình:
x x2
Học sinh kiến thức yếu thường làm sau:
2
2 2
2
x
x x x x x x
x
Vậy phương trình cho có nghiệm : x 1và x 2.
Một số học sinh khác nhớ rằng: Để thức bậc hai có nghĩa biều thức nằm dấu bậc hai phải khơng âm, em làm sau:
2
2
2
2
2 1 2 x x x x
x x x x
x x x x x
Vậy phương trình cho có nghiệm : x 1và x 2
-Biện pháp khắc phục sai lầm trên
Để khắc phục sai lầm cho học sinh, ta hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp sau
2
2 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) n
n
g x f x g x
f x g x
Giáo viên lưu ý cho học sinh điều kiện f x( )g2n( )x f x( ) 0 nên điều kiện
xác định thỏa mãn Vì giáo viên nhấn mạnh cho học sinh: Khi gặp dạng tốn ta khơng cần tìm điều kiện xác định phương trình mà chỉ cần quan tâm đến điều kiện có nghiệm phương trình(g x ( ) 0)
(11)
2
0
2
2
0
2
2
x x
x x
x x x x
x
x x
x
Vậy phương trình cho có nghiệm :x 2
c) Sai lầm giải phương trình vơ tỷ chứa bậc lẻ.
Các tốn giải phương trình vơ tỷ chứa bậc lẻ chủ yếu gặp dạng bậc
Đối với học sinh yếu, trung bình: Giáo viên lưu ý cho học sinh biểu thức có nghĩa tồn bậc lẻ, nhớ không nhầm lẫn mà buộc điều kiện biểu thức nằm dấu bậc lẻ phải không âm
Có lẽ phương trình chứa bậc lẻ thường gặp thường biến đổi đưa phương trình dạng f x( )3 g x( ) 3 h x( ) (1), gặp phương trình học sinh thường biến đổi sau
(1) f x( )g x( ) 3 f x g x( ) ( )(3 f x( )3 g x( ))h x( )(2)
Sau giải xong phương trình (2) học sinh kết luận nghiệm (2) nghiệm (1)
-Các sai lầm mắc phải:
+ Học sinh ln quan niệm bậc lẻ khơng có điều kiện xác định nhiều phức tạp bậc chẵn, chí điều kiện xác định giá trị x
R
nên thoải mái biến đổi, thay ta phương trình tương đương
với phương trình ban đầu
+ Ở dạng toán sai lầm học sinh coi (1) (2) hai phương trình tương đương thực hai phương trình khơng tương đương ta thay h x( ) f x( )3 g x( )
-Biện pháp khắc phục
(12)Ví dụ 4: Giải phương trình:
x132x133x1 (1)
Lời giải sau:
3
3
(1) x 1 2x 1 (x1)(2x1)( x1 2x1) 3 x1
3
3 2
3 ( 1)(2 1)(3 1)
0
6 (6 7) 7
6
x x x
x
x x x x
x
Thử lại (1) chỉ có x =
7
6 thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = 6.
Rõ ràng quan niệm sai lầm nói dẫn tới lấy thêm nghiệm ngoại lai x =0
d) Sai lầm giải phương trình chứa nhiều bậc hai
Khi giải phương trình chứa nhiều bậc hai phương pháp biến đổi tương đương, tơi nhận thấy rằng: Ở phương trình dạng: f x( ) g x( ) h x( ) , học sinh thường gặp nhầm lẫn, thay dấu + dấu -, tức gặp phương trình dạng
f x( ) g x( ) h x( ) (1), học sinh thường mắc sai lầm
Học sinh thường biến đổi sau
2 ( )
(1) ( )
( ( ) ( )) ( )
f x g x
f x g x h x
(13)duy giải phương trình dạng f x( )g x( )( phương pháp bình phương hai vế) Ta xét ví dụ cụ thể:
Ví dụ 5: Giải phương trình
3
x x x
Lời giải sai học sinh:
2
2 2
0 1(1)
( 1)
0
0
3 (3 1)
4 (3 1)
0
1
2
0 1 x
x x x x
x x x
x
x x
x x x
x x x x
x x
x x
x x x x x x
x x x x
Vậy phương trình cho có nghiệm: x 1.
Có thể thấy x 1 khơng phải nghiệm phương trình.
-Học sinh phạm sai lầm sau:
Sở dĩ em học sinh chỉ đặt điều kiệnx 0, 3x+10 quan niệm
2x1 ( x 3x1) dẫn tới không âm, nên không cần đặt điều kiện
2x-10 Thậm chí đặt thêm điều kiện 2x-10 sai điều kiện
kết hợp với điều kiện cho ta: x
2, điều kiện dẫn tới ta không loại
(14)Sai lầm nằm chỗ chưa biết vế có dấu hay khơng mà bình phương, cụ thể thoả mãn điều kiện x
1
2 vế phải không âm, còn
x x chưa xác định dấu.
-Biện pháp khắc phục
Để khắc phục sai lầm cho học sinh ta cần nhấn mạnh muốn bình phương hai vế để phương trình tương đương vế phải dấu (mà thực chất thường làm hai vế không âm) Ta hướng dẫn học sinh biến đổi sau: f x( ) g x( ) h x( ) f x( ) g x( ) h x( )
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ))
g x h x
f x g x h x
Nhiều học sinh kiến thức yếu còn mắc phải sai lầm ngây thơ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x f x g x h x
Như vậy, chỉ hành động chuyển vế đổi dấu, giáo viên gần khắc phục sai lầm nghiêm trọng cho học sinh
Lời giải cho toán trên:
2
2
3
2
( 1)
2 1
1 2
3
6 (*)
5
x x x x x x
x x
x x x
x
x x
x x x
x x x x
Nhận thấy với
1
x
vế trái (*) không âm, còn vế phải (*) âm, (*) vơ nghiệm hay phương trình cho vô nghiệm
(15)Học sinh hay nhầm lẫn gặp phương trình vơ tỷ có chứa biểu thức dạng: ; ;
A A
B AB
B B
Ví dụ 6: Giải phương trình:
2
( 5)
5
x
x x
x
Học sinh thường mắc sai lầm sau:
2
2
2
( 5) ( 5)( 2)
5 ( 5)( 2) ( 2)
2
14
3 10 4
x x
x x x x x
x x x x
x x
x
x x x x
Vậy phương trình cho vô nghiệm
Ta thấy thay x 14 vào phương trình cho ta thấy thỏa mãn
phương trình Do x 14 phải nghiệm phương trình cho.
Vậy nguyên nhân dẫn tới lời giải sai?
Học sinh sai lầm cho A
B AB
B , sai lầm không để ý đến dấu của biểu thức A, B
-Biện pháp khắc phục
+ Giáo viên cần lưu ý cho học sinh rằng:
0, 0,
AB A B A
B
B AB A B
Giáo viên chỉ cho học sinh thấy lời giải thiếu trường hợp A<0; B<0 nên dẫn tới nghiệm x 14
+ Khi gặp dạng phải giải điều kiện xác định
A
B , dựa vào điều
kiện xét dấu hai biều thức A B, để phân chia trường hợp xác, dẫn tới rút gọn biểu thức
(16)ĐK: 2 5 x x x x
Nếu x 2, ta có:
2
2
2
( 5) ( 5)( 2)
5 ( 5)( 2) ( 2)
2
14
3 10 4
x x
x x x x x
x x x x
x x
x
x x x x
Phương trình vơ nghiệm trường hợp Nếu x 5, ta có:
2
2
2
( 5) ( 5)( 2)
5 ( 5)( 2) ( 2)
2
14 ( ) 14
3 10 4
x x
x x x x x
x x x x
x x
x TM
x
x x x x
Vậy phương trình cho có nghiệm x 14.
Ví dụ 7: Giải phương trình: √x(x −1)+√x (x +2)=2√x2
Học sinh thường làm sau:
Pt x x1 x x2 2 x x x1 x2 2 x (*)
Căn thức có nghĩa x 1,
(*) x2 x 2 x1
2
4 4 1( 1)
8
x x x x Do x x
(nhận) Vậy phương trình cho có nghiệm
9
x
.
Nhận thấy x =0 cũng nghiệm phương trình
Khi biến đổi trên, học sinh thường mắc sai lầm cho AB A B
Đẳng thức chỉ A B , Nếu A B , 0thì AB A B
- Biện pháp khắc phục
(17)
0, 0,
A B A B AB
A B A B
+ Khi gặp dạng phải giải điều kiện xác địnhAB 0, dựa vào điều
kiện xét dấu hai biều thức A B, để phân chia trường hợp xác, dẫn tới rút gọn biểu thức
Lời giải đúng: ĐK:
x ≤ −2 x ≥ 1 x=0
(∗) ¿
* x = nghiệm phương trình * x ≥ 1⇒ pt ⇔√x − 1+√x +2=2√x⇔ 2√x2
+x −2=2 x −1
⇔ x2
+4 x − 8=4 x2− x +1⇔ x=9
8 (nhận)
* x ≤ −2⇒pt ⇔√− x (1− x)+√− x (− x −2)=2√(− x )(− x)
⇔√1− x+√− x −2=2√− x⇔2√x2+x −2=− x +1⇔ x=9
8 (loại)
Vậy nghiệm phương trình cho là: x = x = 98 Bài toán còn có cách giải sau:
ĐK:
x ≤ −2 x ≥ 1 x=0
(∗) ¿
Pt ⇔2 x2
+x +2√x2(x −1)(x+2)=4 x2⇔ 2√x2(x2+x −2)=x (2 x −1)
2 x −1¿2
⇔ x2
(x2+x − 2)=x2¿ (do đk (*))
x =0 x=9
8
⇔ x2
(8 x −9 )=0⇔¿
(thỏa (*))
f) Sai lầm bỏ biểu thức hai vế phương trình mà khơng để ý điều kiện.
Khi biến đổi phương trình vơ tỷ đến dạng A B A C, học
(18)Ví dụ 8: Giải phương trình:
x 4 x1 2x 3 4x16
Học sinh thường mắc sai lầm sau:
2 4 16 4( 4)
1
1
1
x x x x x x x x
x x
x x x
x x x
Vậy phương trình cho có nghiệm x=
Nhận thấy x = nghiệm phương trình cho -Biện pháp khắc phục
Giáo viên lưu ý học sinh rằng:
+ Khi bỏ biểu thức hạng tử giống hai vế phải đặt điều kiện cho
+ Cụ thể lưu ý:
0
A
A B A C
B C
Lời giải đúng:
2 4 16 4( 4)
4
4
1
2
1
1
x x x x x x x x
x
x x
x x
x
x x
x x
Vậy phương trình cho vơ nghiệm
2 Sai lầm giải tốn có chứa tham số phương pháp đặt ẩn phụ a) Sai lầm không đặt điều kiện cho ẩn phụ
Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2
m x x (1)
Giải: Đặt t= x 1 x t 21
(19)Học sinh thường mắc sai lầm: Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm m m
.
Học sinh mắc phải sai lầm ấn tượng lớn lớp 9: Để phương trình bậc có nghiệm điều kiện 0 Vội vàng áp dụng khẳng
định mà khơng hiểu điều chỉ nghiệm khơng có điều kiện ràng buộc
-Biện pháp khắc phục
+ Khi đặt ẩn phụ phải có điều kiện ẩn phụ
+ Dạng toán thường giải phương pháp đồ thị( thực chất chỉ cần lập bảng biến thiên hàm số bậc hai)
+ Vì tách tham số sang vế cách đơn giản nên học sinh lớp 12 làm theo phương pháp hàm số
Lời giải đúng:
Cách 1: Cho học sinh lớp 10
Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệmt 0 đường thẳng y= m+1 cắt đồ
thị y =t22t điểm có hồnh độ khơng âm
1
m m
Cách 2: Cho học sinh có kiến thức lớp 12
2
m x x x x m
Xét hàm số f x( ) x x1,x 1;) Phương trình cho có nghiệm đồ thị hàm số y=f(x) đường thẳng y=m có điểm chung trên[1;)
Ta có:
1
( ) 0, (1; )
f x x
x
Do hàm số f x( ) x x1 đồng biến 1;), đóf x( )f( 1) 1.
Vậy phương trình cho có nghiệm m 1
b) Sai lầm đặt điều kiện cho ẩn phụ chưa hoàn toàn xác
(20)Ví dụ 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
2x x 2x x m 1 0 (1)
Giải: Đặt: 2x x t 0, (1) t2 t m (2)
Học sinh thường mắc sai lầm: Phương trình (1) có nghiệm (2) có
nghiệm t 0
Học sinh mắc phải sai lầm nhầm tưởng chỉ cầnt 0 đủ thực t 0 chỉ điều kiện cần.
Ta phải tìm điều kiện đủ t
Ta có: ĐK:2x x 2 0 0 x 2,
2
2 (2 ) [0;1]
2
x x
t x x x x t
Vậy phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệmt [0;1] đường thẳng y= 1-m
cắt đồ thị y =t2 t
điểm có hồnh độ thuộc [0;1]
ta thấy yêu cầu toán thỏa mãn 1 m 2 m1.
Biện pháp khắc phục:
Giáo viên lưu ý cho học sinh giải phương trình vơ tỷ( phương trình bất kỳ) phương pháp đặt ẩn phụ mà khơng chứa tham số đặt điều kiện gần xác( thơng thường đặt ẩn phụ chứa bậc hai học sinh thường buộc điều kiện ẩn phụ khơng âm theo thói quen) mà khơng ảnh hưởng đến lời giải tốn Ngun nhân với giá trị tìm thỏa mãn điều kiện gần xác ta phải giải phương trình nữa, phương trình giúp ta tìm nghiệm phương trình ban đầu
Tuy nhiên tốn phương trình có chứa tham số, đặt điều kiện khơng hồn tồn xác dẫn tới lời giải sai Nguyên nhân khơng có q trình thay kết quả, giải tiếp phương trình tốn khơng chứa tham số
(21)thể chỉ cẩn quan tâm đến điều kiện xác định phương trình (nếu hàm số với biến ban đầu), tránh sai sót khơng biết cách đặt điều kiện hồn tồn xác cho ẩn phụ
Cách cho toán trên:
(1) x2 2x 2x x 1 m
Xét hàm số f x( )x2 2x 2x x 1,x0;2] Ta có:
2
1
( ) 2 ( 1)(1 )
2
x
f x x x
x x x x
Phương trình cho có nghiệm đồ thị hàm số y= f(x) đường thẳng y =m
có điểm chung [0;2] ta thấy phương trình cho có nghiệm 1 m
c) Sai lầm lấy giá trị chặn dưới( chặn trên) tập giá trị giá trị nhỏ nhất( lớn nhất) hàm số
Trong giải toán phương pháp đạo hàm học sinh hay mắc sai lầm lấy giá trị chặn (hoặc chặn trên) tập giá trị giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) hàm số
Ví dụ 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
5
x x m
Giải ĐK:
0
5
x
x x
Xét hàm số
f(x) = x x 5, [5;)
1
( )
2
5
0, ( 5)
f x
x x
x x
x x x
Học sinh thường kết luận phương trình có nghiệm 0m 5, sai lầm
(22)Kết luận đúng: Phương trình có nghiệm 0m
d) Sai lầm đánh giá sai mối quan hệ tương ứng ẩn cũ ẩn mới Ví dụ 12: Cho phương trình: √3+x+√6 − x=m+√(3+x )(6 − x)
Tìm m để phương trình cho có nghiệm Học sinh thường làm sau:
ĐK: 3 x
Đặt: t=√3+x+√6 − x⇒t2
=9+2 √(3+x )(6 − x ) (*)
Áp dụng BĐT Cơsi ta có: 2√(3+x)(6− x)≤ nên từ (*) ⇒3 ≤t ≤3√2
Phương trình cho trở thành: t=m+t
2
− 9
2 ⇔t
2−2 t − 9=− 2m (1)
Phương trình cho có nghiệm ⇔(1) có nghiệm t∈[3;3√2] đồ thị hàm số f (t)=t2− 2t −9
đường thẳng y2m chỉ có
một điểm chung [3;3 2]
ta thấy đồ thị hàm số f (t)=t2− 2t −9 đường thẳng y2m chỉ có điểm
chung [3;3 2]
6
6
2
m m
Dễ dàng thấy m=3 phương trình cho có nghiệm là: x = - x =6, lời giải sai
Vậy nguyên nhân sai lầm nằm chỗ nào?
Học sinh sai cho rằng: Phương trình cho có nghiệm ⇔(1) có nghiệm t∈[3;3√2] Thừa nhận điều tức học sinh
đã quan niệm có tương ứng 1-1 ẩn cũ x [ 3;6] ẩn t [3;3 2] Quan niệm sai chỗ: Một giá trị x [ 3;6] cho ta giá trịt [3;3 2] giá trịt [3;3 2] cho trước cho ta nhiều giá trịx [ 3;6] chỉ giá trị (nghĩa với t 3 x 6 x rõ ràng t một
hàm số đối số x x hàm số đối số t) -Biện pháp khắc phục sai lầm cho học sinh
(23)Ta có:
6 3
;
2 (6 )(3 )
x x
t t x x x
x x
Vậy ta có: x [ 3;6] tương ứng cho ta t [3;3 2], quan hệ tương ứng 1-1 Ta thấy để có chỉ có giá trị x [ 3;6] t 3 2,
khi
3
x
.( t [3;3 2) cho ta giá trị x [ 3;6])
Do phương trình cho có nghiệm (1) có nghiệm t 3 2 và
khơng có nghiệm t [3;3 2) Với t 3 2, ta có m=
6
Với m=
6
, ta có phương trình
2 2 9 2(6 9) 2 18 0 2( / )
2 2 2(loai)
t t m
t t t t
t
Dựa vào bảng biến thiên hàm số y= t(x) ta thấy t 3 2
x
Vậy:
6
m
là giá trị cần tìm
(24)IV KẾT QUẢ THỰC HIỆN
Kết kiểm ta đánh giá sau Khắc phục sai lầm học sinh giải phương trình vơ tỉ 12A, 10A sau :
Thời gian thực hiện
Lớp thực
hiện Lớp chưa
thực hiện
Kết thực đề tài 8
điểm trở lên
Điểm từ 6 đến 8
Điểm từ 4 đến 6
Dưới 4
Năm học 2013-2014
Lớp 10A: 36 2 7 17 10
Lớp 12B: 20 15
Năm học 2014-2015
Lớp 12A: 24 13
Lớp 12C: 32 20
Qua bảng kết so sánh, đối chiếu cho thấy việc áp dụng giải pháp khoa học đề tài đem lại kết học tập học sinh có nhiều khả quan hơn, số lượng học sinh khá, giỏi, yếu chênh lệch rõ rệt so với lớp tương đương
PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN:
(25)Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn còn có nhiều thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn
II KIẾN NGHỊ:
Nhằm giúp học sinh học tốt phần phương trình vơ tỉ, thân tơi có kiến nghị: Đối với học sinh lớp 12, giáo viên nên dành số tiết bám sát để ôn tập lại cho em phương pháp giải phương trình vơ tỉ cũng cung cấp thêm cho em học sinh khá, giỏi số tập nâng cao nhằm chuẩn bị tốt cho em kì thi Đại học Cao đẳng
Vấn đề mới/cải tiến SKKN đặt giải so với SKKN trước (ở nhà trường Tỉnh): Sáng kiến kinh nghiệm lần đặt giải cho học viên BT THPT
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Tam Đảo, ngày 22 tháng năm 2016.
Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung
của người khác
(26)TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao - Nhà xuất Giáo dục. 2) Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất Giáo dục.
3) Các đề thi Đại học - Cao đẳng năm