Đề thi học sinh giỏi 12 môn Toán - Đề 1

Chứng minh rằng khi M di động trên P thì đường thẳng MT luôn đi qua một điểm cố định.. Chứng minh rằng khi M di động trên P thì thì trung điểm I của MT chạy trên 1 pa ra bol cố định..[r]

§Ò thi häc sinh giái 12 (Thêi gian lµm bµi 180’) C©u 1: Chøng minh r»ng hµm sè y = x4- 6x2 + 4x + lu«n lu«n cã cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm các tam giác tạo đỉnh và điểm cực trị đồ thị hàm số Câu 2: Giải hệ phương trình x+y = z  y + z = 4x  z + x = 4y 1 Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc oxy cho parabôn (P): y2 = 4x M là điểm di động trên (P) M  0, T là điểm trªn (P) cho T  0, OT vu«ng gãc víi OM a Chứng minh M di động trên (P) thì đường thẳng MT luôn qua điểm cố định b Chứng minh M di động trên (P) thì thì trung điểm I MT chạy trên pa bol cố định Câu 4: Giải phương trình sau: sinx + siny + sin (x+y) = C©u 5: Cho d·y sè In = n  2n 3 cos x dx , x TÝnh nlim In   C©u 6: Cho  a > 0, chøng minh r»ng ln a 1 a < a 1 a3 a Lop12.net nN* §¸p ¸n C©u 1: (3 ®iÓm ) Tập xác định: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + y’ = 4x3 - 12x + y’ = <=> g(x) = x3 - 3x + = (1) Ta cã g(x), liªn tôc g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) =  g(- 2).g(- 1)    g(-1).g( 1)   g( 1).g( 2)   g(x) liên tục nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn : - < x1 < -1 < x2 < < x3 < * Ta cã y = y’.x- 3.(x2 - x - 2) (1) Gäi c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ A (x1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) vµ G (x0,y0) lµ träng t©m tam gi¸c ABC Theo §L Viet cã x1 + x2 + x3 = (2) x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 (3) Tõ (2) suy x0 = x1  x2  x3 =0 Tõ (1) (2) (3) suy ra: y0 = (y1+y2+y3) = -3 ( x12  x22  x32 )-(x1+x2+x3) - 6 = -3 (x1 + x2 + x3)2 - (x1x2 + x2x3 + x3x1) - 6 = -3 (0 - (-3) - 6) = VËy G (0;0)  0(0;0) (§PCM) C©u 2: ( ®iÓm) x+y = z  (1) y + z = 4x  (2) z + x = 4y 1 áp dụng bất đẳng thức cosi tacó: (3) Tương tự x  < 2x (2’) Tõ (1’) ;(2’) ; (3’) vµ (1) ; (2) ; (3) suy 2(x+y+z) = z   x   y  < 2z + 2x + 2y Tõ (4) suy ra: 4z - = 4x - = 1 (4 z  1)  = 2z (1’) y  < 2y (3’) z   (4 z  1).1 < (I) <=> (I) ®k x,y,z > <=> 4y - = VËy hÖ (I) cã nghiÖm x = y = z = C©u 3: (P): y2 = 4x Lop12.net x=y=z= (4) nghiệm đúng (I)  y 12   y 22      víi y1,y2  0; y1  y2 M ; y T ; y a (3®iÓm ) Gi¶ sö ;        2 y y OTOM  OT.OM    y y  4  y1 y2 + 16 = (1) y 12 xy - y1  Phương trình đường thẳng MT: 2 y - y1 y y1 4  4x - y 12 = (y1 + y2) (y-y1)  4x - (y1 + y2) y - 16 =  4(x- 4)- (y1 + y2) y= Nên đường thẳng MT luôn qua điểm cố định J (4;0) b (3®iÓm) Gäi I (x0, y0) lµ trung ®iÓm MT th×   y  y 22 (1) y y y0 = (2) 1 Tõ (1) suy x0 = (y1+y2)2 - 2y1y2 = (2y0)2 - (-16) 8 = y0   y02 = 2x0 - x0 = Từ đó  I chạy trên parabôn (P) : y2 = 2x = cố định C©u 4: (3 ®iÓm) sin x + sin y + sinz (x+y) = 3 (1) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki và từ (1) ta có 27 3 ( ) = [sinx + siny + sinz (x+y)] sin2(x+y)) =  < (12 + 12+12).(sin2x + zin2y +  cos x  cos y  +sin2 (x+y) 2 = 3.[1- cos (x+y) cos (x-y) + - cos2 (x+y)] = 2-(cos (x+y)+ < (2- + 1 cos (x-y)2) + cos2 (x-y) 27 )= (2) (Do cos2 (x-y) < 1; (cos (x+y) + cos (x-y)2 > 4 Tõ (2) suy ra: (1)  cos2 (x-y) = cos (x+y) + cos (x-y) = sinx = sin y = sin (x+y) = Lop12.net    x   2k   y    2n   víi k , n  Z 4n  cosx  x dx 2n  C©u 5: (3 ®iÓm) In  Ta chøng minh: < In < Ta cã: In = n  n cos x dx = x n  n (1) 4n n d (sin x) sin x 4n = -  sin x.d ( ) x 2n n x x n sin x dx x2 2n sin x * Ta cã: < x  2n , 4n  nªn x x n 1 dx n   In <    =(2) n  n  n  n  x x n =  n 1 ( k 1) * Ta cã: In = kn ( k 1) => JK =  2k sin x + x2  2k sin x dx đặt JK = x2 ( k 1)  ( k 1) sin x dx > x2 ( k 1)  2k ( k 1) sin x dx x2 sin x ( x  2k )dx >0 (x   )2 n 1 Ta l¹i cã: In = kn Jk (3) nªn In > Tõ (2) (4) suy < In  Ta l¹i cã Lim n   4n = nªn n (3) (4)  (1) đúng Lim I n  n C©u 6: (3 ®iÓm) 1 a ln a < a 1 a3 a (1) víi  a > Trong hîp 1: a >1 (1) <=> (a + a )lna < (1 + a ) (a-1) (2) <=> 3(x3 +x) lnx < (1+x).(x3-1) <=> x4 + x3 - x - - (x3+x)lnx > (3) §Æt f(x) = x4 + x3 - x - -3 (x3 + x)lnx (2) §Æt x = a => x >1 x > x > x 1;+  ) x Ta cã f’(x) = x3 + 3x2 - - (3x2 + 1) lnx + (x3 + x)  = 4x3 - - (3x2 + 1) lnx 1 ) f(3)(x) = ( 8x + -6ln x - 9) x x 6(4 x  x  1) 6( x  1)(4 x  x  f(4)(x) = 3.(8-  ) = = > , x > x x x3 x3 f”(x) = 3.(4x2 - 3x - 6xln x - Lop12.net Suy f(3)(x) đồng biến nên [1;+  ) f(3)(x) > f(3)(1) = tương tự f’(x)> với x >  f(x)> f (1) = với x >1 suy (3) đúng Trường hợp 2: < a < đặt a = Lop12.net , a1 > quay trường hợp a1