b/ Dùng h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp trong tam gi¸c ABC b»ng thíc kÎ vµ com-pa.. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã.[r]
(1)Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp Năm học 2008 - 2009
Thêi gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị biÓu thøc sau
P = 2009 2008 2009 2008 Q =
2008 2014 2008 4016 2009 2005.2007.2010.2011
Bµi 2: BiÕt
2
10a 3b ab b a
Chøng minh r»ng:
2a b 5b a 3a b 3a b
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi < 450, ta cã sin2 = 2sin cos.
Bài 4: Cho tam giác ABC cã ·
0
ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c hai độ dài cho trớc) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC đợc gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC
a/ Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn
b/ Dựng hình vng EFGH nội tiếp tam giác ABC thớc kẻ com-pa Tính diện tích hình vng
Bµi 5: Cho điểm M tḥc miền tam giác ABC Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở P, Q, R Chứng minh rằng:
a)
MP MQ MR AP BQ CR b)
MA MB MC 2
AP BQ CR
- HÕt
-Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp Năm học 2008 - 2009
Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau
P = 2009 2008 2009 2008 Q =
2008 2014 2008 4016 2009 2005.2007.2010.2011
Bµi 2: BiÕt
2
10a 3b ab b a
Chøng minh r»ng:
2a b 5b a 3a b 3a b
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi < 450, ta cã sin2 = 2sin cos.
Bài 4: Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = cã (a, c hai độ dài cho trớc) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC đợc gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC
a/ Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn
b/ Dựng hình vng EFGH nội tiếp tam giác ABC thớc kẻ com-pa Tính diện tích hình vng
Bµi 5: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng:
3 3 3
2 2
19b - a 19c - b 19a - c
(2)- HÕt
-H
íng dÉn chÊm
Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau
P = 2009 2008 2009 2008 =
2
2008 1 2008 1 =
Q =
2008 2014 2008 4016 2009 2005.2007.2010.2011
Đặt x = 2008,
Q =
2
x x x 2x x x x x x
=
x x x x x x x x x
= x + = 2009 Bµi 2: Ta cã 10a2 - 3b2 + ab = 3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 0
(2a - b)(5a + 3b) =
2a - b = b = 2a 5a + 3b = 5a = -3b
(loai)
Víi b = 2a
2a b 5b a 2a 2a 10a a 9a 3a b 3a b 3a 2a 3a 2a 5a
Bài 3: Xét ABC có Aà 900; Cà = Kẻ trung tuyến AM, đờng cao AH AMH 2ó
Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m = a 2. Ta cã sin =
c
a; cos = b
a ; sin2 = h m Do 2sin cos = 2
c b 2bc 2ah 2h h
a a a a a m= sin2 Bµi 4:
a/ §Ỉt AM = x (0 < x < c) Ta cã:
MN AM ax
= MN =
BC AB c
0 c - x
MQ = BM.sin60 =
2 . Suy diƯn tÝch cđa MNPQ lµ:
ax c - x a
S = = x c - x
2c 2c
+ Ta có bất đẳng thức:
2
a + b a + b
ab ab (a > 0, b > 0)
2
¸p dơng, ta cã:
2
x + c - x c x(c - x) =
2
Dấu đẳng thức xảy khi:
c x = c - x x =
2
Suy ra:
a c ac
S =
2c
VËy: max
ac S =
8 c x =
2 hay M trung điểm c¹nh AB
b/ Giả sử dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC Nối BF, đoạn BF lấy điểm F’ Dựng hình chữ nhật E'F'G'H' (E'AB; G', H'BC)
A
B C
H M
A
B C
M N
P Q
0
(3)Ta có: E'F'// EF F'G'// FG, nên:
E'F' BE' BF' F'G'
= = =
EF BE BF FG E'F' = F'G'
Do ú E'F'G'H' l hỡnh vuụng
+ Cách dựng chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC F Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tơng tự trên, ta có EF = FG, suy EFGH hình vuông
+ Ta có:
0
BH'
= cotg60 =
E'H' ;
BG' BH' + H'G' BH'
cotgF'BC = = + = +1
F'G' F'G' E'H'
Suy ra: Tia BF' cố định E' di động AB, cắt AC im F nht
Vậy toán có nghiệm hình
+ Đặt AE = x Ta cã
EF AE ax
= EF = BC AB c ;
(c - x)
HE = c - x sinB = EFGH hình vuông, nên
2
ax (c - x) c
EF = EH = x =
c 2a + c
Suy diện tích hình vuông EFGH lµ:
2 2
2
3a c S = EF =
2a + c Bµi 5: Ta cã a2 + b2 - ab ≥ ab
2 3
(a + b)(a + b - ab) ab(a + b) a + b ab(a + b)
3 3 3
2 3 2 3
3
3 3
3
2
a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a
b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - a b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a
b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a 19b - a
4b - a ab + 5b
T¬ng tù víi a, b, c > th×:
3 3
2
19c - b 19a - c
4c - b; 4a - c cb + 5c ac + 5a Từ ta có BĐT cần chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c
- HÕt -A
B C
E F
G H
E '