b. Chøng minh r»ng : AP. Gäi I lµ giao ®iÎm cña PQ vµ AH. Gäi K lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC. KÎ ®êng kÝnh PQ. Gäi F lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. Chøng minh mét ®êng th¼ng lµ tiÕ[r]
(1)Đại số
CH 1: Căn thức – rút gọn biểu thức I thức:
Kiến thức bản:
1 Điều kiện tån t¹i : √A Cã nghÜa ⇔ A ≥0
2 Hằng đẳng thức: √A2=|A|
3 Liên hệ phép nhân phép khai phơng: √A B=√A √B (A ≥ 0; B ≥ 0) 4 Liên hệ phép chia phép khai ph¬ng: √A
B=
√A
√B (A ≥ 0; B>0) 5 §a thõa sè căn: A2 B=|A
|B (B 0) 6 Đa thừa số vào căn: A√B=√A2
B (A ≥ 0; B ≥ 0)
A√B=−√A2
B (A<0 ; B 0) 7 Khử thức mÉu: A
√B= √A B
B (B>0) 8 Trục thức mẫu: C
√A ±√B=
C(√A∓√B) A − B Bµi tËp:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị x biểu thức sau xác định:
1) √−2 x+3 2) √
x2 3) √
4
x +3 4) √
− 5 x2+6
5) √3 x +4 6) √1+x2 7)
√
1 −2 x 8) √
−3 3 x +5
Rút gọn biểu thức Bµi1
1) √12+5√3 −√48 2) 5√5+√20 −3√45 3) 2√32+4√8 −5√18 4) 3√12 − 4√27+5√48 5) √12+√75 −√27 6) 2√18 −7√2+√162 7) 3√20 − 2√45+4√5 8) (√2+2)√2− 2√2 9)
√5 −1− √5+1
10)
√5 −2+
√5+2 11) 4 −3√2−
2
4+3√2 12)
2+√2 1+√2
13)
7
√28− 2√14+√¿ ¿
¿
14) √14 −3√2¿2+6√28
¿
15) √6 −√5¿2−√120
¿ 16)
2√3 −3√2¿2+2√6+3√24 ¿
17)
1−√2¿2 ¿ √2+3¿2
¿ ¿ √¿
18)
√3− 2¿2 ¿ √3− 1¿2
¿ ¿ √¿
19)
√5− 3¿2 ¿ √5− 2¿2
¿ ¿ √¿
20) (√19− 3)(√19+3)
(2)21)
x −12¿2 ¿ ¿ 4 x+√¿
22) √7+√5
√7 −√5+
√7 −√5 √7+√5
23)
x2− xy+4 y2¿2 ¿
¿ x +2 y −√¿
Bµi2:
1) √(3+√2)2+√(3 −√2)2 2) √(2−√3)2−√(2+√3)2 3) √(5− 3)2
+√(√5+3)2 4)
√8+2√15 - √8 −2√15 5) √(5+2√6) + √8 −2√15 6)
√4+2√3+√4 −2√3 − √3 −2√2−
5 √3+√8
Giải phương trình:
1) √2 x −1=√5 2) √x −5=3 3) √9(x − 1)=21 4) √2 x −√50=0 5) √3 x2−√12=0 6)
x − 3¿2 ¿ ¿ √¿
7) √4 x2
+4 x +1=6 8)
2 x −1¿2 ¿ ¿ √¿
9) √4 x2=6 10)
1− x¿2 ¿ 4¿ √¿
11) √3 x+1=2 12) 33 x=2
II toán rút gọn: A.các b ớc thực hiên :
Phõn tớch tử mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn c)
Tìm ĐKXĐ biểu thức: tìm TXĐ phân thức kết luận lại
Quy đồng, gồm bớc:
+ Chọn mẫu chung : tích nhân tử chung riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung
Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức
Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dng
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên)
Rút gọn
B.Bài tập luyện tập:
Bài Cho biểu thức : A =
2
x x x
x x x
với ( x >0 x ≠ 1)
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A x 3 2
Bài Cho biểu thức : P =
4 4
2
a a a
a a
( Với a ; a )
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm giá trị a cho P = a +
Bài 3: Cho biểu thức A =
1
1
x x x x
x x
(3)2/.Rút gọn biểu thức A
3/.Với giá trị x A< -1
Bµi 4: Cho biểu thức A =
(1 )(1 )
1
x x x x
x x
( Với x0;x1)
a) Rút gọn A b) Tìm x để A = -
Bµi : Cho biÓu thøc : B = 2√x − 2−
1 2√x +2+
√x 1 − x
a; Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B b; Tính giá trị B với x =3 c; Tìm giá trị x để |A|=1
2 Bµi 6: Cho biĨu thøc : P = √x+1
√x − 2+ 2√x √x+2+
2+5√x 4 − x
a; Tìm TXĐ b; Rút gọn P c; Tìm x để P =
Bµi 7: Cho biÓu thøc: Q = (
√a − 1− √a¿:(
√a+1 √a − 2−
√a+2 √a −1)
a; Tìm TXĐ rút gọn Q b; Tìm a để Q dơng
c; TÝnh giá trị Biểu thức biết a = 9- √5
Bµi 8: Cho biĨu thøc: M = (√a −
1 2√a)(
a −√a √a+1
a+a a 1)
a/ Tìm ĐKXĐ M b/ Rót gän M
Tìm giá trị a để M = -
Bµi : Cho biÓu thøc : K = 15√x −11 x +2√x −3+
3√x 1−√x−
2√x+3 √x+3
a Tìm x để K có nghĩa b Rút gọn K
c T×m x K=
2 d Tìm giá trị lớn K Bài 10 : Cho biÓu thøc: G= (√x −2
x −1 − √
x+2 x +2√x +1)
x2− x +1
1 Xác định x để G tồn Rút gọn biểu thức G
3 TÝnh sè trÞ cđa G x = 0,16 Tìm gía trị lớn G
5 Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6 Chứng minh : Nếu < x < M nhận giá trị dơng Tìm x để G nhận giá trị âm
Bµi 11 : Cho biÓu thøc: P= ( x +2 x√x −1+
√x x +√x +1+
1 1−√x):
√x −1
2 Víi x ≥ ; x ≠
a Rót gän biĨu thøc trªn
b Chøng minh r»ng P > víi mäi x≥ vµ x ≠
Bµi 12 : cho biÓu thøc Q= ( 2+2√a+
1 2− 2√a−
a2+1 1− a2).(1+
1 a)
a Tìm a dể Q tồn
b Chứng minh : Q không phụ thuộc vào giá trị cđa a
(4)Bµi 13: Cho biĨu thøc :
A= √x
3
√xy −2 y+
2 x
2√xy +2√y − x −√x 1− x 1−√x
a) Rót gän A
b) Tìm số nguyên dơng x để y = 625 A < 0,2
Bµi 14:XÐt biĨu thøc: P= [ 3√a √a+4+
√a √a− 4+
4 (a+2) 16 − a ]:(1 −
2√a+5
√a+4 ) (Víi a ≥0 ; a ≠ 16)
1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm số tự nhiên a để P số nguyên tố
-CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I hµm số:
Khái niệm hàm số
* Nu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x cho giá trị x, ta xác định đợc giá trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số x x đợc gọi biến số.
* Hµm sè cho công thức cho bảng
II hµm sè bËc nhÊt:
KiÕn thøc bản:
Định nghĩa:
Hm s bc có dạng: y=ax +b Trong a; b hệ số a ≠ 0 Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y=ax +b hàm số bậc là: a ≠ 0
VÝ dơ: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - (1)
Tìm giá trị m để hàm số (1) hàm số bậc Giải: Hàm số (1) bậc ⇔ 3 −m≠ 0⇔ ⇔m≠ 3
TÝnh chÊt: + TX§: ∀ x ∈ R
+ Đồng biến a>0 Nghịch biến a<0
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m) x - (2) Tìm giá trị m để hàm số (2):
+ Đồng biến R + Nghịch biến R
Giải: + Hàm số (1) Đồng biến 3 m>00 m<3
+ Hàm số (1) Nghịch biến 3 m<00 m>3
Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b
cắt trục hồnh điểm có hồnh độ −b
a
+ Từ đặc điểm ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) (-b/a;0) đồ thị hàm số y= ax+b
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x +
Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x +
Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) (-1/2;0) đồ thị hàm số y = 2x +
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + Cắt nhau: (d1) cắt (d2) ⇔ a≠ a,
*/ Để hai đờng thẳng cắt trục tung cân thêm điều kiện b=b' .
*/ Để hai đờng thẳng vng góc với : a a'=−1 + Song song với nhau: (d1) // (d2) ⇔ a=a,;b ≠ b'
+ Trïng nhau: (d1) (d2) ⇔ a=a,
;b=b'
VÝ dơ: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + (d1) Và y = x – m (d2)
(5)b/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt
c/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt điểm trục tung Giải:
a/ (d1)//(d2) ⇔
¿ 3 −m=2
2 ≠ −m ⇔ ¿m=1 m ≠− 2
⇔{m=1
¿{ ¿
b/ (d1) c¾t (d2) ⇔ 3 m 2m 1
c/ (d1) cắt (d2) điểm trục tung m=2 m=2
Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b a
+ Cách tính góc tạo đờng thẳng với trục Ox dựa vào tỉ số lợng giác tg α=a
Trờng hợp: a > góc tạo đờng thẳng với trục Ox góc nhọn
Trờng hợp: a < góc tạo đờng thẳng với trục Ox góc tù ( 1800−α ) Ví dụ 1: Tính góc tạo đờng thẳng y = 2x + với trục Ox
Gi¶i:
Ta cã: Tg α=2=Tg 630⇒ α=630.
Vậy góc tạo đờng thẳng y = 2x + với trục Ox là: α=630.
Ví dụ 2: Tính góc tạo đờng thẳng y = - 2x + với trục Ox
Ta có: Tg (1800− α )=2=Tg 630⇒(1800− α)=630⇒α=1170. Vậy góc tạo đờng thẳng y = - 2x + với trục Ox l: =1170.
Các dạng tập th êng gỈp:
-Dạng 3: Tính góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox
Xem lại ví dụ
Sách hôm sống ngày mai
- Dạng1: Xác dịnh giá trị hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng
song song; ct nhau; trựng Phơng pháp: Xem lại ví dụ
-Dng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Xem lại ví dụ
Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b,
Ph
ơng pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phơng trình ta tìm đợc giá trị x; thay giá trị x vào (d
1) hc
(d2) ta tính đợc giá trị y Cặp giá trị x y toạ độ giao điểm hai đờng thẳng
Tính chu diện tích hình tạo đường thẳng:
Ph ơng pháp: +Dựa vào tam giác vuông định lý Py ta go để tính độ dài đoạn thẳng khơng biết trực tiếp đợc Rồi tính chu vi tam giác cách cộng cạnh
(6)-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Ph
ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị khơng?
Thay giá trị x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 điểm M khơng thuộc đồ thị
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) điểm Q(x1; y1) Ph
ơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị a b
+ Thay giá trị a b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho đờng thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Víi m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1
(d3) : y = -x +3
a) C/m m thay đổi d1 ln qua 1điểm cố định b) C/m d1 //d3 d1 vng góc d2
c) Xác định m để đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui
Gi¶i:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 qua A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với m
=> m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 với m ; Điều xảy : x0+ =0
x0+y0+5 = suy : x0 =-1 Y0 = - Vậy điểm cố định A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B (d2) (d3) : Ta có pt hồnh độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 = +1 =2 Vậy B (1;2)
Để đờng thẳng đồng qui (d1) phải qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = vào pt (d1) ta có: = (m2 -1) + m2 -5
m2 = => m = vµ m = -2
Vậy với m = m = - đờng thẳng đồng qui
Bµi tËp:
Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + (d2): y = ( + 2m)x + 1) Tìm m để (d1) (d2) cắt
2) Với m = – , vẽ (d1) (d2) mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1) (d2) phép tính
Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay
nghịch biến R ? Vì sao?
Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m 0¿ y = (2 - m)x + ; (m≠ 2) Tìm điều kiện m để hai
đường thẳng trên:
a) Song song b) Cắt
Bài 5: Víi giá trị m hai đường thẳng y = 2x + 3+m y = 3x + 5- m cắt điểm trục
tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = − 12 x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 10
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x qua điểm A(2;7). Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) B(-1;3).
Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y =
1
2x (d2): y = x2
(7)b/ Gọi A B giao điểm (d1) (d2) với trục Ox , C giao điểm (d1) (d2) Tính chu vi diện tích tam giác ABC (đơn vị hệ trục tọa độ cm)?
Bài 9: Cho đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Với giá trị m (d1) // (d2)
b; Với giá trị m (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m =
c; C/m m thay đổi đờng thẳng (d1) ln qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B Tính BA ?
Bài 10: Cho hµm sè : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị song song với y = 2x +3 qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo đờng thẳng với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị m để đờng thẳng song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2
CHủ đề 3: hệ hai phơng trình bậc hai ẩn
I c¸c kh¸I niƯm:
Ph ơng trình bậc hai ẩn:
+Dng: ax + by = c a; b; c hệ số biết( a ≠ 0 b 0
+ Một nghiệm phơng trình cặp số x0; y0 thỏa mÃn : ax0 + by0 = c + Phơng trình bậc hai ẩn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiÖm
+ Tập nghiệm đợc biểu diễn đờng thẳng (d): ax + by = c Nếu a ≠ ;b ≠ 0 đờng thẳng (d) đồ thị hàm số bậc nhất: y=−a
b x+ c
b
HƯ hai ph ¬ng trình bậc hai ẩn:
+ Dạng:
ax+by=c (1) a,x +b,y=c,.(2)
¿{ ¿
+ NghiÖm hệ nghiệm chung hai phơng trình
+ Nếu hai phơng trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ vơ nghiệm + Quan hệ số nghiệm hệ đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phơng trình (1) đợc biểu diễn đờng thẳng (d)
-Phơng trình (2) đợc biểu diễn đờng thẳng (d') *Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm
*NÕu (d) song song víi (d') th× hệ vô nghiệm *Nếu (d) trùng (d') hệ vô số nghiệm
Hệ ph ơng trình t ơng đ ¬ng:
Hai hệ phơng trình đợc gọi tơng đơng với chúng có tập nghiệm
Ii.ph ơng pháp giảI hệ ph ơng trình:
Giải hệ ph ơng trình ph ơng pháp thÕ :
a) Quy t¾c thÕ :
+ Bớc 1: Từ phơng trình hệ cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phơng trình thứ hai để đợc phơng trình (chỉ cịn ẩn)
+ Bớc 2: Dùng phơng trình để thay cho phơng trình thứ hai hệ (phơng trình thứ th-ờng đợc thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có đợc bớc 1)
Ví dụ: xét hệ phơng trình:
x y=1 (1) 3 x+2 y=3 (2)
¿{ ¿
+ Bớc 1: Từ phơng trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi rút x) ta có: x=1+2 y (∗) Thay x=1+2 y (∗) vào phơng trình (2) ta đợc: 3(1+2 y)+2 y=3 (**)
(8)+ Bớc 2: Thế phơng trình (**) vào phơng trình hai hệ ta có:
x=1+2 y 3(1+2 y)+2 y=3
¿{ ¿
b) Gi¶i hƯ :
x=1+2 y 3(1+2 y)+2 y=3
⇔
¿x=1+2 y
3+6 y +2 y=3 ⇔
¿x=1+2 y
¿ y=0 ⇔ x=1 ¿ y=0 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿
VËy hÖ phơng trình có nghiệm (x = 1; y = 0)
Giải hệ ph ơng trình ph ơng pháp cộng đại số : a)Quy tắc cộng đại số :
+ Bớc 1: Cộng hay trừ vế hai phơng trình hệ hệ phơng trình cho để đợc phơng trình + Bớc 2: Dùng phơng trình thay cho hai phơng trình hệ (và giữ nguyên phơng trình kia)
L
u ý : Khi hệ số ẩn đối ta cộng vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn ta trừ vế theo vế hệ
Khi hệ số ẩn không khơng đối ta chọn nhân với số thích hợp để đa hệ số ẩn đối (hoặc nhau).( tạm gọi l quy ng h s)
bài tập:
Giải hệ phơng trình phơng pháp
¿ 4 x + y=2 8 x+3 y =5
¿{ ¿
¿ x − y=m 2 x + y =4
¿{ ¿
¿ 3 x+2 y=6
x − y=2 ¿{
¿
¿ 2 x −3 y =1 − x+6 y=2
¿{ ¿
2 5
x y x y x y x y
3
x y x y 2 x y x y
2x 3y 4x 6y
(9)
¿ 2 x −11 y =−7 10 x+11 y =31
¿{ ¿
¿ 3 x + y=3 2 x − y =7
¿{ ¿
¿ 2 x+5 y=8 2 x −3 y=0
¿{ ¿
¿ 3 x +2 y=−2 3 x −2 y=− 3
¿{ ¿
¿ −5 x +2 y=4 6 x − y =−7
¿{ ¿
¿ 2 x −3 y=11 − x+6 y=5
¿{ ¿
¿ 3 x+2 y=1
2 x − y=3 ¿{
¿
¿ 2 x +5 y=2 6 x − 15 y =6
¿{ ¿
¿ 3 x − y =4 6 x − y =3
{
Đặt ẩn phụ giải hệ phơng trình sau
2(x + y)+3 (x − y )=4 (x+ y)+2(x − y )=5
¿{ ¿ ¿ x+ y= x− y= ¿{ ¿ ¿ x − 2+
1 y − 1=2
x −2−
y −1=1
¿{ ¿
Các tập tự luyện
Bài Giải hệ phơng trình sau :
a)
¿ 2 x − y =−2
2 x − y=4 ¿{
¿
b)
¿ 2 x +5 y=1 −10 x − y=20
¿{ ¿
c)
¿ x+ y =3 2 x −3 y=− 4
¿{ ¿
d)
¿ 2 x +3 y=− 4 5 x+7 y=−9
¿{ ¿
e)
¿ 3 x +4 y =−2 6 x+8 y+3=0
¿{ ¿ f) ¿ x 2− y 3=1 x 4+ 2 y =8 { Bài : Giải hệ phơng tr×nh sau :
a) ¿ x+ y= x− y= ¿{ ¿ b) ¿ x−
y −2=2
3 x+
1
y −2− 1=0 ¿{
¿
c)
¿ x +2 y−
1 x − y=1 20
x+2 y+ x −2 y=1 ¿{
¿
(10)Bài : Cho hệ phơng trình
¿ (m− 3) x + y =5
x − y=7 {
a) Giải hệ phơng trình m =
b) Với giá trị m hệ phơng trình nhận cặp số ( x= ; y =- 6) làm nghiệm c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm Tìm nghim ú
Bài : Cho hệ phơng trình
¿ ax − y=2
x+ay=3 ¿{
a) Giải hệ phơng trình a =
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm tìm nghiệm c) Tìm a để hệ phơng trình vơ nghiệm
Bµi : Cho hệ phơng trình
ax y =a −2 x+ y=a+1
¿{ ¿
a) Giải hệ phơng trình a = -2
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm nhất, tính x ; y theo a c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn: x - y =
d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn x y số nguyên
Bµi :a) Giải biện luận hệ phơng trình:
¿
2 x +(m− 4) y=16 (4 −m) x − 50 y=80
¿{ ¿
(I)
b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm tìm m để x+y ln hn
Bài 7* : Giải phơng trình sau :
a) √8+√x+√5 −√x=5 b) √2− x2+√x2+8=4 CHủ đề 4: hình học
I hệ thức tam giác vuông:
Hệ thức cạnh đ ờng cao:
+ b2
=a b,;c2=a c, + a2=b2+c2
+ h2=b, c, + a=b,+c, + a h=b c
+
h2= b,+
1
c, + b2 c2=
b, c, ;
c2 b2=
c, b,
(11)Tỷ số l ợng giác: Sin=D
H;Cos=
K
H; Tg=
D
K;Cotg=
K D
TÝnh chÊt cña tû sè l ợng giác:
1/ Nếu + =900 Thì: Sin α=Cos β
Cos α=Sin β
Tg α=Cotg β Cotg α=Tg β
2/Víi α nhọn < sin α < 1, < cos α <
*sin2 α + cos2 = *tg α = sin α /cos α *cotg α = cos α /sin α *tg cotg =1
Hệ thức cạnh vµ gãc:
+ Cạnh góc vng cạnh huyền nhân Sin góc đối:
b=a SinB ;c=a SinC
+ Cạnh góc vuông cạnh huyền nhân Cos góc kề: b=a CosC.;c =a CosB
+ Cạnh góc vng cạnh góc vng nhân Tg góc đối: b=c TgB ;c=b TgC
+ Cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân Cotg góc kề: b=c CotgC ;c=b CotgB
Bài Tập áp dụng:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Biết b = cm, c = cm Giải tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A có b’ = 7, c’ = Giải tam giác ABC?
Bài 3a: Cho tam giác ABC vng A có b = 4, b’ = 3.2 Giải tam giác ABC?
Bài 3b: Cho tam giác ABC vng A có c = 4, b’ = 3.2 Giải tam giác ABC?
Bài 4: Cho tam giác ABC vng A có AH = 4.8, BC =10 Giải tam giác ABC? Bài 5: Cho tam giác ABC vng A có h = 4, c’ = Giải tam giác ABC?
Bài 6: Cho tam giác ABC vng A có b = 12, a = 20 Giải tam giác ABC? Bài7: Chotam giác ABC vng A có h = 4, c = Giải tam giác ABC? Bài 8: Cho tam giác ABC vng có A = 900, b = 5, B = 400. Giải tam giác ABC?
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A có a = 15, B = 600 Giải tam giác ABC?
Bài 10:Cho tam giác ABC vuông A có AH = 3, C = 400 Giải tam giác ABC?
Bài 11: Cho tam giác ABC vng A có c’ = 4, B = 550 Giải tam giác ABC?
Bài 12: Chotam giác ABC vng A, có trung tuyến ứng với cạnh huyền m ❑a = 5, h =
Giải tam giác ABC?
Bài13: Chotam giác ABC vuông A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m ❑a = 5, góc nhọn 470 Giải tam giác ABC?
Bài14: Tam giác ABC vuông A cú h = 4, Đờng phân giác ứng với c¹nh hun g ❑a =
Giải tam giác ABC?
Bài15: Chotam giác ABC vuông A cú Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g a = Góc C = 300 Giải tam giác ABC?
II Đ ờng tròn:
.Sự xác định đ ờng tròn: Muốn xác định đợc đờng trịn cần biết: + Tâm bán kính,hoặc
+ Đờng kính( Khi tâm trung điểm đờng kính; bán kính 1/2 đờng kính) ,
+ Đờng trịn qua điểm ( Khi tâm giao điểm hai đờng trung trực hai đoạn thẳng nối hai ba điểm đó; Bán kính khoảng cách từ giao điểm đến điểm đó)
(12) Tính chất đối xứng:
+ Đờng trịn có tâm đối xứng tâm đờng trịn
+ Bất kì đờng kính vào trục đối xứng đờng trịn
C¸c mối quan hệ:
1 Quan hệ đ ờng kính dây:
+ Đờng kính (hoặc bán kính) Dây Đi qua trung điểm dây
2 Quan hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây ⇔ Chúng cách tâm + Dây lớn ⇔ Dây gần tâm
Vị trí t ơng đối đ ờng thẳng với đ ờng tròn:
+ Đờng thẳng khơng cắt đờng trịn ⇔ Khơng có điểm chung ⇔ d > R (dlà khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng; R bán kính đờng trịn)
+ Đờng thẳng cắt đờng trịn ⇔ Có điểm chung ⇔ d < R
+ Đờng thẳng tiếp xúc với đờng trịn ⇔ Có điểm chung ⇔ d = R
TiÕp tun cđa ® êng trßn:
1 Định nghĩa: Tiếp tuyến đờng trịn đờng thẳng tiếp xúc với đờng trịn
2 Tính chất: Tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính đầu mút bán kính (tiếp điểm)
3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đờng thẳng vng góc đầu mút bán kính đờng tròn tiếp tuyến đờng tròn ú
Bài Tập tổng hợp học kỳ I:
Bài Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đờng cao AH cắt đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác D
a/ Chửựng minh: AD đờng kính b/ Tính góc ACD
c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính đờng trịn tâm (O)
Bài Cho ( O) A điểm nằm bên ngồi đờng trịn Kẻ tiếp tuyến AB ; AC với đờng tròn
( B , C tiếp điểm ) a/ Chứng minh: OA BC
b/Vẽ đờng kính CD chứng minh: BD// AO
c/Tính độ dài cạnh tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = cm?
Bài 3: Cho đờng trịn đờng kính AB Qua C thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến d với đờng tròn G ọi E , F lần
lợt chân đờng vng góc kẻ từ A , B đến d H chân đờng vng góc kẻ từ C đến AB Chửựng minh: a/ CE = CF
b/ AC phân giác góc BAE c/ CH2 = BF AE
Bài 4: Cho đờng trịn đờng kính AB vẽ tiếp tuyến A x; By từ M đờng tròn ( M khác A, B) vẽ tiếp tuyến
thø nã c¾t Ax ë C c¾t B y ë D gäi N giao điểm BC Và AO .CMR
a/
CN NB
AC BD
b/ MN AB c/ gãc COD = 90º
Bµi : Cho đường trịn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M
BN cắt đường tròn C Gọi E giao điểm AC BM a)CMR: NE AB
b) Gọi F điểm đối xứng với E qua M CMR: FA tiếp tuyến (O) c) Chứng minh: FN tiếp tuyến đtròn (B;BA)
d/ Chứng minh : BM.BF = BF2 – FN2
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M điểm tuỳ ý nửa đường tròn
( M A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By C D
(13)c) OC cắt AM E, OD cắt BM F Chứng minh EF = R d) Tìm vị trí M để CD có độ dài nhỏ
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Qua A B vẽ tiếp tuyến (d) (d’) với đường
tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) M cắt đường thẳng (d’) P Từ O vẽ tia vng góc với MP cắt đường thẳng (d’) N
a/ Chứng minh OM = OP tam giác NMP cân
b/ Hạ OI vng góc với MN Chứng minh OI = R MN tiếp tuyến đường tròn (O) c/ Chứng minh AM.BN = R2
d/ Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ Vẽ hình minh hoạ
Bài 8: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Từ điểm M nửa đường tròn ta vẽ tiếp
tuyến xy Vẽ AD BC vng góc với xy a/ Chứng minh MC = MD
b/ Chứng mihn AD + BC có giá trị không đổi điểm M chuyển động na ng trũn
Các dạng toán phơng trình bậc hai
bài mẫu: Giải phơng trình sau cách điền tiếp vào chỗ ( )
(14)1) Giải phơng trình: 3x2 -27x = 3x(x-……) = 3x= (1) hc (2) Gi¶i(1) x=…………
Gi¶i(2) x=…………
Vậy phơng trình cho có…….nghiệm ………
2) Giải phơng trình: 5x2 - 45 = x2-…… = x2 = x1,2=……… Vậy phơng trình cho có…….nghiệm
3)Giải phơng trình: 2x2 -2007x +2005= 0
(a=… ;b=… ;c=……) Ta cã:a+b+c=………=
Vậy phơng trình cho có…….nghiệm ……… ; ………
??:Em đề xuất tốn tơng tự nhóm bạn giải Xem nhanh hơn,trình by ngn gn chớnh xỏc
4) Giải phơng trình: 2x2 +7x -5= 0
(a=… ;b=… ;c=……) Ta cã: ∆=……….=……… >0
Vậy phơng trình cho có…….nghiệm ……… ; ……… 5) Giải phơng trình: x4 - 7x2 +10 = 0(*)
Đặt x2 = y (y≥0)
Lúc phơng trình (*)trở thành: y2 - 7y +10 = (1) Giải(1) ta cú: =.= >0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y1== ; y2== Với y1=; y2=thoả mÃn điều kiện toán
Mà x2 = y
Nªn y1=………=> x2 =……… <=>……… y2=………=> x2 = <=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.; 6) Giải phơng trình: x+5x 6=0 (*)
Đặt √x = y (y≥0)
Lúc phơng trình (*)trở thành: y2 +5y -6 = (1) Giải(1) ta có: =.= >0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y1== ; y2== Với y1=; thoả mÃn điều kiện toán => y1=(loại)
y2=thoả mÃn điều kiện toán Mà x2 = y
Nên y2==> x = <=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;
Bài : Giải phơng trình
a) 2x2 - 50 = c)54x2 = 27x e)y+
√y -6=0 b) 3 x
2
+5 =x
2− 2 d) y+
√y =0 f)y-5 √y +4=0
Bµi 2: Giải phơng trình
a) 3x2 -17x - 20 = 0 b) 2x2 - 2007x + 2005 = 0 c) x2 + x + = 0
d) x2 - 4x + 4= 0 e) x2 + 3x - = 0 f) x2 - x +
√2− 2 =
Bµi : Giải phơng trình sau phơng pháp ẩn phụ
1) x4 - 5x2 - = 0 2) x4 + 7x2 - = 0 3) x4 + 9x2 + = 0 4) 2 x
x2−1=2+
1 x +1
6) (x2+2 x)2−2(x2+2 x)− 3=0 7) (y2
+5 y)2− y ( y +5 )− 84=0
8) (y2− 5)−5
√y2−5=6
9) x2
(15)5) x
x +1+ x +1
x =−2
bài mẫu: Tìm giá trị m để phơng trình: 5x2 + mx - m2 -12 = (1) có mt nghim bng 2.Tỡm nghim cũn li
Giải: Để phơng trình(1) có nghiệm x1=2 thì: 5.22 +m.2 -m2-12=0
8+m.2 -m2=0 m2-2m - = 0(*)
Gi¶i (*)Ta cã: ∆'=……… =…… > => ' =
=> phơng trình (*) có hai nghiệm m1== ; m2== +)Với m1= phơng trình(1) có mét nghiƯm x1=2
lúc theo Vi-et ta có: x1+x2 =- m
5
Mµ x1=2 ; m1=…… Nªn + x2 =-
5 x2=……….=………
+)Với m2=………… phơng trình(1) có nghiệm x1=2 lúc theo Vi-et ta có: x1+x2 =- m
5
Mµ x1=2 ; m2=…… Nªn + x2 =…… x2=……….=………
VËy………
Bài : Với giá trị b phơng trình
a) 2x2 + bx - 10 = cã mét nghiƯm b»ng T×m nghiƯm lại b) b2x2 - 15x - = có nghiệm Tìm nghiệm lại
c) (b-1)x2 + (b+1)2.x - 72 = cã nghiệm Tìm nghiệm lại
Bi : Cho phơng trình ẩn x Xác định k để phơng trình sau có nghiệm kép:
a) x2 + 5x + k = 0 c) x2 - (2k+3) + 4k + = 0 b) x2 + kx + = d) (k-1) x2 + kx + = 0
Bài : Xác định k để phơng trình vô nghiệm.
Bài : Xác định k để phơng trình có hai nghim phõn bit
bài mẫu: Chứng minh phơng tr×nh: (m-3)x2 + m x +1= 0 cã nghiƯm với giá trị m
Giải: phơng trình: (m-3)x2 + m x +1= 0(*) ( a=…….; b=………; c=………)
+) Xét a= hay m - = m =……… lúc phơng trình(*) trở thành: 3x+1=0 x=…………
=> m = phơng trình(*) có nghiệm x=.(1) +) XÐt a ≠ hay m - ≠ m ≠……
Ta cã: ∆=………=………= m2 - 4m + 12 = m2 - 2(….).m +(… )2-…… +12 = (… - ….)2 +……….
NhËn thÊy: ( m - ….)2≥0 Víi mäi m ≠ 3 ( m - ….)2 + ≥…….>0 Víi mäi m ≠ Hay >0 Với m => phơng trình(*) có hai nghiƯm Víi mäi m ≠ (2) Tõ (1) ;(2) => phơng trình(*) có nghiệm Với m
Chú ý:Với phơng trình có chứa tham số hệ số a ta cần xét hai trờng hợp a=0 vµ a ≠
Bµi : Chøng minh phơng trình sau có nghiệm với giá trị m.
a)x2+(m+1)x+m=0 b) x2 -mx + m - = 0 c) -3x2 + 2(m-2)x+ 2m + = d) x2 + 4x - m2 + 4m - = 0 e) (m+1)x2 + x - m = 0
bài mẫu:Tìm m để phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = có hai nghiệm trái dấu. Giải: phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = (1)
Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu a.c < Hay 1.(30-5m) < 30-5m < 0 ……….<=> m >
VËy m
Chú ý:Trong dạng toán Với phơng tr×nh cã chøa tham sè ë hƯ sè a ta
(16)xét hai trờng hợp a=0 a
Bi 9: Tìm m để phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu.
a) x2 + 2x + m - = b) x2 + mx + =
c)-3x2 + 2(m-2)x+ 2m + = 0 d) 3x2 - 2(2m+1)x+ m2 -2 = e) (m2 + m +4)x2 + mx - =
Bµi 10 : Cho phơng trình : (m+3)x2 - m(m+5)x + 2m2 = (1) a) Giải phơng trình m =
b) Chứng minh : x = m nghiệm phơng trình (1) c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
bµi mÉu: Giải biện luận phơng trình: (m-3)x2 + 2(m-2) x +m = (Èn x , tham sè m) Gi¶i: phơng trình: (m-3)x2 + 2(m-2)x +m = 0(*)
( a=…….; b=………; c=………)
+) Xét a= hay m - = m =……… lúc phơng trình(*) trở thành: ….x+1=0 x=…………
=> m = phơng trình(*) có mét nghiÖm x=…… +) XÐt a ≠ hay m - ≠ m ≠……
Ta có: ∆'=………=……… = -m +4 -Khi ∆'>0 hay -m+4 >0 ……… m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc lúc phơng trình(*) có hai nghiệm phân biệt x1= −(m−2)+√4 − m
m− 3 ;………
-Khi ∆'=0 hay -m+4 =0 ……… m=
lúc phơng trình(*) có nghiệm kép x1=….= −(m−2)
m −3 =2 (do m= 4)
-Khi ∆'>0 hay -m+4 <0 ……… …… kết hợp vơí điều kiện ta đợc……… lúc phơng trình(*) vơ nghiệm
Vậy m = phơng trình(*) có nghiÖm x=……
………
……… ………
……… ………
Bài 11 : Cho phơng trình ẩn x: mx2 - 2(m-2) x + m - = 0 a) Giải phơng trình m =
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại c) Giải biện luận theo m có nghiệm phơng trình
Bµi 12 : Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm
a) vµ b) 3- √5 vµ + √5 c) 3- √2 vµ + √2 d)
3 − 2√2 vµ 3+2√2
e)
a+b vµ
1
a− b víi a b
bµi mÉu: Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là: 1- 5 + 5 Giải: Đặt x1=3- 5 vµ x2= + √5
Ta cã: x1+x2=………+………=
x1.x2=(………….).(……… )=………….=
áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x1,x2 nghiệm phơng trình: ……….= Vậy phơng trình cần lập là:………
Bài 13 : Cho phơng trình : x2 + 5x - b = cã hai nghiÖm x1 ; x2 Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 y2 thoả mÃn : y1 = x12 + vµ y2 = x22 +
Bµi 14:Cho phơng trình : x2 - 2010 2005x +1 = 0
Có nghiệm x1và x2 Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 y2 thoả mÃn : y2 = x12 + vµ y1 = x22 +
(17)Bµi 15: Giải hệ phơng trình :
a)
x + y=5 x y=− 35
¿{ ¿
b)
¿ x − y=11
x y=60 ¿{
¿
c)
¿ x2+y2=25
x y=12 ¿{
¿
bài mẫu: Không giải phơng trình xác định dấu nghiệm (nếu có) phơng trình a) 5x2 - 7x - = 0
Gi¶i: cã : a.c = ………….=-5 < => phơng trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu b) 5x2 - 7x + = 0
Gi¶i: phơng trình: 5x2 - 7x+2 = 0 (a= ; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……….= >
¸p dơng hƯ thøc Vi-et ta cã:
¿
.= .=
¿{ ¿
=> ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt dấu dơng c) x2 + 11x + = 0
Giải: phơng tr×nh: x2 +11x+5 = 0 (a=… ; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……….= … >
¸p dơng hƯ thøc Vi-et ta cã:
¿
.= .=
{
=> phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt cïng dÊu ©m d) 5x2 + x + =
Giải: phơng tr×nh: 5x2 + x +2 = 0
(a=… ; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……….= < => phơng trình vô nghiệm
Bi 16 : Khơng giải phơng trình xác định dấu cỏc nghim (nu cú) ca
phơng tr×nh sau :
1) 3x2 + 5x - = 3) 5x2 - 14x + = 0 2) 7x2 -3x + 1= 0 4) 2x2 - 4x - = 0 5) 4x2 - 3x +2 = 0 6) x2 +5x +1 = 0
bài mẫu: Cho phơng trình : x2 - 2x + m-3 = (m tham số ) tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu dng ?
Giải : phơng trình : x2 - 2x + m-3 = (*) (a=… ; b=…….; c=.)
(18)Để phơng trình(*)có hai nghiệm dấu dơng thì:
'>0 x1+x2>0
x1 x2>0
¿{ { ¿
hay
¿
(1) .(2) (3)
¿{ {
¿
Giải(1): 4-m > ……….<=>……… Giải(2): > ln
Gi¶i(3): …… > ……….<=>………
Kết hợp ba điều kiện ta đợc:………
VËy m………
Bài 17 : Cho phơng trình : x2 - 2x + m = (m tham số ) tìm m để phơng trình 1) có nghiệm trái dấu
2) cã nghiÖm cïng dÊu 3) Cã Ýt nhÊt nghiƯm d¬ng
4) Cã nghiƯm cïng dÊu d¬ng 5) Cã nghiƯm cïng ©m
Bài 18 : Tìm giá trị m để phơng trình:
a) x2 - 2mx + (m-1)2 = Cã nghiÖm phân biệt dơng b) 2x2 - 2(m+1) x + m = Cã nghiƯm ph©n biƯt cïng ©m c) x2 - 2x + 2m -30 = Có nghiệm trái dấu.
Bài 19 : Cho phơng trình : 5x2 - 6x - =
Không giải ph ơng trình hÃy tính giá trị biểu thức sau(x1; x2là nghiệm phơng trình) 1) S = x1 + x2 ; P = x1 x2
2) A = x12 + x22 ; B =
x1+
x2 ; C = x1 x2
+x2 x1
; D = x13 + x23 E = x1(1-x2) + x2(1-x1) ; F = x13 - x23
Bài 20 : Cho phơng trình : x2 - 8x + n = (1) n lµ tham số a) Giải phơng trình với n =
b) Tìm điều kiện n để phơng trình (1) có nghiệm
c) Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1) x1 - x2 = ; 3) 2x1 + 3x2 = 36
2) x1 = 3x2 ; 4) x12 + x22 = 50
Bài 21 : Cho phơng trình : 3x2 - 4x + m = Tìm để phơng trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn
a) Nghiệm gấp lần nghiệm b) Hiệu hai nghiệm
Bài 22 : Cho phơng tr×nh x2 - 2(m-2)x - 6m = (Èn x) a) Giải phơng trình với m = -3
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = 5, tìm nghiệm cịn lại c) Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt với m d) Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình Hãy tính A = x12 + x12 theo m từ tìm giá trị nhỏ A
bµi mÉu: dạng toán tìm giá trị lớn, nhỏ cđa mét biĨu thøc nghiƯm VÝ dơ 1: Cho phơng trình x2 + 2(m-3)x + 2m -15= (1) (ẩn x)
a) Chứng minh phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m
b) Hãy m để biểu thức A= x21x2 + x22x1 đạt giá trị Lớn tìm giá trị Lớn đó Giải: a) phơng trình: x2 + 2(m-3)x + 2m -15= (ẩn x)
(a=… ;b=…………=>b'=…………;c=………….)
(19)= m2-2m(… )+(….)2 -………+24 =(… -……)2 +………
NhËn thÊy: (… -……)2 ≥ với giá trị m
=> ( -)2 + > với giá trị m
Hay '> với giá trị m => phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m b) Theo a) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m
áp dơng hƯ thøc Vi-et ta cã:
¿
.= .=
¿{ ¿
(I)
Lại có: A= x21x2 + x22x1 = x1x2 (……+……) Thay (I)vào A ta đợc :
A= -2(m-3)(… -……)
=……… = - 4m2+ 42m - 90 -A = 4m2- 42m - 90
= (2m)2-2.2m(… )+(….)2 -………- 90 =(……-……)2 -………
NhËn thÊy: ( -)2 với giá trị m
<=> (… -……)2 -………≥…… víi mäi gi¸ trị m
Hay -4A với giá trị m A với giá trị m DÊu "=" x¶y ………=0 m=………
Vậy giá trị
Ví dụ 2: Cho phơng tr×nh x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= (1) (Èn x)
Hãy m để biểu thức A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ đó(x1 , x2 nghiệm phơng trình (1) )
Giải: phơng trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= (1) (Èn x) (a=… ;b=…………=>b'=…………;c=………….)
Ta cã : ∆'=……… = 6m+18
Để hpơng trình (1)có nghiệm ∆'≥ hay……… m ≥ …… Lúc theo Vi-et ta có: A= x1 + x2 =………
mµ m …….=> 6m……… 6m+ Hay A……… DÊu "=" x¶y m =
Vậy A có giá trị nhỏ m=
Bạn hÃy tự phân chia bớc toán tìm giá trị lớn ,nhỏ biểu thức nghiệm phơng trình bậc hai
Bài 23 : Cho phơng trình x2 + (m+1)x + m = (Èn x)
a) Chøng minh phơng trình có nghiệm với m b) H·y tÝnh x21x2 + x22x1 theo m
c) T×m giá trị lớn biểu thức :E = x21x2 + x22x1
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt nghiệm gấp đơi nghim
Bài 24 : Cho phơng trình: x2 + mx + m - = (1) (ẩn x)
a) Chứng minh Phơng trình (1) có nghiệm với m b) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = 2(x2
1 + x22) - x1(x1-x2)- x2(x2+x1)
Bµi 25 : Cho phơng trình: x2 - (k+1)x + k = (1) Èn x tham sè k a) Chøng minh r»ng ph¬ng trình (1) có nghiệm với k b) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình (1) TÝnh biÓu thøc A = x21x2 + x22x1 +2007 theo m Tìm giá trị nhỏ A
Bài 26 Cho phơng trình: : x2 + 2mx + m2 + 4m + = (1) (ẩn x) a)Tìm giá trị m để phơng trình (1)có nghim
b)Tìm giá trị nhỏ :A=x1+x2
c)Tìm giá trị nhỏ :B=x1+x2+x1.x2+2007
Bi 27 *: Cho phơng trình: x2 - (m+1)x + m2 -2m + = (ẩn x) a) Tìm giá trị m để phơng trình vơ nghiệm
(20)c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm phân biệt Viết nghiệm theo m d) Tìm m để A = x21 + x22 đạt giỏ tr ln nht
e) Tìm giá trị lớn nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu thøc B = x1 + x2
Bài 28 : Cho phơng trình : 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + = (ẩn x) a) Tìm m để phơng trình có hai nghim x1 ; x2
b) Tìm giá trị lớn nhÊt cña A = x1x2 - 2x1 - 2x2
Bài 29 : Cho phơng trình: x2 - (k-3)x + 2k + = (1) (Èn x) a) Với giá trị k phơng trình (1) cã nghiÖm
b) Với điều kiện phơng trình (1) có nghiệm tính P = x1 + x2 ; S = x1 x2 c) Viết hệ thức liên hệ x1 ; x2 độc lập với k
Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 độc lập với m phơng trình sau a) x2 - (2m+5)x + m + = b) x2 -2(m-3)x - 2(m-1) = 0 c) x2 + (m-1) x+ m2 + 5m = d) (m-1)x2 - 2mx + m + = 0
Bài 31 : Cho phơng trình: x2 - (2m-1)x+ m2 - m - = (1) (m lµ tham sè)
a) Tính để chứng tỏ phơng trình (1) ln có nghiệm phân biệt Tìm nghiệm b) Tính A = 2x1x2 + x1 + x2 theo m
c) Tìm m để A
Bµi 32 : Cho hai phơng trình : x2 - 7x + = 0
x2 + (m+1)x + 24 = 0 Xác định m để hai phơng trình có nghiệm chung
Bµi 33 : Cho hai phơng trình : x2 + x + m = vµ x2 + mx + = 0
a)Với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung b) Với giá trị m hai phơng trình tơng đơng
Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
2x2 - (3m+2) x + 12 = 0 4x2 - (9m-2)x + 36 = 0
Bài 35 : Xác định m n để hai phơng trình sau tơng đơng
x2 +(3m+2n)x - = 0 x2 + (2m-3n)x + 2n = 0
Bài 36 : Cho hai phơng trình x2 + p1x + q1 = vµ x2 + p2x + q2 =
BiÕt r»ng: p1p2 = 2(q1 + q2) CMR: Ýt nhÊt mét hai phơng trình có nghiệm
Bài 37 : Chứng minh hai phơng trình
ax2 + bx + c = (1) vµ a1x2 + b1x + c1 = (2) Cã Ýt nhÊt mét nghiƯm chung th× (ac1 - a1c)2 = (ab1 - a1b) (bc1-b1c)
Một số toán tổng hợp phơng trình bậc hai
Bài 38: Cho phơng trình: x2 - 2(m+1) x +m-4 = (1)
a)Giải phơng trình m=1
b)CMR phơng trình có nghiệm phân biệt
c)Gọi x1,x2 nghiệm phơng trình(1).CMR A= x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào m d)Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= x12 +x22
Bài 39: Cho phơng tr×nh: x2 - (k+1) x +k = (1)
a)Giải phơng trình k = 2004
b)CMR phơng trình có nghiệm
c)Gi x1,x2 l nghim phơng trình Tính B= x12 + x22 - 16 x1.x2 theo k. Từ tìm giá trị nhỏ B
d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x12 + x22 =5 e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm
Bµi 40:Cho phơng trình: x2 - (a-1) x - a2 +a - = (1)
1) CMR phơng trình (1)ln ln có nghiệm trái dấu với a 2)Gọi x1,x2 nghiệm phơng trình Tính S= x12 + x22 theo a. Từ tìm giá trị nhỏ S
3)lập hệ thức liên hệ x1,x2 độc lập với a 4)Tìm a để nghiệm x1,x2 thoả mãn
x1 +
x2 nhËn gi¸ trị dơng Bài 41:Cho phơng trình ẩn x : (m+1)x2 + x +m2 - 1= 0
a) Gi¶i phơng trình với m =-1
b)Tỡm m phng trình có nghiệm trái dấu
c)Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu có mt nghim bng
Bài 42:Cho phơng trình ẩn x : (a+1)x2 - 2(a-1) x - a - = (1) 1.Giải phơng trình a=1
(21)Tìm a để phơng trình có nghiệm trái dấu
Tìm a để phơng trình có nghiệm dấu nghiệm gấp đơi nghiệm 5.Tìm a để phơng trình có nghiệm x1,x2 thoả mãn nghiệm lớn nghiệm nhỏ
Bài 43:Cho phơng trình ẩn x : x2 + p x +q = 0(1) a)Không giải phơng trình tính theo p,q biÓu thøc
A=
2 x1+3¿2
¿ 2 x2+3¿2
2¿ 2¿ ¿
theo p ,q
b)Tìm p,q để phơng trình có hai nghiệm c)lập phơng trình bậc hai có nghiệm x1+1
x1−1
vµ x2+1
x21
d)Giả sử p+q = CMR phơng trình (1)và phơng trình câu (c) có nghiệm chung e)CMR phơng trình (1) phơng trình: x2 + n x +m = cã nghiƯm chung th×
(n+p)2 +(m- p)(mq-np) = 0.
Bài 44: Cho phơng trình ẩn x: x2 + 2m x +2m-1 = (1) 1)CMR phơng trình (1)ln có nghiệm với m 2)Giả sử x1,x2 nghiệm phơng trình (1) a.Tìm hệ thức liên hệ x1,x2 độc lập với m b Tìm m để x1- x2 =6
c Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc A== x12 x2 + x22 x1
3)Tìm m để phơng trình có nghiệm có nghiệm lớn 4)Tìm m để phơng trình có nghiệm có nghiệm nhỏ 5)Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1<x<3
Chuyên đề :
giải tốn cách lập hệ phơng trình phơng trình dạng tốn chuyển động.
Bài : Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến
chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu
Bài : Hai ngời hai địa điểm cách 3,6 km khởi hành lúc, ngợc chiều nhau, gặp ở
vị trí cách hai địa điểm khởi hành km Nếu vận tốc không đổi nhng ngời chậm xuất phát trớc ng-ời phút họ gặp quãng đờng Tính vận tốc ngng-ời
Bài : Quãng đờng AB dài 270 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B ô tô thứ chạy nhanh
hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tơ thứ hai 42 phút Tính vận tốc xe
Bài : xe gắn máy từ A đến B cách 90 km Vì có việc gấp phải đến B tr ớc dự định 45 phút nên
ngời phải tăng vận tốc 10 km Hãy tính vận tốc dự định ngời
Bài : Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 24 km/h Lúc từ B A, ng ời có cơng việc bận cần đi
theo đờng khác dễ nhng dài lúc km Do vận tốc lúc 30 km/h Lên thời gian thời gian 40 phút Tính quãng đờng lúc
Bài : ngời xe đạp từ A đến B cách 50 km sau 1h30’ ngời xe máy từ A đến B và
đến B sớm ngời xe đạp Tính vận tốc xe Biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp
Bµi : Hai ngêi cïng khëi hµnh lóc từ hai tỉnh A B cách 44 km ngợc chiều họ gặp
nhau lóc giê 20 TÝnh vËn tèc cđa ngời biết vận tốc ngời từ A vận tốc ngời từ B km/h
Bài : Từ hai địa điểm cách 126 km Có ngời ngời ô tô khởi hành lúc 30
phút Nếu ngợc chiều họ gặp lúc 10 giờ, chiều(ô tô phía ngời bộ) ô tô đuổi kịp ngêi ®i bé lóc 11 giê TÝnh vËn tèc ngêi ô tô
(22)Bài : Hai tỉnh A B cách 150 km Hai ô tô khởi hành lúc ngợc chiều nhau, gặp C
cỏch A 90 km Nếu vận tốc không đổi nhng ô tô từ B trớc ô tô từ A 50 phút hai xe gặp qng đờng Tính vận tốc tô
Bài 10 : Một ô tô dự định 120 km thời gian dự định nửa qng đờng đầu Ơ tơ với vận tốc
dự định Xong xe bị hỏng lên phải nghỉ phút để sửa Để đến nơi xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h nửa quãng đờng cịn lại Tính thời gian xe lăn bánh quãng đờng
Bài 11 : Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian dự định sau đ ợc Ơ
tơ bị chặn xe lửa 10 phút, để đến B giờ, xe phải tăng vận tốc km/ Tính vận tốc ô tô lúc đầu
Bài 12 : Một quãng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài km, đoạn xuống dốc dài km Một ngời từ A đến B
hết 40 phút, từ B đến A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc vận tốc lên dốc lúc vận tốc xuống dốc vận tốc xuống dốc về) Tính vận tốc xuống dốc vận tốc lên dốc
Bài 13 : Một ngời xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC đoạn xuống dốc CB Thời gian AB
là 20’, thời gian BA Tính quãng đờng AC, CB Biết vận tốc xuống dốc 15 km/h, vận tốc lên dốc 10 km/h (Vận tốc lên dốc lúc vận tốc lên dốc lúc về, vận tốc xuống dốc lúc vận tốc xuống dốc lúc về)
Bµi 14 : Một thuyền khởi hành từ bến sông A sau 20 phút ca nô chạy từ bến A đuổi theo
và gặp thuyền cách bÕn A 20 km Hái vËn tèc cđa thun BiÕt ca nô chạy nhanh thuyền 12 km
Bài 15 : Một ca nô xuôi khúc sông dài 90 km, ngợc 36 km Biết thời gian xuôi nhiều thời gian
ngợc dòng giờ, vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc ca nô lúc xuôi dòng lúc ngợc dßng
Bài 16 : Một ca nơ từ A đến B với thời gian định Nếu vận tốc ca nơ tăng km/h đến sớm giờ, nếu
ca nô giảm vận tốc km/h đến chậm Tính thời gian dự định vận tốc dự định
Bài 17 : Một ca nô xuôi khúc sông từ A đến B dài 80 km trở từ B đến A tính vận tốc thực cuả ca
n« BiÕt tổng thời gian ca nô xuôi ngợc hết 20 phút vận tốc dòng nớc km/h
Bài 18 : Một ca nô chạy khúc sông giờ, xuôi dòng 180 km, ngợc dòng 63 km Một lần khác
ca nô chạy giờ, xuôi dòng 81 km, ngợc dòng 84 km Tính vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nớc
Bài 19 : Trên khúc sông ca nô xuôi dòng hết chạy ngợc dòng hết Biết vận tốc của
dòng nớc km/h Tính chiều dài khúc sông vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng
Bi 20 : Hai ca nô khởi hành lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với
vận tốc 24 km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút, sau chạy tiếp Tính chiều dài khúc sơng, biết hai cô nô đến nơi lúc
Bài 21 : Hai ca nô khởi hành từ hai bến A B cách 85 km ngỵc chiỊu Sau giê 40 2
ca nô gặp Tính vận tốc riêng ca nô Biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng km/h Và vận tốc dòng nớc km/h
Bài 22 : Hai bến sông A, B cách 40 km, cïng mét lóc víi ca n« xu«i tõ bÕn A cã mét chiÕc bÌ tr«i tõ bÕn
A với vận tốc km/h sau đến B ca nô trở bến A gặp bè trôi
đợc km Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc riêng ca nô không i
Bài 23 Một ôtô từ A cần tới B lúc 10 cách B 40 km.
Ngời lái xe thấy giữ nguyên vận tốc đến B lúc 10 10 phút Ngời tăng vận tốc thêm 10 kkm/h đến B lúc 10 10 phút Tính vận tốc lúc đầu ô tô
Bài 24 Một ôtô từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc vận tốc tăng 10km/h Do thời gian về thơừi gian 30 phút Tính vận tốc lúc
Bµi 25 Một ca nô xuôi dòng 44 km ngợc dòng trở lại 27 kmhết 30 phút Biết vận tốc thực ca nô 20 km/h TÝnh vËn tèc dßng níc
Bài 26 Hai ngời quãng đờng AB dài 450 km khởi hành lúc Vận tốc ngời thứ vận tốc ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ đến B sau ngời thứ hai Tính vận tốc thời gian quang đờng AB ngời
Bài 27 Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 km với vận tốc xác định Khi từ B A ngời vòng đờng khác dài đờng cũ 29 km nhng với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc Biết thời gian nhiều thời gian 30 phút
(23)Bài 29 Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B , lúc có ngời từ bến A dọc theo bờ sông h-ớng đến B Sau dợc 24km ca nơ quay lại gặp ngời địa điểm cách bến A 8km Tính vận tốc ca nô nớc yên lặng , biết vận tốc ngời vận tốc dũng nc u bng 4km/h
II Dạng toán chung - riªng
Bài : Hai đội xây dựng làm chung công việc dự định làm xong 12 ngày, họ làm với
nhau đợc ngày đội đợc điều động làm việc khác, đội tiếp tục làm Do cải tiến kỹ thuật, suất tăng gấp đôi lên đội làm xong phần việc lại 3,5 ngày Hỏi đội làm bao ngày xong cơng việc (với suất bình thờng)
Bài : An Bình làm chung công việc 20 phút xong Nếu An lµm giê vµ
Bình làm hai ngời làm đợc
4 cơng việc Hỏi ngời làm làm cơng việc
trong mÊy giê xong
Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 20 bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút và
vòi thứ chảy 12 phút đầy
15 bể Hỏi vòi chảy lâu đầy bể
Bài : Hai vòi nớc chảy sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy 10 đầy bể Hỏi nếu
vòi thứ hai chảy đầy bể
Bài : Hai líp 9A vµ 9B cïng tu sưa khu vêng thùc nghiƯm cđa nhµ trêng ngµy xong Nếu lớp tu
sửa muốn hành thành công việc lớp 9A cần thời gian lớp 9B ngày Hỏi lớp làm hoàn thành công việc
Bài : Hai tổ sản xuất nhận chung công việc.Nếu làm chung hoàn thành
3 công việc
Nếu để tổ làm riêng tổ làm xong công việc trớc tổ Hỏi tổ làm xong công việc
Bài : Hai tổ đợc giao làm việc Nếu làm chung hồn thành 15 Nếu tổ làm
trong giờ, tổ làm làm đợc 30% cơng việc Hỏi làm tổ cần làm hồn thành cơng việc
Bài 8: Hai ngời làm chung công việc xong 50’ Sau làm đợc Ngời thứ phải
®iỊu ®i làm việc khác, nên ngời làm tiếp xong công việc Hỏi làm ngời làm xong
Bài : Hai ngời thợ làm công việc, làm riêng ngời nửa công việc tổng céng sè giê lµm
viƯc lµ 12h30’ NÕu hai ngời làm chung hai ngời làm xong công việc Hỏi ngời làm riêng xong việc
Bài 10 : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 44
5 đẩy bể, môĩ lợng nớc vòi chảy 11
2 lợng nớc vòi Hỏi vòi chảy riêng đầy bể
Bi 11 : Hai ngời thợ dự định làm chung công việc 12’ xong nhng thực tế ngời
1 làm ngời tăng xuất lên gấp đôi làm hai ngời làm đợc
4 c«ng
việc Hỏi ngời làm cơng việc xong cơng việc
Bài 12 : Hai ngời thợ làm chung công việc 16 xong Nếu ngời thứ nhÊt lµm giê, ngêi
thứ hai làm họ làm đợc 25% cơng việc Hỏi ngời làm cơng việc bao lõu xong cụng vic
II tăng xuất :
Bài : Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ công nhân chuyển làm việc khác nên ng ời lại
phải làm thêm dụng cụ Tính số công nhân tổ lúc đầu (năng suất ngời nh nhau)
Bài : Hai đội thuỷ lợi gồm ngời đào đắp mơng Đội đào đợc 45 m3 đất, đội hai đào đợc 40 m3 Biết công nhân đội đào đợc nhiều ccơng nhân đội 1m3 Tính số đất công nhân đội đào đợc.
(24)Bài : Một máy kéo dự định ngày cày 40 Khi thực ngày đội máy kéo cày đợc 52 Vì vậy
đội cày xong trớc thời hạn ngày mà cịn cày thêm đợc Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch định
Bài : Một tổ dệt khăn mặt, ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhng thực tế ngày dệt thêm
đ-ợc 60 chiếc, hoàn thành kế hoạch trớc ngày mà dệt thêm đđ-ợc 1200 khăn mặt so vơí kế hoạch Tìm số khăn mặt phải dệt theo kế hoạch lúc đầu
Bài : Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định phải bơm 10
m3 Sau bơm đợc
3 dung tÝch cña bể chứa, ngời công nhân vận hành cho máy bơm víi c«ng st lín
hơn, bơm đợc 15 m3 bể đợc bơm đầy trớc 48 phút so với thời gian quy định Tính dung tích b cha
Bài : Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo suất dự kiến Thời gian làm theo năng
suất tăng 10 sản phẩm so với thời gian làm theo suất giảm 20 sản phẩm ngày ( tăng, giảm so với suất dự kiến) Tính suất dự kến theo kế ho¹ch
Bài : tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng 2, tổ vợt mức 15%, tổ hai vợt
mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy
Bài : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ sản xuất vợt
mức 15%, tổ sản xuất vợt mức 20%, cuối tháng hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất đợc chi tiết máy ?
Bài9 Một tàu đánh cá dự định trung bình ngày đánh bắt đợc 30 cá Nhng thực tế ngày đánh bắt thêm đợc nên hồn thành kế hoạch sớm đợc ngày mà cịn đánh bắt vợt mức 20 Hỏi số cá dự định đánh bắt theo kế hoạch bao nhiêu?
Bài 10 Trong buổi lao động trồng cây, 15 học sinh nam nữ trồng đợc tất 180 Biết số cây bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng bạn nam trồng nhiều bạn nữ cây.Tính số học sinh nam nữ
IV Toán hình học :
Bài : Cạnh huyền tam giác vuông 10 m Hai cạnh góc vuông nhau2m Tìm cạnh
góc vuông tam giác
Bi : Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m, ngời ta làm lối xung quanh vờn ( thuộc đất
v-ờn) rộng 2m Diện tích đất cịn lại để trồng trọt 4256 m2 Tính kích thớc vờn.
Bµi : Tỉ số cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông 13/12 cạnh lại 15m.
Tính cạnh huyền
Bi : Tìm hai cạnh tam giác vng biết cạnh huyền 13 cm, hiệu hai cạnh góc vng cm. Bài : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m Nếu chiều rộng tăng thêm m chiều dài tăng thêm 3
m diện tích tăng thêm 195 m2 Tính kích thớc miếng đất.
Bµi : Tìm kích thớc hình chữ nhật biÕt chu vi b»ng 120m, diÖn tÝc b»ng 875m2
Bài : Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy hình tam giác biết tăng cạnh đáy 4m giảm chiều cao tơng ứng 1m diện tích khơng đổi
Bài : Một hình chữ nhật có chu vi 100 m Nếu tăng chiều rộng gấp đôi giảm chiều dài 10 m Thì diện tích
h×nh chữ nhật tăng thêm 200m2 Tính chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu.
Bài : Một tam giác vuông có chu vi 30 m, cạnh huyền 13 m Tính cạnh góc vuông.
Bài 10 : tính cạnh góc vuông tam giác vuông biÕt hiƯu cđa chóng b»ng m vµ diƯn tÝch tam gi¸c
b»ng 48 m2
Bài 11 Tính độ dài cạnh tam giác vng , biết chúng số tự nhiên liên tiếp. Bài12 Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật biết chu vi 34m , đờng cao 13 m.
Bài13 Một tam giác vuông có cạnh huyền 15 cm hai cạnh góc vng 3cm Tính độ dài
cạnh tam giác vng
Bµi14 Tính cạnh góc vuông tam giác vuôngcó cạnh huyền 10 Và cạnh góc vuông trung bình cộng cạnh c¹nh hun
Bài15 Một sân tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy tam giác biết tăng cạnh đáy 4m giảm chiều cao tơng ứng 1m diện tích khơng đổi.S
(25)I_chøng minh tø gi¸c néi tiÕp
Bài : Chứng minh tứ giác hình vẽ dới nội tiếp đợc đờng tròn.
O
P Q
E F
x G
H O
A K
M N A
D
C B A D
C B
A
Bài : Cho đờng trịn (O) điểm A bên ngồi đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn
(O) M điểm tuỳ ý dây BC (M≠B ; M≠ C) đờng thẳng vng góc với OM M cắt AB, AC lần lợt D E CMR
a Tứ giác ODBM tứ giác ABOC nội tiếp đờng tròn b M trung điểm DE
Bài : Cho đờng tròn (O) cung AB S điểm cung Trên dây AB lấy hai điểm E H.
Các đờng thẳng SH , SE cắt đờng tròn (O) lần lợt C D CMR tứ giác EHCD nội tiếp đờng tròn
Bài : Cho tứ giác ACDB (AB>CD) nội tiếp đờng tròn (O) Gọi S điểm cung nhỏ CD.đờng
thẳng AD cắt BS E đờng thẳng BC cắt AS F CMR a Tứ giác AFEB nội tiếp đờng tròn
b ED.EA= ES.EB c DC song song víi EF
Bài : Cho ∆ ABC nhọn đờng phân giác góc B❑ góc C❑ gặp S đờng phân giác B❑ C❑ gặp E
a> CMR: tứ giác BSCE nội tiếp đờng tròn
b> Gọi M tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE CMR tứ giác ABMC nội tiếp
Bài 6: cho đờng tròn (0) điểm A ngồi đờng trịn Các tiếp tuyến với đờng tròn (0) kẻ từ A tiếp xúc với
đờng tròn (0) B C gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn
( M≠B ; MC ).Từ M kẻ MH vuông góc với BC, MK vu«ng gãc víi AC, MI vu«ng gãc víi AB a> chøng minh tø gi¸c ABOC néi tiÕp
b> chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK c> chứng minh MI.MK= MH2
Bài 7: Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AB M điểm đờng tròn(M≠A; M≠ B).
C điểm cạnh AB (C≠A; C≠0;C≠B) đờng vuông góc MC M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A B với đ-ờng tròn (0) E va F chứng minh
a> Tứ giác BCMF nội tiếp đớng trịn b> Tam giác ECF vng C
Bài 8: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O , hai đờng cao BB’ CC’ cắt H
a)chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác BCB’C’ b)Tia AO cắt đờng tròn (O) D, cắt B’C’ I CMR tứ giác B’IDC nội tiếp,
từ suy AO B’C’
c)Chứng minh H đối xứng với D qua trung điểm M BC
Bài : cho (O; R) hai đờng kính AB CD vng góc với E điểm cung nhỏ BC AE cắt
OC ë F, DE c¾t AB ë N
a Chứng minh tứ giứac CFMB nội tiếp, tìm tâm đờng trịn b Chứng minh : OE ; BF ; CM đồng quy
Bài 10 : cho hai đờng tròn (O1) ; (O2) cắt E F ; O1O2 cắt (O1) A, C ; cắt (O2) B, D (sắp xếp theo thứ tự A, B, C, D) cắt EF H P điểm tia đối tia EH CP cắt (O1) M ; BP cắt (O2) N ; AM cắt DN I chứng minh :
a Tø gi¸c MPNI néi tiÕp b HA HC = HB HD c Tø gi¸c BNMC néi tiÕp
d H ; I ; P thẳng hàng tứ giác ANMD nội tiếp
II-Chứng minh đại lợng a.b=c.d (a,b,c,d độ dài đoạn thẳng)
(26)Bài : cho điểm A ngồi đờng trịn (O) từ A kẻ tiếp tuyến AT tới đờng tròn cát tuyến AEF ; APQ
CMR : AT2 = AE AF = AP AQ.
Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O.Gọi I giao điểm hai đờng chéo AC BD.CMR :IA.ID =
IB IC
Bµi :
Cho ∆ BAC vuông A,đờng cao AH, gọi P,Q theo thứ tự hình chiếu H AB AC a Chứng minh : tứ giác BPQC nội tiếp đờng tròn
b Chøng minh r»ng : AP AB = AQ AC
c Gọi O O thứ tự trung điểm BH HC Gọi I giao điẻm PQ vµ AH d CMR : OI2 = OH OO’
Bài 4: Cho đờng trịn (O;R) hai đờng kính AB CD vng góc với nhau.Trên cung nhỏ BC lấy im M.Gi
dao điểm AM CD lµ K CMR :AM.AK =AD2 = BD2 = 2R2
Bài : Cho đoạn thẳng AB , kẻ Bx AB Trên Bx lấy điểm O cho BO = AB
2 Tia AO cắt đờng tròn
(O ; OB) D E ( D nằm A O) đờng tròn (A ; AD) cắt AB C a Tìm vị trí tơng đối (A ; AC) với đờng trịn ( O ; OE)
b Chøng minh r»ng : DE2 = AD AE c AC2 = BC AB.
Bài : cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi K tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC AK cắt BC I’
và cắt đờng trịn (O) P Kẻ đờng kính PQ Gọi E F thứ tự giao điểm BK CK với đờng thẳng AQ Chứng minh
a PC2 = PI PA
b điểm B, C, E, F thuộc đờng tròn
Bài 7:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) (AC>AB) gọi D điểm cung nhỏ BC, P giao
điểm AB CD, tiếp tuyến đờng tròn C cắt tiếp tuyến D cắt AD thứ tự E Q a Chứng minh : DE // BC
b Chøng minh : DP DC = DA DQ c Chøng minh : DE // PQ
d Gọi F giao điểm AD BC Chứng minh
CE= CQ +
1 CF
III Chứng minh đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn
Bài : Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB hai tia tiếp tuyến Ax, By Một đờng thẳng d tiếp xúc
với nửa đờng tròn (O) C (c ≠ A, B) cắt Ax, By lần lợt E, F a Chứng minh OE vng góc với OF
b Chứng minh tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB
c Tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác OEF Từ chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác OEF
Bài : Cho đờng tròn (O), đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn A vẽ đờng trịn (I) đờng kính OA.
a Chứng minh hai đờng tròn (O) (I) tiếp xúc với
b Qua A vẽ cát tuyến cắt đờng tròn (I) đờng tròn (O) lần lợt M C CMR : MA= MC c Đờng thẳng OM cắt d B Chứng minh : BC tiếp tuyến (O)
Bài : cho nửa đờng trịn đờng kính AB C ; D hai điểm (C nằm A D) AC AD cắt tiếp
tuyến Bx nửa đờng tròn lần lợt E F a Chứng minh ABD = AEF ; ABC = AEB
b Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đờng tròn
c Gọi I trung điểm FB.Chứng minh rằngDI tiếp tuyến nửa đờng tròn
d Giả sử CD cắt Bx G, phân giác CGE cắt AE AF thứ tự M N Chứng minh tam tiác AMN cân
Bi : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn (O) E điểm cung AB Hai dây EC, ED cắt
AB thø tù P Q dây AD EC kéo dài cắt I Các dây BC ED kéo dài cắt K Chứng minh
a Tø gi¸c CDIK néi tiÕp b Tø gi¸c CDPQ néi tiÕp c IK song song víi AB
d Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQP tiếp xúc với EA t¹i A
Bài : Cho tam giác cân ABC(CA=CB) I trung điểm AB, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB A, cắt CI
H
a Chøng minh r»ng : H trực tâm tam giác ABC
(27)c Chứng minh ngợc lại : H trực tâm tam giác ABC đờng trịn ngoại tiếp tam giác AHC tiếp xúc với AB
Bài : Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R dây cung thay đổi MN=R √2 (M nằm cung AN) AM cắt BN C ; AN cắt BM D
a Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp đờng tròn tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác CMDN b Chứng minh CD vng góc với AB
c Chứng minh OM tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN d Chứng minh CD =AB CD song song với đờng thẳng cố định
Bài 8: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C Vẽ hai nửa đờng trịn đờng kính AB BC ( vẽ
phía AC) đờng thẳng vng góc với AC B lấy điểm D cho góc ADC = 900 gọi giao điểm DA DC với nửa đờng trònl E F Chứng minh
a EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn b Tứ giác AEFC nội tiếp đờng trịn
c Xác định vị trí điểm B đoạn thẳng AC để tứ giác DEBF hình vng
Bài : Cho tam giác ABC nhọn AB < AC nội tiếp đờng tròn (O,R) H giao điểm đờng cao
AM ; BN ; CP Q điểm đối xứng H qua trung điểm E cạnh BC Chứng minh góc PNB = BNM = CBQ
1 Chứng minh : Q thuộc đờng tròn tâm (O)
2 Từ A kẻ đờng thẳng xy song song với NP đờng thẳng cắt đờng thẳng BC K Chứng minh xy tiếp tuyến đờng tròn (O) AK2 = KB BC
3 Gọi I điểm đối xứng O qua BC, tính HI theo R
IV.Chứng minh hai đờng thẳng song song vng góc
Bài : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O) đờng cao AH cắt đờng tròn (O) D, kẻ đờng kính AOE
a Chøng minh r»ng : DE song song víi BC
b Gọi M điểm cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC c Tính bán kính đờng trịn (O) biết BC = 24 cm ; IM = 8cm
Bµi :
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, gọi S trung điểm AO, vẽ đờng tròn tâm S qua A a Chứng minh đờng tròn (O) (S) tiếp xúc với A
b Một đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (S) M đờng tròn (O) P Chứng minh : SM // OP
M trung điểm cđa AP vµ OM //BP
Bài : Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B, vẽ đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O) ở
C cắt đờng tròn (O’) D (A nằm C D), vẽ đờng thẳng qua B cắt đờng tròn (O) E, cắt đờng tròn (O’) với F (B nằm E, F) hai đờng thẳng CD EF không cắt bên hai đờng tròn Chứng minh CE // DE
Bài : Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa
đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự C D Các đờng thẳng AD BC cắt N Chứng minh
a MN // AC
b CD MN= CM BD
Bài :Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) đờng phân giác góc B, C lần lợt cắt ng
tròn E, F Dây cung EF cắt AC, AB lần lợt H, I a) Chứng minh tam giác FKB EAK cân
b) Chứng minh tứ giác FIKN nội tiếp Từ suy IK // AC c) Có nhận xét tứ giác AIKH ?
Bài : cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O;R) hai tiếp tuyến B D cắt T.
a Chøng minh r»ng OT// AB
b Chứng minh : ba điểm O,C,T thẳng hàng c tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R
Bài 7: Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC BD vng góc với I Chứng minh :
a) Khoảng cách từ O tới AB nửa độ dài CD
b) §êng thẳng qua I trung điểm BC vuông gãc víi AD
Bµi 8:
Cho đờng trịn đờng kính BC Một điểm P ngồi đờng trịn có hình chiếu BC điểm A ngồi đờng trịn Giao PB, với PC với đờng tròn lần lợt M, N, giao AN với đờng tròn E Chứng minh :
a) Bốn điểm A, B, N, P nằm đờng trịn b) EM vng góc với BC
Bài 9: Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O), ngồi ACB = 450 Các đờng cao AH, BH tam giác cắt đờng tròn lần lợt P, Q Hai đờng thẳng AQ BP giao S
a) Chứng minh PQ đờng kính đờng trịn (O)
(28)b) Chøng minh c¸c tam gi¸c ASH APQ hình bình hành c) Chứng minh tam giác ASH APQ
d) Nếu tam giác ABC có góc B tù kết cịn hay khơng ? chứng minh điều
Bài 10 : Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O).Các đờng phân giác góc B,và C lần lợt cắt đờng
tròn E& F.Dây cung è cắt AC,AB lần lợt t¹i H; I CMR: a) MN//AC
b) CD.MN = CM.BD
B
ài 11 :Trong đờng tròn (O) cho 12 dây cung AC BD vng góc với I CMR
a)Khoảng cách từ O tơí AB nửa độ dài CD
b)Đờng thẳng qua I trung điểm BC vuong gãc víi AD
Bài 12: Cho đờng trịn đờng kính BC.Một điểm P nằm ngồi đờng trịn có hình chiếu BC điểm
A ngồi đờng trịn Giao điểm PB PC với đờng tròn lần lợt M&N Gọi giao điểm AN với đờng tròn E CMR:
a)Bốn điiểm A,B,N,P nằm đờng trịn b)EN vng góc với BC
Bài 13:Tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O),ngồi góc ACB =450 Các đờng cao AH,BH tam giác cắt đờn tròn lần lợt P,Q Hai đờng thẳng AQ ,BP giao S CMR:
a)PQ đờng kính đờng trịn(O) b) ACBS hình bình hành
c)Các ASH APQ nhau:
d) Nếu Δ ABC có góc B tù kết cịn hay khơng?Chứng minh iu ú
II chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài 1cho hai đờng tròn tâm O O’cắt Avà B từ B kẻ đờng kính BOC BO’D
a chøng minh r»ng: ba điểm C,A,D thẳng hàng suy CD = 2OO
b gọi M trung điểm dây cung chung AB CMR ba điêmt O,M,O thẳng hàng c biết OO= 5cm ; O’B= 3cm ; OB= 4cm tÝnh AB,AC vµ diƯn tÝch OBO’
Bµi 3:
Cho hai điểm A, B cố định đờng tròn (O) Các điểm C, D di động đờng tròn cho AD//BC C, D phía với dây AB ; M giao điểm AC, BD tiếp tuyến với đờng tròn A D cắt I Chứng minh
a Ba điểm I, O, M thẳng hàng
b Chng minh bốn điểm A, B, M, P thuộc đờng trịn c Bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác MDC hình số
Bài 4: Cho M điểm di động nửa đờng trịn đờng kính AB Gọi H điểm cung AM
Tia BH cắt AM I cắt tiếp tuyến A đờng tròn (O) K Các tia AH, BM cắt S
a Chứng minh tam giác ABS cân.Từ chứng minh S nằm đờng tròn cố định b Chứng minh KS tiếp tuyến đờng tròn (B, BA)
c Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BIS cắt đờng tròn (B, BA) N Chứng minh M, N, A thẳng hàng
Bµi :
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) với trực tâm H, AH kéo dài cắt đờng tròn E Kẻ đờng kính AOF a Chứng minh tam giác BCEF hình thang cân
b Chøng minh BAE = CAF
c Gọi I trung điểm BC chứng minh H, I, F thẳng hàng
VI phng pháp chứng minh ba đờng thẳng đồng quy
Bài 1: Hai đờng tròn (O) ; (O’) cắt A B Đờng thẳng vng góc với AB B cắt đờng tròn (O) và
(O’) lần lợt C, D Các đờng thẳng CA, DA cắt (O’), (O) theo thứ tự E, F Chứng minh a) Tứ giác CFED nội tiếp
b) AB lµ phân giác góc FBE
c) Cỏc ng thng CF, DE, AB nội tiếp
Bài 2:Từ điểm C ngồi đờng trịn (O) kẻ cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vng góc với AB Các đờng
thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M N
a) Chứng minh IN, IM AB đồng quy điểm D
b) Chứng minh tiếp tuyến M N qua trung điểm E CD
Bài 3: Cho hai đờng tròn (O, R) (O’ , R’) tiếp xúc A(R>R’) Đờng nối tâm OO’ cắt đờng tròn (O)
và (O’) theo thứ tự B C(B C khác A) EF dây cung đờng trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, BC cắt ng trũn (O) ti D
VII toán tổng hợp toán khác
Bi 1: cho hỡnh vuụng ABCD có cạnh cm điểm M thuộc cạnh AD cho AM = cm vẽ đờng tròn tâm O
có đờng kính BM đờng trịn cắt AC E ( khác A ) tính bán kính đờng trịn (O)
(29)3 CMR: tam giác BEM tam giác vuông cân
4 tiếp tuyến Bx đờng tròn (O) cắt DC K CMR: M,E,K ba điểm thẳng hàng
Bài 2: cho hai đờng tròn (O) và(O’) cắt hia điểm Avà B đờng thẳng vng góc với AB kẻ
qua B cắt đờng tròn (O) (O’) lần lợt điểm thứ hai C D Lấy điểm M xung nhỏ CB với đờng tròn tâm (O) Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng CMvới đờng tròn tâm (O’) N giao điểm hai đờng thẳng CM DN P
a tam giàc AMN tam giác ? sao?
b CMR: tứ giác ACPD nội tiếp từ dó suy P ln thuộc đờng trịn
c Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O’) Q tứ giác BCPQ hình gì? ?
d Gọi giao điểm AP CD E CMR: M di động cung nhỏ BC tâm đờng trịn ngoại tiềp tam giác CED thuộc đờng thẳng cố định
Bài 3: cho nửa đờng trịn tâm (O) đờng kính AB K điểm cung AB M điểm cung
AK Trªn tia BM lÊy ®iÓm N cho BN =AM
a chøng minh r»ng: tam gi¸c AMK = tam gi¸c BNK
b tam giac MNK vuông cân MK tia phân gi¸c gãc AMN
c M chuyển động cung AK đờng vng góc với BM kẻ từ N qua điểm cố định
Bài 4: cho đờng trịn (O) đờng kính AB I K thuộc AB cho OI= OK M thuộc (O) MO,MI ,MK cắt (O)
lần lợt E,C,D đờng thẳng CD cắ AB F EI cắt DE N MI cắt EF H a CMR: FA.FB = FC.FD b M? MI =IH
c CM: tø gi¸c ENCH néi tiÕp d CMR: EF tiếp tuyến tâm (O)
Bi 5.Cho đờng tròn tâm O ,dây AB , C nằm (O) , C thuộc tia AB P điểm nằm cung lớn
AB , kẻ đờng kính PQ cắt dây AB D ,tia CP cắt đờng ròn I , AB cắt QI K Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp
Chøng minh QB2 = QK.QI Chøng minh CI.CP = CK.CD
Chứng minh IC phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB chứng minh CK.CD = CA.CB
Bài Cho (O;R) tiếp xúc (O'; r) (R > r) C AC,BC hai đờng kính (O) (O') DE dây (O)
vng góc với AB trung điểm M AB; đờng thẳng DC cắt (O') F Chứng minh rằng: Tứ giác AEBD hình gì?
điểm B,E,F thẳng hàng Tø gi¸c MDBF néi tiÕp
DB cắt (O') G Chứng minh DF,EG,AD đồng quy 5.DE = MF MF tiếp tuyn (O')
Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ,P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC ,PD cắt
dây AB E,F ; dây AD, PC kéo dài cắt I Các dây BC, PD kéo dài ncắt K So sánh hai góc CID CKD
Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp Chøng minh IK song song víi AB
Chứng minh AP tiếp tuyến đờng tròn qua im A,F,D
một số toán hình häc líp 9
Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt
đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chứng minh rằng:
1 C¸c tø gi¸c AEHF, néi tiÕp
2 Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H M đối xứng qua BC
5 Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn ngoại
tiÕp tam gi¸c AHE
1 Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp
2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn Chứng minh ED =
2 BC
4 Chứng minh DE tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm
Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa
đ-ờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By lần lợt C D Các đđ-ờng thẳng AD BC cắt t¹i N
1 Chøng minh AC + BD = CD
(30)2 Chøng minh COD = 900. Chøng minh AC BD = AB
2
4
4 Chøng minh OC // BM
5 Chứng minh AB tiếp tuyến đờng trịn đờng kính CD Chứng minh MN AB
7 Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ
Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng trịn bàng tiếp góc A , O là
trung ®iĨm cđa IK
1 Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O)
3 Tính bán kính đờng trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm
Bài Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất
k× ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB
1 Chứng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2.
4 Chøng minh OAHB lµ hình thoi
5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
6 Tỡm qu tớch ca im H M di chuyển đờng thẳng d
Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng trịn tâm A bán kính AH Gọi HD là đờng kính
của đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân
2 Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đờng tròn (A; AH) Chứng minh BE = BH + DE
Bài Cho đờng trịn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP >
R, tõ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M
1 Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc đờng tròn Chứng minh BM // OP
3 Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Bi Cho na ng trũn tõm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa
mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng trịn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
a) Chøng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh r»ng: AI2 = IM IB.
c) Chøng minh BAF tam giác cân
d) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi
e) Xỏc định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn
Bài Cho nửa đờng trịn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn
Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E) Chứng minh AC AE không đổi
2 Chøng minh ABD = DFB
3 Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp
Bài 10 Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng trịn cho AM < MB Gọi M’ là
điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P chân đơng vng góc từ S đến AB
1 Chứng minh bốn điểm A, M, S, P nằm đờng tròn
2 Gọi S’ giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PS’M cân Chứng minh PM tiếp tuyến đờng tròn
Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) điểm D, E, F
BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : Tam giác DEF có ba gãc nhän
2 DF // BC
3 Tø gi¸c BDFC néi tiÕp BD
(31)Bài 12 Cho đờng trịn (O) bán kính R có hai đờng kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy
điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đờng tròn P Chứng minh :
1 Tø gi¸c OMNP néi tiÕp
2 Tø gi¸c CMPO hình bình hành
3 CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M
4 Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định
Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ
nửa đờng trịn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng trịn đờng kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hỡnh ch nht
2 BEFC tứ giác nội tiÕp AE AB = AF AC
4 Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng trũn
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn th¼ng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vỊ mét phÝa cđa AB c¸c nưa
đ-ờng tròn có đđ-ờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự lµ O, I, K
Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K)
1 Chøng minh EC = MN
2 Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) Tính MN
4 Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng trịn (O) có đờng kính MC đờng
thẳng BM cắt đờng tròn (O) D đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp
2 Chøng minh CA lµ tia phân giác góc SCB
3 Gi E l giao điểm BC với đờng tròn (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE
5 Chứng minh điểm M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E
Các đờng tròn CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G Chứng minh :
1 Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp
3 AC // FG
4 Các đờng thẳng AC, DE, FG đồng quy
Bài 17 Cho tam giác ABC có đờng cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khơng trùng B C, H ) ;
tõ M kỴ MP, MQ vuông góc với cạnh AB AC
1 Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH
3 Chøng minh OH PQ
Bài 18 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H khơng trựng O, B); trờn
đ-ờng thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M đđ-ờng tròn ; MA MB thứ tự cắt đđ-ờng tròn (O) C D Gọi I giao ®iĨm cđa AD vµ BC
1 Chøng minh MCID tứ giác nội tiếp
2 Chng minh đờng tròn AD, BC, MH đồng quy I
3 Gọi K tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp
Bài 19 Cho đờng tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB CD cắt đờng trịn đờng kính BC I
1 Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD
4 Chứng minh I, B, E thẳng hàng
5 Chứng minh MI tiếp tuyến đờng tròn đờng kính BC
Bài 20 Cho đờng trịn (O; R) (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc C Gọi AC BC hai đờng kính
®i qua ®iĨm C cđa (O) (O) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao ®iĨm thø hai cđa DC víi (O’) lµ F, BD cắt (O) G Chứng minh rằng:
1 Tứ gi¸c MDGC néi tiÕp
2 Bốn điểm M, D, B, F nằm đờng tròn Tứ giác ADBE hình thoi
4 B, E, F thẳng hàng DF, AG, AB đồng quy MF = 1/2 DE
7 MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’)
(32)Bài 21 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB Gọi I trung điểm OA Vẽ đờng tron tâm I qua A, (I)
lÊy P bÊt k×, AP cắt (O) Q
1 Chng minh rng đờng trịn (I) (O) tiếp xúc ngồi A Chứng minh IP // OQ
3 Chøng minh r»ng AP = PQ
4 Xác định vị trí P để tam giác AQB có diện tích lớn
Bài 22 Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đờng thẳng vng góc với DE, đờng thẳng
này cắt đờng thẳng DE DC theo thứ tự H K Chứng minh BHCD tứ giác nội tiếp
2 TÝnh gãc CHK
3 Chøng minh KC KD = KH.KB
4 Khi E di chuyển cạnh BC H di chuyển ng no?
Bài 23 Cho tam giác ABC vuông A Dựng miền tam giác ABC hình vuông ABHK, ACDE.
1 Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng
2 ng thng HD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC F, Chứng minh FBC tam giác vuông cân Cho biết ABC > 450 ; gọi M giao điểm BF ED, Chứng minh điểm b, k, e, m, c nằm
trên đờng tròn
4 Chứng minh MC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 24 Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đờng trịn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn cắt BA BC D E
1 Chøng minh AE = EB
2 Gọi H giao điểm CD AE, Chứng minh đờng trung trực đoạn HE qua trung điểm I BH
3 Chứng minh OD tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE
Bài 25 Cho đờng tròn (O), BC dây (BC< 2R) Kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O) B C chúng
cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đờng vng góc MI, MH, MK xuống cạnh t-ơng ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q
1 Chøng minh tam gi¸c ABC cân
2 Các tứ giác BIMH, CIMH nội tiÕp Chøng minh MI
2 = MH.MK. Chøng minh PQ MI
Bài 26 Cho đờng trịn (O), đờng kính AB = 2R Vẽ dây cung CD AB H Gọi M điểm
cung CB, I lµ giao ®iĨm cđa CB vµ OM K lµ giao ®iĨm cđa AM vµ CB Chøng minh : KC
KB= AC
AB AM tia phân giác gãc CMD.3 Tø gi¸c OHCI néi tiÕp
4 Chứng minh đờng vng góc kẻ từ M đến AC tiếp tuyến đờng tròn M
Bài 27 Cho đờng tròn (O) điểm A ngồi đờng trịn tiếp tuyến với đờng tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc
với đờng tròn (O) B C Gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH BC, MK CA, MI AB
1 tø gi¸c ABOC néi tiÕp
2 Chøng minh BAO = BCO
3 Chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK Chứng minh MI.MK = MH2.
Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC; E điểm đối xứng H qua
BC; F điểm đối xứng H qua trung điểm I BC Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành E, F nằm đờng tròn (O)
3 Chøng minh tứ giác BCFE hình thang cân
4 Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC
Bài 29 BC dây cung đờng tròn (O; R) (BC 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H
1 Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Gọi A’ trung điểm BC, Chứng minh AH = 2OA
3 Gọi A1 trung điểm EF, Chøng minh R.AA1 = AA’ OA’
4 Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vị trí A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhát
Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt (O) M Vẽ đờng cao AH bán
kÝnh OA
1 Chøng minh AM phân giác góc OAH Giả sö B > C Chøng minh OAH = B - C Cho BAC = 600 vµ OAH = 200 Tính:
a) B C tam giác ABC
b) Diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC theo R
(33)2 Vẽ đờng kính CD (O; R); gọi H giao điểm ba đờng cao tam giác ABC Chứng minh BD // AH AD // BH
3 TÝnh AH theo R
(34)(35)1 Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp
2 Chøng minh BAC = 900 TÝnh sè ®o gãc OIO’
4 Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm
(36)(O’) TiÕp tuyến chung A cắ tiếp tuyến chung BC M Gọi E giao điểm OM AB, F giao điểm OM AC Chøng minh :
1 Chøng minh c¸c tø gi¸c OBMA, AMCO nội tiếp Tứ giác AEMF hình chữ nhật
3 ME.MO = MF.MO
4 OO’ tiếp tuyến đờng trịn đờng kính BC BC tiếp tuyến đờng trịn đờng kính OO’
Bài 39 Cho đờng trịn (O) đờng kính BC, dấy AD vng góc với BC H Gọi E, F theo thứ tự chân
các đờng vng góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi ( I ), (K) theo thứ tự đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF
1 Hãy xác định vị trí tơng đối đờng trịn (I) (O); (K) (O); (I) (K) Tứ giác AEHF hình gì? Vì sao?
3 Chøng minh AE AB = AF AC
4 Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đờng tròn (I) (K) Xác định vị trí H để EF có độ dài lớn
Bài 40 Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Trên Ax lấy điểm
M råi kỴ tiÕp tun MP cắt By N
1 Chng minh tam giỏc MON đồng dạng với tam giác APB Chứng minh AM BN = R2.
3 TÝnh tØ sè SMON
SAPB
AM = R
2
4 TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh nưa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh
Bài 41 Cho tam giác ABC , O trung điển BC Trên cạnh AB, AC lần lợt lấy điểm D,
E cho DOE = 600
1 Chứng minh tích BD CE không đổi
2 Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng Từ suy tia DO tia phân giác góc BDE
3 Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đờng trịn ln tiếp xúc với DE
Bài 42 Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đờng trũn (O) Tip
tuyến B C lần lợt cắt AB, AC D E Chứng minh : BD2 = AD.CD.
2 Tø gi¸c BCDE néi tiÕp BC song song víi DE
Bài 43 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua
M, BN c¾t (O) C Gọi E giao điểm AC BM Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp
2 Chøng minh NE AB
3 Gọi F điểm đối xứng với E qua M Chứng minh FA tiếp tuyến (O) Chứng minh FN tiếp tuyến đờng tròn (B; BA)
Bài 44 Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A B Dây AC đờng tròn (O) tiếp xúc với
đ-ờng tròn (O’) A Dây AD đđ-ờng tròn (O’) tiếp xúc với đđ-ờng tròn (O) A Gọi K điểm đối xứng với A qua trung điểm I OO’, E điểm đối xứng với A qua B Chứng minh rằng:
1 AB KB
2 Bốn điểm A, C, E, D nằm đờng tròn
Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) Gọi D trung điểm AC; tiếp
tuyến đờng tròn (O) A cắt tia BD E Tia CE cắt (O) F Chứng minh BC // AE
2 Chứng minh ABCE hình bình hành
3 Gọi I trung điểm CF G giao điểm BC OI So sánh BAC vµ BGO
Bài 46 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB , đờng trịn ta lấy hai điểm C D cho cung AC =
cung AD Tiếp tuyến với đờng tròn (O) vẽ từ B cắt AC F Chứng minh hệ thức : AB2 = AC AF.
2 Chứng minh BD tiếp xúc với đờng trịn đờng kính AF
3 Khi C chạy nửa đờng tròn đờng kính AB (khơng chứa điểm D ) Chứng minh trung điểm I đoạn chạy tia cố định , xác định tia cố định
Bai 47
(37)
không đờng kính (O) Kẻ từ tiếp tuyến AE AF đến (O) (E; F tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC; K trung điểm EF, giao điểm FI với (O) D Chứng minh:
1 AE2 = AB.AC Tø gi¸c AEOF
3 Năm điểm A; E; O; I; F nằm đờng tròn ED song song với Ac
5 Khi (O) thay đổi tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác OIK ln thuộc đờng thẳng cố định
Bài 48 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng trịn (O) đờng kính BC cắt AB; AC E D BD
cắt CE H; AH cắt BC I Vẽ tiếp tuyến AM AN (O) Chứng minh: Các tứ giác ADHE; ADIB nội tiếp đợc
2 CD.CA + BE BA = BC2. M; H; N thẳng hàng
4 Tớnh chu vi đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE tam giác ABCD tam giác có cạnh 2a
Bài 49: Cho đờng tròn (O; R) điểm M nằm (O) Kẻ hai tiếp tuyến MB; BC (O) tia Mx
nằm hai tia MO MC Qua B kẻ đờng thẳng song song với Mx, đờng thẳng cắt (O) điểm thứ hai A; AC cắt Mx I Vẽ đờng kính BB’ Qua O kẻ đờng thẳng vng góc với BB’ đờng cắt ; BC lần lợt K E Chứng minh:
1 Tø giác MOIC nội tiếp OI vuông góc với Mx
3 ME có độ dài khơng phụ thuộc vị trí điểm M
4 Khi M di động mà OM = 2R K chuyển động đờng nào? Tại sao?
Bµi 50: Cho (O; R) vµ ®iĨm A (O) Mét gãc vu«ng xAy quay quanh A thoả mÃn Ax; Ay cắt
(O) giọ giao điểm thứ hai Ax; Ay với (O) lần lợt B; C Đờng tròn đờng kính AO cắt AB; AC điểm thứ hai tơng ứng M; N Tia OM cắt (O) P Gọi H trực tâm tam giác AOP Chứng minh:
1 Tứ giác AMON hình chữ nhật MN // BC
3 Tø gi¸c PHOP néi tiÕp
4 Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn
*******************