Bài soạn Đường Elip

§5 : ĐƯỜNG ELIP TIẾT : 58 I.Giới thiệu Trái đất quay xung quay mặt trời theo quỹ đạo hình elip ( J.Keple ) HĐ1 : Hãy quan sát hình sau và nhận xét về : • Chu vi tam giác MF 1 F 2 và độ dài đoạn dây kín? Chu vi tam giác MF 1 F 2 luôn bằng độ dài của sợi dây kín. Tổng MF 1 + MF 2 cũng không đổi do khoảng cách F 1 F 2 không đổi. • Tổng MF 1 + MF 2 ? I. Định nghĩa • Cho hai điểm cố định F 1 và F 2 với F 1 F 2 = 2c (c > 0 ) . • Đường elip ( còn gọi là elip ) là tập hợp các điểm M sao cho MF 1 +MF 2 = 2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c. • Hai điểm F 1 và F 2 gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip. F 1 F 2 M II. Phương trình chính tắc của elip • Cho elip (E) như trong định nghĩa trên. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F 1 F 2. Trục Oy là đương trung trực của F 1 F 2 và F 2 nằm trên tia Ox. Với cách chọn hệ trục tọa độ như vậy thì tọa độ của hai tiêu điểm là gì ? Tọa độ các tiêu điểm là F 1 (-c ; 0) F 2 (c ; 0) -10 -5 5 10 a 6 4 2 -2 -4 -6 -8 f y ( ) = a A 2 -y B2(0,b) 2 a A = -10.04 y B2(0,b) = 6.04 O a M F1(-c,0) F2(c,0) HĐ 2 : Giả sử M(x;y) nằm trên elip (E). Tính giá trị MF 1 2 -MF 2 2 r i k t h p đ nh ngh a ồ ế ợ ị ĩ MF 1 + MF 2 =2a đ tính ể MF 1 - MF 2 . T ừ đó hãy suy ra giá trị của MF 1 và MF 2 ? Ta có : MF 1 2 -MF 2 2 = ((x + c ) 2 + y 2 ) - ((x - c ) 2 + y 2 )) = 4cx => (MF 1 – MF 2 )( MF 1 + MF 2 ) =4cx ⇒ (MF 1 – MF 2 ).2a = 4cx 2 1 2 cx MF MF a ⇔ − = Từ đó ta có được : ; 1 2 cx cx MF a MF a a a = + = − Các đoạn thẳng MF 1, MF 2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M. Lập phương trình của elip (E) đối với hệ trục tọa độ đã chọn như trên. Ta có 2 2 ( ) 1 cx MF a x c y a = + = + + hay 2 2 2 ( ) ( ) cx a x c y a + = + + Rút gọn đẳng thức trên ta được : 2 2 2 2 2 (1 ) 2 c x y a c a − + = − 2 2 2 2 2 1 x y a a c ⇔ + = − Vì a 2 – c 2 > 0 nên ta có thể đặt a 2 – c 2 = b 2 ( với b > 0 ) và ta được : 2 2 2 2 1 (a > b > 0) (1) x y a b + = 2 2 2 2 1 (a > b > 0) (1) x y a b + = Ngược lại, có thể chứng minh được rằng : Nếu điểm M có tọa độ (x ; y) thõa mãn (1) thì : 1 2 ; MF cx cx MF a a a a = + = − Và do đó MF 1 + MF 2 =2a , tức là M thuộc elip (E) Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip đã cho. III. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho ba điểm F 1 ( -2 ; 0) F 2 (2 ; 0) và M( 2 ; 3 ) a) Hãy viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F 1 , F 2 và đi qua I. b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF 1 có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất là bao nhiêu Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N ( 1 ; ) 3 2 VI. Củng cố . gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip. F 1 F 2 M II. Phương trình chính tắc của elip • Cho elip (E) như trong định. Cho hai điểm cố định F 1 và F 2 với F 1 F 2 = 2c (c > 0 ) . • Đường elip ( còn gọi là elip ) là tập hợp các điểm M sao cho MF 1 +MF 2 = 2a, trong đó a