Phương pháp tam thức bậc hai trong giải phương trình và hệ phương trình

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✖ ✣➱ ❚❍➚ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❆▼ ❚❍Ù❈ ❇❾❈ ❍❆■ ❚❘❖◆● ●■❷■ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❱⑨ ❍➏ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè ❍⑨ ◆❐■✱ ✷✵✶✾ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✖ ✣➱ ❚❍➚ ❑■➋❯ ❚❘❆◆● P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❆▼ ❚❍Ù❈ ❇❾❈ ❍❆■ ❚❘❖◆● ●■❷■ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❱⑨ ❍➏ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ số ữớ ữợ ì ◆❐■✱ ✷✵✶✾ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ữủ t ữợ sỹ ữợ ữỡ ❚❤à ▲✉②➳♥✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜↔♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❡♠ ✤➣ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ✤➣ ❣❤✐ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❊♠ ①✐♥ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✿ ✧P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✧ ❧➔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ♥é ❧ü❝ ❤å❝ t➟♣ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥✱ ❦❤ỉ♥❣ trị♥❣ ❧➦♣ ✈ỵ✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳ ◆➳✉ s❛✐ ❡♠ ①✐♥ ❝❤à✉ ❤♦➔♥ t♦➔♥ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠✳ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ✣é ❚❤à ❑✐➲✉ ❚r❛♥❣ ✐ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ✤÷đ❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ❦❤♦❛ trữớ ữ ữợ sỹ ữợ ữỡ ❊♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ổ ữỡ ữớ ữợ ❝❤➾ ❞➝♥ s→t s❛♦ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❙ü ❝❤✉②➯♥ tú tr ự ỳ ữợ ✤ó♥❣ ✤➢♥ ❝õ❛ ❝ỉ ❧➔ t✐➲♥ ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ ❣✐ó♣ ❡♠ ❝â ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ❈❤õ ♥❤✐➺♠ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝æ ❣✐→♦ tr♦♥❣ tê ✣↕✐ sè ✈➔ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❣✐ó♣ ✤ï ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ t➔✐ ♥➔② ♠➦❝ ❞ò ✤➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➢♥❣✱ s♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ♥❤✐➲✉ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✱ ❡♠ r➜t ♠♦♥❣ ✤÷đ❝ sỹ õ õ ỵ t ổ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ✈➔ ❜↕♥ ✤å❝✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ✣é ❚❤à ❑✐➲✉ ❚r❛♥❣ ✐✐ ▼Ư❈ ▲Ư❈ ▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ✶✳ ❚r❛♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✶✳ ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ t tờ qt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷✳✷✳ ❱➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ t t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✹✳ ❇➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✹✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✹✳✷✳ ❈→❝❤ ❣✐↔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✹✳✸✳ ❱➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✺✳✷✳ ❙♦ s→♥❤ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈ỵ✐ ♠ët sè α ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✺✳✸✳ ❙♦ s→♥❤ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈ỵ✐ ❤❛✐ sè α, β (α < β) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✻✳ ❉➜✉ t❛♠ t❤ù❝ tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✶✳✻✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✶✳✻✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✻✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✐✐✐ ✷✳ Ù♥❣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ q✉② ✈➲ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✷✳✶✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ q✉② ✈➲ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✷✳✶✳✷✳ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ q✉② ✈➲ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤ù❛ t❤❛♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻ ✷✳✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤ù❛ t❤❛♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻ ✷✳✷✳✷✳ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤ù❛ t❤❛♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✽ ❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✵ ✐✈ ▼❐❚ ❙➮ ❑➑ ❍■➏❯ ❱⑨ ❈❍Ú ❱■➌❚ ❚➁❚ R ❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè t❤ü❝✳ ❈▼❘ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✤♣❝♠ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈♥ ✈æ ♥❣❤✐➺♠ ✈ ▲❮■ ▼Ð ỵ t tự ❤❛✐ ❣✐ú ♠ët ✈à tr➼ q✉❛♥ trå♥❣ ✈➔ ✤÷đ❝ ①✉②➯♥ sốt tr ữỡ tr t sỡ ởt ữợ rt q✉❛♥ trå♥❣ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❧➔♠ ❦❤✐ ❣✐↔✐ t♦→♥ ❧➔ ❧ü❛ ❝❤å♥ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐✳ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❤❛② ❦❤✐ ❧ü❛ ❝❤å♥ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ t❤➼❝❤ ❤đ♣✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤✐➺✉ q✉↔ ✈➔ ❝â ù♥❣ ❞ư♥❣ ♥❤✐➲✉ tr t sỡ ợ ỳ ỵ tr ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ❧á♥❣ s❛② ♠➯ t➻♠ tá✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ữợ sỹ ữợ ú ù t t ❝õ❛ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥ ❡♠ ✤➣ ♠↕♥❤ ❞↕♥ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✧P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✧ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❱ỵ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ❣✐ó♣ ❤å❝ s✐♥❤ ❝â ❝→✐ ♥❤➻♥ t♦➔♥ ❞✐➺♥ ❤ì♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❝❤♦ tø♥❣ ❜➔✐ t♦→♥✳ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ữợ q ợ ổ ự ❤å❝ ✈➔ t❤➜② ✤÷đ❝ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝❤✐➳♠ ✈à tr➼ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❝➜♣✳ ✸✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳ ✶ ✹✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✹✳✶✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❚❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳ ✹✳✷✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝â sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ✺✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➼ ❧✉➟♥✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤ tê♥❣ ❤đ♣✳ ✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥✱ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ỗ ữỡ ã ữỡ tự ỡ t tự ã ữỡ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✶✳✶✳ ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ax2 + bx + c = (a = 0, a, b, c ∈ R) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ✣❛ t❤ù❝ f (x) = ax2 + bx + c ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ f (x) ❝ô♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ f (x) = 0✳ ✣➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ t❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♥❤÷ s❛✉ f (x) = ax2 + bx + c = (1) b c b ⇔x + x=− ⇔ x+ a a 2a 2 b2 c b = − ⇔ x+ 4a a 2a b2 − 4ac = 4a2 ✣➦t ∆ = b2 − 4ac✱ t õ ã < t ữỡ tr (1) ổ ã = t ữỡ tr➻♥❤ (1) ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣ x = • ◆➳✉ ∆ > t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1) ❝â ♥❣❤✐➺♠ x1,2 −b ✳ 2a √ −b ± ∆ = ✳ 2a ◆❤➟♥ ①➨t ◆➳✉ ❜ ❧➔ sè ❝❤➤♥✱ b = 2b ✱ ∆ = b − ac t❤➻ t❛ ❝â ❝æ♥❣ tự t ã < ữỡ tr (1) ổ ã = ữỡ tr (1) ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣ x = ✸ −b ✳ a ❛✳ ữỡ tr ợ m = m ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳ ✷✳✷✳✶❡✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ơ ✈➔ ❧♦❣❛r✐t ❈→❝❤ ❣✐↔✐ ✣➣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ✷✳✶✳✶❡✳ ❱➼ ổ tỗ t↕✐ m ✤➸ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ tr→✐ ❞➜✉ m.4x + (2m + 3) 2x − 3m + = (1) ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ✣➦t t = 2x ✱ t > 0✳ ❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1) ❝â ❞↕♥❣ f (t) = mt2 + (2m + 3) t − 3m + = ✭✷✮ ●✐↔ sû ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✮ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ x1 , x2 ✈ỵ✐ x1 < < x2 ✱ ❦❤✐ ✤â < 2x1 < 20 < 2x2 ⇔ < t1 < < t2 ❱➟② (1) ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ tr→✐ ❞➜✉ ⇔ (2) ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ t❤ä❛ ♠➣♥ < t1 < < t2 ⇔ af (0) > af (1) < ⇔  0 ✭✈æ ♥❣❤✐➺♠✮✳ ⇔ m m+1 2 2x−m−1 = x +4mx > ⇔  f (x) = x2 + (2m − 1) x + m + (1) ❱➟② ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ✻✻ ⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1) ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ t❤ä❛ ♠➣♥ x >  ∆ =0  m+1 b  > −  ⇔ 2a  m+1 af       ⇔     (3m  − 8) (2m − 2) <   −2m2 + 6m ≥      (m − 2) (3m − 8) > ⇔1   af (0) >         S   0< 0✳ ✣➦t u = ln x v = ln y ❑❤✐ ✤â ❤➺ ✭■✮ ✤÷đ❝ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✈➲ ❞↕♥❣ u = v2 − v + m v = u2 − u + m ❚rø tø♥❣ ✈➳ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ t❛ ✤÷đ❝ u − v = − u2 − v + (u − v) ⇔ u2 − v = ⇔ u=v u = −v ❑❤✐ õ ữỡ tr tữỡ ữỡ ợ u=v u = −v (I) ❤♦➦❝ (II) u2 − 2u + m = (1) u2 + m = (2) ❍➺ (I) ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❤♦➦❝ ❤➺ (II) ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❤♦➦❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ⇔ ∆(1) ≥ ∆(2) ≥ ⇔ 1−m≥0 −m ≥ ⇔ m ≤ ❱➟② ❤➺ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤✐ m ≤ 0✳ ✼✽ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ợ t Pữỡ t tự tr ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✧ tr♦♥❣ ♣❤↕♠ ✈✐ ợ ữ r ã tố õ tự t tự ã ữ r ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ữỡ tr ã ởt ữỡ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➜♣✳ • ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tứ tợ õ ũ ủ ợ tứ ố tữủ s ã tữ t õ þ ♥❣❤➽❛ t❤✐➳t t❤ü❝ ✈ỵ✐ ✈✐➺❝ ❤å❝ t➟♣ ❝õ❛ ❤å❝ s✐♥❤ æ♥ t❤✐ ✈➔♦ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❝❛♦ ✤➥♥❣✳ ✼✾ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ [1] ◆❣✉②➵♥ ❱✐➳t ❉✐➵♥ ✭✶✾✾✾✮✱ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤å♥ ❧å❝ ❣✐↔✐ t♦→♥ ❤➔♠ sè ♠ô ✈➔ ❧♦❣❛r✐t✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ [2] ◆❣✉②➵♥ ự ỗ ữỡ ✤➲ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔ ❝→❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✤➦❝ s➢❝✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ❚r➫✳ [3] ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉ ✭✶✾✾✾✮✱ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ◆❤➔ t [4] r Pữỡ ỗ ự ✭✷✵✵✹✮✱ ❚✉②➸♥ t➟♣ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ❧✉②➺♥ t❤✐ ✣↕✐ ❤å❝ ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ✣↕✐ sè ❝➜♣✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ư❝✳ [5] ◆❣✉②➵♥ ❚✐➳♥ ◗✉❛♥❣ ✭✶✾✾✾✮✱ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ð tr÷í♥❣ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝✳ [6] ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❤å❝ t✉ê✐ tr➫✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝✳ [7] ❤tt♣s✿✴✴❚♦❛♥❤♦❝✷✹✼✳❡❞✉✳✈♥✳ [8] ❤tt♣s✿✴✴▼❛t❤✈♥✳❝♦♠✳ ✽✵