Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F là trung điểm của AD, BC... AD, AM là đường phân giác, đường trung tuyến của ABC.[r]
(1)EQUATION CHAPTER SECTION 1TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI HSG TOÁN 8 ĐỀ
Câu 1: Cho x =
2 2
2
b c a
bc
; y =
2
2
( )
( )
a b c
b c a
Tính giá trị P = x + y + xy
Câu 2: Giải phương trình:
a,
1 a b x =
1 a+
1 b
+
1
x (x ẩn số)
b,
2
(b c)(1 a) x a
+
2
(c a)(1 b) x b
+
2
(a b)(1 c) x c
= (a,b,c số đôi khác nhau)
Câu 3: Xác định số a, b biết:
(3 1)
( 1)
x x
= ( 1)3
a
x +( 1)2
b x
Câu 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm ngun. Câu 5: Cho ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C
ĐỀ Câu 1: Cho a,b,c thoả mãn:
a b c c
=
b c a a
=
c a b b
Tính giá trị M = (1 +
b a)(1 +
c b)(1 +
a c)
Câu 2: Xác định a, b để f(x) = 6x4 – 7x3+ ax2 + 3x +2 chia hết cho y(x) = x2 – x + b Câu 3: Giải PT:
a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680
b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + =
Câu 4: Tìm giá trị lớn phân số mà tử số số có chữ số mà mẫu tổng chữ số nó. Câu 5:Cho ABC cân A, AB lấy D, AC lấy E cho: AD = EC = DE = CB.
a, Nếu AB > 2BC Tính góc A ABC
B, Nếu AB < BC Tính góc A HBC.
ĐỀ Câu 1: Phân tích thành nhân tử:
a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3
Câu 2: Cho A =
2 2
(1 )
1
x x
x
:
3
1
( )( )
1
x x
x x
x x
a, Rút gọn A b, Tìm A x=
-1
2 c, Tìm x để 2A = 1
Câu 3:
(2)b, Tìm giá trị lớn P = ( 10)2
x x
Câu 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR: <
a a b +
b b c +
c c a < 2
b, Cho x,y 0 CMR:
2
x
y +
2
y
x
x y +
y x
Câu 5:Cho ABC có độ dài cạnh a, kéo dài BC đoạn CM =a
a, Tính số đo góc ACM
b, CMR: AM AB
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a CMR MNP đều.
ĐỀ Câu 1:Phân tích thành nhân tử:
a, a8 + a4 +1 b, a10 + a5 +1 Câu 2:
a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị biểu thức: A = 2
1
b c a + 2
1
c a b + 2
1
a b c
b, Cho biểu thức: M =
2
2 15
x
x x
+ Rút gọn M
+ Tìm x Z để M đạt giá trị nguyên.
Câu 3:
a, Cho abc = a3 > 36, CMR:
3 a
+ b2 + c2 > ab + bc + ca b, CMR: a2 + b2 +1 ab + a + b
Câu 4:
a, Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y +1
b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất: P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b) Câu 5:
a, Tìm x,y,x Z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0 b, Tìm nghiệm nguyên PT: 6x + 15y + 10z =
Câu 6: Cho ABC H trực tâm, đường thẳng vng góc với AB B, với AC C cắt D.
a, CMR: Tứ giác BDCH hình bình hành
(3)a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Câu 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = a2 + b2 + c2= 14.Tính giá trị A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c 0 Tính giá trị D = x2003 + y2003 + z2003 Biết x,y,z thoả mãn:
2 2
2 2
x y z
a b c
=
2
x
a +
2
y
b +
2
z c
Câu 3:
a, Cho a,b > 0, CMR:
1 a+
1
b
4 a b
b, Cho a,b,c,d > CMR:
a d d b
+
d b b c
+
b c c a
+
c a a d
0
Câu 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất: E =
2
2
x xy y
x xy y
với x,y > 0
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( 1995)2
x
x với x > 0
Câu 5:
a, Tìm nghiệm Z PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tìm nghiệm Z PT: x2 + x + = y2
Câu 6: Cho ABC M điểm miền ABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là
điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’
ĐỀ Câu 1:
Cho
a x y =
13
x z
169 (x z ) =
27 (z y)(2x y z)
Tính giá trị biểu thức A =
3
2 12 17
2
a a a
a
Câu 2:
Cho x2 – x = 3, Tính giá trị biểu thức M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2 Câu 3:
a, Tìm giá trị nhỏ M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ N =
1 x+
1 y
Câu 4:
a, Cho a, b, c CMR: a2 + b2 + c2 1+ a2b + b2c + c2a
b, Cho <a0 <a1 < < a1997 CMR:
0 1997
2 1997
a a a
a a a a
< 3
(4)a,Tìm a để PT 3 x = – a có nghiệm Z+ b, Tìm nghiệm nguyên dương PT:
x
x y z +2
y
y x z +2
z
z x y =
3
Câu 6: Cho hình vng ABCD, CD lấy M, nối M với A Kẻ phân giác góc MAB cắt BC P, kẻ phân giác góc MAD cắt CD Q CMR PQ AM
ĐỀ Câu 1: Cho a, b, c khác thoả mãn:
2 2
2
b c a
bc
+
2 2
2
c a b
ac
+
2 2
2
a b c
ab
= Thì hai phân thức có giá trị phân thức có giá trị -1
Câu 2:Cho x, y, z > xyz = Tìm giá trị lớn A = 3
1
x y + 3
1
y z + 3
1
z x
Câu 3: Cho M = a5 – 5a3 +4a với aZ a, Phân tích M thành nhân tử
b, CMR: M120 aZ
Câu 4: Cho N1, n N
a, CMR: 1+ 2+ 3+ +n =
( 1)
2 n n
b, CMR: 12 +22 + 32 + +n2 =
( 1)(2 1)
6
n n n
Câu 5: Tìm nghiệm nguyên PT:x2 = y(y+1)(y+2)(y+3) Câu 6:Giải BPT:
2 2 2
1
x x
x
>
2 4 5
2
x x
x
- 1
Câu 7:Cho 0 a, b, c 2 a+b+c = CMR: a2 + b2 + c2 5
Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD góc 150 cắt AD E CMR: BCE cân.
ĐỀ Câu 1:Cho A =
3
3
2
2
n n
n n n
a, Rút gọn A
b, Nếu nZ A phân số tối giản.
Câu 2:Cho x, y > x+y = Tìm giá trị lớn P = (1 -
1
x )(1 -
y )
Câu 3:
a, Cho a, b ,c độ dài cạnh tam giác CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca) b, Cho 0 a, b , c CMR: a + b2 +c3 – ab – bc – ca 1
(5)Câu 5: Cho nZ n CMR: 13 + 23 +33 + +n3 =
2 ( 1)2
4
n n
Câu 6: Giải bất phương trình: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5
Câu 7: Chia tập N thành nhóm: 1; (2,3); (4,5,6) , nhóm n gồm n số hạng Tính tổng số nhóm 94. Câu 8:Cho hình vuông ABCD M, N trung điểm AB, BC, K giao điểm CM DN CMR: AK = BC
ĐỀ Câu 1: Cho M =
a b c +
b a c +
c
a b ; N =
2
a b c +
2
b a c +
2
c a b
a, CMR: Nếu M = N =
b, Nếu N = có thiết M = không? Câu 2: Cho a, b, c > a+b+c = CMR:
2
a b c +
2
b a c +
2
c
a b 1
Câu 3.Cho x, y, z x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998 Tìm giá trị lớn M = x + y + z
Câu 4:
a, Tìm số nguyên x để x2 – 2x -14 số phương.
b, Tìm số ab cho
ab
a b số nguyên tố
Câu 5:Cho a, b, c, d sô nguyên dương CMR: A =
a a b c +
b a b d +
c b c d +
d
a c d số nguyên.
Câu 6: Cho ABC cân (AB=AC) AB lấy điểm M, phần kéo dài AC phía C lấy điểm N cho:
BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP CMR: BC PC
Câu 7: Cho x, y thoả mãn: 2x2 +
1
x +
2
4 y
= (x0) Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất
ĐỀ 10 Câu 1:Cho a, b, c >
P =
3
2
a
a ab b +
3
2
b
b bc c +
3
2
c c ac a
Q =
3
2
b
a ab b +
3
2
c
b bc c +
3
2
a c ac a
a, CMR: P = Q b, CMR: P
a b c
Câu 2:Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) 0 Câu 3:CMR x, yZ thì: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phương. Câu 4:
(6)b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2) Câu 5:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A =
4
1 x x
Câu 6:Cho x =
2 2
2
b c a
ab
; y =
2
2
( )
( )
a b c
b c a
Tính giá trị: M = 1
x y xy
Câu 7: Giải BPT: 1 x a x (x ẩn số)
Câu 8: Cho ABC, BC lấy M, N cho BM = MN = NC Gọi D, E trung điểm AC, AB, P giao của
AM BD Gọi Q giao AN CE.Tính PQ theo BC ĐỀ 11 Câu 1: Cho x =
a b a b
; y =
b c b c
; z =
c a c a
CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn A =
2
1
( 1)
x x
Câu 3:
a, Cho a, b, c > a+b+c = 1CMR: b+c 16abc
b, Cho < a, b, c, d < CMR có bất đẳng thức sai bất đẳng thức sau: 2a(1-b) > 8c(1-d) >
3b(1-c) > 32d(1-a) > Câu 4:Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m2 – 1
Câu 5:
a, Tìm nghiệm nguyên tố PT: x2 + y2 + z2 = xyz b, Tìm số nguyên tố p để 4p + số phương
Câu 6:Tìm số có chữ số mà số bội số tích hai chữ số nó.
Câu 7:Cho hình thang ABCD (BC AD) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F trung điểm AD, BC CMR: E, O, F thẳng hàng
ĐỀ 12 Câu 1:Tìm đa thức f(x) biết:
f(x) chia cho x+3 dư f(x) chia cho x-4 dư
f(x) chia cho (x+3)(x-4) thương 3x dư Câu 2:
a, Phân tích thành nhân tử:A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000 b, Cho:
2 2
x yz y zx z xy
a b c
.CMR:
2 2
a bc b ca c ab
x y z
Câu 4: CMR:
1 9+
1
25+ + (2n1) <
1
(7)Câu 5:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M =
2
2
x xy y
x y
(x≠0; y≠0)
Câu 6:
a, Tìm nghiệm nguyên PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2
b, CMR phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x2 + y2 + z2 = 1999
Câu 7: Cho hình vng ABCD Trên BD lấy M, từ M kẻ đường vng góc AB, AD E, F. a, CMR: CF = DE; CF DE
b, CMR: CM = EF; CM EF
c, CMR: CM, BF, DE đồng qui
ĐỀ 13 Câu 1:
a, Rút gọn: A = (1-
4 )(1-
4
3 ) (1-
4
199 )
b, Cho a, b > 9b(b-a) = 4a2 Tính M =
a b a b
Câu 2:
a, Cho a, b, c > CMR:
a b c +
2
b c a +
2
c
a b
a b c
b, Cho ab CMR:
1
a +
1
b
2 ab
Câu 3: Tìm x, y, z biết: x+2y+3z = 56
1
x =
2
y =
3 z
Câu 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ M =
2
2 x x
b, Tìm giá trị nhỏ A =
2 6x 9 x
Câu 5:Giải BPT: mx2 – > 4x + m2 – 4m Câu 6:
a, Tìm số nguyên dương x thoả mãn: x(x+1) = k(k+2) ( k số nguyên dương cho trước.) b, Tìm nghiệm ngun PT: 2x-5y-6z =4
Câu 7:Cho hình vng ABCD, Về phía ngồi hình vng cạnh BC vẽ BCF đều, phía hình vng
trên cạnh AB vẽ ABEđều CMR: D, E, F thẳng hàng.
ĐỀ 14 Câu 1: Cho A = (
2
2
1
) : ( ) :
x x y y x
y xy x xy x xy x y y
(8)b, Tìm x, y để A > y < Câu 2:
a, Giải PT: x4 + 2x3 – 2x2 + 2x - = 0 b, Giải BPT: – mx < 2(x-m) – (m+1)2 Câu 3:Cho a, b, c > CMR:
3
a b c
b c a c a b
Câu 4:CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 khơng số phương với nN n >1 Câu 5: Cho f(x) = x2 + nx + b thoả mãn
1
( ) ;
2
f x x
Xác định f(x) Câu 6:Cho x, y > thoả mãn xy= 1
Tìm giá trị lớn A = 2
x y
x y x y
Câu 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC) M, N trung điểm AD, BC Từ O MN kẻ đưởng thẳng song song với AD cắt AB, CD E F.CMR: OE = OF
ĐỀ 15 Câu 1:Cho xyz = x+y+z =
1 1
x yz = Tính giá trị M =
6 6
3 3
x y z
x y z
Câu 2: Cho a ≠ ; 1
1
1
1
1
1
; ;
2 1
x x
a
x x x
a x x
Tìm a x
1997 = Câu 3: Tìm m để phương trình có nghiệm âm:
( 2) 3( 1)
1
m x m
x
Câu 4:Với nN n >1 CMR:
1 1
2n1n2 2n
Câu 5:Cho M = 3x2 - 2x + 3y2 – 2y + 6x +1 Tìm giá trị M biết: xy = x y đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 6: Tìm x, y N biết: 2x + = y2
Câu 7:Cho ABC (AB < AC) AD, AM đường phân giác, đường trung tuyến ABC Đường thẳng qua D
và vng góc với AD cắt AC E So sánh SADM SCEM
ĐỀ 16 Câu 1:Cho (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 CMR:
x y z
a b c với abc ≠ 0
Câu 2:Cho abc ≠ 2 4
x y z
a b c a b c a b c CMR: 2 4
a b c
x y z x y z x y z
Câu 3:Cho a,b,c số dương nhỏ CMR: Trong số:(1-a)b;(1-b)c;và(1-c)a không đồng thời lớn
1
Câu 4:Cho x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4xy + = xy > Tìm giá trị lớn A =
1 x y
(9)a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 nghiệm ngun. b, Tìm số ngun dương cho tổng chúng tích chúng Câu 6:Cho nN n >1 CMR: + 2
1 1
2 3 n
Câu 7:Cho ABC phía ngồi ABCvẽ tam giác vuông cân ABE CAF đỉnh A.
CMR: Trung tuyến AI ABC vng góc với EF AI =
1 2EF
Câu 8: CMR:
21
14
n n
phân số tối giản (với nN).
ĐỀ 17 Câu 1:Phân tích thừa số:
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 b, x3 + 6x2 + 11x + 6
Câu 2: Cho x > x2 +
1
x = Tính giá trị M = x5 +
1 x
Câu 3:Cho x, y thoả mãn 5x2 + 8xy + 5y2 = 72 Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x2 + y2 Câu 4:
a, Cho a, b, c > a+b+c CMR: 2
1 1
9
2 2
a bc b ac c ab
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1.CMR: a, b, c
4
Câu 5: Tính tổng S = 1+2x+3x2+4x3+ + nxn-1 (x≠1) Câu 6:Tìm nghiệm nguyên PT:
xy xz yz
z y x = 3
Câu 7: Cho ABC biết đường cao AH trung tuyến AM chia góc BAC thành phần nhau.
Xác định góc ABC
ĐỀ 18 Câu 1:Rút gọn: M =
2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a bc b ac c ab
a b a c b a b c a c a b
Câu 2:Cho: x =
2 2
( )( )
;
2 ( )( )
b c a a b c a c b
y
bc a b c b c a
Tính giá trị P = (x+y+xy+1)3
Câu 3:Cho < a, b, c, d < CMR có bất đẳng thức sai bất đẳng thức sau: 2a(1-b) > 8c(1-d) >
3b(1-c) > 32d(1-a) >
Câu 4:Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4 CMR: Nếu x = m; y = n Với m, n N P.Q số chẵn.
Câu 5:
a, CMR PT: 2x2 – 4y2 = 10 khơng có nghiệm nguyên.
(10)Câu 6:Cho ABC vuông cân A, qua A vẽ đường thẳng d cho B, C thuộc nửa mặt phẳng có bờ d, vẽ
BH, CK vng góc với d (H, K chân đường vng góc) a, CMR: AH = CK
b, Gọi M trung điểm BC Xác định dạng MHK
ĐỀ 19
Câu 1:Cho a, b, c ≠ 0; a2 + 2bc ≠ 0; b2 + 2ca ≠ 0; c2 + 2ab ≠ a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 CMR: S =
2 2
2 2 2 2
a b c
a bc b ac c ab
M = 2 2 2
bc ca ab
a bc b ac c ab
Câu 2:
a, Cho a, b, c > CMR: 2 2 2
1 1
a b b c a c
a b b c a c a b c
b, Cho a, b, c CMR: a+b+c+
1
abc
1 1 a b c + abc
Câu 3:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất:A = x 1 2x5 3x b, Tìm giá trị lớn nhất: M =
2
2
x xy y
x xy y
(x,y > 0)
Câu 4:
a,Tìm nghiệm Z+ của:
1 1
x yz
b, Tìm nghiệm Z của: x4 + x2 + = y2 – y
Câu 5: Cho ABC, đặt đoạn kéo dài AB, AC đoạn BD = CE Gọi M trung điểm BC, N
trung điểm DE CMR: MN // đường phân giác góc A ABC
Câu 6:Tìm số nguyên dương n số nguyên tố P cho P =
( 1)
1 n n
ĐỀ 20 Câu 1:
a, Cho a+b+c = 1; a2 + b2 + c2 =
x y z
a b c; abc ≠ CMR: xy + yz + xz = 0
b, Cho x, y, z > 2x2 + 3y2 – 2z2 = CMR: z số lớn nhất. Câu 2:
a, Cho a, b, c ≠ CMR:
2 2
2 2
a b c a b c
(11)b, Cho nN, n > CMR: 2
1 1
5 13 n n( 1) 2
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ với a, b, c > 0 a, P =
a b c a b c a b c
b c c a a b c b a
b, Q =
a b c d
b c d a c d a b d a b c
Câu 5: Tìm số phương cho chia cho 39 thương số nguyên tố dư 1
Câu 6:Cho tứ giác ABCD, đường thẳng AB CD cắt E Gọi F, G trung điểm AC, BD. a, CMR: SEFG =
1 4SABCD