Chứng minh rằng I thuộc một đường hypebol cố định; hãy viết phương trình của đường hypebol đó.. Đề thi HSG môn Toán.[r]
(1)Nguyễn Văn Xá ĐỀ THI SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH NAM ĐỊNH 851 N¨m häc 95-96 (85 - 95) C©u Giải hệ phương trình : x y y x C©u Cho bất phương trình : m x x 17 (2m 1) x x 17 m (1) 1.Giải phương trình (1) với m = 2.Với giá trị nào thì bất phương trình (1) a.Nghiệm đúng với giá trị x ? b.Cã nghiÖm ? C©u Cho parabol y = 0,5x2 vµ mét ®iÓm M(x0 ,y0) víi y0 < 0,5 x02 C¸c tiÕp tuyÕn kÎ tõ M tíi parabol tiÕp xóc víi parabol t¹i N1(x1,y1 ) vµ N2(x12,y2 ) Chøng minh : y0 + y1 = x0x1 ; y0 + y2 = x0x2 Giả sử M chạy trên đường thẳng y = - 0,5 Chứng minh đó đường thẳng N1N2 qua điểm cố định Tìm toạ độ điểm cố định đó C©u Cho ®êng trßn cã pt: x2 + y2 = R2 ( R ) , ABCD lµ mét h×nh thoi ngo¹i tiÕp ®g trßn M ( Rcosa ; Rsina) ; N (Rcosb; Rsinb) (với sin( a – b ) khác 0) là tiếp điểm các cạnh AB vµ BC víi ®êng trßn Viết phương trình các cạnh hình thoi ABCD TÝnh diÖn tÝch h×nh thoi theo R ; a ; b C©u Cho Sn = 2(n 1) 2(n 2) 2(n n) (n 1) (n 2) ( n n) Víi n = 1,2,3 T×m giíi h¹n nÕu cã cña S n n ………………………………………… 86 N¨m häc 96-97 C©u 1 Lập bảng biến thiên ( không vẽ đồ thị ) hàm số y=2x4+(1 – 2x )4 Giải phương trình : 2x4 +( 1- 2x)4= 27 C©u x2 y2 1 Cho elip (E) có phương trình : Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ từ M ( 0; 13 ) tới (E) Xác định góc tiếp tuyến đó T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N cho c¸c tiÕp tuyÕn kÎ tõ N tíi (E) vu«ng gãc víi C©u ABC là tam giác bất kì có góc nhọn Chứng minh ABC là tam giác và : Đề thi HSG môn Toán Trang 95 Lop10.com (2) Nguyễn Văn Xá A 2B B 2C C 2A cos A cos B cos C cos cos cos C©u Chứng minh với m hàm số f(t) = m3 mt đồng biến trên tập xác định nó x m.3 my Cho hệ phương trình : y m.3 mz z m.3 mx a Gi¶i hÖ m = b Gi¶i hÖ m = ……………………………………… 87 N¨m häc 97-98 C©u Cho hµm sè : f(x) = x3 –12x-20 (1) Khảo sát , lập bảng biến thiên ( không vẽ đồ thị ) hàm số (1) TÝnh f 16 Chøng minh: 69 16 70 C©u x x m Cho hệ phương trình : x x 4m Gi¶i hÖ víi m =1 Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m Häc sinh ®îc chän mét hai c©u 3a , 3b sau: C©u 3a Cho A(x0,y0) là điểm bất kì thuộc đường tròn x2+y2=25 (E) là elíp có phương trình x2 y2 1 (E): 16 Chøng tá r»ng A n»m ngoµi (E) Chứng minh từ A ta có thể kẻ haitiếp tuyến (E) và hai tiếp tuyến đó vuông góc Gọi tiếp điểm tiếp tuyến đó với (E) là B và C Giả sử h là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC Tìm giá trị lớn và nhỏ h C©u 3b Cho ABCDlà tứ diện với các cạnh Hai điểm M và N chuyển động trên các c¹nh AB vµ AC cho tnp(DMN) mp( ABC ) Chứng minh tnp(DMN)luôn qua đường thẳng cố định §Æt AM=x vµ AN=y TÝnh theo x,y diÖn tÝch AMN vµ chøng minh : x + y = 3xy T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt thÓ tÝch V cña tø diÖn ADMN C©u Cho c¸c sè a,b,c tho¶ m·n : a, b, c vµ a + b + c =3 Chøng minh : a4+ b4 + c4 17 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : a1997+ b1997 + c1997 …………………………………… Đề thi HSG môn Toán Trang 96 Lop10.com (3) Nguyễn Văn Xá 88.N¨m häc 98-99 C©u Cho hµm sè : y = - 4x3 + 3x (1) Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số (1) và tìm điểm cực đại , cực tiểu đồ thị hàm số đó 26 Chứng minh bất đẳng thức : sin 20 75 C©u Cho phương trình cos x x 160 x 800 1(2) 8 Giải phương trình (2) T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn cña (2) Học sinh chọn câu 3a 3b đây C©u 3a x2 y2 vµ hai ®iÓm M (4cos ; 3sin ) ; 16 N(4cos ;3 sin )trong đó ; thay đổi thoả mãn hệ thức : cos cos 16 sin sin Chứng minh các điểm MvàN thuộc (E) Chøng minh c¸c tiÕp tuyÕn cña (E) t¹i Nvµ M vu«ng gãc víi T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña ®o¹n th¼ng MN C©u 3b H×nh chãp S.ABCcã mÆt SAB,SBC vµ SCA lµ c¸c tam gi¸c vu«ng t¹i S KÎ SH mp( ABC ) víi H mp( ABC ) Chøng minh H lµ trùc t©m cña ABC 1 1 Chøng minh hÖ thøc : 2 SH SA SB SC Giả sử SA = a , SB = b , SC = c thay đổi cho ab + bc + ca không đổi T×m GTLN cña ®o¹n th¼ng SH C©u A,B,C lµ gãc cña mét tam gi¸c bÊt k× T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : P = cos A + cos B + cos C + A B C sin sin sin 2 Cho elip (E) có phương trình 89.n¨m 1999-2000 C©u1(6®) Cho hµm sè : y=xlnx (1) Tìm tập xác định và khoảng đồng biến nghịch biến và giá trị nhỏ hàm số x ln x CMR : e Đề thi HSG môn Toán Trang 97 Lop10.com (4) Nguyễn Văn Xá x ln x x Tính đạo hàm hàm số : f ( x) 0 kh x C©u2( 4®) Giải bất phương trình sau: log3(x2+1)+ log5(x4+1) C©u3a(6®) Giả sử A (x0; y0 ) là điểm thuộc đường tròn x2 + y2 =25; (E) là elip có phương trình x2 y2 (E): 16 a Chứng minh từ A có thể kẻ hai tiếp tuyến tới (E) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với Gäi tiÕp ®iÓm cña chóng lµ B vµ C b T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c ABC C©u 3b(6®) Tứ diện ABCD có cạnh AD lớn đặt BC =x dựng DH và AK vuông góc với BC ( H ,K thuộc cạnh BC ) 1 Gäi V lµ thÓ tÝch cña tø diÖn ABCD chøng minh V AK BC.DH x2 Tìm x để thể tích V tứ diện ABCD là lớn C©u 4(4®) Cho phương trình : x4 = 4 x (2) Giả sử x0 là nghiệm phương trình (2) chứng minh x0 > Giải phương trình (2) ……………………………………… Chøng minh : DH 90.N¨m häc 2000-2001 C©u1 ( x 1)3 x Cho hµm sè : F(x) = x a x=1 Với giá trị nào a thì hàm số có đạo hàm x=1 ? vơí giá trị a tìm tìm F’(1) C©u Cho tam gi¸c ABC biÕt r»ng trªn mÆt ph¼ng (ABC) cã ®iÓm M cho MA=1 ;MB=MC=6 gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng : S 10 dÊu b»ng x¼y nµo ? C©u3 x2 y2 Cho A’(-a;0); A(a;0)và elip có phương trình (E): Với a > b > Trên (E) lấy a b ®iÓm M bÊt kú t×m quü tÝch trùc t©m H cña tam gi¸c MA A’ ®iÓm M di chuyÓn trªn (E) C©u Gi¶i hÖ sau : sinx + = sin y siny + = sin 2000 Đề thi HSG môn Toán sin 2000 + sin x Trang 98 Lop10.com (5) Nguyễn Văn Xá C©u Cho hai phương trình sau : (x2+a2 ) =1 - (9a2- 2)x (1); x +(3a -2 )2 3x =(8a -4)log3(3a - 1/2) - x3 (2) Tìm a để số nghiệm phương trình (1) không vượt quá số nghiệm (2) …………………………… 91.N¨m häc 2001-2002 C©u1 Giải hệ phương trình sau x.2x-y+1 + 3y 22x+y =2 2x 22x+y + 3y 8x+y =1 C©u2 Tìm m để phương trình sau vô nghiệm (4m-3) x + (3m -4) x = - m C©u Gäi A,B,C lµ ba gãc cña tam gi¸c ABC A B C A B B a.CMR : (1+ tg )(1+tg )(1+ tg )=2+2 tg tg tg 2 4 b Xác định các giá trị A,B,C để biểu thức sau đạt giá lớn nhất: A B C T=(1+ tg )(1+tg )(1+ tg ) 2 C©u 2(1 m) (m 1)(3 m) x + Trên mặt phẳng toạ độ cho họ đường thẳng : y= víi m > 1 m (1 m) Tìm tất các điểm mà qua điểm đó có đúng hai đường thẳng họ qua và hai đường th¼ng nµy vu«ng gãc víi C©u5 kh«ng dïng m¸ytÝnh so s¸nh hai sè sau A =log20002001 vµ B= log 20012002 92.N¨m häc 2002-2003 C©u1 Cho hàm số : f(x) = x3 – 3x2 –7x + (1)và M(x0;y0)là điểm thuộc đồ thị hàm số(1) Tiếp tuyến M đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành A và cắt trục tung B Tìm toạ độ M cho các điều kiện sau đồng thời thoả mãn : Hoàng độ A là số dương Tung độ B là số âm OB = 2OA ( O là gốc toạ độ C©u2 Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình : cos x cos ( x x 1) 3 x 1 Giải bất phương trình : C©u3 Cho họ đường tròn có phương trình : 4 3 x Đề thi HSG môn Toán 2 3 x 1 5 Trang 99 Lop10.com (6) Nguyễn Văn Xá (Cm): x2 + y2 - 2mx + 2(m+1)y – = 0; (Km): x2 + y2 - x + (m-1)y + = Tìm trục đẳng phương đường tròn Chứng minh m thay đổi , trục đẳng phương luôn qua điểm cố định C©u4 Gi¶ sö tham sè a thuéc ®o¹n [ 0; ] vµ hµm sè ; f(x) = 3x4 + 4x3 (cosa – sina)-3x2 sin2a x¸c định trên [-sina ; cosa] Tìm a để giá trị nhỏ hàm số đạt giá trị lớn …………………………………… 93.N¨m häc 2003-2004 C©u1 (5®) Giải bất phương trình sau : (3x -2x-1)( x 2) >0 C©u 2(6®) Cho phương trình : x6 +3x5 -6x4 + a x3 - 6x2 +3x+1 =0 tìm a để phương trình có đúng hai nghiÖm ph©n biÖt Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m hÖ lu«n cã nghiÖm (x ; y): mx - 2y m 2 x y - 2mx y C©u3 (6®) Trong không gian cho hai đường thẳng d1,d2 cho 0x ,d1,d đôi chéo và vuông gãc víi XÐt ®êng th¼ng d bÊt kú ®i qua gäi , , thø tù lµ gãc gi÷a d víi c¸c ®êng 0x ,d1,d Chøng minh tg2 tg2 tg2 - (tg2 +tg2 +g2 ) =2 Biết khoảng cách ba đường thẳng ba đường 0x ,d1,d cùng đơn vị độ dài hình hộp ABCD.A’B’C’D’ thoả mãn : B’ và d thuộc 0x ; A’ và C’ thuộc d1; A và D’ thuéc d2 TÝnh thÓ tÝch h×nh hép ABCD,A’B’C’D’ C©u 4(3®) Cho a,b dương chứng minh : (a + 1)ln(a+1) + eb (a +1) (b+1) ……………………………… 24 N¨m häc 2004 - 2005 Câu ( ®iÓm) Cho hµm sè f(x) = 2mx x x 2m , víi m lµ tham sè 1.Khi m = ; hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến hàm số 2.Xác định m để hàm số nghịch biến trên R C©u ( ®iÓm) x2 dx TÝnh tÝch ph©n I = x 1 ( x x 1)(e 1) C©u 3(7 ®iÓm) Trên mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy; cho đường parabol (P) có phương trình: y = x2 và đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 2x – 6y + 1=0 1.Chứng minh (P) và (C) có đúng giao điểm phân biệt Đề thi HSG môn Toán Trang 100 Lop10.com (7) Nguyễn Văn Xá 2.Cho điểm A(1, 6) thuộc đường tròn (C) Hãy lập phương trình đường tròn qua điểm M( 2, - 1) vµ tiÕp xóc víi ®êng trßn (C) t¹i ®iÓm A 3.Giả sử đường thẳng (d) thay đổi qua điểm A cho (d) cắt (P) hai điểm phân biệt T1 , T2 Gäi (d1) , (d2) thø tù lµ tiÕp tuyÕn cña (P) t¹i tiÕp ®iÓm T1 , T2 BiÕt r»ng (d1) c¾t (d2) ë điểm N; hãy chứng minh điểm N nằm trên đường thẳng cố định C©u 4(3 ®iÓm) ) , ta có: Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x thuéc kho¶ng ( ; cos x sin( x 1) cos( x 1).sin x cos x.cos( x 1) …………………………… 94 N¨m häc 2005- 2006 Câu (5 điểm) Cho hàm số: y x x (2m 1) x 2m (với m là tham số) Khi m = 0, gọi (d) là tiếp tuyến đồ thị hàm số tiếp điểm có hoành độ x = 0, gọi (d') là đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số Tìm cosin góc (d) và (d') Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu cho giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu Câu (4 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn elip (E) có phương trình: x2 y 1 và đường tròn (C) có phương trình: x2 +y2 = 16 Từ điểm M trên (C) ta kẻ hai tiếp tuyến đến (E) là MT1 và MT2 với tiếp điểm theo thứ tự là T1 và T2 Khi M có hoành độ xM = 4, hãy viết phương trình các đường thẳng và Khi M thay đổi trên (C), hãy tìm giá trị lớn khoảng cách từ M đến đường thẳng Câu (3 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác OBC.O'B'C', biết: C(1;0;0), O'(0;0;1) và B nằm góc phần tư thứ mặt phẳng tọa độ Oxy Gọi M, N, E theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CC', C'O' Xác định tọa độ điểm P thuộc đường thẳng OO' để PM = PE Với điểm P vừa tìm được, hãy tính thể tích khối tứ diện PMNE Đề thi HSG môn Toán Trang 101 Lop10.com (8) Nguyễn Văn Xá Câu (5 điểm) Giải phương trình: với x ( Giải phương trình: ; ) 2 Câu (3 điểm) Chứng minh rằng: Nếu a là số dương cho bất phương trình a x 1 x , nghiệm đúng với x thì a e Tìm tất các số dương a là điều kiện cần và đủ để bất phương trình: a x 1 x , nghiệm đúng với số thực x ………………………………… 95 N¨m häc 2006- 2007 Câu (5,0 điểm) 1 Cho hàm số : y f ( x) sin x cos x ax (1) 2 1) Khi a = -1, hãy tìm điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số (1) 2) Tìm a để đường thẳng (d): y = a(x + 1) tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) Câu (5,0 điểm) Cho phương trình: 1 x2 21 1 x2 m , với m là tham số 1) Giải phương trình đã cho m = 2) Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm Câu (4,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2;2;0), điểm B(1;0;-1) và mặt phẳng (P) có phương trình: 3x + 2y - z - = 1) Tìm toạ độ điểm C cho đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (P), đồng thời C cách điểm B và gốc toạ độ O Đề thi HSG môn Toán Trang 102 Lop10.com (9) Nguyễn Văn Xá 2) Với tham số m, xét điểm M(2, m, 2m) Hãy tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác ABM, tham số m thay đổi Câu (4,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C0) có phương trình: x2 y x và điểm F (2 ; 0) 1) Gọi A là giao điểm có tung độ dương đường tròn (C0) với trục tung Hãy lập phương trình đường tròn (C1); biết (C1) có bán kính 2, đồng thời hai đường tròn (C0) và (C1) tiếp xúc ngoài với A 2) Giả sử đường tròn (C) có tâm I thay đổi, cho (C) luôn qua F và tiếp xúc với (C0) Chứng minh I thuộc đường hypebol cố định; hãy viết phương trình đường hypebol đó Câu (2,0 điểm) Tìm tất các cặp số (x; y) với x và y là các số nguyên dương thoả mãn: ( x y ) Đề thi HSG môn Toán Lop10.com x y x y x y Trang 103 (10)