Chuyên đề giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất ôn thi vào lớp 10

2 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CÁC CÂU PHÂN LOẠI THPT CÁC TỈNH Câu 1: [TS10 TP Hà Nội, 2019-2020] Cho biểu thức P  a  b4  ab , với a, b số thực thỏa mãn a  ab  b2  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P Lời giải Ta có:  P  a  b4  ab  a  b2   2a b2  ab    ab   2a b2  ab 2   85    ab    2  Ta có: a  b3  2ab   ab   ab  a  b    ab  3  ab  a2  b2  2ab  ab  7 7   81 Vì: 3   ab      ab      a    2 2 2  2 2 81  7   85      a      1    a     21 2 2     P  21 GTLN P 21 a  3, b   a   3, b  GTNN P a = b = Câu 2: [TS10 Tỉnh Bắc Ninh, 2019-2020] Cho hai số thực không âm a, b thỏa mã: a  b2  Tìm GTLN GTNN biểu thức M  a  b3  ab  Lời giải Tìm GTNN:   Ta có: a  b3   a  b3   AM  GM  3ab  Dấu “=” xảy a = b = a  b3   ab  1  3 Vì a, b > nên M  ab  ab  Do gi{ trị nhỏ biểu thức M l| đạt a = b = Tìm GTLN: Đặt S  a  b,P  ab Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp Chuyên đề giá trị lớn giá trị nhỏ ôn thi vào lớp 10 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Vì a  b2    a  b   2ab   S  2P   P  S2  Ta có:  a  b   a  2ab  b2   2ab   a  b  2 Do S   S2   S    S  a  b   3ab  a  b   S  3PS     M   ab  P1 S2  1 2  S  6S  8   S      2 S S S 2 a  b   a  b   0; ; Dấu “=” xảy   ab     2;  Vậy giá trị lớn M  2 0; ; Câu 3:  2;  [TS10 Tỉnh Nghệ An, 2019-2020] 5x2  27x  25  x   x2  Giải phương trình: Lời giải ĐKXĐ: x  5x  27x  25  x   x     5x  27x  25  25  x  1  x   10 x    x  1  x    x  1   x  x  2  x  x  2 x  2  x  2   2x  x   Đặt 2 x2  x   a  0; x   b  Phương trình trở thành:  ab 2a  5ab  b2    2a  3b  a  b      2a  3b  x    TM  Với a  b  x  x   x   x  2x     y   L  2   65  TM  x  2  Với 2a  3b  x  x    x    4x  13x  26    13  65 L x   Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp  PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC Chuyên đề giá trị lớn giá trị nhỏ ôn thi vào lớp 10 Website: tailieumontoan.com Vậy phương trình có nghiệm: x   5; x  Câu 4:  65 [TS10 Tỉnh Hải Phòng, 2019-2020] 1 1     9 x y z  a) Cho x, y, z ba số dương Chứng minh  x  y  z   b) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức A ab bc ca    a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b Lời giải a) Ta có 1  x  y  z x  x y  x  y  x z  y  y x  x  y xy  x  y z 1  9 y z  z  y  z  z  z x  2     y  z yz y y  6  z x    2    x z  2    z  x zx 1 Vậy  x  y  z   x b)  1  9 y z Áp dụng bất đẳng thức câu a) ta có ab a  3b  2c   x, y, z   ab   a  c    b  c   2b  ab ab a      a  3b  2c  a  c b  c  ab  ab  1       a  c b  c 2b  (1) Chứng minh tương tự ta có: bc  bc bc b       b  3c  2a  a  b a  c  ca  ac ac c      c  3a  2b  b  c a  b  (2) (3) Cộng vế bất đẳng thức (1); (2) (3) ta có  ac  bc ab  ac bc  ab a  b  c  A      9 ab bc ca  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC Chuyên đề giá trị lớn giá trị nhỏ ôn thi vào lớp 10 Website: tailieumontoan.com  c a  b  A a b  c  b c  a      9 ab bc ca a b  c    a  b  c  3.6     9 Dấu “=” xảy  a  b  c   A Vậy giá trị lớn biểu thức A đạt a  b  c  Câu 5: [TS10 Tỉnh Thanh Hóa, 2019-2020] Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1.Chứng minh rằng: ab bc ca   1 4 a  b  ab b  c  bc c  a  ca Lời giải 4 2 Ta có: a  b  ab(a  b )a; b  R Thật vậy: a  b4  ab(a  b )  a  b4  a b  ab  (a  b)(a  b )   (a  b)2 (a  ab  b2 )  (luôn a; b  R ) => a  b4  ab  ab(a  b2 )  ab  a  b4  ab  ab(a  b2 )  abc ( a;b;c > abc = 1) Do đó: ab ab 1   c2  c2     a  b4  ab ab(a  b2 )  ab a  b2  a  b2  1   c a  b  c     Tương tự: bc  a2  (2); b4  c  bc  a  b  c 2 ca  b2  (3) c  a  ca  a  b  c 2 Mặt khác:  ab  bc  ca   2.3 a b2c  Cộng theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: 2 a b c a  b2  c  a  b  c   ab  bc  ca      1 2 b4  c  a a  c  b a  b4  c a  b  c a  b  c     Vậy b|i to{n chứng minh Dấu “=” xảy kh a = b = c = Câu 6: [TS10 Tỉnh Quảng Ninh, 2019-2020] Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC Chuyên đề giá trị lớn giá trị nhỏ ôn thi vào lớp 10 Website: tailieumontoan.com Cho số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ của: 2019  2 ab  bc  ca a b c Lời giải P Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a  b  c  abc; 1 1   3 a b c abc  a  b  c   a1  b1  1c    *  Suy   Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c b) Ta có ab  bc  ca  a  b  c 2 a  b  c   ab  bc  ca   3 2017  6051 ab  bc  ca Suy Áp dụng bất đẳng thức câu a, ta có  1    a  b2  c  2ab  2bc  2ca    2  a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca      9 2 ab  bc  ca  a  b  c 2 a b c Suy Do ta P  2019   6060 2 ab  bc  ca a b c Vậy giá trị nhỏ P 6060 Dấu đẳng thức xẩy a  b  c  Câu 7: [TS10 Tỉnh Bắc Giang, 2019-2020] Cho x, y số thực thỏa mãn x2  y2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    x   y  Lời giải Ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC Chuyên đề giá trị lớn giá trị nhỏ ôn thi vào lớp 10 Website: tailieumontoan.com P    x   y     x  y   xy    17   x  y    x  y   xy  x  y  3 18   x  y   xy   x  y  6 x  y   2  Từ x  y  1chỉ  x  y     x  y  2; Suy    x  y      x  y  3 P 2  4 3  2 4 19   19  2  x  y  2 [TS10 Tỉnh Vũng T|u, 2019-2020] Vậy gi{ trị nhỏ P Câu 8: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y  Tìm Giá trị nhỏ biểu thức P  5xy x  2y  Lời giải 5     = xy x  y  5 xy ( x  y )  y  5 xy y  xy y  xy  y  P     xy 20 y  20 20 P xy  y  y ( x  1)  Ta lại có:   20 20  x  y  1 20 8  Khi đó:  xy   y   xy  y  P     xy 20 y  20 20     3  P  1  P  5 x  Vậy PMin    y  Câu 9: [TS10 Tỉnh Bình Định, 2019-2020] Cho x, y P x  y hai số thực thỏa  Tìm giá trị nhỏ biểu thức  xy  x2  y x y Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Lời giải Với x  y, xy  , ta có x  y ( x  y)2  xy P   x y x y x y x y Vì x  y  x  y  0;  xy  x y Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x  y; x y , ta có x y 2( x  y) 2 2 2 x y x y Suy P  2 Dấu đẳng thức xảy  x  y   ( x  y)2   x  y   x  y  x y  6 y  Mà xy   ( y  2) y   y  y   y  y       6 y     2 2 x  x    2 Vậy P  2   y    y      2 Câu 10: [TS10 Tỉnh Đắk Lắk, 2019-2020] Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x  2y  3z  Tìm giá trị lớn biểu thức: S  xy 3yz 3xz   xy  3z 3yz  x 3xz  4y Lời giải Đặt a  x;b  2y;c  3z , ta được: a, b,c  0; a  b  c  Khi đó: S  Xét ab bc ac   ab  2c bc  2a ac  2b ab ab   ab  2c ab   a  b  c  c ab 1 a b      a  c  b  c   a  c b  c  Dấu đẳng thức xảy Tương tự ta có: a b  ac bc bc 1 b c  ac 1 a c        ;  bc  2a  b  a c  a  ac  2b  a  b c  b  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Dấu đẳng thức xảy b c a c   ; ba ca ab cb 1a b bc a c Cộng c{c vế ta được: S      2ab bc ac 2 Vậy gi{ trị lớn S v| a  b  c  hay gi{ trị lớn S 2 v| x  ; y  ; z  3 Câu 11: [TS10 Tỉnh Đắk Nông, 2019-2020] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ abc biểu thức P   a  b  a  c  Lời giải  abc  a  b  c   Ta có: a  b  c  abc Theo bất đẳng thức cơsi ta có: P   a  b  a  c   a2  ab  ac  bc  a  a  b  c  bc  a  a  b  c   bc a  a  b  c     Đẳng thức xảy khi:   bc  bc    Ta thấy hệ có vô số nghiệm dương chẳng hạn b  c  1, a   Vậy Pmin  Câu 12: [TS10 Tỉnh Đồng Nai, 2019-2020] Cho ba số thực a, b , c Chứng minh rằng: a  bc    b2  ca    c  ab    a  bc b2  ca  c  ab  3 Lời giải Phương ph{p: - Đặt x x3 y3 a2 z3 bc , y b2 ca, z c2 ab đưa bất đẳng thức cần chứng minh 3xyz  - Chứng minh đẳng thức x3  y3  z  3xyz   x  y  z  x  y  z  xy  yz  zx - Từ đ{nh g{i hiệu x Đặt x a2 bc , y b2 y3 z3 3xyz kết luận ca, z c2 ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : x Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp y3 z3  3xyz PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 Website: tailieumontoan.com Ta có: x3  y  z  3xyz   x3  y   3xyz  z   x  y   3xy  x  y   3xyz  z 3   x  y   z  3xy  x  y  z    x  y  z   x  y    x  y  z  z   3xy  x  y  z    2   x  y  z   x  xy  y  xz  yz  z  3xy    x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx  Dễ thấy: x  y  z  xy  yz  zx   x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x   1 2  x  y    y  z    z  x    0, x, y, z  Do ta xét dấu x Ta có: x y a2 z bc  a  b2  c  ab  bc  ca  y z b2 ca c2 ab 1 2 a  b    b  c    c  a    0, a, b, c   2 Suy x  y  z    x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   x y x3 a z y3 x z3 y z x2 y2 z2 xy yz zx 3xyz hay  bc    b2  ca    c  ab    a  bc b2  ca  c  ab  (đpcm) 3 Dấu “ =” xảy a b c Câu 13: [TS10 Tỉnh Hà Nam, 2019-2020] Cho a, b, c l| c{c số thực dương v| thỏa mãn điều kiện abc  Chứng minh 1    2a 2b 2c Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp 1   1 2a 2b 2c PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website: tailieumontoan.com   b  2 c  2   a  2 c  2   a   b     a  b   c    ab  bc  ca   a  b  c   12  abc   ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca   a  b  c   12    ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca  Thật {p dụng bất đẳng thức CauChy cho số dương ta có  ab  bc  ca  3  abc   Dấu “=” xảy a  b  c  Ho|n tất chứng minh Câu 14: [TS10 Tỉnh H| Tĩnh, 2019-2020] Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: a  b  3ab  Tìm giá trị lớn biểu thức P  6ab  a  b2 ab Lời giải Ta có: (a  b)2   a2  b2  2ab  (a  b)2  4ab; a  b2  Từ giả thiết a  b  3ab   a  b   3ab   (a  b) 2  a  b   a  b    a  b      a  b  2 3  a  b   2   a  b  2 (vì a, b  ) 3ab  (a  b)   1  1  ab a b a b 2 a b P  a  b  2  2    a  b2    9 6ab 3ab  a  b2    a  b2     ab a b 9 Vậy giá trị lớn P Câu 15: a  b ab  a  b  3ab  [TS10 Tỉnh Hải Dương, 2019-2020] Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  b  c  2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  2a  ab  2b2  2b2  bc  2c  2c  ca  2a Lời giải Ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 34 Website: tailieumontoan.com P2 P2 1 15 15  xy   xy  2 xy  xy 16xy 16xy 16xy 16xy 15   17 16 Dấu “=” xảy x  y  Vậy giá trị nhỏ P 17 Câu 48: [TS10 Chuyên Tiền Giang, 2019-2020]   Cho hai số dương x, y thỏa mãn x3  y3  6xy  x  y     x  y   xy    1 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T      2y x  Lời giải Ta có:   x  y  6xy  x  y     x  y   xy     x  y   12xy   x  y   xy   Đặt a  x  y, b  xy  a, b  0 đó:   2a  12b  a  b    b a  12  2a  4a Do VT > nên 2a  4a   2a a     a  Ta có:  a a  12a 1  x y   x2  y  xy   a T     1           2y x  2 xy b 2b 2 4a  8a    Ta chứng minh: T  a  6 a2  a  12a 3  (luôn a  ) Thật vậy: T   4a  8a 4a  a   Dấu “=” xảy a = 6, b = hay x   3, y   x   3, y   Vậy giá trị nhỏ T Câu 49: [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u, 2019-2020] Cho số thực dương x, y Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P xy x2 y2  2  xy y x Lời giải Ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 35 Website: tailieumontoan.com xy xy x  2x y  y x2 y2 P  2    2 xy xy y x xy  x2  y2  xy x  y xy       xy xy  xy  x  y  x2  y2  xy  x  y   xy  P  2  2  xy xy  xy  xy Đặt t  xy xy Theo AM – GM thì: x  y  xy  xy xy  1 t  2 2 t Khi đó: P t t  15 t2     2 2  t  2 16t  16t t t 15  2  2 2 16t 16 15    4  Dấu “=” xảy x = y  33 Vậy giá trị nhỏ P Câu 50: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] Với x, y số thực thỏa mãn  y  xy   2y Tìm giá trị nhỏ x2  biểu thức M  y 1 Lời giải Theo giải thiết ta có: 4xy   8y 2 Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 4x  y  4xy 2 Suy ra: 4x  y   4xy   8y       Do đó: x2    8y  y2  y2    5y    y   y  Suy ra: x2   y   M  x2  1 y2  Dấu “=” xảy x = 2, y = Vậy giá trị nhỏ M Câu 51: [TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020] Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 36 Website: tailieumontoan.com Với x, y cá số thực thỏa mãn   x  y  1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x4  4x3  6x2  4x   y  8y  24y  32y  17 Lời giải Ta có: A  x4  4x  6x  4x   y  8y  24y  32y  17    x  1    y   4 Đặt a  x  1, b  y  , ta A  a   b4 Từ giả thiết ta được:  a  1 b  1   a  b  ab  4 Theo AM – GM ta có:  4a   4a  a  b2  a  b  (1)  2 4b   4b a  b2  2ab  a  b2  ab 2 Cộng theo vế (1) v| (2) ta được: a  b2  a  b  ab      a  b2  2 4 Áp dụng bất đẳng thức Minicopski ta được:     A  a   b4    1   a 2  b2   a  b2  4 1 17    4  2 Dấu “=” xảy a  b  1  x   ,y  2 17 Câu 52: [TS10 Chuyên Bình Thuận, 2019-2020] Cho số dương x, y, z thỏa xyz  Chứng minh rằng: yz xy zx    xy  yz  zx x  y  z y z  x z x  y Vậy giá trị nhỏ A Dấu “=” xảy nào: Lời giải Ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 37 Website: tailieumontoan.com yz xy zx    xy  yz  zx x  y  z y z  x z x  y y2 x2 11 1    z      1 1 1 2x y z    y z x z x y Đặt a  1 , b  ,c   abc  x y z Khi ta cần chứng minh: a2 b2 c2 abc    bc ac ab Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:  a  b  c   a  b  c  VP (đpcm) a2 b2 c2 VT     b  c a  c a  b a  b  c  2 Dấu “=” xảy x = y = z Câu 53: [TS10 Chuyên Hải Phòng, 2019-2020] Cho x; y; z ba số thực dương thỏa mãn x(x  z)  y(y  z)  Tìm giá trị nhỏ y3 x2  y2  x3 biểu thức P    xy x  z y  z2 Lời giải x3 xz2 xz2 z  x  x  x Áp dụng bất đẳng thức Côsi 2 2xz x z x z Tương tự x2  y2  y3 z Suy P  x  y  z   y  xy y2  z2 Theo gt z  x2  y2 P  xy  xy xy Vậy Pmin   x  y  z  Câu 54: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1  a  P  b2  ab  a  1  b    c2  bc  b  1  c    a2  ca  c  Lời giải Với x, y dương ta có: x  y    x  y   4xy  xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC 38 Website: tailieumontoan.com Ta có: 1  a   b2  ab  a   1  b  Tương tự: a  b2  2a  2ab  2a   ab  a    2    2 ab  a  ab  a  ab  a  ab  a   c2  bc  b   2 ; bc  b  1  c   a2  ca  c   2 ca  c   1    Do đó: P       2Q  ab  a  bc   ca  c   1 1 1      ab  a   ab  a  1   ab  a   Áp dụng (*) ta được: Tương tự: 1 1 1 1    ;     bc  b  4  bc  b   ca  c  4  ca  c   Do đó: 1 1  Q       2Q   ab  a  bc  b  ca  c   1 1  P 6     1  ab  a  bc  b  ca  c   1 1     1   ab  a  bc  b  ca  c   1 c ac  6     1  abc  ac  c bc.ac  abc  ca  c   1 c ac  6     1  ca  c  ca  c  ca  c     2 5 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Câu 55: [TS10 Chuyên Lai Châu, 2019-2020] Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ab bc ca    a  b  c  a  b  2c b  c  2a c  a  2b Lời giải Với x, y dương ta có: x  y    x  y   4xy  xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y Sử dụng (*) ta được: Tương tự: ab ab ab  1      a  b  2c  a  c    b  c   a  c b  c  bc bc  1  ca ca  1     ;     b  c  2a  b  a a  c  c  a  2b  c  b b  a  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 39 Website: tailieumontoan.com Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: ab bc ca   a  b  2c b  c  2a c  a  2b ab  1  bc  1  ca  1              a  c b  c   b  a a  c   c  b b  a   ab  bc ab  ca bc  ca      4 ca bc a  b   b a  c  a  b  c  c a  b         a  c bc a  b    a  b  c   dpcm  Đẳng thức xảy a = b = c Câu 56: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020] Cho số dương a, b, c thỏa mãn: abc  Chứng minh rằng: a b  ac b  c  ab c  a  bc  Lời giải Ta có: a  c a  2b  c a  2b  c   b  ac  2 2 a a 2 2a 2a       a  2b  c a  2b  c  a  2b  c  a  2b  c  b  ac b  ac b  ac  b  Mặt khác: a  b  c  3 abc   Do đó: 4 2a 12 2a a  b  c     a  2b  c  7a  10b  7c  a b c  VT  12      7a  10b  7c 7b  10c  7a 10a  7b  7c  a  b  c   c   17  ab  bc  ca   12  a  b2 Mặt khác:   a  b2  c  ab  bc  ca  a  b2  c  17  ab  bc  ca    a  b  c    12  a  b  c   a  b  c  17  ab  bc  ca  2  12  a  b  c  a  b  c  2  2  dpcm  Dấu “=” xảy a = b = c = Câu 57: [TS10 Chuyên Tuyên Quang, 2019-2020] Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 40 Website: tailieumontoan.com Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a a a 3 b  b b b 3 c  c c c 3 a Lời giải Ta có: P a a b b  c c  a 3 b b 3 c c 3 a 2 a b c2    a  ab b  bc c  ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: P  a2 a  ab  b2 b  bc a  b  c  abc3   c2 c  ac ab  bc  ca Mặt khác theo AM-GM:  ab  bc  ca  a  b bc ca   abc 2 a  b  c  abc  1 Do đó: P  a  b  c  a  b  c  Dấu “=” xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P Câu 58: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] Cho số dương a, b, c Chứng minh: a b c abc    4 b c a a  b2  c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:  a  b  c   ab  bc  ca a b2 c abc VT      ab bc ca a  b  c ab  bc  ca a  b2  c 2 a  b2  c ab  bc  ca 2 ab  bc  ca a  b2  c  a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b2  c     2    ab  bc  ca  a  b  c 2 a  b  c   ab  bc  ca     Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số ta được: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 41 Website: tailieumontoan.com VT  3  a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca  2  ab  bc  ca  a  b2  c 2 a  b2  c 2     dpcm  2 Đẳng thức xảy a = b = c Câu 59: [TS10 Chuyên Phú Yên, 2019-2020] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a b2   b c   c a   Dấu “=” xảy nào? Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Minicopski ta được: ab  a b2   b c   c a      ab  bc  ca    a  b  c     dpcm  2 Câu 60:  a2   bc  ab  bc  ca   Dấu “=” xảy a  b  c  2  b2   ca   c2   ab  bc  ca  [TS10 Chuyên Cao Bằng, 2019-2020] Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a+ b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: R  a b c   2  b  c  a2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: a ab2 ab2 ab  a   a  a 2 2b 1 b 1 b b bc c ca Tương tự:  b ; c 2 2 1 c 1 a Cộng theo vế bất đẳng ta được: R a b c ab  bc  ca    a  b  c   2 2 1 b 1 c 1 a  a  b  c  a  b  c    3 32  3 Vậy giá trị nhỏ R Dấu “=” xảy a  b  c  Câu 61: [TS10 Chuyên Nam Định, 2019-2020] Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC 42 Website: tailieumontoan.com Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh rằng: x  2xy  4xyz  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:  1 x  2xy  4xyz  x  x.4y  z   2   1 3 1  x  x  y  z    x  x   x   2 2  2  x  x 2  x  x   x 2  x  2     x    x  2x    x   x  1  2 Do x  y  z    x   x   Vì thế: x  2xy  4xyz   x   x  1   (đpcm) Dấu “=” xảy x  1, y  Câu 62: ,z  [TS10 Chuyên Bình Định, 2019-2020] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn  a  b  b  c  c  a   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  abc  1   a  2b b  2c c  2a Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:  a  b  b  c  c  a   89 a  b  c ab  bc  ca  Thật vậy:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc Lại theo BĐT AM-GM ta có: abc  ab bc ca   a  b   b  c   c  a   a  b  b  c  c  a  2 Suy ra:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc   a  b  c  ab  bc  ca   Suy đpcm:  a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a   89 a  b  c ab  bc  ca   ab  bc  ca  abc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43 Website: tailieumontoan.com 1 ab  bc  ca      a  2b b  2c c  2a  a  b  c  a  b  c ab  bc  ca  Lại có:     ab2c  a bc  abc  3abc a  b  c  a  b  c    a  b  c  3abc  a  b  c    abc 27 abc 92 a  b  c  Suy ra: P  2 abc  1 abc     2 a  2b b  2c c  2a abc   a  b  b  c  c  a    abc a  bc 1 Dấu “=” xảy khi:   abc    abc Vậy giá trị nhỏ P a = b = c = Câu 63: [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u, 2019-2020] 1    Tìm giá trị nhỏ biểu a b c 1   thức: P  a  ab  3b2  b2  bc  3c  c  ca  3a  Cho số dương a, b, c thỏa mãn Lời giải Ta có:     a  ab  3b2   a  2ab  b2  ab  b   b     a  b   ab  b2   b2  b2  ab  2b  b  a  b   a  ab  3b2   b  a  b  1  Tương tự: b2  bc  3c   a  ab  3b  c  b  c  2 ;  b  a  b  1 c  ac  3a   a c  a  2 Với x, y dương ta có: x  y    x  y   4xy  xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y Cộng theo vế sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 44 Website: tailieumontoan.com P b a  b     4b  a  b   c  b  c  2   4c  b  c   a c  a  2  4a  c  a    1   1   1   4b  a  b     4c  b  c     4a  c  a         1 1 1  1          a b c   a  b  b  c  c  a   AM  GM  Sử dụng bất đẳng thức (*) ta được:  1 1 1  1 1 1 1 1  P                 a b c    a  b   b  c   c  a   1 1  1   1   1                    8 16  a b  16  b c  16  c a      1        8  a b c   3 3    8 Dấu “=” xảy a = b = c =  Vậy giá trị nhỏ P Câu 64: [TS10 Chuyên Tây Ninh, 2019-2020] Chứng minh  a  b  c   9abc   a  b  c  ab  bc  ca  với x, y, z số thực không }m Đẳng thức xảy nào? Lời giải Theo bất đẳng thức Schur với a, b, c số thực khơng âm thì: a  a  b  a  c   b  b  c  b  a   c  c  a  c  b   Biến đổi ta hệ quả: a  b3  c3  3abc  a  b  c   b2  c  a   c a  b  Mặt kh{c ta có đẳng thức:  a  b  c   a  b3  c   a  b  b  c  c  a  Khi ta có:  a  b  c   9abc  a  b3  c  9abc   a  b  b  c  c  a  Do đó: VT  a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  b  c  c  a  Ta l| có đẳng thức: ) ) a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  c ab  bc  ca  abc   a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45 Website: tailieumontoan.com Do đó: a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  b  c  c  a   a  b  c ab  bc  ca  Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c Câu 65: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho số dương x, y, z Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P xy   2x  z  2y  z  yz   2y  x  2z  x  zx  2z  y  2x  y  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta được:  2x  z  2y  z    x  x  z  y  z  y    xy  zx  yz  Do đó: xy   2x  z  2y  z  Tương tự: xy  2x  z  2y  z   xy  xy  yz  zx yz yz  ;  2y  x  2z  x  xy  zx  yz   xy xy  yz  zx zx zx   2z  y  2x  y  xy  zx  yz Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: P  xy  zx  yz xy  zx  yz 1 Đẳng thức xảy x = y = z Vậy giá trị lớn P Câu 66: [TS10 Chuyên Bình Phước, 2019-2020] 1) Cho x, y số dương thỏa mãn xy  Chứng minh rằng: 1    x  y  xy 2) Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện:  x  y   4xy  12 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  1   2018xy 1 x 1 y Lời giải 1) Ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46 Website: tailieumontoan.com  1   1   0        x  xy    y  xy   x  y  xy       xy   x  1  x   xy   xy   y  1  y   xy xy  x   y     0  0 1  x 1  y  1  xy  x  y  x  1  y   y  x  y  1  x   0  x  y  xy       y  x   x  y x  y  x y    1  x 1  y  1  xy  y  x   x  y   xy  y  x      0  1  x 1  y  1  xy  y  x   y  x  xy  1     0  1  x 1  y  1  xy   y  x   xy  1  (đúng xy  ) (1)  1  x 1  y  1  xy      xy  y   x  Dấu “=” xảy x = y = Bất đẳng thưc (1) c{c phép biến đổi l| tương đương nên b|i to{n chứng minh 2) Sử dụng AM-GM ta có:  12   x  y   4xy  xy Đặt   4xy  8xy xy  4xy xy  t  t   , đó: 8t  4t  12   2t  t    2t  2t  3t      2t  t  1   t  1 t  1    t  1 2t  3t    t 1 Áp dụng bất đẳng thức ý ta có: P 1 2   2018xy   2018xy   2018t 1 x 1 y  t  xy Ta chứng minh:  2018t  2019  *  1 t Thật vậy: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 Website: tailieumontoan.com  *    2 t    2018  t  1    1 t   2018  t  1 t  1  1 t    1  t    2018  t  1   (đúng  t  )  1 t  Dấu “=” xảy x = y = Vậy giá trị lớn P 2019 Câu 67: [TS10 Chuyên Đắc Lắc, 2019-2020] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b2  c2  Chứng minh rằng: a  b3 b3  c c  a   2 a  2b b  2c c  2a Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: ) a3 b3 c3 a4 b4 c4      a  2b b  2c c  2a a  2ab b  2bc c  2ca    b2  c  a a  b  c  2ab  2bc  2ca   b2  c   a  b2  c  a  b2  c  a  b2  c  b3 c3 a3 b4 c4 a4      a  2b b  2c c  2a ab  2b bc  2c ca  2a )   a a  b2  c   a ab  bc  ca  a  b  c    b2  c   a  b2  c  a  b2  c  a  b2  c  Cộng theo vế ta được: a  b3 b3  c c  a   2 a  2b b  2c c  2a Dấu “=” xảy a  b  c  (đpcm) Câu 68: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  3; y   1  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T  21  x     y   y x   Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48 Website: tailieumontoan.com  1    x   7y 21  62 T  21  x     y           x y y  x 3 x  y 3  7y 21 62 x 2 2   3 x y 3   2.7  62   80 Dấu “=” xảy x = y = Vậy giá trị nhỏ T 80 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ...  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp  PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC Chuyên đề giá trị lớn giá trị nhỏ ôn thi vào lớp 10 Website: tailieumontoan.com Vậy phương trình có nghiệm: x   5; x  Câu 4:  65 [TS10... “=” xảy kh a = b = c = Câu 6: [TS10 Tỉnh Quảng Ninh, 2019-2020] Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC Chuyên đề giá trị lớn giá trị nhỏ ôn thi vào lớp 10 Website: tailieumontoan.com... ab a  b  c  A      9 ab bc ca  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC Chuyên đề giá trị lớn giá trị nhỏ ôn thi vào lớp 10 Website: tailieumontoan.com  c a  b  A