Định lý không điểm hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== VĂN NGỌC ÁNH ĐỊNH LÝ KHƠNG ĐIỂM HILBERT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI, 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ====== VĂN NGỌC ÁNH ĐỊNH LÝ KHƠNG ĐIỂM HILBERT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học: ThS Đỗ Văn Kiên HÀ NỘI, 2019 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn tới thầy khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô môn tổ Đại số thầy giảng dạy tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, tơi xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo - ThS Đỗ Văn Kiên, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ bảo tận tình để tơi hồn thành khóa luận Do cịn hạn chế thời gian, lực thân nên khóa luận tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy bạn Cuối tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bên cạnh, ủng hộ, động viên tinh thần để tơi hồn thành khóa luận này! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Văn Ngọc Ánh Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp "Định lý khơng điểm Hilbert" cơng trình nghiên cứu cá nhân tơi cố gắng, nỗ lực tìm hiểu với hướng dẫn tận tình thầy giáo - ThS Đỗ Văn Kiên Trong trình thực đề tài sử dụng số tài liệu tham khảo ghi rõ danh mục "Tài liệu tham khảo" Vì tơi xin cam đoan kết khóa luận hồn tồn trung thực khơng trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Văn Ngọc Ánh MỤC LỤC Lời mở đầu 1 Vành đa thức trường 1.1 Vành đa thức trường 1.2 Iđêan 1.2.1 Iđêan, phép toán iđêan 1.2.2 Iđêan nguyên tố iđêan cực đại Tập đại số 11 Định lý không điểm Hilbert 23 Bài tập vận dụng 29 4.1 Bài tập áp dụng 29 4.2 Bài tập đề nghị 32 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh Lời mở đầu Đại số môn học chương trình đào tạo cử nhân Sư phạm tốn học Nó cung cấp kiến thức phương thức tư thiết yếu cho việc học tập học phần khác David Hilbert (23 tháng năm 1862, Wehlau, Đông Phổ – 14 tháng năm 1943, Gottingen, Đức) nhà toán học người Đức, cơng nhận nhà tốn học có ảnh hưởng rộng lớn kỉ 19 đầu kỉ 20 Ông thiết lập tên tuổi nhà toán học nhà khoa học vĩ đại cách phát minh hay phát triển loạt ý tưởng khác Một số ý tưởng định lý tiếng mang tên ông: "Định lý khơng điểm Hilbert" Đó tên đề tài mà em chọn để thực khóa luận tốt nghiệp Đề tài gồm bốn chương: Chương 1: Vành đa thức trường Chương 2: Tập đại số Chương 3: Định lý không điểm Hilbert Chương 4: Bài tập vận dụng Do thời gian có hạn thân cịn nhiều hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận góp ý thầy để khóa luận hoàn thiện Chương Vành đa thức trường Chương trình bày kiến thức vành đa thức trường iđêan vành 1.1 Vành đa thức trường Định nghĩa 1.1 Một tập k với hai phép toán cộng nhân gọi trường vành giao hốn có đơn vị, có nhiều phần tử phần tử khác khơng khả nghịch Ví dụ 1.1 1) Q, R, C trường với phép tốn cộng nhân thơng thường √ √ 2) Tập Q[ 3] = {a + b | a, b ∈ Q} trường √ √ 3) Q[ q] = {a + b q | a, b ∈ Q} trường p số nguyên tố Định nghĩa 1.2 Cho k trường Đặt k[x] = {f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 | ∈ K} m Hai phần tử f (x) = xi , g(x) = i=0 n bj xj , m ≤ n gọi j=0 m = n = bi , với i = 0, 1, , n Kí hiệu f (x) = g(x) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh Trên k[x] ta trang bị hai phép toán n m i f (x) + g(x) = bj xj ; (ai + bi )x + i=0 m+n j=m+1 ck xk , f (x)g(x) = k=0 ck = bj , k = 0, 1, , n + m Khi k[x] với hai i+j=k phép tốn lập thành vành, giao hốn, có đơn vị Mỗi phần tử k[x] gọi đa thức ẩn x, vành k[x] gọi vành đa thức ẩn với hệ tử k n Định nghĩa 1.3 Cho f (x) ∈ k[x], f (x) = xi Nếu an = an i=0 gọi hệ tử cao f (x), a0 hệ tử tự số tự nhiên n gọi bậc f (x), kí hiệu degf (x) Quy ước: đa thức có bậc −∞ Từ định nghĩa dễ dàng nhận bổ đề sau Bổ đề 1.1 Cho hai đa thức khác không f (x), g(x) ∈ K[x] Nếu f (x)+ g(x) khác không deg(f (x) + g(x)) max{degf (x), degg(x)}, deg(f (x)g(x)) = degf (x) + degg(x) Định lý phép chia có dư sở thuật toán Euclid Định lý 1.1 Cho f (x), g(x) ∈ k[x] g(x) = Khi tồn cặp đa thức q(x), r(x) ∈ k[x] cho f (x) = g(x)q(x) + r(x) với r(x) = degr(x) < degg(x) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh Trong định lý trên, q(x) gọi thương r(x) gọi dư phép chia f (x) cho g(x) Nếu dư phép chia f (x) cho g(x) ta nói f (x) chia hết cho g(x) hay g(x) ước f (x) Định nghĩa 1.4 Cho f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 ∈ k[x] F ⊇ k Phần tử α ∈ F , ta đặt f (α) = an αn +· · ·+a1 α+a0 ∈ F Nếu f (α) = ta nói α nghiệm f (x) Ví dụ 1.2 √ ∈ R nghiệm đa thức x2 − ∈ Q[x] Hệ 1.1 (Định lý Bezout) Phần tử a ∈ k nghiệm đa thức f (x) ∈ k[x] tồn đa thức g(x) ∈ k[x] cho f (x) = (x − a)g(x) Chứng minh Theo Định lý 1.1, ta viết f (x) = (x−a)g(x)+r(x), r(x) = degr(x) = Chia f (x) cho (x − a) ta r ∈ k Thay x = a vào đẳng thức ta r = f (a) = Suy f (x) = (x − a)g(x) Ngược lại hiển nhiên Cho m > số nguyên Một phần tử a ∈ k gọi nghiệm bội m đa thức f (x) ∈ k[x] f (x) chia hết cho (x − a)m không chia hết cho (x − a)m+1 Nếu m = a gọi nghiệm đơn Nếu m = a gọi nghiệm kép Nếu m ≥ a gọi nghiệm bội Hệ 1.2 Phần tử a ∈ k nghiệm bội m f (x) ∈ k[x] f (x) có dạng f (x) = (x − a)m g(x) với g(x) ∈ k[x] g(a) = Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh Chứng minh Giả sử a nghiệm bội m f (x) Vì f (x) chia hết cho (x − a)m nên f (x) = (x − a)m g(x) với g(x) ∈ k[x] Nếu g(a) = theo Hệ 1.1 ta có g(x) = (x − a)h(x) với h(x) ∈ k[x] f (x) chia hết cho (x − a)k+1 , vô lý Vậy g(a) = Ngược lại, f (x) = (x − a)m g(x) nên f (x) chia hết cho (x − a)m Nếu f (x) chia hết cho (x − a)m+1 f (x) = (x − a)m+1 h(x) với h(x) ∈ k[x] Do (x − a)m g(x) = (x − a)m+1 h(x) Do k trường nên g(x) = (x − a)h(x) Suy g(a) = 0, mâu thuẫn Vậy f (x) không chia hết cho (x − a)m+1 Định nghĩa 1.5 Đa thức f (x) = không khả nghịch vành k[x] gọi bất khả quy (trên k) f (x) khơng có ước thực k[x] Ví dụ 1.3 Đa thức x2 + bất khả quy R không bất khả quy C Định lý 1.2 Nếu đa thức f (x) ∈ Z[x] bậc n bất khả quy Z bất khả quy Q Định lý 1.3 (Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho đa thức f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , an = 0, n > Z[x] Giả sử tồn số nguyên tố p cho p không chia hết an chia hết hệ số cịn lại p2 khơng chia hết a0 Khi f (x) bất khả quy Q[x] Định lý 1.4 Cho k trường, f (x) đa thức khác k[x] Khi f (x) ln biểu diễn thành tích đa thức bất khả quy k[x] Sự phân tích khơng kể thứ tự nhân tử bất khả quy hệ tử khả nghịch Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh Định nghĩa 2.5 Một tập đại số V = ∅ gọi bất khả quy V = V1 ∪ V2 với V1 , V2 hai tập đại số V V = V1 V = V2 Ví dụ 2.4 1) Cho V = {a}, a = (a1 , , an ) ∈ An , V tập đại số bất khả quy Thật vậy: • Theo Ví dụ 2.2 ta có V = Z(x1 − a1 , , xn − an ) Từ V tập đại số • Nếu V = V1 ∪ V2 với V1 , V2 hai tập đại số V rõ ràng V = V1 V = V2 |V | = 2) Dễ thấy không gian affine An tập đại số bất khả qui Định lý sau cho ta đặc trưng tập đại số bất khả quy Định lý 2.1 Một tập đại số V bất khả quy IV iđêan nguyên tố Chứng minh Giả sử V bất khả quy IV khơng ngun tố Khi tồn f1 , f2 ∈ R := k[x1 , x2 , , xn ] cho f1 f2 ∈ IV f1 , f2 ∈ / IV Đặt I1 = (f1 , IV ) I2 = (f2 , IV ) hai iđêan R Khi I1 ∩I2 = IV Thật vậy, ta có IV ⊆ (f1 , IV ) ⊆ Tương tự IV ⊆ (f2 , IV ) ⊆ (f1 , IV ) = I1 (f2 , IV ) = I2 Suy IV ⊆ I1 ∩ I2 Hơn nữa, với h ∈ I1 ∩ I2 ta có   h ∈ I1  h ∈ I2 ⇒   ∃r > : hr ∈ f1 R + IV  ∃s > : hs ∈ f2 R + IV Từ hr+s ∈ (f1 R + IV )(f2 R + IV ) ⊆ IV Suy h ∈ I1 ∩ I2 = IV 21 √ IV = IV Vậy Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh Bây V tập đại số nên Z(IV ) = V Khi Z(I1 ∩ I2 ) = V , suy Z(I1 ) ∪ Z(I2 ) = V Mặt khác V bất khả quy nên    I1 ⊆ IV Z(I1 ) = V f1 ∈ IV  ⇒ ⇒ Z(I2 ) = V I2 ⊆ IV f2 ∈ IV Điều mâu thuẫn Vậy IV iđêan nguyên tố Ngược lại, giả sử IV iđêan nguyên tố V không bất khả quy Khi tồn V1 cho V = V1 ∪ V2 Vì V1 V , V2 V nên IV1 V tập đại số V IV , V2 V nên IV2 IV Chọn f1 ∈ IV1 \ IV f2 ∈ IV2 \ IV Ta có f1 f2 ∈ IV1 ∩ IV2 = IV1 ∪V2 = IV Mà IV nguyên tố nên f1 ∈ IV f2 ∈ IV Điều mâu thuẫn Do V bất khả quy Ví dụ 2.5 Theo Ví dụ 2.4 ta có V = {a} bất khả quy Do IV = (x1 − a1 , , xn − an ) iđêan nguyên tố 22 Chương Định lý không điểm Hilbert Chương trình bày dựa [4], đề cập đến số định lý quan trọng hình học đại số định lý nghiệm yếu Hilbert, định lý không điểm Hilbert số hệ Định nghĩa 3.1 Cho k trường Ta gọi k trường đóng đại số đa thức bậc dương k[x] có nghiệm k, tức đa thức bậc dương viết thành tích nhân tử tuyến tính k[x] Bổ đề 3.1 Cho I = iđêan k[x] Khi I = (g) với đa thức g có bậc nhỏ I Chứng minh Cho g đa thức có bậc nhỏ I Khi đó, với f ∈ I ta viết f = gq + r với deg r < deg g Ta có r = f − gq ∈ I, r = Từ suy f = gq ∈ (g) Vì I ⊆ (g) Mà ta lại có (g) ⊆ I nên I = (g) Bổ đề 3.2 Cho Q iđêan vành A Cho g ∈ A[x] đa thức có hệ số đầu c Khi với đa thức f ∈ A[x] có hệ tử 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh Q ta tìm thấy lũy thừa cm cho cm f = gh + v, với v đa thức có hệ số Q deg v < deg g Chứng minh Đặt r = deg f s = deg g Nếu r < s ta chọn m = 0, h = v = f Nếu r ≥ s ta xét đa thức f1 := cf − axr−s g, a hệ số đầu f Rõ ràng f1 đa thức có hệ tử Q với deg f1 < r Bằng quy nạp theo r cho cặp f1 , g ta giả thiết tồn lũy thừa cm−1 cho cm−1 f1 = gh1 + v, với v đa thức có hệ số Q deg v < s Từ suy cm f = cm−1 f1 + cm−1 axr−s g = g(h1 + cm−1 axr−s ) + v Từ ta có điều phải chứng minh Để chứng minh định lý nghiệm yếu Hilbert, ta nhắc lại Bổ đề Zariski lý thuyết trường Bổ đề 3.3 (Zariski) Cho F ⊇ k mở rộng trường k cho F k-đại số hữu hạn sinh Khi F mở rộng bậc hữu hạn k 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh Hệ 3.1 Cho k trường, A k-đại số hữu hạn sinh m iđêan cực đại A Khi k trường đóng đại số k∼ = A/m Chứng minh Vì A k-đại số hữu hạn sinh nên tồn α1 , α2 , , αn ∈ A cho A = k[α1 , α2 , , αn ] Xét đồng cấu ϕ : k → Am a→a ¯ =a+m Rõ ràng ϕ đơn cấu nên ta coi A/m mở rộng k Khi ta có A/m = k[α¯1 , α¯2 , , α¯n ], α¯i = αi + m Vậy A/m k-đại số hữu hạn sinh Theo Bổ để Zariski, A/m mở rộng bậc hữu hạn mở rộng đại số k Nhưng k trường đóng đại số, k = A/m Định lý 3.1 (Định lý nghiệm yếu Hilbert) Nếu k trường đóng đại số iđêan I = k[x1 , xn ] có nghiệm k n , tức Z(I) = ∅ Chứng minh Vì I = k[x1 , xn ] nên có iđêan cực đại m k[x1 , xn ] cho I ⊆ m Từ Z(I) ⊇ Z(m) Do ta cần Z(m) = ∅ Vì m iđêan cực đại k trường đóng đại số nên theo Bổ đề 3.1 ta có k[x1 , , xn ] ∼ = k, m 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh tức tồn đồng cấu ψ: k[x1 , , xn ] −→ k m xi = xi + m −→ đẳng cấu trường Ta lại có ψ(ai + m) = = ψ(xi + m) Khi + m = xi + m nên xi − ∈ m với i = 1, , n Từ (x1 − a1 , , xn − an ) ⊆ m Mà (x1 − a1 , , xn − an ) iđêan cực đại k[x1 , , xn ] Do m = (x1 − a1 , , xn − an ), suy Z(m) = Z(x1 − a1 , , xn − an ) = {(a1 , , an )} = ∅ Từ ta có điều phải chứng minh Định lý 3.2 (Định lý không điểm Hilbert) Cho k trường đóng đại số Khi với tập S ⊆ k[x1 , x2 , , xn ] ta có IZ(S) = (S) Đặc biệt, với iđêan I ta có IZ(I) = √ I Chứng minh Đặt V = Z(S) Ta có (S) ⊆ IV IV iđêan nên (S) ⊆ IV Đảo lại, cho f đa thức tùy ý IV Ta xét iđêan J := (S, xn+1 f − 1) vành đa thức n + ẩn k[x1 , , xn , xn+1 ] Giả sử J = k[x1 , , xn , xn+1 ] Theo định lý nghiệm yếu Hilbert, J có 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh nghiệm An+1 Gọi (α1 , , αn+1 ) ∈ Z(J) nghiệm J Đặt a = (α1 , , αn ) Ta thấy a ∈ Z(S) = V αn+1 f (a) − = Do f ∈ IV nên f (a) = 0, dẫn đến −1 = điều vô lý (chú ý trường k vô hạn) Vậy ta phải có J = k[x1 , , xn , xn+1 ] Từ suy = p + (xn+1 f − 1)q, với p ∈ Sk[x1 , , xn , xn+1 ] = (S) Ta coi p đa thức biến xn+1 với hệ số (S) Theo Bổ đề 3.2, tồn lũy thừa f m cho ta viết f m p = (xn + 1f − 1)h + v, với v ∈ (S) Vì f m = f m p + f m (xn+1 f − 1)q = (xn+1 f − 1)(h + f m q) + v Chú ý đẳng thức với giá trị xn+1 Do đa thức f v không chứa biến xn+1 nên ta đặt xn+1 = 1/f f m = v Do v ∈ (S) nên f ∈ (S) Vì IV ⊆ (S) Do IV = Nhận xét 3.1 1) Nếu I = k[x1 , , xn ] √ (S) I = k[x1 , , xn ] Do theo Định lý không điểm Hilbert IZ(I) = k[x1 , , xn ] Suy Z(I) = ∅ Đây Định lý nghiệm yếu Hilbert 2) Nếu bỏ điều kiện k đóng đại số kết (xem Bài tập 4.1) Hệ 3.2 Các khẳng định sau √ 1) Nếu k trường đóng đại số I = I IZ(I) = I 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh 2) Nếu k trường đóng đại số I iđêan nguyên tố IZ(I) = I Z(I) tập đại số bất khả quy 3) Nếu k trường đóng đại số tập tất iđêan cực đại k[x1 , , xn ] {(x1 − a1 , , xn − an )|∀ai ∈ k} Từ ta có tương ứng 1-1 tập iđêan cực đại k[x1 , x2 , , xn ] với tập điểm An 28 Chương Bài tập vận dụng Trong toàn chương ta xét k trường vơ hạn (có thể khơng đóng đại số) 4.1 Bài tập áp dụng Bài tập 4.1 1) Cho k trường (có thể khơng đóng đại số), p q hai số nguyên dương nguyên tố Chứng minh tập hợp Z := (αq , αp )|α ∈ A2 tập đại số A2 Tính IZ 2) Xét k = R Chứng minh Z := (α2 , α4 )|α ∈ R2 không tập đại số Lời giải 1) Dễ thấy Z ⊆ Z(xq − y p ) Ngược lại với (a, b) ∈ Z(xq −y p ) aq = bp Do p, q nguyên tố nên tồn α ∈ k cho a = αp , b = αq Do Z = Z(xq − y p ) Vậy Z tập đại số Bằng tính tốn trực tiếp ta có IZ = IZ(xq −yp ) = (xq − y p ) = (xq − y p ) 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh Đẳng thức cuối đa thức xq − y p bất khả qui k nên iđêan (xq − y p ) iđêan nguyên tố 2) Xét tập Z = (α2 , α4 )|α ∈ R2 Nếu Z tập đại số tồn iđêan I cho Z = Z(I) Khi với f ∈ I ta có (α2 , α4 ) ∈ Z(I) nên f (α2 , α4 ) = Suy f (x2 − y) hay I ⊆ (x2 − y) Bao hàm ngược lại hiển nhiên nên ta có I = (x2 − y) Vậy Z = Z(x2 − y) Điều mâu thuẫn (−1, 1) ∈ Z(x2 − y) (−1, 1) ∈ / Z Vậy Z không tập đại số Bài tập 4.2 Chứng minh iđêan sau iđêan nguyên tố: 1) I = (x − a, y − b) k[x, y], với a, b ∈ k 2) I = (xy − 1) k[x, y] 3) I = (x2 + y − 1) k[x, y] 4) I = (y − x2 , z − x3 ) k[x, y, z] Trong trường hợp tìm tập đại số Z(I) Lời giải 1) Với f, g ∈ k[x, y] cho f g ∈ I Bằng thuật toán Euclid ta viết f = (x − a)f1 + (y − b)f2 + α với f1 , f2 ∈ k[x, y], α ∈ k, g = (x − a)g1 + (y − b)g2 + α với g1 , g2 ∈ k[x, y], β ∈ k Suy αβ ∈ I Do αβ = Ta nhận α = β = 0, tương ứng với f ∈ I g ∈ I Vậy I nguyên tố Ta có Z(I) = {(a, b)} 2) Làm tương tự 1) ta có đẳng cấu k[x, y]/(xy − 1) ∼ = k[x, 1/x] Do k[x, 1/x] miền nguyên nên I nguyên tố Ta có Z(I) = {(a, 1/a) | a ∈ k} 3) Do đa thức x2 + y − bất khả qui k nên I iđêan nguyên tố Tập đại số Z(I) đường trịn đơn vị 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh 4) Với f, g ∈ k[x, y, z] cho f g ∈ I Ta viết f = (y − x2 )f1 + (z − x3 )f2 + u(x), với f1 , f2 ∈ k[x, y, z] g = (y − x2 )g1 + (z − x3 )g2 + v(x), với g1 , g2 ∈ k[x, y, z] Suy u(x)v(x) ∈ I Do u(x)v(x) = (y − x2 )p + (z − x3 )q, với p, q ∈ k[x, y, z] Cho y = x2 , z = x3 ta u(x) = v(x) = Vậy I nguyên tố Bài tập 4.3 Cho iđêan I = (x4 , x3 y, xy , y , x2 y z m ) k[x, y, z], m ≥ cho trước √ 1) Tính I Z(I) 2) Chứng minh I n = (x, y)4n với n ≥ Lời giải 1) Bằng định nghĩa dễ thấy √ I = (x, y) Z(I) = {(0, 0, a) | a ∈ k} 2) Rõ ràng ta có I n = (x4 , x3 y, xy , y , x2 y z m ) ⊆ (x4 , x3 y, x2 y , xy , y )n = (x, y)4n , với n ≥ Ngược lại n ≥ nên qui nạp ta nhận (x, y)4n = (x8 , x7 y, x6 y , x5 y , x4 y , x3 y , x2 y , xy , y )(x, y)4(n−1) ⊆ I(x, y)4(n−1) ⊆ I.I n−1 = I n 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh Ta nhận điều phải chứng minh Bài tập 4.4 Cho k trường khơng đóng đại số Chứng minh vành k[x1 , x2 , , xn ] có iđêan nguyên tố cực đại có dạng (x1 − α1 , , xn − αn ), α1 , , αn ∈ k Lời giải Xét trường khơng đóng đại số R[x], đặt I = (x2 + 1) iđêan cực đại Thật vậy, I ⊆ J, J = R[x] Vì R[x] vành nên J = (f (x)) deg f ≤ Khi x2 + ∈ (f (x)) suy x2 + f (x) Do x2 + = f (x)g(x) với g(x) ∈ R[x] Suy deg f = deg f = Với deg f = ta thấy f (x) có nghiệm R[x] nên x2 + có nghiệm R[x] suy mâu thuẫn Với deg f = ta suy x2 + = f (x).c với c ∈ R∗ Do x2 + = (f (x)) Nên I = J Ta nhận điều phải chứng minh 4.2 Bài tập đề nghị Bài tập 4.5 Chứng minh k n không hợp hệ hữu hạn siêu mặt Bài tập 4.6 Chứng minh đa thức f = y + x2 (x − 1)2 ∈ R[x, y] bất khả qui tập đại số Z(f ) không bất khả qui Bài tập 4.7 Cho f g hai đa thức bậc dương k[x, y] cho f, g khơng có ước chung Chứng minh giao hai đường cong f = g = k tập hữu hạn 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh Bài tập 4.8 Hãy tìm ví dụ chứng tỏ hợp hệ vơ hạn tập đại số tập đại số Bài tập 4.9 Ký hiệu R trường số thực Chứng minh tập mở tôpô Zariski Rn tập mở tôpô Euclid thơng thường (có sở hình cầu mở với bán kính tùy ý) Bài tập 4.10 Cho k trường khơng đóng đại số Chứng minh với tập đại số V An ta tìm thấy đa thức f ∈ k[x1 , x2 , , xn ] cho V = Z(f ) Bài tập 4.11 Chứng minh IZ(S) = (S) với tập S k[x1 , x2 , , xn ] iđêan I = k[x1 , x2 , , xn ] có nghiệm kn Bài tập 4.12 Cho k trường đóng đại số Cho S T hai tập đa thức k[x1 , x2 , , xn ] Chứng minh Z(S) = Z(T ) ta tìm thấy số tự nhiên m cho f m ∈ (T ) với f ∈ S g m ∈ (S) với g ∈ T Bài tập 4.13 Cho k trường đóng đại số Chứng minh siêu mặt bất khả quy tập nghiệm đa thức bất khả quy 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Văn Ngọc Ánh KẾT LUẬN Khóa luận nghiên cứu Định lý không điểm Hilbert gồm nội dung sau: (1) Trình bày khái niệm số tính chất vành đa thức trường, tập đại số (2) Trình bày đặc trưng định lý không điểm Hilbert (3) Phân loại hoàn toàn iđêan cực đại vành đa thức trường đại số Mặc dù cố gắng, thời gian kiến thức thân cịn hạn chế nên khóa luận tơi khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Một lần tơi xin cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo - ThS Đỗ Văn Kiên, thầy cô khoa Toán, bạn sinh viên giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R Hartshorne (1983), Algebraic Geometry, Springer [2] E Kunz (1985), Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhauser [3] H Matsumura (1989), Commutative ring theory, Cambridge University Press [4] Ngô Việt Trung (2012), Nhập mơn đại số giao hốn hình học đại số, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ 35 ... nguyên tố 22 Chương Định lý khơng điểm Hilbert Chương trình bày dựa [4], đề cập đến số định lý quan trọng hình học đại số định lý nghiệm yếu Hilbert, định lý không điểm Hilbert số hệ Định nghĩa 3.1... Khóa luận nghiên cứu Định lý khơng điểm Hilbert gồm nội dung sau: (1) Trình bày khái niệm số tính chất vành đa thức trường, tập đại số (2) Trình bày đặc trưng định lý không điểm Hilbert (3) Phân... Z(m) = Z(x1 − a1 , , xn − an ) = {(a1 , , an )} = ∅ Từ ta có điều phải chứng minh Định lý 3.2 (Định lý không điểm Hilbert) Cho k trường đóng đại số Khi với tập S ⊆ k[x1 , x2 , , xn ] ta có IZ(S)