Chuyên đề hình học lớp 9 ôn thi vào lớp 10

.:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com (O) (O; R) ABC SABC (ABC) a, b, c ha, hb, hc ma, mb, mc la, lb, lc R, r ra, rb, rc đpcm 2p CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG CHUYÊN ĐỀ : Đường trịn tâm O : Đường trịn tâm O, bán kính R : Tam giác ABC : Diện tích ABC : Đường trịn ngoại tiếp ABC : Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác : Bán kính đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A, B, C ABC : Điều phải chứng minh abc : Chu vi tam giác (p = nửa chu vi) n a k = a1 + a + + a n : Tổng n số hạng từ a1 đến an = a1a a n : Tích n số hạng từ a1 đến an k=1 n a k k=1 TỔNG KẾT KIẾN THỨC Đường thẳng: Định nghĩa: Một đường thẳng hiểu đường dài (vô tận), mỏng (vô cùng) thẳng tuyệt đối Tiên đề Ơ'Clit: Qua hai điểm ta ln xác định đường thẳng đường thẳng Kí hiệu: Người ta thường dùng chữ in thường a, b, c, , m, n, p để đặt tên cho đường thẳng dùng hai chữ in hoa hay hai chữ in thường để đặt tên cho đường thẳng Ví dụ: AB, xy, y x A B Điểm không thuộc đường thẳng: Điểm A không nằm đường thẳng a, điểm A không thuộc đường thẳng a (hay nói cách khác đường thẳng a khơng qua điểm A) Kí hiệu: A  a Đoạn thẳng: Định nghĩa: Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B B A Hai điểm A B gọi hai đầu mút (hay gọi hai mút) đoạn thẳng AB Lưu ý: Điểm M nằm A B AM + MB = AB A, M, B thẳng hàng A M B Tia: Tia hình gồm điểm O phần đường thẳng bi chia điểm O gọi tia gốc O (có hai tia Ox Oy hình vẽ) Biên soạn: Trần Trung Chính Chun đề hình học lớp ơn thi vào lớp 10 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: x y O Hai tia có chung góc O tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối (hai tia Ox Oy hình vẽ hai tia đối nhau) Điểm: Để kí hiệu điểm, người ta dùng chữ in hoa A, B, C, Bất hình tập hợp điểm Trung điểm đoạn thẳng: Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm hai điểm A, B cách hai điểm A B M B A Trung điểm M đoạn thẳng AB cịn gọi điểm đoạn thẳng AB Lưu ý: Điểm hai điểm khác với điểm nằm hai điểm Mặt phẳng: Nửa mặt phẳng bờ a: Hình gồm đường thẳng a phần mặt phẳng bị chia a gọi nửa mặt phẳng bờ a a Mặt phẳng hai nửa mặt phẳng hợp lại theo phương (phương vectơ) định u d P Q Góc: Góc nhọn Góc vng Góc bẹt Góc tù B A Góc phản Góc đầy Biên soạn: Trần Trung Chính Chun đề hình học lớp ơn thi vào lớp 10 Góc khối B A Đường phân giác Chun đề hình học lớp ơn thi vào lớp 10 :: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com R R Chia đơi góc compa thước kẻ Góc ngồi tam giác Góc đối đỉnh Góc tâm đường trịn (1) Hai góc phụ hai góc có tổng số đo 900 x y O z  góc yOz  hai góc phụ Góc xOy (2) Hai góc bù hai góc có tổng số đo 1800 y O x z  góc yOz  hai góc bù Góc xOy (3) Hai góc so le trong: Cho hai đường thẳng a //b đường thẳng c cắt a, b A, B c A a b 2 B Khi đó:  B  A  B  A 1 2 (4) Hai góc đồng vị: Cho hai đường thẳng a //b đường thẳng c cắt a, b A, B Khi đó: =B , A  B , A  B , A  B  A 1 2 3 Biên soạn: Trần Trung Chính Chuyên đề hình học lớp ơn thi vào lớp 10 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: A a b c 4 B Tam giác: 7.1 Kí hiệu: Tam giác ABC kí hiệu ABC Một tam giác ABC có ba đỉnh (góc) A, B, C ba cạnh AB, BC, CA 7.2 Các đường tam giác: Đường cao: Là đoạn thẳng nối đỉnh vng góc với cạnh đối diện đỉnh Một tam giác có ba đường cao Giao điểm ba đường cao gọi trực tâm tam giác Trong ABC, có đường cao AH, BK, CF A K F B C H Đường trung tuyến: Là đường thẳng kẻ từ đỉnh qua trung điểm cạnh đối diện với đỉnh Một tam giác có ba đường trung tuyến Giao điểm ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác A M B N G P C Trong ABC, có đường trung tuyến AP, BN, CM Độ dài đường trung tuyến: BG AG CG = = = BN AP CM GN GP GM = = = BN AP CM GN GP GM = = = GB GA GC Đường trung trực: Là đường thẳng vuông góc với cạnh trung điểm Một tam giác có ba đường trung trực Giao điểm ba đường trung trực gọi tâm đường ngoại tiếp tam giác Biên soạn: Trần Trung Chính Chuyên đề hình học lớp ơn thi vào lớp 10 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com d B A Đường thẳng (d) đường trung trực đoạn thẳng AB A O B C Điểm O giao điểm ba đường trung trực Đường phân giác: Là đường thẳng chia góc thành hai góc có số đo Một tam giác có ba đường phân giác Giao điểm ba đường phân giác gọi tâm đường nội tiếp tiếp tam giác Trong ABC có: OM = ON = ON A N P C M Đường trung bình: Là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Một tam giác có ba đường trung bình Tam giác tạo ba đường trung bình đồng dạng với tam giác cho B A M B N C MN gọi đường trung bình tam giác Ta có: MN // BC MN  BC 7.3 Phân loại tam giác: Tam giác nhọn: Là tam giác có ba góc nhọn (số đo ba góc < 900) Biên soạn: Trần Trung Chính Chun đề hình học lớp ơn thi vào lớp 10 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: A B C Tam giác đều: Là tam giác có ba cạnh ba góc Trong tam giác đều, đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực A 600 600 600 B C Tam giác cân: Là tam giác có hai cạnh hai góc đáy A B C Tam giác vng: Là tam giác có góc vng (bằng 90 ) Trong tam giác vng, cạnh đối diện với góc vng gọi cạnh huyền cạnh lớn   900 BC2 = AB2 + AC2 Đây hệ thức hệ thức Pitago Cho ABC, có A B A C Định lý PITAGO: Định lý thuận: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng BC2 = AB2 + AC2 Định lý đảo: Tam giác có tổng bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh cịn lại tam giác vng Nếu tam giác ABC thỏa mãn BC2 = AB2 + AC2 ABC tam giác vng A Biên soạn: Trần Trung Chính Chun đề hình học lớp ôn thi vào lớp 10 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com 7.4 Tính chất cạnh góc tam giác: Tính chất 1: Cho tam giác ABC, tổng ba góc:  B  C   1800 A Tính chất 2: Độ dài cạnh lớn hiệu độ dài hai cạnh nhỏ tổng độ dài chúng AB + BC > AC > |AB - BC| Tính chất 3: Trong hai cạnh tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Góc đối diện với cạnh lớn góc lớn  B   C  BC  AC  AB  A 7.5 Diện tích tam giác: (1) Cơng thức tính diện tích tam giác: S  b.h b độ dài cạnh h độ dài đường cao ứng với cạnh b h (2) Công thức Heron: S  p  p  a  p  b  p  c  b b  a  b  c  nửa chu vi tam giác Đường trịn: 8.1 Khái niệm: Đường trịn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểm O cho trước khoảng không đổi R p  R O Kí hiệu: (O; R), ta có kí hiệu (O) Lưu ý: - Qua ba điểm không thẳng hàng ta xác định đường trịn - Một đường trịn có tâm đối xứng tâm đường trịn - Một đường trịn có vơ số trục đối xứng đường kính đường trịn D C A B O 8.2 Đường kính dây cung: Định lý 1: Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính AB đường kính, CD dây cung AB > CD Định lý 2: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Nếu OH  AB H AH = HB Định lý 3: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm O dây khơng qua tâm vng góc với dây 8.3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Định lý 1: Trong đường tròn: A B H Hai dây cách tâm Nếu AB = CD OM = ON C Hai dây cách tâm A A Nếu OM = ON AB = CD O O Định lý 2: Trong hai dây đường trịn: N Dây lớn dây gần tâm M C M N Nếu AB > CD OM < ON Dây gần tâm dây lớn D B D B Nếu OM < ON AB > CD Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: 8.4 Khoảng cách đường thẳng đường trịn: Gọi R bán kính đường trịn d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a Ta có: O O O a H a a H (d > R) H (d = R) Đường thẳng đường trịn khơng giao Đường thẳng đường tròn tiếp xúc (d < R) Đường thẳng đường tròn cắt hai điểm (giao nhau) Định lý 1: A Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm O Nếu a tiếp tuyến với (O) H O H a  OH Định lý 2: a Tiếp tuyến với đường tròn: Nếu hai H tiếp tuyến đường tròn cắt B điểm điểm cách hai tiếp điểm AH = BH Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến  HO tia phân giác góc AHB Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm  OH tia phân giác góc AOB 8.5 Đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp: Đường tròn nội tiếp: - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đường tròn nội tiếp tam giác - Tâm đường tròn nội tiếp giao điểm ba đường phân giác góc tam giác Đường trịn ngoại tiếp: - Đường trịn tiếp xúc ngồi với ba cạnh tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác - Tâm đường tròn ngoại tiếp giao điểm ba đường phân giác góc ngồi tam giác 8.6 Vị trí tương đối hai đường trịn: Nếu gọi bán kính (O) R (O') r ta có: - Hai đường trịn có hai điểm chung gọi hai đường tròn cắt Hai điểm chung A, B gọi giao điểm Đoạn thẳng AB nối hai điểm gọi dây chung Biên soạn: Trần Trung Chính .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com A A O O' O O O' O' A B (R - r < OO' < R + r) (R + r = OO') Hai đường cắt O Hai đường tiếp xúc (R - r = OO') Hia đường tròn nhau, O' (OO' > R + r) Hai đường ngồi 8.7 Góc với đường trịn: Góc tâm: Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm m B A Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung   AOB  s®AmB Số đo cung lớn hiệu số 3600 số đo cung nhỏ   360  s® AnB  s® AmB Số đo nửa đường tròn 1800   α O n 8.8 Liên hệ cung dây cung: Định lý 1: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung căng hai dây Hai dây căng hai cung Định lý 2: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường O tròn nhau: Cung lớn căng dây lớn Cung nhỏ căng dây nhỏ 8.9 Góc nội tiếp: O Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung dường trịn Định lý: Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo A cung bị chắn   s® AB  AOB Hệ quả: Trong đường trịn: Biên soạn: Trần Trung Chính B .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: - Các góc nội tiếp chắn cung   ACB   s® AB  AOB - Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung - Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng O C O A B 8.10 Góc tạo tiếp tuyến dây cung: Số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn A O a B   ABa ) (sđ AB 8.11 Góc có đỉnh bên đường trịn góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn m D A E O C B n = BEC    s®BmC +s®AnD  Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn B M B M A D B M n A O O O A C      = s®CD  - s®AB  ;  = s®BC  - s®AB  ; CMD BMC 2 8.12 Độ dài đường tròn, cung trịn: Biên soạn: Trần Trung Chính m C   = s®AmB  - s®AnB  AMB  10 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: Bài tập 10: Cho đường tròn (O; R) (I; r) tiếp xúc A (R > r) Dựng tiếp tuyến chung ngồi BC (B nằm đường trịn (O) C nằm đường tròn (I)) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E a) Chứng minh tam giác ABC vuông A b) Kẻ OE cắt AB N; IE cắt AC F Chứng minh: N; E; F; A nằm đường tròn c) Chứng tỏ rằng: BC2 = 4Rr d) Tính diện tích tứ giác BCIO theo R; r Hướng dẫn c) Chứng minh: BC2 = 4Rr Ta có tứ giác FANE có góc vng (cmt)  FANE hình vng  OEI vng E EA  OI (tính chất tiếp tuyến) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có: AH2 = OA.AI (bình phương đường cao tích hai hình chiếu) BC2 BC Mà AH = OA = R; AI = r   Rr  BC2 = Rr d) SBCIO = ? Ta có BCIO hình thang vuông OB  IC  SBCIO = BC (r  R) rR S= Bài tập 11: Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA = OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm đoạn OB) Từ B hạ đường vng góc với AM H, cắt AO kéo dài I a) Chứng minh: Tứ giác OMHI nội tiếp  b) Tính OMI c) Từ O vẽ đường vng góc với BI K Chứng minh: OK = KH d) Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB Hướng dẫn d) Tập hợp điểm K: Do OK  KB  = 900 Suy ra: OKB OB không đổi M di động  K nằm đường tròn đường kính OB Khi M ≡ O K ≡ O Khi M ≡ B K điểm cung AB Vậy quỹ tích điểm K đường trịn đường kính OB Bài tập 12: Cho đường trịn (O) đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD E a) Chứng minh: AM phân giác góc CMD b) Chứng minh: Tứ giác EFBM nội tiếp c) Chứng tỏ: AC2 = AE.AM d) Gọi giao điểm CB với AM N; MD với AB I Chứng minh: NI // CD e) Chứng minh: N tâm đường tròn nội tiếp CIM Hướng dẫn e) Chứng tỏ N tâm đường trịn nội tiếp ICM: Biên soạn: Trần Trung Chính 104 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com Ta phải chứng minh N giao điểm đường phân giác CIM  Theo chứng minh, ta có MN phân giác CMI   NBM  (cùng chắn cung MN) Do MNIB nội tiếp (cmt)  NIM   MAC  (cùng chắn cung CM) Góc MBC Ta lại có:   900 );   900 (góc nội tiếp ACB CAN   90 )   900 (vì NIB NIA Suy ra: ACNI nội tiếp   CIN  (cùng chắn cung CN)  CAN   NIM   CIN   IN phân giác CIM Vậy N tâm đường tròn nội tiếp ICM Bài tập 13: Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh: A; B; H; O; C nằm đường tròn  b) Chứng minh: HA phân giác góc BHC c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh: AB2 = AI.AH d) Kẻ BH cắt (O) K Chứng minh: AE//CK Bài tập 14: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R; xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính Gọi giao điểm AC; AD với xy theo thứ tự M; N a) Chứng minh: Tứ giác MCDN nội tiếp b) Chứng tỏ: AC.AM = AD.AN c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN Chứng minh: AOIH hình bình hành d) Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O I di động đường nào? Hướng dẫn d) Quỹ tích điểm I: Do AOIH hình bình hành Suy ra: IH = AO = R khơng đổi  CD quay xung quanh O I nằm đường thẳng song song với xy cách xy khoảng R Bài tập 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D điểm cung nhỏ BC Kẻ DE; DF; DG vng góc với cạnh AB; BC; AC Gọi H hình chiếu D lên tiếp tuyến Ax (O) a) Chứng minh: Tứ giác AHED nội tiếp b) Gọi giao điểm AH với HB với (O) P Q; ED cắt (O) M Chứng minh: HA.DP = PA.DE c) Chứng minh: QM = AB d) Chứng minh: DE.DG = DF.DH e) Chứng minh: E; F; G thẳng hàng (đường thẳng Sim sơn) Hướng dẫn e) Chứng minh: E; F; G thẳng hàng:   BDE  (cmt) GFC   CDG  (cmt) Ta có: BFE Do ABCD nội tiếp   BMC   1800 Suy ra: BAC Do GDEA nội tiếp   EAG   1800 Suy ra: EDG Biên soạn: Trần Trung Chính 105 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::   BDC   EDG   EDB   BDG  BCD   BDG   CDG  Mà EDG   CDG   EDB   BEF   GFC Vậy E; F; G thẳng hàng Bài tập 16: Cho tam giác ABC có A = 900; AB < AC Gọi I trung điểm BC Qua I kẻ IKBC (K nằm BC) Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA = AK a) Chứng minh: Tứ giác ABIK nội tiếp đường tròn (O)   2ACB  b) Chứng minh: BMC c) Chứng tỏ rằng: BC = 2AC.KC d) Kéo dài AI cắt đường thẳng BM N Chứng minh AC = BN e) Chứng minh: Tứ giác NMIC nội tiếp Bài tập 17: Cho (O) đường kính AB cố định Điểm C di động nửa đường tròn Tia phân giác  cắt (O) tai M Gọi H; K hình chiếu M lên AC AB ACB a) Chứng minh: Tứ giác MOBK nội tiếp b) Chứng minh: Tứ giác CKMH hình vng c) Chứng minh: Ba điểm H; O; K thẳng hàng d) Gọi giao điểm HK CM I Khi C di động nửa đường tròn I chạy đường nào? Hướng dẫn c) Chứng minh: Ba điểm H, O, K thẳng hàng Gọi I giao điểm HK MC Do MHCK hình vuông  HK  MC trung điểm I MC Do I trung điểm MC  OI  MC (t/c đường kính dây cung) Vậy HI  MC; OI  MC KI  MC Suy ra: H; O;I thẳng hàng   900 ; OM cố định d) Do OIM Suy ra: I nằm đường trịn đường kính OM Giới hạn: Khi C  B I  Q; Khi C  A I  P Vậy C di động nửa đường trịn (O) I chạy cung trịn PHQ đường trịn đường kính OM Bài tập 18: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều rộng BC = a Kẻ tia phân giác  Từ A hạ AH vng góc với đường phân giác nói ACD a) Chứng minh: Tứ giác AHDC nội tiếp đường trịn (O) Khi xác định tâm bán kính đường trịn theo a b) Kẻ HB cắt AD I cắt AC M; HC cắt DB N Chứng tỏ rằng: HB = HC AB.AC = BH.BI c) Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O) d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH; đường cắt HC K cắt (O) J Chứng minh: Tứ giác HOKD nội tiếp Bài tập 19: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, bán kính OC  AB Gọi M điểm cung BC Kẻ đường cao CH ACM a) Chứng minh: Tứ giác AOHC nội tiếp  b) Chứng tỏ CHM vuông cân OH phân giác COM Biên soạn: Trần Trung Chính 106 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com c) Gọi giao điểm OH với BC I MI cắt (O) D Chứng minh rằng: Tứ giác CDBM hình thang cân d) Kẻ BM cắt OH N Chứng minh: BNI ∽ AMC Từ suy ra: BN.MC = IN.MA Bài tập 20: Cho ABC nội tiếp (O; R) Trên cạnh AB AC lấy hai điểm M; N cho BM = AN a) Chứng tỏ rằng: OMN cân b) Chứng minh: Tứ giác OMAN nội tiếp c) Kéo dài BO cắt AC D cắt (O) E Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2 d) Đường thẳng CE AB cắt F Tiếp tuyến A (O) cắt FC I; AO kéo dài cắt BC J Chứng minh: BI qua trung điểm AJ Hướng dẫn c) Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2 Do BO phân giác   BO  AC hay BOD vuông D Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có: BC2 = DB2 + CD2 = (BO + OD)2 + CD2= BO2 + 2.OB.OD + OD2 + CD2 (1) Mà OB = R   300 AOC cân O có OAC   600   1200  AOE  AOC R Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có: OD2 = OC2 - CD2 = R2 - CD2 (2) R Từ (1) (2), suy ra: BC2 = R2 + 2.R + CD2 - CD2 = 3R2 Bài tập 21: Cho ABC, (A = 900) nội tiếp đường tròn (O) Gọi M trung điểm cạnh AC Đường trịn (I) đường kính MC cắt cạnh BC N cắt (O) D a) Chứng minh: Tứ giác ABNM nội tiếp CN.AB = AC.MN b) Chứng tỏ rằng: B, M, D thẳng hàng OM tiếp tuyến (I) c) Tia IO cắt đường thẳng AB E Chứng minh: Tứ giác BMOE hình bình hành  d) Chứng minh: NM phân giác AND Bài tập 22: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi I điểm đường chéo AC Qua I kẻ đường thẳng song song với AB; BC Các đường cắt AB; BC; CD; DA P; Q; N; M a) Chứng minh: Tứ giác INCQ hình vng b) Chứng tỏ rằng: NQ // DB c) Kéo dài BI cắt MN E; MP cắt AC F Chứng minh: Tứ giác MFIN nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường trịn d) Chứng tỏ tứ giác MPQN nội tiếp Tính diện tích theo a e) Chứng minh: Tứ giác MFIE nội tiếp Bài tập 23: Cho hình vng ABCD Gọi N trung điểm DC; Kẻ BN cắt AC F Vẽ đường trịn (O) đường kính BN (O) cắt AC E Kéo dài BE cắt AD M; MN cắt (O) I a) Chứng minh: Tứ giác MDNE nội tiếp b) Chứng tỏ rằng: BEN vuông cân c) Chứng minh: MF qua trực tâm H BMN d) Chứng minh: BI = BC IEF vuông e) Chứng minh: FIE tam giác vuông Bài tập 24: Cho ABC có góc nhọn(AB < AC) Vẽ đường cao AH Từ H kẻ HK; HM vng góc với AB; AC Gọi J giao điểm AH MK  AOE tam giác đều, có AD  OE  OD = ED = Biên soạn: Trần Trung Chính 107 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: a) Chứng minh: Tứ giác AMHK nội tiếp b) Chứng minh: JA.JH = JK.JM c) Từ C kẻ tia Cx  AC Cx cắt AH kéo dài D Vẽ HI  DB HN  DC Chứng minh rằng:   HCN  HKM d) Chứng minh: M; N; I; K nằm đường tròn Bài tập 25: Cho ABC (A = 900) Đường cao AH Đường trịn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB D cắt AC E; Trung tuyến AM ABC cắt DE I a) Chứng minh: D; H; E thẳng hàng b) Chứng minh: Tứ giác BDCE nội tiếp Xác định tâm O đường tròn c) Chứng minh: AM  DE d) Chứng minh: Tứ giác AHOM hình bình hành Bài tập 26: Cho ABC có góc nhọn Đường cao AH Gọi K điểm đối xứng H qua AB; I điểm đối xứng H qua AC Gọi E; F giao điểm KI với AB AC a) Chứng minh: Tứ giác AICH nội tiếp b) Chứng minh: AI = AK c) Chứng minh: Các điểm A; E; H; C; I nằm đường tròn d) Chứng minh: CE; BF đường cao ABC e) Chứng tỏ giao điểm đường phân giác HFE trực tâm ABC Bài tập 27: Cho ABC, (AB = AC) nội tiếp (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC Trên tia BM lấy MK = MC tia BA lấy AD = AC   2BKC  a) Chứng minh: BAC b) Chứng minh: Tứ giác BCKD nội tiếp Xác định tâm đường tròn c) Gọi giao điểm DC với (O) I Chứng minh: B; O; I thẳng hàng d) Chứng minh: DI = BI Bài tập 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O) Gọi I điểm cung AB (cung AB không chứa điểm C; D) IC ID cắt AB M; N a) Chứng minh: D; M; N; C nằm đường tròn b) Chứng minh: NA.NB = NI.NC c) Kéo dài DI cắt đường thẳng BC F; đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E Chứng minh: EF // AB d) Chứng minh: IA2 = IM.ID Bài tập 29: Cho hình vng ABCD, cạh BC lấ để E Dựng tia Ax  AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI AEF Kéo dài AIcắt CD K Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI G a) Chứng minh: Tứ giác AECF nội tiếp b) Chứng minh: AF2 = KF.CF c) Chứng minh: Tứ giác EGFK hình thoi d) Chứng minh rằng: Khi E di động BC EK = BE + DK chu vi CKE có giá trị khơng đổi e) Gọi giao điểm EF với AD J Chứng minh: GJ  JK Hướng dẫn d) Chứng minh: EK = BE + DK Xét ADF ABE có: AD = AB; AF = AE (AEF vuông cân)  ADF = ABE  BE = DF Mà FD + DK = FK FK = KE (t/c hình thoi)  KE = BE + DK Biên soạn: Trần Trung Chính 108 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com Chứng minh chu vi CKE không đổi: Gọi chu vi C = KC + EC + KE = KC + EC + BE + DK = (KC + DK) + (BE + EC) = 2BC không đổi e) Chứng minh: IJ  JK   JDK   900 Do JIK  Tứ giác IJDK nội tiếp   IDK  (cùng chắn cung IK),  JIK   450 (t/c hình vuông) IDK   450  JIK vuông cân I  JIK  JI = IK, mà IK = GI  JI = IK = GI = GK  GJK vuông J hay GJ  JK Bài tập 30: Cho ABC Gọi H trực tâm tam giác Dựng hình bình hành BHCD Gọi I giao điểm HD BC a) Chứng minh: Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O, nêu cách dựng (O)  OAC  b) So sánh BAH c) Kẻ CH cắt OD E Chứng minh: AB.AE = AH.AC d) Gọi giao điểm AI OH G Chứng minh: G trọng tâm ABC   900 C để tuỳ ý cung lớn AB Các đường cao Bài tập 31: Cho đường tròn (O) AB AI; BK; CJ ABC cắt H Kẻ BK cắt (O) N; AH cắt (O) M BM AN gặp D a) Chứng minh: B; K; C; J nằm đường tròn b) Chứng minh: BI.KC = HI.KB c) Chứng minh: MN đường kính đường trịn (O) d) Chứng minh: Tứ giác ACBD hình bình hành e) Chứng minh: OC // DH Bài tập 32: Cho hình vng ABCD Gọi N để CD cho CN < ND; Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN Đường tròn (O) cắt AC F; BF cắt AD M; BN cắt AC E a) Chứng minh: BFN vuông cân b) Chứng minh: MEBA nội tiếp c) Gọi giao điểm ME NF Q Kẻ MN cắt (O) P Chứng minh: B; Q; P thẳng hàng d) Chứng tỏ: ME // PC BP = BC e) Chứng minh: FPE tam giác vuông Bài tập 33: Trên đường tròn tâm O lấy bốn để A; B; C; D cho AB = DB.AB CD cắt ởc E Kẻ BC cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) Q; DB cắt AC K  a) Chứng minh: CB phân giác ACE b) Chứng minh: Tứ giác AQEC nội tiếp c) Chứng minh: KA.KC = KB.KD d) Chứng minh: QE // AD Bài tập 34: Cho (O) tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy hai để B C cho AB = BC Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn Kẻ CE CF cắt (O) M N Dựng hình bình hành AECD a) Chứng minh: D nằm đường thẳg BF b) Chứng minh: Tứ giác ADCF nội tiếp c) Chứng minh: CF.CN = CE.CM d) Chứng minh: MN // AC Biên soạn: Trần Trung Chính 109 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: e) Gọi giao điểm AF với MN I Chứng minh rằng: DF qua trung điểm NI Bài tập 35: Cho (O; R) đường kính AB; CD vng góc với Gọi M điểm cung nhỏ CB a) Chứng minh: Tứ giác ACBD hình vng b) Kẻ AM cắt CD; CB P I Gọi J giao điểm DM AB Chứng minh: IB.IC = IA.IM  c) Chứng tỏ rằng: IJ // PD IJ phân giác CJM d) Tính diện tích AID theo R Hướng dẫn d) Tính diện tích AID theo R:  SIAD = SCAD Mà SACD = SABCD 1  SIAD = SABCD.SABCD = AB.CD (diện tích có đường chéo vng góc) 2  SABCD = 2R.2R = 2R2  SIAD = Rb) Bài tập 36: Cho (O; R) Một cát tuyến xy cắt (O) E F Trên xy lấy điểm A nằm đoạn EF Vẽ tiếp tuyến AB AC với (O) Gọi H trung để EF a) Chứng tỏ điểm: A; B; C; O; H nằm đường tròn b) Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K Chứng minh: OI.OA = OH.OK = R2 c) Khi A di động xy I di động đường nào? d) Chứng minh: KE KF hai tiếp tuyến (O) Bài tập 37: Cho ABC (A = 900); AB = 15; AC = 20 (cùng đơn vị đo độ dài) Dựng đường trịn tâm O đường kính AB đường trịn (O’) đường kính AC Hai đường trịn (O) (O’) cắt điểm thứ hai D a) Chứng tỏ D nằm BC b) Gọi M để cung nhỏ DC AM cắt DC E cắt (O) N Chứng minh: DE.AC = AE.MC c) Chứng minh: AN = NE O; N; O’ thẳng hàng   900 d) Gọi I trung để MN Chứng minh: OIO' e) Tính diện tích AMC Hướng dẫn c) Chứng minh: AN = NE Do BA  AO’(ABC vuông A)  BA tiếp tuyến (O’)  = sđ AM   sđ AE  = sđ MC   AD  Sđ ED   DM   MC   AD   AM  Mà MC   BAC   AED  BAE cân B, mà BM  AE  NA = NE Chứng minh: O; N; O’ thẳng hàng: Ta có: ON đường trung bình ABE   Biên soạn: Trần Trung Chính 110 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com  ON // BE OO’ // BE  O, N, O’ thẳng hàng Bài tập 38: Cho ABC đều, có cạnh a Gọi D giao điểm hai đường phân giác góc A góc B ABC Từ D dựng tia Dx  DB Trên Dx lấy điểm E cho ED = DB (D E nằm hai phía đường thẳng AB) Từ E kẻ EF  BC Gọi O trung điểm EB a) Chứng minh: Tứ giác AEBC EDFB nội tiếp Xác định tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác theo a b) Kéo dài FE phía F, cắt (D) M Kẻ EC cắt (O) N Chứng minh: Tứ giác EBMC thang cân Tính diện tích  c) Chứng minh: EC phân giác DAC d) Chứng minh: FD đường trung trực MB e) Chứng tỏ A; D; N thẳng hàng f) Tính diện tích phần mặt trăng tạo cung nhỏ EB hai đường tròn Hướng dẫn e) Chứng minh: A; N; D thẳng hàng:  ) ENB   BED   450 (cùng chắn DB  góc ngồi ANC  = 90o (cmt); ENA Ta có: BND   NAC   CAN   450  ENA   ENB   BND   1800  ENA  A, N, D thẳng hàng f) Gọi diện tích mặt trăng cần tính S Ta có: S = Snửa (O) - Sviên phân EDB a 6 a 2 S(O) = .OE =    =   a 2  S1  O 12 2 .BD2 90o   a  a 2 Squạt EBD = =    360o   12 a2 SEBD = DB2 = a  a a (  2) - = Sviên phân = Squạt EBD - SEDB = 12 12 2 a  a (  2) a S= = 12 12 Bài tập 39: Cho hình vng ABCD, E điểm thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K a) Chứng minh: Tứ giác BHCD nội tiếp  b) Tính CHK c) Chứng minh: KC.KD = KH.KB d) Khi E di động BC H di động đường nào? Hướng dẫn  d) Do BHD  900 không đổi Suy ra: E di chuyển BC H di động đường trịn đường kính DB Biên soạn: Trần Trung Chính 111 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: Bài tập 40: Cho đường trịn (O;R) đường kính AB Gọi C điểm thuộc đường trịn (C  A B) Hai điểm M, N điểm cung nhỏ AC BC Các đường thẳng BN AC cắt I, dây cung AN BC cắt P a) Chứng minh: Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác b) Chứng minh: KN tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Chứng minh C di động đường trịn (O; R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định Hướng dẫn c) Chứng minh C di động đường tròn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định:  = MC  (gt) nên AOM  = MOC  Ta có AM  Vậy OM phân giác AOC  COB  , mà AOC  kề bù nên MON  = 900 Tương tự ON phân giác COB Vậy tam giác MON vuông cân O R Kẻ OH  MN, ta có OH = OM.sinM = R = không đổi 2 Vậy C di động đường trịn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố  R 2 định  O;    Bài tập 41: Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB Trên đường tròn (O; R) lấy điểm M cho  = 600 Vẽ đường tròn (B; BM) cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai N MAB a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Kẻ đường kính MI đường trịn (O; R) MJ đường tròn (B; BM) Chứng minh N, I J thẳng hàng JI.JN = 6R2 c) Tính phần diện tích hình trịn (B; BM) nằm bên ngồi đường tròn (O; R) theo R Hướng dẫn b) Chứng minh: N; I; J thẳng hàng JI.JN = 6R2  = MNJ  = 900 (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O tâm B) MNI Nên IN  MN JN  MN Vậy ba điểm N; I J thẳng hàng MJI có BO đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R  = 600 nên MAO AMO cân O (vì OM = OA), MAO AB  MN H (tính chất dây chung hai đường trịn (O) (B) cắt nhau) 1 Nên OH = OA = R 2 R 3R Vậy HB = HO + OB = + R = 2 3R  NJ = = 3R Vậy JI.JN = 2R.3R = 6R2 c) Tính diện tích phần hình trịn (B; BM) nằm ngồi đường trịn (O; R) theo R: Gọi S diện tích phần hình trịn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình trịn (O; R) S1 diện tích hình trịn tâm (B; BM) S2 diện tích hình quạt MBN S3, S4 diện tích hai viên phân cung MB NB đường tròn (O; R) Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4) Biên soạn: Trần Trung Chính 112 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com   600  MB   1200 Tính S1: MAB  MB = R  Vậy: S1 = π R  = 3πR Tính S2:  = 600  S2 = MBN   π R 60 = πR 2 3600 Tính S3: S3 = Squạt MOB – SMOB πR 1200 πR  = MOB = 120  Squạt MOB = 3600 R2 1 1 OA = OB  SMOB = SAMB = AM.MB = R.R = 2 4 2 πR R = S4 (do tính chất đối xứng) Vậy S3 =  πR 2πR R  11πR + 3R Từ S = S1 - (S2 + 2S3) = 3πR –  (đvdt) +  =   Bài tập 42: Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường trịn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM AN Gọi E F trung điểm BC MN a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB AC b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi Bài tập 43: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính (M thuộc cung AN) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K   AKB a) Tính MIN b) Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB d) AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK e) Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn nhất? Tính giá trị diện tích lớn theo R Bài tập 44: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N a) Chứng minh AC + BD = CD   900 b) Chứng minh: COD AB2 c) Chứng minh: AC.BD = d) Chứng minh: OC // BM e) Chứng minh: AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD f) Chứng minh: MN  AB g) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn g) Ta có: Chu vi tứ giác: ACDB = AB + AC + CD + BD Mà AC + BD = CD Suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD Biên soạn: Trần Trung Chính 113 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: Mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ Và CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB Suy ra: M phải trung điểm cung AB Bài tập 45: Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M (M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP Kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC  MB, BD  MA Gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB a) Chứng minh: Tứ giác AMBO nội tiếp b) Chứng minh: Năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn c) Chứng minh: OI.OM = R2; OI IM = IA2 d) Chứng minh: Tứ giác OAHB hình thoi e) Chứng minh: Ba điểm O, H, M thẳng hàng f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Hướng dẫn e) Theo OAHB hình thoi Suy ra: OH  AB; theo OM  AB Suy ra: O, H, M thẳng hàng (vì qua O có đường thẳng vng góc với AB) f) Theo OAHB hình thoi Suy ra: AH = AO = R Vậy M di động d H di động ln cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường trịn tâm A bán kính AH = R Bài tập 46: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N a) Chứng minh: AC + BD = CD   900 b) Chứng minh: COD AB2 c) Chứng minh: AC BD = d) Chứng minh: OC // BM e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD e) Chứng minh: MN  AB f) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn f) Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD Suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi Chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ Mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By, tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB  M phải trung điểm cung AB Bài tập 47: Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M (M khác A) kẻ cát tuyến MNP Gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC  MB, BD  MA Gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp b) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn c) Chứng minh: OI.OM = R2; OI IM = IA2 d) Chứng minh OAHB hình thoi e) Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Biên soạn: Trần Trung Chính 114 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Hướng dẫn e) Theo OAHB hình thoi Suy ra: OH  AB; theo OM  AB Suy ra: O, H, M thẳng hàng (vì qua O có đường thẳng vng góc với AB) f) Theo OAHB hình thoi Suy ra: AH = AO = R Vậy M di động d H di động ln cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường trịn tâm A bán kính AH = R Bài tập 48: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R Từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn b) Chứng minh BM // OP c) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành d) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Hướng dẫn d) Tứ giác OBNP hình bình hành Suy ra: PN // OB hay PJ // AB Mà ON  AB  ON  PJ Ta có PM  OJ (PM tiếp tuyến ) Mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật   AON   ONP   900 Vì có PAO Suy ra: K trung điểm PO (tính chất đường chéo hình chữ nhật) (6)   Ta có: AONP hình chữ nhật  APO  NOP (so le) (7) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt thì:   APO   MPO  PO tia phân giác góc APM (8) Từ (7) (8)  IPO cân I có IK trung tuyến đơng thời đường cao Suy ra: IK  PO (9) Từ (6) (9)  I, J, K thẳng hàng Bài tập 49: Cho đường trịn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh : a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO hình bình hành c) CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M d) Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định Hướng dẫn d) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c)   900 Suy ra: ODP Suy ra: P chạy đường thẳng cố định vng góc với CD D Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A’B’ song song AB Bài tập 50: Cho ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G a) Chứng minh: ABC ∽ EBD b) Chứng minh: Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp c) Chứng minh: AC // FG d) Chứng minh: Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy Biên soạn: Trần Trung Chính 115 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: Hướng dẫn d) Dễ thấy CA, DE, BF ba đường cao DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài tập 51: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khơng trùng O, B); đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC a) Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp Bài tập 52: Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường trịn phía hình vng Lấy AB làm đường kính, vẽ 1/2 đường trịn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC (không trùng với A C) H K hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đường tròn I M a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân e) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB Bài tập 53: Cho đường tròn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đường kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đường tròn (O) C a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp b) Chứng minh tích MC MD có giá trị không đổi D di động dây AB   AO  c) Gọi O' tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh rằng: MAB 'D d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD  = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D Bài tập 54: Cho tam giác vuông cân ABC ( A tia AC Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tương ứng M, N, P a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đường tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC Bài tập 55: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) (O') C C' Đường thẳng AO' cắt đường tròn (O) (O') D D' a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đường thẳng CD đường thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp Bài tập 56: Từ điểm C ngồi đường trịn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đường kính vng góc với AB Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) M, N a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D b) Chứng minh tiếp tuyến đường tròn (O) M, N qua trung điểm E CD Bài tập 57: Cho hai đường tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R > R' ) Đường nối tâm OO' cắt đường tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đường trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đường trịn (O') D a) Tứ giác BEFC hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng c) CF cắt đường tròn (O’) G Chứng minh ba đường EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’) Bài tập 58:Cho đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi C AC BC đường kính (O) (O’), DE tiếp tuyến chung (D  (O), E  (O’)) AD cắt BE M Biên soạn: Trần Trung Chính 116 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com a) MAB tam giác gì? b) Chứng minh: MC tiếp tuyến chung (O) (O’) c) Kẻ Ex, By vng góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh: D, N, C thẳng hàng d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường trịn đường kính AB OO’ Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tòn I, K Chứng minh OI // AK Bài tập 59: Cho đường tròn (O ; R) Đường thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d ngồi (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định Bài tập 60:Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN c) MN cắt BC K Chứng minh DK vuông góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn Bài tập 61: Cho (O; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh: MA.MB = MI.MN d) Chứng minh: IM.IN = IA2 Bài tập 62: Cho nửa đường trịn đường kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN a) So sánh AMC BCN b) CMN tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành d) Đường thẳng d qua N vng góc với BM Chứng minh d qua điểm cố định Bài tập 63: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đường tròn b) Gọi H trực tâm MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm cố định d) Đường thẳng qua C vng góc với OA cắt AB, AD E K Chứng minh: EC = EK Bài tập 64: Cho ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) M điểm di động đường trịn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM a) Chứng minh BPM cân b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đường tròn (O) Bài tập 65: Đường tròn (O ; R) cắt đường thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ   QPO  đường tròn ngoại tiếp MPQ qua hai điểm cố định M a) Chứng minh rằng: QMO di động d b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng? c) Tìm quỹ tích tâm đường trịn nội tiếp MPQ M di động d Bài tập 66: Hai đường tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) (I) P, Q Gọi C giao điểm hai đường thẳng PO QI Biên soạn: Trần Trung Chính 117 .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp b) Gọi E, F trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đường thẳng d quay quanh A K chuyển động đường nào? c) Tìm vị trí d để PQB có chu vi lớn Bài tập 67: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật Bài tập 68: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 25 cm2 Tính thể tích diện tích tồn phần hình lập phương Bài tập 69: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm  A 'AC'  600 Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật Bài tập 70: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300 Bài tập 71: Cho ABC cạnh a Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC a) Chứng minh rằng: SA = SB = SC b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a a Bài tập 72: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đường cao a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp Bài tập 73: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích tốn phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp Bài tập 74: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15cm thể tích 1280cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy b) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài tập 75: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt Bài tập 76: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) Tính thể tích hình chóp b) Chứng minh bốn mặt bên tam giác vng c) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài tập 77: Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ 128cm3, tính diện tích xung quanh Bài tập 78: Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65cm2 Tính thể tích hình nón Bài tập 79: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đường cao 12cm đường sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt Bài tập 80: Một hình cầu có diện tích bề mặt 36 cm2 Tính thể tích hình cầu Biên soạn: Trần Trung Chính 118 ... Biên soạn: Trần Trung Chính Chun đề hình học lớp ơn thi vào lớp 10 Góc khối B A Đường phân giác Chuyên đề hình học lớp ôn thi vào lớp 10 :: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com R R Chia... ba góc < 90 0) Biên soạn: Trần Trung Chính Chun đề hình học lớp ôn thi vào lớp 10 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: A B C Tam giác đều: Là tam giác có ba cạnh ba góc Trong tam giác đều, đường... gọi tâm đường ngoại tiếp tam giác Biên soạn: Trần Trung Chính Chun đề hình học lớp ôn thi vào lớp 10 .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 :: www.VNMATH.com d B A Đường thẳng (d) đường trung trực đoạn